初中數(shù)學(xué)課堂中變式教學(xué)法的應(yīng)用

武金燕

變式教學(xué)法指的是對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化的一種方法，在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中需分析數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，在此過(guò)程中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維可以得到有效鍛煉，使學(xué)生明確數(shù)學(xué)概念，加強(qiáng)對(duì)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用。同時(shí)，變式教學(xué)法需要教師發(fā)揮學(xué)生的主體作用，引導(dǎo)學(xué)生在解答變式題的過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)概念、相關(guān)知識(shí)進(jìn)行深度理解，從而提高學(xué)生的自主建構(gòu)能力，對(duì)學(xué)生有著深遠(yuǎn)的影響。

一、初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)和原則

（一）初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)法應(yīng)用的關(guān)鍵點(diǎn)

初中數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行變式教學(xué)時(shí)需要引導(dǎo)學(xué)生細(xì)致剖析問題，再建構(gòu)變式題組，要求學(xué)生充分理解該部分知識(shí)。在開展變式教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中，對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行精細(xì)化拆分時(shí)，教師要讓學(xué)生注意兩點(diǎn)：一是從問題中提煉出必要條件，做好標(biāo)注；二是梳理解題思路和處理目標(biāo)，明確問題的答案。教師應(yīng)以數(shù)學(xué)概念、圖形為著手點(diǎn)展開變式訓(xùn)練，根據(jù)原題適當(dāng)調(diào)整條件和結(jié)論，讓學(xué)生從多個(gè)角度出發(fā)理解知識(shí)，幫助學(xué)生構(gòu)建具有變通性特征的數(shù)學(xué)思維模型，促使學(xué)生的綜合解題能力得到提升。

（二）初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)法的原則

一是啟迪思維原則。在初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)法中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維、轉(zhuǎn)化思維，根據(jù)具體數(shù)學(xué)問題合理變式，使學(xué)生的思維一直處于活躍狀態(tài)。教師需要遵循啟迪思維原則，通過(guò)問題激發(fā)學(xué)生從不同側(cè)面對(duì)問題展開思考，以激發(fā)學(xué)生的思維活躍度。二是暴露過(guò)程原則。學(xué)生只有明確解答問題的思維流程才能真正解決數(shù)學(xué)問題，這也會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生成就感，激發(fā)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)動(dòng)力。故而，在具體實(shí)踐中教師應(yīng)遵循“暴露過(guò)程原則”，將思考問題時(shí)的數(shù)學(xué)思維暴露在學(xué)生面前，讓學(xué)生了解具體的推理過(guò)程，掌握數(shù)學(xué)概念、定理的推導(dǎo)方法，再由教師根據(jù)數(shù)學(xué)題目進(jìn)行變式，為學(xué)生提供新思路，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平。三是探索創(chuàng)新原則。在變式過(guò)程中教師需要遵循探索創(chuàng)新原則，以新穎的方法和問題調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，在學(xué)生解答問題的過(guò)程中啟發(fā)其思維和心智，強(qiáng)化學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。這樣學(xué)生才能以全局的眼光看待數(shù)學(xué)問題，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)和規(guī)律，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的融會(huì)貫通。

二、初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)法在“一元二次方程”中的應(yīng)用策略

（一）將概念作為切入點(diǎn)，鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中涉及大量的概念性知識(shí)，關(guān)乎學(xué)生思維能力和知識(shí)應(yīng)用能力的發(fā)展。數(shù)學(xué)概念是解答數(shù)學(xué)問題、推論和論證數(shù)學(xué)命題的必備條件，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)用變式教學(xué)法可以讓學(xué)生探究數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，以多角度的變式方法對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行學(xué)習(xí)和理解，使學(xué)生參與到探索概念知識(shí)的過(guò)程中，從而增強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性和應(yīng)變能力。同時(shí)，變式教學(xué)法能讓學(xué)生深度理解不同概念的獨(dú)特屬性，在不改變問題本質(zhì)特征和屬性的基礎(chǔ)上，以多樣化的形式改變部分條件，使學(xué)生在解答問題的過(guò)程中探索同類問題的規(guī)律和解決方法，掌握具體的數(shù)學(xué)概念。

