基于初中數(shù)學(xué)探究式思維構(gòu)建的教學(xué)探索

管雅萍

初中數(shù)學(xué)探究式思維是一種學(xué)習(xí)遞進(jìn)式思維，聚焦于學(xué)生對(duì)核心知識(shí)與關(guān)鍵能力的復(fù)合性高階建構(gòu)。通過(guò)對(duì)探究式思維相關(guān)要素的剖析，從探究情境的設(shè)計(jì)、思維空間的架設(shè)、探究過(guò)程的安排、探究序列的設(shè)計(jì)四個(gè)關(guān)鍵量，借助實(shí)操案例展開(kāi)剖析，從而初步構(gòu)建學(xué)生探究式思維主體形成的教學(xué)模式。

一、問(wèn)題提出

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》核心素養(yǎng)模塊中指出：數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為：運(yùn)算能力、推理意識(shí)或推理能力，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生去探究自然現(xiàn)象或現(xiàn)實(shí)情境所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律，經(jīng)歷數(shù)學(xué)“發(fā)現(xiàn)”的過(guò)程。探究式思維構(gòu)建是素養(yǎng)立意的要求，是課堂中必不可少的隱性目標(biāo)。當(dāng)前初中數(shù)學(xué)課堂中對(duì)探究式思維構(gòu)建存在的問(wèn)題比較明顯：一方面，課堂形式大于教學(xué)本質(zhì)，為探究而“探究”的現(xiàn)象大量存在；另一方面，對(duì)探究的內(nèi)容把握不到位、定性不準(zhǔn)確，難易匹配程度不一致的情況時(shí)有發(fā)生?；诖?，筆者在課堂教學(xué)中進(jìn)行了實(shí)踐探索，以期優(yōu)化教學(xué)樣態(tài)，提升課堂質(zhì)量。

二、課堂教學(xué)探索

（一）把體驗(yàn)融入情境，為探究設(shè)下“趣筆”

在探究活動(dòng)中，情境的創(chuàng)設(shè)往往具有一定的指向性，即為思維的提升做鋪墊。展現(xiàn)在學(xué)生面前的情境，不應(yīng)當(dāng)是游離于他們生活體驗(yàn)、認(rèn)知體驗(yàn)的，而是需要引導(dǎo)他們?nèi)ニ伎?、去探索、去?shí)踐，甚至去模擬的具象實(shí)際。所以教學(xué)中我們不能提供不經(jīng)處理和雜亂無(wú)章的原生態(tài)的現(xiàn)實(shí)情境，應(yīng)提供經(jīng)過(guò)初步整理的“準(zhǔn)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題”。關(guān)于探究活動(dòng)中的情境創(chuàng)設(shè)，依據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的“觸發(fā)點(diǎn)”，從抽象思考與生活體驗(yàn)兩個(gè)角度來(lái)剖析

1.觸發(fā)于抽象思考的情境設(shè)計(jì)

學(xué)習(xí)情境往往是促進(jìn)學(xué)生思考的切入點(diǎn)，引起思維的觸發(fā)點(diǎn)是一種條件式“外因”，而學(xué)生的學(xué)習(xí)驅(qū)動(dòng)力是內(nèi)因，外因要通過(guò)內(nèi)因才能起作用。初中階段是學(xué)生具象思維向抽象思維轉(zhuǎn)型的關(guān)鍵期，學(xué)生的抽象思維能力需要在一定的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累上獲得提升。

案例1：一次由“銳角三角函數(shù)”的關(guān)系思考，促發(fā)的探究。

在已經(jīng)發(fā)現(xiàn)銳角三角函數(shù)之間的一些關(guān)系（tanα=，sin2α+cos2α=1）后，探索下列關(guān)系式是否成立（0°<α<90°）。

