探析Belousov-Zhabotinsky反應(yīng)的復(fù)雜非線性特性

摘要： 為探究自振蕩凝膠的自組織特性，基于耗散結(jié)構(gòu)理論探討B(tài)Z（Belousov-Zhabotinsky）反應(yīng)的周期性結(jié)構(gòu)，并利用Andronov-Hopf分岔理論分析自振蕩凝膠化學(xué)能守恒關(guān)系；基于反應(yīng)擴(kuò)散不穩(wěn)定性原理進(jìn)行仿真模擬與分析，探討化學(xué)圖斑的形成機(jī)制。研究發(fā)現(xiàn)，驅(qū)動(dòng)自振蕩凝膠機(jī)械運(yùn)動(dòng)的BZ反應(yīng)是典型的遠(yuǎn)離熱力學(xué)平衡態(tài)系統(tǒng)，過高的化學(xué)勢(shì)輸入導(dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)，在漲落效應(yīng)的激勵(lì)下凝膠自發(fā)進(jìn)行周期性的形變作用。BZ反應(yīng)動(dòng)力學(xué)特性的研究為探索和調(diào)控智能軟材料提供理論支撐。

關(guān)鍵詞： 自振蕩凝膠；智能軟材料；周期性結(jié)構(gòu)；Andronov-Hopf分岔；擴(kuò)散不穩(wěn)定

中圖分類號(hào)：???? TB3? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

On the Complex Nonlinearity of the Belousov-Zhabotinsky Reaction System

ZHAI Chi

（Faculty of Chemical Engineering， Kunming University of Science and Technology， Kunming 650500， China）

Abstract： In order to study the property of self-oscillating gels， dissipative structure theory is applied to analyze the oscillating dynamics of the Belousov-Zhabotinsky （BZ） reaction， and Andronov-Hopf bifurcation is adopted for the BZ reaction model to study the occurrence and energy status and periodic change between chemical and mechanical potential; and its complex nonlinear characteristics are the key to the force-chemical coupling behavior of self-oscillating gels. From this study， we find that BZ reaction a typical system that is far from thermodynamic equilibrium， and the extra potential provided from the inputs might cause the system to destabilize， and with the onset of fluctuations， periodic deformation between swelling and deswelling takes place. The study of BZ rection dynamically could aid exploration on adjusting smart/ soft material that exhibits heartbeat-like behaviors.

Keywords： self-oscillating gels; functional soft materials; periodic structure; Andronov-Hopf bifurcation; diffusion driven instability

0 引言

在自然界和工程領(lǐng)域，一些凝膠在外部刺激下會(huì)產(chǎn)生規(guī)律性的體積、形狀及力學(xué)性能的變化，故該類凝膠亦稱為響應(yīng)凝膠［1］。當(dāng)這些外部激勵(lì)因素發(fā)生周期性變化時(shí)（人為調(diào)控實(shí)現(xiàn)或自然產(chǎn)生），響應(yīng)凝膠便可產(chǎn)生節(jié)奏性的動(dòng)態(tài)變形。例如，由Belousov-Zhabotinsky（BZ）化學(xué)反應(yīng)驅(qū)動(dòng)而產(chǎn)生自治振蕩的凝膠（簡(jiǎn)稱BZ凝膠［2］），該類材料的這種獨(dú)特響應(yīng)性質(zhì)使其在仿生科學(xué)［3］、工程技術(shù)［4］、生物醫(yī)學(xué)［5］等領(lǐng)域具有十分廣闊的應(yīng)用前景。自振蕩凝膠周期性形變的推動(dòng)力是BZ反應(yīng)，該反應(yīng)體系是一類具有周期性結(jié)構(gòu)的遠(yuǎn)離熱力學(xué)平衡態(tài)系統(tǒng)，通過持續(xù)的熵輸入，系統(tǒng)內(nèi)的中間產(chǎn)物會(huì)形成周期性的變化，進(jìn)而導(dǎo)致凝膠中的化學(xué)能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能。本文討論BZ反應(yīng)形成化學(xué)圖斑的過程，為調(diào)控智能軟材料結(jié)構(gòu)性質(zhì)提供理論支撐。

1 遠(yuǎn)離熱力學(xué)平衡態(tài)系統(tǒng)