一元二次方程的相關(guān)概念是學(xué)生必須掌握的知識(shí)，這也是學(xué)習(xí)和應(yīng)用一元二次方程解題的前提，教師可以在概念教學(xué)中應(yīng)用變式練習(xí)，幫助學(xué)生理解所學(xué)概念。①下列方程中哪些是一元二次方程：x（5x-2）=x（x+1）+4x2，=7，2x2=5y，7x2+6=2x（3x+1）。②寫出方程x2+3x-2=0，-2x2-5x+3=0的常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)以及二次項(xiàng)系數(shù)。③將方程式3x2+1=6x，x（x+5）=5x-10，4x2+5x=81轉(zhuǎn)化為一元二次方程的一般形式，并寫出這些方程的常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)以及二次項(xiàng)系數(shù)。

學(xué)生在完成變式練習(xí)的過(guò)程中能夠?qū)σ辉畏匠痰某?shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)以及二次項(xiàng)系數(shù)的相關(guān)概念進(jìn)行鞏固，了解一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，為后續(xù)學(xué)習(xí)一元二次方程的解法奠定基礎(chǔ)。

（二）以數(shù)學(xué)題目為核心，把控變式方向

最近發(fā)展區(qū)理論指出：學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度會(huì)直接影響其最終的學(xué)習(xí)成果。這就需要教師從學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)出發(fā)，通過(guò)剖析數(shù)學(xué)題目來(lái)明確正確的變式方向。初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用變式聯(lián)系新舊知識(shí)，結(jié)合學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)題目，通過(guò)深入分析題目推動(dòng)其對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行更深入的理解，從而實(shí)現(xiàn)知識(shí)變式，發(fā)展學(xué)生的思維能力。

一元二次方程有很多解法，這也是學(xué)生串聯(lián)知識(shí)時(shí)的一個(gè)難點(diǎn)，因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生剖析原題，通過(guò)從特殊到一般再到特殊的方法進(jìn)行合理變式，總結(jié)一元二次方程的解法。如原題為：證明代數(shù)x2-6x+19式恒大于0。教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用一元二次方程四個(gè)解法中的配方法求解，再通過(guò)變式將該方程轉(zhuǎn)化成含參方程，讓學(xué)生在解答帶有參數(shù)的一般化方程的同時(shí)總結(jié)解法。為了幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，教師可以讓學(xué)生將該方程轉(zhuǎn)變?yōu)閹讉€(gè)類型的特殊一元二次方程，梳理學(xué)過(guò)的解法。

從以上案例中可知，掌握基礎(chǔ)知識(shí)并剖析原題是進(jìn)行變式的前提，教師在進(jìn)行變式教學(xué)法時(shí)不僅要引導(dǎo)學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題，還要注重指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用掌握的知識(shí)梳理新舊知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)。此題能幫助學(xué)生為后續(xù)的變式做準(zhǔn)備，通過(guò)轉(zhuǎn)化平方的形式使用配方法對(duì)方程進(jìn)行配方，使學(xué)生對(duì)配方法進(jìn)行學(xué)習(xí)和總結(jié)，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)從特殊到一般的變式。

（三）注重學(xué)生思維發(fā)展，合理設(shè)計(jì)變式

初中數(shù)學(xué)教師在開展變式活動(dòng)時(shí)要注重拓展學(xué)生的思維空間，提高他們的思維深度。因此，教師應(yīng)注重合理設(shè)計(jì)變式，引導(dǎo)學(xué)生在變式過(guò)程中探究數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。教師需要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)，看清問題的本質(zhì)，將特殊規(guī)律轉(zhuǎn)變?yōu)橐话阈越Y(jié)論，掌握合理進(jìn)行變式的方法。