（1）sinα+cosα≤1；（2）sin2α=2sinα。

問(wèn)題重構(gòu)及實(shí)施：在有探究的教學(xué)中，教師的設(shè)問(wèn)以及引導(dǎo)策略要能觸及學(xué)生思維的興奮點(diǎn)和“發(fā)生點(diǎn)”，把問(wèn)題巧妙地設(shè)在抽象數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的內(nèi)部，從而構(gòu)成探究體驗(yàn)活動(dòng)，驅(qū)動(dòng)學(xué)生思維的形成和發(fā)展；學(xué)生在感受數(shù)學(xué)“模型架構(gòu)”的美感中，其數(shù)學(xué)素養(yǎng)也能得到有效錘煉。我們作如下引導(dǎo)：如鋪墊設(shè)問(wèn)：（1）比較sin60°、sin45°、sin30°的大小。（2）判斷sin60°與2sin30°的大小關(guān)系。（3）利用課本中的圖，探究sin15°的值。（4）探究：sin2α與2sinα（0°<α<90°）的大小關(guān)系。

教師能很好地把握九年級(jí)學(xué)生的思維特點(diǎn)，發(fā)力于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的抽象思考，拓展于數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)本身的思索，讓探究真正成為一項(xiàng)融入美感的活動(dòng)。學(xué)生在這一過(guò)程中，建模、化歸、極限思維得到了鍛煉；探究過(guò)程中，教師在問(wèn)題的“簡(jiǎn)單重組”“鋪墊設(shè)問(wèn)”中為學(xué)生搭建合適的“起跳距離”，把問(wèn)題設(shè)在學(xué)生跳一跳夠得著的高度，使不同層次學(xué)生開(kāi)展探究成為可能。小組合作研討中，教師的引導(dǎo)與學(xué)生的主動(dòng)探究契合度不斷提升。

學(xué)生在探究中互動(dòng)評(píng)價(jià)、分享各自的思路，他們對(duì)問(wèn)題的探究興趣并非來(lái)自數(shù)學(xué)知識(shí)的外部世界（客觀現(xiàn)實(shí)世界中的非數(shù)學(xué)因素），更是在體悟數(shù)學(xué)建模的理性魅力過(guò)程中盡享探究之樂(lè)。

2.觸發(fā)于生活體驗(yàn)的情境設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性與學(xué)生認(rèn)識(shí)過(guò)程的形象性之間存在矛盾，因此，在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中設(shè)置生活化的情境能較好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)一步調(diào)動(dòng)學(xué)生思維的積極參與，促使學(xué)生真正進(jìn)入有效的探究體驗(yàn)活動(dòng)中，從而達(dá)到對(duì)知識(shí)、能力、情感的意義構(gòu)建。

案例2：八年級(jí)上冊(cè)“圖形的軸對(duì)稱(chēng)”引導(dǎo)課時(shí)：

板塊一：從圖形的測(cè)量開(kāi)始

出示實(shí)物及實(shí)物抽象后的圖形——長(zhǎng)方形、平行四邊形、三角形、圓。引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)說(shuō)這些圖形的特征。提問(wèn)：這些特征是從圖形的哪個(gè)方面觀察測(cè)量的？（從邊引出周長(zhǎng)，從邊和角引出面積。）

板塊二：走出圖形的測(cè)量

圖1中兩個(gè)三角形都是直角三角形，面積也相等，除周長(zhǎng)外，它們還有什么不同（引出新的概念——對(duì)稱(chēng)、軸對(duì)稱(chēng)、對(duì)稱(chēng)軸）。

板塊三：探索圖形的變換——折疊問(wèn)題

判斷圖2中的圖形是不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，如果是軸對(duì)稱(chēng)圖形，動(dòng)手探索對(duì)稱(chēng)軸的條數(shù)等。（對(duì)稱(chēng)軸的幾何特性）

案例中，從學(xué)生的生活情境出發(fā)，強(qiáng)化了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象，從圖形的單個(gè)特征量——周長(zhǎng)、面積等，引申到圖形的整體特征性——對(duì)稱(chēng)性，在強(qiáng)化概念的同時(shí)，隱含了引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形特征的探究模式，引導(dǎo)學(xué)生思維的提升。

（二）開(kāi)放的思維空間，為生成埋下“伏筆”