1.1 近平衡態(tài)系統(tǒng)

傳統(tǒng)上，過程系統(tǒng)是由一系列能發(fā)生物理、化學(xué)變化的單元組成的。對(duì)過程建模，需要考慮物質(zhì)和能量守恒；同時(shí)過程變化具有方向性，即，自發(fā)的物理化學(xué)變化會(huì)導(dǎo)致能量品位的降低，因此，當(dāng)引入熵（定義為可逆熱與溫度的商）的概念后，熱力學(xué)第二定律可等價(jià)地描述為［6］

具體地，對(duì)一個(gè)實(shí)際的封閉系統(tǒng)內(nèi)發(fā)生的物理化學(xué)變化，均有ΔS>0，方程（1）中的不等式也稱為熵增原理。熵增原理表明不同形式的能量具有不同的品位，例如，熱機(jī)中的能量轉(zhuǎn)化，內(nèi)能相對(duì)機(jī)械能就是低品位能量，前者不能完全轉(zhuǎn)化為后者而不引起其它變化。

經(jīng)典熱力學(xué)體系下，物流在單元設(shè)備里發(fā)生的物理化學(xué)變化均為不可逆變化，并且這種宏觀的變化具有方向性，其自發(fā)的運(yùn)動(dòng)會(huì)趨向于熱力學(xué)的平衡態(tài)。從數(shù)學(xué)的角度來說，如果定義一般過程系統(tǒng)dx/dt = f（x， t），其平衡態(tài)為f（x， t） ≡ 0?？梢詺w納出3類平衡態(tài)：1）絕對(duì)的靜止?fàn)顟B(tài)（如存在摩擦力的鐘擺最終達(dá)到靜止的狀態(tài)）；2）動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)（如化學(xué)可逆反應(yīng)的平衡狀態(tài)）；3）不穩(wěn)定的駐點(diǎn)（如立在山頂?shù)男∏颍┘右粋€(gè)擾動(dòng)就會(huì)讓系統(tǒng)偏離原來的平衡態(tài)）。

傳統(tǒng)過程系統(tǒng)屬于Planck范式體系［7］，通常討論可（分步）線性化、可疊加及趨向平衡態(tài)的系統(tǒng)。這類方法適用于時(shí)不變系統(tǒng)，該系統(tǒng)中的各單元模塊需是穩(wěn)定的或者達(dá)到了動(dòng)態(tài)平衡的，例如，化工過程的穩(wěn)態(tài)模擬研究的就是時(shí)不變系統(tǒng)；或者可線性化時(shí)變系統(tǒng)，系統(tǒng)內(nèi)各單元在某一時(shí)刻的狀態(tài)與平衡態(tài)的差是導(dǎo)致“流”產(chǎn)生的推動(dòng)力，并且這種“力”與“流”的關(guān)系是可線性化的，滿足昂薩格倒易關(guān)系和最小熵產(chǎn)生原理。

1.2 遠(yuǎn)離熱力學(xué)平衡態(tài)系統(tǒng)

當(dāng)涉及復(fù)雜生化反應(yīng)時(shí)，過程往往呈現(xiàn)出區(qū)別于近平衡態(tài)系統(tǒng)的特征：系統(tǒng)需要是開放系統(tǒng)；往往會(huì)生成新的有序結(jié)構(gòu)，外界向開放系統(tǒng)提供負(fù)熵流［8］以生成并維持這種有序結(jié)構(gòu)；在數(shù)學(xué)上是高度非線性的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，并且可能演化出新的動(dòng)態(tài)特征；形式上表現(xiàn)出復(fù)雜性，如自相似，繁殖等，甚至無法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。Prigogine［9］將具有類似特征的系統(tǒng)稱為耗散結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，區(qū)別于傳統(tǒng)系統(tǒng)，該系統(tǒng)是遠(yuǎn)離熱力學(xué)平衡態(tài)的。

