基于線段近似法的姿態(tài)控制線圈磁場位形研究

王召 劉騰 杜俊杰 劉云輝 張國書

1（核技術(shù)應(yīng)用教育部工程研究中心 南昌 330013）

2（東華理工大學(xué) 南昌 330013）

偶極磁場位形是一種在自然界中廣泛存在的常見電磁場位形，對帶電粒子具有良好的約束效果。在實(shí)驗(yàn)室里，懸浮偶極磁場已經(jīng)用來開展等離子體基本特性、磁約束熱核聚變、反物質(zhì)約束、空間等離子體物理等諸多領(lǐng)域的基礎(chǔ)應(yīng)用研究［1-2］。

在磁約束聚變研究中，磁偶極場聚變裝置是最有希望實(shí)現(xiàn)聚變能的途徑之一［3］。與托卡馬克不同，磁偶極場位形存在任意比壓的等離子體平衡［4］、由交換模驅(qū)動(dòng)的大尺度對流元主導(dǎo)的等離子體輸運(yùn)［5］且不存在電流驅(qū)動(dòng)的扭曲模等特點(diǎn)。在國際上主要用于聚變物理研究的偶極場裝置包括麻省理工學(xué)院的LDX（Levitated Dipole Experimen）和東京大學(xué)的RT-1（The Ring Trap-1），這兩個(gè)裝置在等離子體物理研究方面取得非常多的成果［6-9］。

在空間等離子體物理研究領(lǐng)域，主要實(shí)驗(yàn)室偶極場裝置包括哥倫比亞大學(xué)的CTX（Collisionless Terrella Experiment）和哈爾濱工業(yè)大學(xué)的DREX（Dipole Research EXperiment）等，在地球和行星磁層的多種等離子體模式的激發(fā)及演化、高能粒子的加熱加速機(jī)制，以及高能電子擴(kuò)散（損失）機(jī)制、環(huán)電流離子動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域取得了諸多重要實(shí)驗(yàn)結(jié)果［10-12］。反物質(zhì)研究方面，利用偶極場約束粒子特性，展開了正電子和電子-正電子等離子體物理的研究［13-14］。

天環(huán)一號偶極場磁約束裝置（China Astro-Torus No.1，CAT-1）是由東華理工大學(xué)團(tuán)隊(duì)負(fù)責(zé)設(shè)計(jì)的采用磁懸浮偶極場線圈的等離子體實(shí)驗(yàn)裝置，該裝置是為了研究在高溫高密等離子體環(huán)境下，磁偶極場等離子體輸運(yùn)、磁流體穩(wěn)定性及裝置定標(biāo)率，該裝置目前仍處在設(shè)計(jì)階段［15］。總體設(shè)計(jì)參數(shù)目標(biāo)為等離子體密度達(dá)到5×1019m-3，等離子體溫度達(dá)到500 eV，裝置真空室半徑達(dá)4 m，超導(dǎo)環(huán)外表面磁場≥5 T。表1為不同偶極場裝置參數(shù)對比。圖1為CAT-1裝置概念示意圖。CAT-1裝置的偶極場線圈在裝置運(yùn)行時(shí)通過電磁力懸浮在真空室中心，為了保證偶極場線圈可以穩(wěn)定地懸浮，采用姿態(tài)控制線圈（Tilt-Slide-Rotate coils，TSR）控制偶極場線圈的傾斜、偏移和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。同時(shí)TSR線圈也可以在支撐模式下用于產(chǎn)生不同頻率磁擾動(dòng)，以豐富對偶極場等離子體不穩(wěn)定性的研究。

圖1 CAT-1裝置概念結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Schematic of CAT-1 device

表1 不同偶極場裝置參數(shù)對比Table 1 Comparison of parameters of different dipole field devices

1 線段近似方法與TSR線圈

1.1 線段近似法

線段近似法［16-17］思想將曲線分解成小線段，將其近似為直線，對直線段產(chǎn)生磁場求和得到曲線電流產(chǎn)生磁場近似解。在笛卡爾坐標(biāo)系表達(dá)式為：