隱藏在探究活動(dòng)中的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法需要學(xué)生發(fā)現(xiàn)和領(lǐng)悟，設(shè)置探究活動(dòng)要突出數(shù)學(xué)的思維價(jià)值，所探究的問(wèn)題要能引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，促使他們積極思考，然而，在探究活動(dòng)中一系列固化的數(shù)學(xué)問(wèn)題的堆砌，并不能代表數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生的思維量就大；思維只有在學(xué)生積極、主動(dòng)的探究體驗(yàn)活動(dòng)中，只有在充滿(mǎn)意義的生成的學(xué)習(xí)氛圍中，才能被拓展、延伸。所以說(shuō)，有思維量的課堂，必定是有生成性的課堂。

案例3：一次探究，引發(fā)的“課堂容量”與“思維容量”的思索。

九年級(jí)學(xué)了尺規(guī)作圖問(wèn)題后，用直尺和圓規(guī)對(duì)圓進(jìn)行2等分、3等分、4等分、6等分操作，每個(gè)問(wèn)題都要求學(xué)生經(jīng)歷“操作嘗試—數(shù)學(xué)驗(yàn)證—反思、概括”三個(gè)階段，問(wèn)題設(shè)置具有鮮明的層次性，很適合學(xué)生探究。

探究活動(dòng)從課內(nèi)延伸到課外，使學(xué)生在經(jīng)歷探索時(shí)不斷引起興趣增長(zhǎng)點(diǎn)，在不斷地繪圖操作中，體驗(yàn)成功的快樂(lè)。問(wèn)題設(shè)置的“合適坡度”，又使學(xué)生在不斷建構(gòu)的過(guò)程中興趣不減，享受著生成的快樂(lè)。課堂教學(xué)中，有必要去關(guān)注學(xué)生思維的積極性，關(guān)注學(xué)生主動(dòng)的生成表現(xiàn)。另外，挑戰(zhàn)性的問(wèn)題設(shè)計(jì)，使教師有機(jī)會(huì)引導(dǎo)學(xué)生的思維向廣度、深度發(fā)展。

（三）有徑的探究過(guò)程，為思維架設(shè)“階梯”

淺易、平淡的問(wèn)題，不容易引起學(xué)生的注意和探究興趣。同樣，若問(wèn)題設(shè)置的難度過(guò)大也極易使學(xué)生望而生畏，從而影響學(xué)生探究問(wèn)題的積極性。在教學(xué)活動(dòng)中，教師可以在保證總體教學(xué)目標(biāo)達(dá)成的前提下，按照學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，通過(guò)梯度、分層的鋪墊性問(wèn)題，經(jīng)由變式導(dǎo)向分散難點(diǎn)，有效引發(fā)學(xué)生對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的感知、探究，使探索過(guò)程具有漸進(jìn)性、連續(xù)性和積累性。

案例4：一個(gè)來(lái)自數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部的“探究問(wèn)題”。

課本原型：如圖3，在等邊△ABC中，P、Q分別在邊AC、BC上，且AP=CQ，線(xiàn)段BP、AQ相交于點(diǎn)O，求∠BOQ的度數(shù)。引起思考：正三角形屬于正多邊形的一種，類(lèi)比對(duì)于其他多邊形是否也有類(lèi)似的結(jié)論呢？

探究1：由正三角形拓展至正方形，正五邊形如圖4、圖5，點(diǎn)E、D分別是正方形和正五邊形某個(gè)頂點(diǎn)相鄰兩邊上的點(diǎn)，且BE=CD，BD、AE交于點(diǎn)P，求∠APD的度數(shù)。

探究2：再拓展至正n邊形。如圖6，點(diǎn)D、E分別是正n邊形相鄰兩邊上的點(diǎn)，且BE=CD，AE、BD交于點(diǎn)P，求∠APD的度數(shù)。

提升追問(wèn)：

探究3：若D、E點(diǎn)移動(dòng)到相應(yīng)邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，上述結(jié)論是否依然成立？還能否求得∠APD的度數(shù)？

反思形成，思維提升：根據(jù)前面探索，能否將本題推廣到一般的正n邊形的情況？點(diǎn)在線(xiàn)段上與線(xiàn)段外，所求同一位置的角度有何異同？