就遠(yuǎn)離平衡態(tài)系統(tǒng)而言，早在1952年，Turing［10］就預(yù)測(cè)反應(yīng)擴(kuò)散體系有可能自發(fā)生成新的有序結(jié)構(gòu)，并得出結(jié)論：擴(kuò)散驅(qū)動(dòng)非穩(wěn)定性（Diffusion Driven Instabilities， DDI）是導(dǎo)致系統(tǒng)形態(tài)發(fā)生的原因。Prigogine基于昂薩格倒易關(guān)系提出近平衡態(tài)開放系統(tǒng)的最小熵產(chǎn)生原理［11］，并以此作為判據(jù)：當(dāng)熱力學(xué)“流”與“力”由于非線性關(guān)聯(lián)的緣故而產(chǎn)生時(shí)間對(duì)稱破裂分岔時(shí)，最小熵產(chǎn)生原理不再成立，系統(tǒng)過渡為遠(yuǎn)離平衡態(tài)系統(tǒng)，甚至形成耗散結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

基于非線性動(dòng)態(tài)理論，不同類型的分岔［12］（如產(chǎn)生多輸出［13］，自振蕩或混沌［14］）可能是導(dǎo)致生物過程復(fù)雜性［15］及多樣性［16］的原因。結(jié)合分岔理論和系統(tǒng)理論的系統(tǒng)生物學(xué)［17］近年來被廣泛關(guān)注。本文將討論復(fù)雜過程系統(tǒng)的相關(guān)理論及研究進(jìn)展，具體對(duì)周期性結(jié)構(gòu)進(jìn)行論述。

2 周期性結(jié)構(gòu)

2.1 線性/可線性化的系統(tǒng)

數(shù)學(xué)上來看，周期性結(jié)構(gòu)與線性/可線性化的系統(tǒng)有本質(zhì)的不同。首先，線性化過程將系統(tǒng)整體性質(zhì)M拆分成各個(gè)自變量xi的貢獻(xiàn)分率，具有疊加性質(zhì)，如式（2）是一個(gè)2變量系統(tǒng)的線性化過程，偏微分部分就是各變量的貢獻(xiàn)分率，而變量間的耦合關(guān)系可以通過變量替換來解耦，進(jìn)而將一個(gè)系統(tǒng)拆分成若干獨(dú)立的子系統(tǒng)。

顯然，周期性結(jié)構(gòu)不再具備線性可疊加性質(zhì)，也就是自振蕩系統(tǒng)不再滿足線性系統(tǒng)關(guān)系，也就是不滿足方程（3）和（4）。

2.2 Andronov-Hopf分岔

數(shù)學(xué)建模和分析發(fā)現(xiàn)，從分岔理論角度，Andronov-Hopf分岔需要至少兩個(gè)變量，這表示自振蕩系統(tǒng)中的兩個(gè)元素（子系統(tǒng)）具有強(qiáng)相關(guān)性（強(qiáng)非線性），它們相互影響、相互制約并在整體上呈現(xiàn)出周期特征。因此，自振蕩系統(tǒng)中的兩個(gè)元素必須作為一個(gè)獨(dú)立的、不可分割的整體進(jìn)行研究。

對(duì)一個(gè)自治系統(tǒng)而言，Andronov-Hopf分岔會(huì)導(dǎo)致平衡態(tài)穩(wěn)定性發(fā)生奇變，并形成極限環(huán)。Andronov-Hopf分岔是由于該動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的雅克比矩陣產(chǎn)生了一對(duì)共軛虛根導(dǎo)致的。假設(shè)f（x， u）表示Rn的向量場(chǎng)，對(duì)于常輸入u0，其滿足f（0， u0） = 0，并且J（u0）表示在x=0下的雅克比矩陣。Andronov-Hopf分岔是系統(tǒng)雅克比矩陣的特征值產(chǎn)生了一對(duì)虛根（c=±iω（u））引起的，Andronov-Hopf分岔的標(biāo)準(zhǔn)型為［18］

對(duì)任何β值，方程（6）的第一個(gè)等式可以獲得ρ = 0的平衡態(tài)解。當(dāng)β< 0時(shí)，該平衡態(tài)的解線性穩(wěn)定（以冪指數(shù)形式收斂于平衡態(tài)）；當(dāng)β= 0時(shí)，該平衡態(tài)解仍舊保持穩(wěn)定，但非線性收斂；當(dāng)β> 0時(shí)，方程（6）的解失穩(wěn)。再有，當(dāng)β> 0時(shí)，會(huì)多出一個(gè)穩(wěn)定的平衡態(tài)解：ρ02（β） = β，這個(gè)多余的解是導(dǎo)致Andronov-Hopf分岔的原因。Andronov-Hopf分岔又根據(jù)所產(chǎn)生的極限環(huán)的穩(wěn)定性分為超臨界與亞臨界兩種類型，前者能生成隨時(shí)間的穩(wěn)定極限環(huán)，后者為反時(shí)間的極限環(huán)。