式中：B表示磁場矢量；Ri和Rf分別表示直線初始和末端兩點(diǎn)到觀測點(diǎn)矢量；Ri和Rf分別為對應(yīng)矢量的模長。

線段近似法可近似求解任意形狀的電流產(chǎn)生的磁場，并且在數(shù)值計(jì)算非規(guī)則形狀電流產(chǎn)生磁場具有非常高效率。但由表達(dá)式（1）可知，當(dāng)求解磁場的位置位于線圈上時(shí)，分母中的線段矢量模長為零，使得磁場數(shù)值奇異。且求解磁場位置靠近線圈時(shí)其相對誤差變大［17］，使用線段近似方法計(jì)算直載流導(dǎo)線時(shí)，當(dāng)觀測點(diǎn)位置距離小于10-5m，相對誤差大于10-5。

本文求解TSR線圈可近似為閉合曲線，因此使用線段近似法求解圓環(huán)電流磁場與解析解對比找到分割線段個(gè)數(shù)n與誤差的關(guān)系。其中在柱坐標(biāo)系下圓形電流產(chǎn)生的磁場表達(dá)式為［18］：

式中：K和E分別表示第一和第二類曲線積分；R和I分別為線圈半徑和電流；r和z分別表示觀測點(diǎn)徑向和縱向位置。

對電流環(huán)分割個(gè)數(shù)n和觀察點(diǎn)p與電流環(huán)距離r進(jìn)行基準(zhǔn)測試。設(shè)線圈半徑R=0.5 m，線圈電流I=0.2 MA，相對誤差Error=||BFSA|-|Banalysis||，其中：BFSA為標(biāo)準(zhǔn)線段法計(jì)算的磁場強(qiáng)度；Banalysis為環(huán)電流磁場強(qiáng)度解析解。圖2（a）表示觀察點(diǎn)距離電流環(huán)0.1 m時(shí)，相對誤差隨電流環(huán)分割數(shù)關(guān)系；圖2（b）表示電流環(huán)分割數(shù)n=20000時(shí)，相對誤差隨觀測點(diǎn)距線圈距離分布。由圖2中圓環(huán)表示，當(dāng)分割線段個(gè)數(shù)n=20000，觀測點(diǎn)距離線圈距離|r|=0.01 m時(shí)，相對誤差Error≈1.63×10-6，在本文后續(xù)計(jì)算中取分割線段個(gè)數(shù)n=20000。

圖2 相對誤差隨電流環(huán)分割數(shù)n (a)和觀察點(diǎn)到電流環(huán)距離(b)Fig.2 Relative error varies with the number of current ring segmentations n (a) and the distance from the observation point to the current ring (b)

1.2 姿態(tài)控制線圈

偶極場裝置的TSR是由8組伏于真空室表面的銅制非規(guī)則線圈組成，圖3繪制TSR線圈示意圖，其中位于中心、中下方和中上方圓環(huán)分別表示偶極場線圈、充電線圈和懸浮線圈；圍繞在四周的8個(gè)線圈表示姿態(tài)控制線圈；中部網(wǎng)格為求解磁場區(qū)域。CAT-1裝置TSR線圈主要功能是在偶極場線圈懸浮實(shí)驗(yàn)時(shí)，用于控制偶極場線圈傾斜、偏移和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，以保持偶極場線圈處于穩(wěn)定懸浮狀態(tài)。

圖3 懸浮偶極場裝置CAT-1磁約束線圈示意圖Fig.3 Schematic of CAT-1 magnetic constraint coil of suspension dipole field device

在笛卡爾坐標(biāo)系下，偶極場裝置的TSR線圈可使用參數(shù)方程表示。其表達(dá)式為：

式中：環(huán)向角φ∈(φa，φc)，極向角θ∈(θc，θd)，φa=θb=0.01π，θd=0.49π，φc=arctan(Hc/rc)；系數(shù)rc和Rc分別表示水平線圈的半徑；Hc為兩個(gè)水平線圈間距；K=cos (θ)。