如原題為：已知kx2-3x+1=0，求出k的取值范圍。針對(duì)此類題目，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從具體數(shù)據(jù)過(guò)渡到含參方程。該方程的二次項(xiàng)系數(shù)含參，因此可能是一元一次方程，若教師沒有進(jìn)行合理變式，會(huì)影響學(xué)生對(duì)前提條件的判斷，不利于學(xué)生開展分類討論。因此，教師應(yīng)把握變式中的固定條件，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)含參方程進(jìn)行合理變式，加深對(duì)一元二次方程的理解。該問題可以變式為：x2+5x-k=0。①已知方程存在兩個(gè)相等實(shí)根，那么k的取值范圍是多少？②已知方程存在兩個(gè)不等實(shí)根，那么k的取值范圍是多少？③已知方程不存在實(shí)根，那么k的取值范圍是多少？④已知方程存在實(shí)根，那么k的取值范圍是多少？之后教師可以將x2+5x-k=0變式為kx2-3x+1=0，讓學(xué)生再次對(duì)上述問題進(jìn)行解答。

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中變式教學(xué)法占據(jù)重要地位，但只有合理設(shè)計(jì)變式才能讓學(xué)生從條件中提取關(guān)鍵信息，特別是需要進(jìn)行分類討論的問題，只有針對(duì)不同情況進(jìn)行合理變式才能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)。需要注意的是，教師在開展變式教學(xué)法時(shí)要以題目的條件和要求為前提，變式不能與原題出現(xiàn)太大的跨度，也不能和原題相差無(wú)幾。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生串聯(lián)思路，發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生吃透知識(shí)點(diǎn)。

（四）把握知識(shí)邏輯關(guān)聯(lián)，探究知識(shí)本質(zhì)

從特殊到一般的變式能夠引發(fā)學(xué)生的深度思考，讓學(xué)生明確題目的本質(zhì)。數(shù)學(xué)知識(shí)之間的邏輯藕斷絲連，需要教師引導(dǎo)學(xué)生建立聯(lián)系密切的邏輯網(wǎng)，從整體的角度學(xué)習(xí)知識(shí)。只有加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系才更便于學(xué)生學(xué)習(xí)，教師應(yīng)鞏固知識(shí)間的邏輯關(guān)系，從一般變式到特殊變式，強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)的連貫性，促進(jìn)學(xué)生的理解。

例題：選擇合適的方法解下列方程：①x2-3x-10=0；②3x2+7x+2=0；③2x（2-x）=3。教師在黑板上寫出三個(gè)方程：①x2+2x-3=0；②（x+1）2=4；③（x-1）（x+3）=0。

師：請(qǐng)同學(xué)們迅速口答出其中一個(gè)方程的解。

生1：（x-1）（x+3）=0的解為1或-3。

師（進(jìn)行變式）：（x-m）（x-n）=0的解是多少？其中m和n為常數(shù)。

生2：是m和n。

師（進(jìn)行變式）：你會(huì)采用什么方法求解方程（x+m）2=n（n≥0）？另一個(gè)方程呢？

生3：第一個(gè)方程可以用直接開平方法，第二個(gè)用配方法或公式法都可以。

生4：也可以使用因式分解法，分解為（x-1）（x+3）=0。

師：如果無(wú)法使用因式分解法求解一般的一元二次方程，那么可以使用配方法，其目的是什么？

生5：配成后直接開平方得出x=。

師：你們認(rèn)為哪種方法更簡(jiǎn)便？

生（眾）：直接用公式更簡(jiǎn)便。

教師引導(dǎo)學(xué)生梳理和歸納一元二次方程的四種解法，即配方法、公式法、直接開平方法以及因式分解法。

可見，教師在發(fā)現(xiàn)知識(shí)點(diǎn)之間的關(guān)聯(lián)時(shí)以變式的形式向?qū)W生展現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用不同解法求解方程，讓學(xué)生對(duì)比一元二次方程的解法，使學(xué)生從本質(zhì)上理解不同解法的異同點(diǎn)和適用情況，并通過(guò)變式串聯(lián)，從而構(gòu)建完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。