Andronov-Hopf分岔的結(jié)構(gòu)性可以通過方程（5）進(jìn)行闡述。其中，x1和x2為系統(tǒng)內(nèi)的兩個(gè)變量，α（μ）和ω（μ）為關(guān)于參數(shù)μ的函數(shù)。從方程（5）可抽象出周期性的結(jié)構(gòu)特征：1）至少存在兩個(gè)（組合）狀態(tài)變量x1和x2，也就是系統(tǒng)內(nèi)至少存在兩個(gè)協(xié)同子塊；2）這兩個(gè)子系統(tǒng)的相互關(guān)系類似方程（6）的非線性描述；3）周期性系統(tǒng)需要通過發(fā)生超臨界Andronov-Hopf分岔演化而來，以滿足數(shù)學(xué)上周期結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性約束。因此，自振蕩結(jié)構(gòu)內(nèi)存在兩個(gè)相互協(xié)同的子系統(tǒng)，使得一個(gè)增加導(dǎo)致另一個(gè)減少，整體往復(fù)形成周期性結(jié)構(gòu)。那么，周期性耗散結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的內(nèi)部存在關(guān)聯(lián)機(jī)制，具有獨(dú)立性且不可再分（數(shù)學(xué)上表現(xiàn)為不可線性化，因此，x1和x2不可通過方程（3）和（4）進(jìn)行解耦）。

3 Belousov-Zhabotinsky反應(yīng)中的周期性結(jié)構(gòu)

周期性在自然界是很常見的，比如晝夜節(jié)律周期，冬眠周期和睡眠覺醒周期等，近年吸引著各個(gè)專業(yè)的學(xué)者對(duì)其進(jìn)行深入探討［19］。實(shí)驗(yàn)室最早發(fā)現(xiàn)并廣泛研究的一類典型的周期性結(jié)構(gòu)是Belousov-Zhabotinsky（BZ）反應(yīng)，其在2-維擴(kuò)散體系下能形成化學(xué)波，如圖1a所示。

特別地，當(dāng)H+ = 0.8M （pH=0.097）時(shí)，體系對(duì)應(yīng)的反應(yīng)速率常數(shù)為k1 = 1.28 M-1s-1， k2 = 8×105M-1s-1， k3 = 8.0 M-1s-1， k4 = 2×103 M-1s-1， k5 = 1 M-1s-1和 f = 1。在反應(yīng)濃度為CA = 0.06 M和CB = 0.02 M時(shí)［21］，對(duì)應(yīng)方程（10）的參數(shù)為ε = 0.04， δ = 0.000 4和q = 0.000 8。圖2給出x-z坐標(biāo)相圖，在相平面內(nèi)任意選取一點(diǎn)為初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，其將按照相圖上的紅色箭頭趨向藍(lán)色實(shí)線所示的周期性軌跡。

圖2中O為該系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，但是O點(diǎn)是不穩(wěn)定的，其具有很高的化學(xué)式，隨著O點(diǎn)化學(xué)勢(shì)的釋放，系統(tǒng)會(huì)自發(fā)生成周期性結(jié)構(gòu)。由圖1b可知，O點(diǎn)的化學(xué)勢(shì)是由開放系統(tǒng)輸入側(cè)提供的，根據(jù)負(fù)熵流的概念［8］，該系統(tǒng)滿足

其中，S為不同組分的摩爾熵。在BZ反應(yīng)過程中，輸入系統(tǒng)的負(fù)熵流一方面用來維持這種周期性的結(jié)構(gòu)，另一方面，這是一個(gè)自發(fā)過程，反應(yīng)伴隨著熱耗散，故滿足經(jīng)典熱力學(xué)第二定律。