基于CAT-1裝置參數(shù)rc=1.2 m，Rc=3.5 m，Hc=2 m，假設(shè)線圈電流I0=0.2 MA。在圖4中繪制第一象限中TSR線圈工作磁場，其中帶箭頭線段表示磁場方向，閉合曲線表示第一象限TSR線圈示意圖。圖4（a～c）分別表示磁場Bx、By和Bz分量在z=0的平面磁場強(qiáng)度二維分布，圖4（d）為｛x，y，z| ［-1，1］，［-1，1］，［-1，1］｝正方體區(qū)域中磁場矢量分布。

圖4 第一象限TSR線圈在z=0 m的平面上（{x，y | [-11]，[-11]}）產(chǎn)生x方向(a)、y方向(b)和z方向(c)磁場分布和三維磁場方向(d)Fig.4 On the z=0 m plane ({x, y | [-11], [-11]}), the first quadrant TSR coil generates magnetic field in x-direction (a), y-direction(b), z-direction (c), and three-dimensional magnetic field direction (d)

2 姿態(tài)控制線圈工作磁場

通過TSR線圈保持偶極場線圈姿態(tài)穩(wěn)定是一項(xiàng)復(fù)雜的工作，當(dāng)8個(gè)TSR線圈同時(shí)工作控制偶極場線圈姿態(tài)時(shí)，求解每個(gè)線圈工作電流相當(dāng)于解超定方程組［19］，一般找到一組滿足方程的最小二乘解。因此本文僅從偶極場線圈受力方向出發(fā)，忽略除工作TSR線圈外其他TSR線圈的在控制過程中的阻尼效應(yīng)，討論TSR線圈工作磁場分布情況。

2.1 傾斜模式TSR線圈工作磁場

當(dāng)偶極場線圈以y=-x為軸，沿y增加方向看去，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度時(shí)，通過具有逆時(shí)針方向電流第一和第七象限的TSR線圈產(chǎn)生磁場使偶極場線圈恢復(fù)初始位置。此時(shí)TSR線圈磁場分布如圖5所示，半徑0.5 m的偶極場線圈圓心位于原點(diǎn)，其電流方向?yàn)轫槙r(shí)針方向，其中帶箭頭線段表示磁場方向，兩個(gè)閉合曲線表示TSR線圈。根據(jù)安培定律，在磁場分量Bx分布如圖5（a）和磁場分量By分布如圖5（b）的第一和第三象限中，偶極場線圈會(huì)感受到以y=-x為軸，沿y增加方向看去，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)作用力。而在第一和第三象限中，安培合力使偶極場線圈感受到沿軸順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，但總體上線圈受到前者旋轉(zhuǎn)力大于后者。而偶極場線圈在磁場分量Bz中始終受到不均勻地指向圓心的力，但是力方向關(guān)于x=y直線對稱，因此偶極場線圈在磁場分量Bz作用下的合力為零。

圖5 偶極場線圈沿x和y軸旋轉(zhuǎn)相同角度，雙TSR線圈在z=0 m的平面上產(chǎn)生x方向(a)、y方向(b)和z方向(c)磁場分布和三維磁場方向(d)Fig.5 Dipole field coil rotating at the same angle along the x- and y-directions. The double TSR coil generates magnetic field in xdirection (a), y-direction (b), z-direction (c), and three-dimensional magnetic field direction (d) on the z=0 m plane

TSR線圈分布在笛卡爾坐標(biāo)系的每個(gè)象限中，因此當(dāng)偶極場線圈繞y軸或x軸旋轉(zhuǎn)時(shí)需要兩組原點(diǎn)對稱TSR線圈使偶極場線圈恢復(fù)初始位置。以偶極場線圈以y=0為軸，沿軸增加方向逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)為例，在圖6中繪制電流為逆時(shí)針方向的第一、第七和第二和第八象限TSR線圈磁場分布，其中帶箭頭線段表示磁場方向，4個(gè)閉合曲線表示TSR線圈。同樣假設(shè)偶極場線圈圓心為原點(diǎn)，電流為順時(shí)針方向進(jìn)行受力分析。圖6（a）為磁場分量Bx分布，在第一象限中，磁場分量Bx方向指向x軸正方向，偶極場線圈受到垂直于紙面向外的力；在第二象限中，磁場分量Bx方向指向x軸負(fù)方向，偶極場線圈受到垂直于紙面向外的力；在第三和第四象限中，偶極場線圈受到垂直于紙面向內(nèi)的力。因此在磁場分量Bx作用下偶極場線圈受到以y=0為軸，沿軸增加方向看去，順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)作用力。如圖6（b），在磁場分量By的作用下，偶極場線圈同樣受到以y=0為軸，順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)作用力。由于偶極場線圈位于磁場分量Bz等勢面上因此受到指向圓心合力為零。