邊數(shù)的變化和點(diǎn)在線(xiàn)段上和線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上的變化——兩個(gè)鋪墊性探究采用變式的手法，為學(xué)生在探究中制造了合理的“坡度”，問(wèn)題的設(shè)計(jì)環(huán)環(huán)相扣、步步深入，使學(xué)生能自主在自己合適的“高度”感受到利用類(lèi)比的方法獲取思路、處理相關(guān)信息的解題經(jīng)驗(yàn)，讓學(xué)生在思維的動(dòng)態(tài)發(fā)展中不斷完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而使學(xué)生有機(jī)會(huì)通過(guò)自主探究體悟到問(wèn)題解決方式：信息獲取→提取關(guān)鍵→處理關(guān)鍵→建立類(lèi)比→運(yùn)用類(lèi)比→驗(yàn)證反思，在整個(gè)問(wèn)題處理的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)類(lèi)比思想的魅力。

（四）有序的整體設(shè)計(jì)，構(gòu)建有效探究“序列”

“序”，即序列。教學(xué)中的有序體現(xiàn)了循序漸進(jìn)的基本思想。學(xué)習(xí)內(nèi)容的序列應(yīng)當(dāng)按照學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和認(rèn)知規(guī)律進(jìn)行，按照學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展或智慧生長(zhǎng)的序列，把最典型的、最淺易的探究問(wèn)題安排在前面，逐漸提高水平，即把知識(shí)的結(jié)構(gòu)與認(rèn)知心理程序統(tǒng)一起來(lái)。

在探究活動(dòng)中，探究問(wèn)題要層層推進(jìn)，教師要按照思維的遞進(jìn)性、螺旋上升的特征來(lái)整體設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，即安排好相關(guān)問(wèn)題的推進(jìn)序列、思考序列，組成循序漸進(jìn)的探究問(wèn)題鏈。如：在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，點(diǎn)P為BC邊上的一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，G，求證：PE+PF=BG。

問(wèn)題“序列”布局結(jié)構(gòu)圖示（圖7）：

在后續(xù)的探索問(wèn)題中，從三角形出發(fā)，繼而引出對(duì)矩形、正方形、圓形的類(lèi)比探究，構(gòu)建學(xué)生問(wèn)題解決的知識(shí)鏈、思維鏈。

數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)鏈、能力序能在一定程度上進(jìn)行切分，切分及解決的思考過(guò)程中便顯示出了問(wèn)題鏈的邏輯順序，在微觀的數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域，其有“序”可循，這個(gè)“序”就是學(xué)生心理發(fā)展的序，學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的序。如一系列案例問(wèn)題就組成了一組有序的問(wèn)題鏈，然而對(duì)每個(gè)問(wèn)題的內(nèi)部探究活動(dòng)，則分別又是一個(gè)微觀的有序活動(dòng)，這種“序”充分體現(xiàn)在問(wèn)題設(shè)計(jì)或活動(dòng)本身的層次感，比較適合學(xué)生探究、體驗(yàn)，學(xué)生也能在探究中得到熏陶。

三、總結(jié)

教學(xué)中，我們需要基于新課程標(biāo)準(zhǔn)要義培育學(xué)生的核心素養(yǎng)，學(xué)生在課堂上不應(yīng)只是聽(tīng)數(shù)學(xué)、看數(shù)學(xué)、練數(shù)學(xué)，而是更多地做數(shù)學(xué)、玩數(shù)學(xué)。在教學(xué)中要構(gòu)建初中數(shù)學(xué)探究式思維，圍繞遞進(jìn)式問(wèn)題的解決驅(qū)動(dòng)，展開(kāi)深入而持續(xù)的問(wèn)題思考模式。在有效的探究教學(xué)氛圍中，學(xué)生的知識(shí)、能力可以從爭(zhēng)論中獲取，從協(xié)作中獲得，從相互啟發(fā)中汲取，從相互激勵(lì)中爭(zhēng)取，這不僅是學(xué)習(xí)知識(shí)的一種方式，而且是學(xué)習(xí)的寶貴資源。學(xué)生在更多的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索數(shù)學(xué)，從而獲得廣泛的數(shù)學(xué)價(jià)值和意義，也是我們對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)永恒的追求。

（作者單位：浙江省杭州市蕭山區(qū)信息港初級(jí)中學(xué)）

編輯：曾彥慧