BZ反應(yīng)是典型的耗散結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。隨著反應(yīng)物A或B的化學(xué)勢(shì)增加，體系的動(dòng)態(tài)特性可能發(fā)生變化。當(dāng)達(dá)到Andronov-Hopf分岔點(diǎn)，系統(tǒng)發(fā)生時(shí)間對(duì)稱破裂分岔，也就是說時(shí)間演化方向不同進(jìn)而導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)生分岔并形成完全不同的狀態(tài)軌跡時(shí)，系統(tǒng)會(huì)遠(yuǎn)離平衡態(tài)，非穩(wěn)態(tài)演化趨勢(shì)使系統(tǒng)內(nèi)部各要素緊密關(guān)聯(lián)、相互協(xié)同，進(jìn)而在系統(tǒng)全局表現(xiàn)出結(jié)構(gòu)特征。如圖3所示，發(fā)生Andronov-Hopf分岔前，該系統(tǒng)滿足經(jīng)典熱力學(xué)理論，反應(yīng)動(dòng)態(tài)行為趨近熱力學(xué)平衡態(tài)；但是跨越分岔點(diǎn)以后，較高的反應(yīng)勢(shì)差引發(fā)系統(tǒng)形成自振蕩結(jié)構(gòu)。

顯然，周期性結(jié)構(gòu)可視為一個(gè)儲(chǔ)能元件，并且要維持這樣的周期結(jié)構(gòu)需要持續(xù)的熵流輸入。假設(shè)Andronov-Hopf分岔點(diǎn)處為振幅為零的自振蕩系統(tǒng)，那么，輸入系統(tǒng)的自由能用以反應(yīng)的熱耗散，此時(shí)的化學(xué)勢(shì)差稱為臨界自由能△CGm。當(dāng)跨越分岔點(diǎn)，一部分自由能用以產(chǎn)生并且維持這種自振蕩結(jié)構(gòu)，余下的用以進(jìn)行熱耗散，因此，對(duì)于確定的反應(yīng)物CA， CB和環(huán)境條件，周期性結(jié)構(gòu)的能量守恒關(guān)系可寫成：

其中，吉布斯自由能變△rGm的時(shí)間導(dǎo)數(shù)由兩部分的變化組成。一部分是由于反應(yīng)進(jìn)程變化dξ/dt引起的化學(xué)勢(shì)的變化；另一部是由于中間產(chǎn)物形成化學(xué)振蕩導(dǎo)致的變化，用Ψ函數(shù)表示。定義參數(shù)β為周期結(jié)構(gòu)自由能耗系數(shù)，也就是反應(yīng)進(jìn)程為βξ時(shí)消耗的自由能可用以中間產(chǎn)物X， Y和Z形成并且維持一個(gè)周期2π/ω?！鱮Gm > 0時(shí)，系統(tǒng)輸入輸出化學(xué)勢(shì)差大過臨界值，△rGm > △CGm時(shí)，形成自振蕩結(jié)構(gòu)。對(duì)方程（12），當(dāng)0 < β << 1，說明開放系統(tǒng)提供足夠多的負(fù)熵流，即反應(yīng)物CA和CB足量，使得周期性結(jié)構(gòu)持續(xù)2π/ω的時(shí)間并不明顯改變環(huán)境狀態(tài)，此時(shí)，該周期性結(jié)構(gòu)可視為一個(gè)獨(dú)立的系統(tǒng)，并且Ψ函數(shù)由該結(jié)構(gòu)自身決定。