圖6 偶極場線圈沿y旋轉(zhuǎn)有限角度，四TSR線圈在z=0 m的平面上產(chǎn)生x方向(a)、y方向(b)和z方向(c)磁場分布和三維磁場方向(d)Fig.6 Dipole-field coil rotated at a limited angle along the y-direction. The four TSR coils generate magnetic field in x-direction (a),y-direction (b), z-direction (c), and three-dimensional magnetic field direction (d) on the plane z=0 m

2.2 偏移模式TSR線圈工作磁場

當(dāng)偶極場線圈沿y=x正方向產(chǎn)生水平位移時(shí)，通過具有相同方向電流的上下相鄰的TSR線圈，控制偶極場線圈恢復(fù)初始位置。圖7繪制上下相鄰的具有相同方向電流TSR線圈磁場分量分布，其中帶箭頭線段表示磁場方向，兩個(gè)閉合曲線表示TSR線圈。假設(shè)偶極場線圈電流方向?yàn)轫槙r(shí)針方向。圖7（a）和（b）為磁場分量Bx和By分量，由于這兩個(gè)分量均為0，因此偶極場線圈不會(huì)受到垂直于紙面方向的力。在磁場分量Bz的作用下，偶極場線圈受到沿y=x反向的凈力，因此會(huì)使線圈圓心向原點(diǎn)移動(dòng)。在圖7（c）中，磁場分量Bz等值線凸向偶極場磁軸，因此當(dāng)系統(tǒng)中存在擾動(dòng)時(shí)，會(huì)導(dǎo)致磁力方向與發(fā)生偏移軌跡不重合，使偶極場線圈不能恢復(fù)原始位置或者失控。該過程是不穩(wěn)定的，通常需要其他TSR線圈聯(lián)合控制偶極場線圈水平移動(dòng)。

圖7 偶極場線圈沿y=x正方向偏移，上下相鄰TSR線圈在z=0 m的平面上x方向(a)、y方向(b)和z方向(c)磁場分布和三維磁場方向(d)Fig.7 Dipole field coil is offset in the positive direction of y=x, and the adjacent TSR coils in the plane of z=0 m are magnetic field in x-direction (a), y-direction (b), z-direction (c), and three-dimensional magnetic field direction (d)

同理當(dāng)偶極場線圈沿y軸正半軸發(fā)生偏移時(shí)，在順時(shí)針電流方向第一和第二象限TSR線圈及逆時(shí)針電流方向第五和第六象限TSR項(xiàng)圈作用下，偶極場線圈會(huì)受到沿y軸負(fù)方向的力。在圖8（c）中，磁場分量Bz等值線凹向偶極場磁軸，當(dāng)系統(tǒng)受到擾動(dòng)偶極場線圈向y軸兩側(cè)偏移時(shí)，偶極場線圈受到指向y軸方向力分量，使偶極場線圈圓心向y軸運(yùn)動(dòng)，因此該過程是穩(wěn)定的。

圖8 偶極場線圈沿y軸正方向偏移，上下相鄰兩組TSR線圈在z=0 m的平面上x方向(a)、y方向(b)和z方向(c)磁場分布和三維磁場方向(d)Fig.8 Dipole field coil is offset in the positive direction of the y-axis. The two adjacent TSR coils in the z=0 m plane are magnetic field in x-direction (a), y-direction (b), z-direction (c), and three-dimensional magnetic field direction (d)