（五）采用情境變式，變更問題情境

情境變式即教師在不改變主線的前提下不斷改變問題情境，通過(guò)串聯(lián)不同的問題情境整合課堂教學(xué)的各環(huán)節(jié)。需要注意的是，教師在設(shè)計(jì)主線時(shí)要圍繞教學(xué)目標(biāo)鋪設(shè)，做到串“點(diǎn)”成“線”。在初中數(shù)學(xué)課堂上開展情境變式教學(xué)法能夠營(yíng)造輕松的學(xué)習(xí)氛圍，使學(xué)生的思維、想象力在不同的問題情境中得到發(fā)展，以提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，打造高效的數(shù)學(xué)課堂。

為了保證“一元二次方程”的教學(xué)效果，教師要對(duì)學(xué)生進(jìn)行多角度訓(xùn)練。教師可以創(chuàng)設(shè)情境，展開變式教學(xué)活動(dòng)。教師需要先為學(xué)生創(chuàng)設(shè)故事情境：趙家村的趙大姨不久前承包了一個(gè)養(yǎng)豬場(chǎng)，想通過(guò)養(yǎng)豬解決經(jīng)濟(jì)困難，但因?yàn)闆]有文化遇到了很多問題。希望同學(xué)們能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)為她提供幫助。趙大姨在后院圍了一圈籬笆，其中一面靠墻，準(zhǔn)備圍出一個(gè)豬圈養(yǎng)豬，但卻遇到了以下問題。

問題一：趙大姨在后院靠墻圍了一個(gè)長(zhǎng)方形的豬圈（見圖1），墻對(duì)面的門寬2 m，籬笆的全長(zhǎng)為33 m，墻長(zhǎng)18 m，已知豬圈的面積是150 m2，請(qǐng)計(jì)算豬圈的長(zhǎng)和寬。

變式1：若不改變問題一中的已知條件，豬圈的面積可以圍到200 m2嗎？

變式2：若將問題一中的墻長(zhǎng)改為xm，會(huì)影響豬圈最終的面積嗎？

問題二：趙大姨2022年養(yǎng)豬賺取的利潤(rùn)為2.16萬(wàn)元，2020年的利潤(rùn)為1.5萬(wàn)元，若2020年開始到2022年的獲利增長(zhǎng)率不變，她在2021年賺取的利潤(rùn)為多少？

變式：獲利增長(zhǎng)率一直不變，趙大姨在2023年賺取的利潤(rùn)為多少萬(wàn)元？

習(xí)題分析

情境變式能夠營(yíng)造輕松的教學(xué)氛圍，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和好奇心，促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題展開深度思考。本次教學(xué)設(shè)計(jì)針對(duì)一元二次方程開展，學(xué)生融入情境中會(huì)迫切希望幫助趙大姨解決問題，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力。問題一能夠讓學(xué)生對(duì)常見的面積問題的解題思路和策略進(jìn)行鞏固；問題二與問題一之間聯(lián)系密切，能夠讓學(xué)生更好地融入情境中探索變化率問題。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用情境變式需要明確一條主線，也就是串“點(diǎn)”成“線”的教學(xué)模式。這樣可以通過(guò)變式引導(dǎo)學(xué)生解決生活中常見的實(shí)際問題，從而拓展學(xué)生的思維空間，讓學(xué)生將所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)服務(wù)于生活。通過(guò)設(shè)計(jì)情境變式不斷改變問題情境，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。

總而言之，變式教學(xué)法在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中占據(jù)舉足輕重的地位，教師應(yīng)通過(guò)變式教學(xué)法打造高效的數(shù)學(xué)課堂，使學(xué)生明確知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。教師需要根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容采用合適的變式方法，將變式教學(xué)法與數(shù)學(xué)知識(shí)相融合，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)基本問題進(jìn)行各類變式，學(xué)會(huì)舉一反三，以增強(qiáng)自身的數(shù)學(xué)思維能力，為之后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（作者單位：山東省濱州市沾化區(qū)下洼鎮(zhèn)第一中學(xué)）

編輯：曾彥慧