考慮到Andronov-Hopf分岔是BZ反應(yīng)形成周期性結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵，可通過數(shù)值分岔分析探析該模型的動(dòng)態(tài)演化機(jī)制。根據(jù)文獻(xiàn)［22］提供的模型參數(shù)，可探討參數(shù)域（ε， f）的余維-1及余維-2分岔情況。圖4為Tyson模型隨計(jì)量參數(shù)f的數(shù)值延拓曲線，當(dāng)方程（10）中f變化區(qū)間為［0， 2.5］，數(shù)值分岔分析可檢測(cè)出兩個(gè)余維-1分岔：f = 0.522（H1），對(duì)應(yīng)的平衡態(tài)解為（0.479， 0.521， 0.479）；f = 2.253（H2）。BZ反應(yīng)過程中，隨著反應(yīng)物A和B的增加，輸入系統(tǒng)的化學(xué)勢(shì)也相應(yīng)增加，達(dá)到臨界值CA = 0.06M， CB = 0.522×0.02 M時(shí)，中間產(chǎn)物X = HBrO2， Y = Br-， Z = Ce（IV）的動(dòng)態(tài)行為將發(fā)生變化，原來的平衡點(diǎn)將不穩(wěn)定，進(jìn)而發(fā)展出周期性結(jié)構(gòu)。方程（12）給出的能量守恒關(guān)系說明，反應(yīng)A + B→P的化學(xué)勢(shì)變化可能會(huì)引發(fā)周期性結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)，并且△rGm為正時(shí)系統(tǒng)會(huì)形成周期性結(jié)構(gòu)。

進(jìn)一步地，如圖5所示，以H1為起始點(diǎn)的Andronov-Hopf曲線將（ε， f）參數(shù)域分成兩個(gè)部分，其中，在閉環(huán)內(nèi)的任意一點(diǎn)會(huì)形成自振蕩結(jié)構(gòu)，以外的是穩(wěn)定區(qū)域。該Andronov-Hopf曲線發(fā)生的分岔為余維-2分岔（Tyson模型在文獻(xiàn)［22］提供的參數(shù)條件下，未檢測(cè)到余維-2分岔）。

3.2 BZ反應(yīng)形成化學(xué)波的模擬與分析

DDI是化學(xué)圖斑形成的原因。當(dāng)圖1a在二維系統(tǒng)中繪制方形網(wǎng)格，網(wǎng)格內(nèi)方形區(qū)間視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。假設(shè)質(zhì)點(diǎn)內(nèi)為空間均一的子系統(tǒng)，不同的質(zhì)點(diǎn)遵循相同的BZ反應(yīng)動(dòng)力學(xué)，質(zhì)點(diǎn)與周邊的擴(kuò)散關(guān)系如圖6所示。這些質(zhì)點(diǎn)由于非線性的緣故，表現(xiàn)出周期性的顏色變化趨勢(shì)（在ferroin指示劑下，中間產(chǎn)物Z周期性從Ce（IV）變?yōu)镃e（III），表現(xiàn)為顏色的周期性變化），形成周期性結(jié)構(gòu)，并且每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)與周圍由于存在物質(zhì)的濃度差而發(fā)生擴(kuò)散作用，進(jìn)而由傳質(zhì)驅(qū)動(dòng)多個(gè)周期結(jié)構(gòu)系統(tǒng)形成化學(xué)圖斑。

4 結(jié)論

通過構(gòu)建BZ反應(yīng)的動(dòng)態(tài)模型，并進(jìn)行模型簡(jiǎn)化及Andronov-Hopf分岔分析獲得周期性耗散結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)判據(jù)。在漲落、Andronov-Hopf分岔和擴(kuò)散效應(yīng)的協(xié)同作用下，BZ反應(yīng)在空間尺度形成化學(xué)圖斑。通過本文的理論分析，發(fā)現(xiàn)BZ反應(yīng)的中間產(chǎn)物會(huì)自發(fā)的在Ce（IV）與Ce（III）兩個(gè)狀態(tài)間轉(zhuǎn)換，而在ferroin指示劑的示蹤作用下形成化學(xué)圖斑。進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致中間產(chǎn)物形成自振蕩的原因是該反應(yīng)系統(tǒng)為周期性耗散結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，自振蕩凝膠利用這種周期性的狀態(tài)變化將化學(xué)能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，使凝膠自發(fā)形變。因此，可根據(jù)本文所述參數(shù)f及ε來調(diào)控BZ反應(yīng)的振蕩周期及頻率，進(jìn)而調(diào)控自振蕩凝膠的力學(xué)行為。

參考文獻(xiàn)：

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（責(zé)任編輯 耿金花）

收稿日期： 2022－01－05；修回日期：2022－05－31

基金項(xiàng)目： 云南省基礎(chǔ)研究計(jì)劃基金（202001AU070048）

第一作者： 翟持（1989－），男，云南楚雄人，博士，副教授，主要研究方向?yàn)檫^程系統(tǒng)工程。