3 TSR線圈磁場與偶極場耦合

在實(shí)驗(yàn)室中外加部件可模擬空間磁層環(huán)境［20］。在實(shí)驗(yàn)室磁約束裝置中，通過在真空室周圍線圈產(chǎn)生磁場擾動(dòng)來抑制等離子體不穩(wěn)定性或者驅(qū)動(dòng)等離子體輸運(yùn)［6，21］。在對空間磁層研究中發(fā)現(xiàn)，太陽風(fēng)產(chǎn)生的低頻率隨機(jī)磁場擾動(dòng)驅(qū)動(dòng)粒子向地磁層內(nèi)側(cè)輸運(yùn)［22-23］。本節(jié)模擬在背景磁偶極場中，疊加TSR線圈在偏移和傾斜模式以及環(huán)向低頻磁擾動(dòng)磁場位形。

3.1 TSR工作磁場與偶極場耦合

這里假設(shè)偶極場線圈電流ID=5 MA，TSR線圈電流為ITSR=50 kA，在偏移和傾斜模式下TSR線圈和偶極場線圈的電流方向分別選取§3.2中討論情況。在笛卡爾坐標(biāo)系下的磁場線方程為［24］：

式中：Bx、By和Bz分別表示磁場的x、y和z分量；ds表示磁場線距離步長。數(shù)值求解常微分方程（8）使用Matlab中變步長4階龍格庫塔函數(shù)ode45，最大曲線步長為dsmax=1 mm。

圖9（a）和（b）分別表示磁偶極場在偏移和傾斜模式下三維磁場線分布，內(nèi)側(cè)點(diǎn)線表示磁場線，外側(cè)閉合曲線表示TSR線圈，中上部、中下部和中心圓環(huán)分別表示懸浮線圈、充電線圈和偶極場線圈；虛線表示電流為零的線圈。在偏移模式下，靠近TSR線圈一側(cè)磁偶極場受磁場作用磁場線向內(nèi)側(cè)擠壓變形。在傾斜模式下，磁場線受到TSR線圈作用沿偶極場線圈產(chǎn)生對向漂移，且漂移幅度與徑向位置有關(guān)，使初始位于不同極向平面內(nèi)的通量管混合，可能驅(qū)動(dòng)等離子體的輸運(yùn)和不穩(wěn)定性。同時(shí)在TSR線圈作用下，在靠近TSR線圈一側(cè)磁偶極場產(chǎn)生許多開放磁場線造成輸運(yùn)粒子損失。

圖9 磁偶極場與TSR線圈在偏移(a)和傾斜(b)模式下磁場耦合三維磁場線分布Fig.9 Magnetic dipole field coupled with three-dimensional magnetic field line distribution of the TSR coil in offset (a) and tilt (b)modes

3.2 模擬環(huán)向低頻擾動(dòng)磁場

模擬環(huán)向低頻磁擾動(dòng)可通過在TSR線圈上構(gòu)建4組相位不同正弦電流實(shí)現(xiàn)環(huán)向磁擾動(dòng)旋轉(zhuǎn)，TSR線圈電流可以表示為：

式中：ω=αt+θk表示環(huán)向擾動(dòng)磁場角頻率；θk表示第k組線圈電流相位；{A=-1.5，0.8|ω∈[0，π)|，[π，2π)}。

圖10（a～b）繪制逆時(shí)針和順時(shí)針環(huán)向旋轉(zhuǎn)磁擾動(dòng)4組TSR線圈電流隨時(shí)序，假設(shè)8 ms為周期。其中第一和第五象限TSR線圈為第一組，第二和第六象限TSR線圈為第二組以此類推。假設(shè)初始時(shí)刻的磁場擾動(dòng)與x軸夾角為0°，此時(shí)第一組和第四組TSR線圈的電流大小相同，且電流方向與偶極場線圈相同。下一時(shí)刻第四和第二組線圈電流絕對值增加，第一和第三組線圈電流絕對值減小，使磁場擾動(dòng)位置沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)磁場擾動(dòng)旋轉(zhuǎn)至-π/4時(shí)第四組和第二組線圈電流分別達(dá)到最小和最大值，其他TSR線圈電流為零。順時(shí)針環(huán)向旋轉(zhuǎn)磁擾動(dòng)TSR線圈電流工作時(shí)序類似，但是第一、第三組和第二、第四組線圈與逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)線圈工作電流分別相差3/（2π)和π/2的相位。

圖10 環(huán)向逆時(shí)針(a)和順時(shí)針(b)磁擾動(dòng)TSR線圈工作電流時(shí)序Fig.10 Working current sequence of the circumferential counterclockwise (a) and clockwise (b) magnetic disturbance TSR coil

以逆時(shí)針環(huán)向磁擾動(dòng)為例，圖11表示在極坐標(biāo)系中，背景磁偶極場中疊加擾動(dòng)磁場時(shí)赤道面上磁場線龐加萊截面圖。在初始時(shí)刻t=0 ms，第一組和第四組TSR線圈與偶極場線圈電流方向相同，壓縮外層磁場線；相反第二組和第三組TSR線圈與偶極場線圈電流方向相反，沿徑向向外拉伸外側(cè)磁場線。在圖10（a）中TSR線圈電流時(shí)序?yàn)閠=0.5 ms時(shí)，擾動(dòng)磁場分布沿環(huán)向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π/8。同時(shí)圖11（b）中發(fā)現(xiàn)擾動(dòng)磁場峰值位置并非嚴(yán)格等于旋轉(zhuǎn)相位值，原因在于TSR線圈電流時(shí)序幅值|A(ω)|在時(shí)刻是常數(shù)導(dǎo)致。但是在旋轉(zhuǎn)相位φ=nπ/4，n∈N時(shí)，擾動(dòng)峰值位置與旋轉(zhuǎn)相位符合較好。

圖11 TSR線圈產(chǎn)生環(huán)向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)在ω=0 (a)、ω=π/8 (b)、ω=π/4 (c)和ω=π/2 (d)時(shí)磁場在赤道面上龐加萊截面圖Fig.11 TSR coil produces a circular counterclockwise rotation of the magnetic field on the equatorial plane when ω=0 (a),ω=π/8 (b), ω=π/4 (c), and ω=π/2 (d)

4 結(jié)語

本文通過一種非積分的線段近似方法對CAT-1中TSR線圈磁場位形進(jìn)行分析。首先我們對偶極場線圈傾斜情況下，研究了TSR線圈在偶極場線圈所在平面內(nèi)磁場分布，并對偶極場線圈在z=0平面內(nèi)進(jìn)行受力分析，發(fā)現(xiàn)通過對側(cè)兩組或4組TSR線圈可產(chǎn)生沿傾斜反方向力使偶極場線圈恢復(fù)至平衡位置。在z≠0的空間中，偶極場線圈電流可以分解為平行于z軸的正負(fù)分量，由于TSR線圈產(chǎn)生磁場關(guān)于z=0平面上下對稱分布，因此偶極場線圈保持力平衡。在偶極場線圈發(fā)生偏移可以通過激活上下同側(cè)TSR線圈產(chǎn)生的磁場使偶極場線圈產(chǎn)生恢復(fù)平衡位置的力，然而僅通過一組TSR線圈控制偶極場線圈的偏移過程系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，需要其他TSR線圈協(xié)同控制。在偶極場線圈旋轉(zhuǎn)情況下，TSR線圈作用提供阻尼抑制偶極場線圈的旋轉(zhuǎn)。其次在偏移和傾斜模式下TSR線圈產(chǎn)生磁場使背景偶極場磁場線發(fā)生漂移及形成開放磁場線，并可能驅(qū)動(dòng)磁流體不穩(wěn)定性和導(dǎo)致粒子損失。最后繪制TSR線圈驅(qū)動(dòng)低頻磁擾動(dòng)磁場線在赤道面上龐加萊截面圖，通過分析其基本會(huì)形成磁擾動(dòng)的峰和谷相位相差π分布。

作者貢獻(xiàn)聲明王召負(fù)責(zé)編寫代碼、構(gòu)思寫作；劉騰負(fù)責(zé)編寫代碼、構(gòu)思寫作；杜俊杰幫助檢查、技術(shù)支持；劉云輝技術(shù)支持；張國書技術(shù)、資金支持。