2024年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第13題的探究

涉及曲線的切線問(wèn)題，是導(dǎo)數(shù)的幾何意義與平面解析幾何等相關(guān)知識(shí)的融合，契合高考命題“在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題”的理念，是高考中比較常見的一類重點(diǎn)與熱點(diǎn)問(wèn)題.特別是涉及兩條及以上曲線（主查兩條曲線）的公切線問(wèn)題，新穎度高，創(chuàng)新性強(qiáng)，背景簡(jiǎn)單易懂，形式復(fù)雜多變，求解形式多樣，能夠有效考查學(xué)生的“四基”以及突出學(xué)生的“四能”等，凸顯試題的選拔性與區(qū)分度，倍受各方關(guān)注.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題若曲線y=ex+x在點(diǎn)（0，1）處的切線也是曲線y=ln（x+1）+a的切線，則a=.

此題以兩條不同的曲線為問(wèn)題場(chǎng)景，其中一條曲線對(duì)應(yīng)確定的函數(shù)，另一條曲線對(duì)應(yīng)含參的函數(shù)，借助過(guò)確定函數(shù)上切點(diǎn)的切線為公切線設(shè)問(wèn)，合理創(chuàng)設(shè)應(yīng)用情境與條件，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)值.

此類涉及公切線的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，可以利用常規(guī)思維方式，直接從導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切線方程等來(lái)切入與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的突破與求解；也可以從放縮法思維、特殊思維、極端思維等方式切入，以放縮法的變化、特殊值的確定或極端值的應(yīng)用來(lái)分析，得以簡(jiǎn)捷求解與創(chuàng)新應(yīng)用.

2 真題破解

2.1 直接思維

解法1：直接法1.

依題，由曲線y=ex+x，求導(dǎo)可得y′=ex+1，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知該曲線在點(diǎn)（0，1）處的切線的斜率為k=e0+1=2，此時(shí)對(duì)應(yīng)的切線方程為y=2x+1.

而由曲線y=ln（x+1）+a，求導(dǎo)可得y′=1x+1.設(shè)曲線y=ln（x+1）+a上的切點(diǎn)為B（x0，ln（x0+1）+a），結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，該曲線在點(diǎn)B處的切線的斜率k=1x0+1，此時(shí)對(duì)應(yīng)的切線方程為y－[ln（x0+1）+a]=1x0+1（x－x0），即y=1x0+1x－x0x0+1+ln（x0+1）+a.

結(jié)合題設(shè)條件，可得1x0+1=2，－x0x0+1+ln（x0+1）+a=1.

解得x0=－12，a=ln 2.

故填答案：ln 2.

解法2：直接法2.

依題，由曲線y=ex+x，求導(dǎo)可得y′=ex+1，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，該曲線在點(diǎn)（0，1）處的切線的斜率為k=e0+1=2.

而由曲線y=ln（x+1）+a，求導(dǎo)可得y′=1x+1，設(shè)曲線y=ln（x+1）+a上的切點(diǎn)為B（x0，ln（x0+1）+a），結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，該曲線在點(diǎn)B處的切線的斜率為k=1x0+1=2，解得x0=－12，此時(shí)切點(diǎn)為－12，a－ln 2.

又利用直線的斜率公式有k=a－ln 2－1－12－0=2，解得a=ln 2.

解法3：直接法3.

依題，由曲線y=ex+x，求導(dǎo)可得y′=ex+1，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，該曲線在點(diǎn)（0，1）處的切線的斜率為k=e0+1=2，此時(shí)對(duì)應(yīng)的切線方程為y=2x+1.

而由曲線y=ln（x+1）+a，求導(dǎo)可得y′=1x+1，設(shè)曲線y=ln（x+1）+a上的切點(diǎn)為B（x0，ln（x0+1）+a），結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，該曲線在點(diǎn)B處的切線的斜率為k=1x0+1=2，解得x0=－12.

又由于2x0+1=ln（x0+1）+a，將x0=－12代入，整理可得a=ln 2.

故填答案：ln 2.

點(diǎn)評(píng)：在解決一些涉及定切線而不定切點(diǎn)的公切線問(wèn)題時(shí)，往往要結(jié)合問(wèn)題實(shí)際，合理設(shè)出對(duì)應(yīng)的切點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的方程等來(lái)直接分析與求解，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的切入與應(yīng)用.直接法也是解決此類多曲線的公切線綜合應(yīng)用問(wèn)題比較常用的一種“通性通法”，吻合思維過(guò)程，數(shù)學(xué)運(yùn)算量往往比較大.當(dāng)然在實(shí)際解題過(guò)程中，直接法的不同視角，也為問(wèn)題的具體解析創(chuàng)造了不同的方式與方法.

2.2 放縮思維

解法4：放縮法.

（1）若曲線y=ex+x和曲線y=ln（x+1）+a相切于同一點(diǎn)（0，1）處，此時(shí)有l(wèi)n（0+1）+a=1，解得a=1.

而由曲線y=ex+x，求導(dǎo)可得y′=ex+1；由曲線y=ln（x+1）+a，求導(dǎo)可得y′=1x+1.

此時(shí)e0+1=2≠1=10+1，不符合題意，可知公切線與兩條曲線相切于不同點(diǎn).

（2）結(jié)合切線不等式有ex+x≥x+1+x=2x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立.

而由曲線y=ex+x，求導(dǎo)可得y′=ex+1，y″=ex>0，則知函數(shù)y=ex+x為凹函數(shù).

又曲線y=ln（x+1）+a，求導(dǎo)可得y′=1x+1，y″=－1（x+1）2<0，則知函數(shù)y=ln（x+1）+a為凸函數(shù).

數(shù)形結(jié)合可知，公切線在凹函數(shù)y=ex+x的下面部分，在凸函數(shù)y=ln（x+1）+a的上面部分.

而結(jié)合切線不等式有x≥ln（x+1），則有2x+1≥ln（2x+1+1）=ln（2x+2）=ln（x+1）+ln 2，當(dāng)且僅當(dāng)2x+1=0，即x=－12時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)a=ln 2.

綜上分析，可知a=ln 2.

點(diǎn)評(píng)：依托多曲線所對(duì)應(yīng)的公切線的切點(diǎn)是否相同加以分類討論，為問(wèn)題的切入與展開創(chuàng)造條件.而對(duì)于涉及指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的問(wèn)題，抓住切線不等式進(jìn)行合理的放縮處理，可以大致確定公切線的位置與變化情況，也給問(wèn)題的創(chuàng)新應(yīng)用創(chuàng)造了更多的機(jī)會(huì)與條件.利用放縮法處理，更加注重邏輯推理能力，相對(duì)來(lái)說(shuō)數(shù)學(xué)運(yùn)算量較少.

3 變式拓展

變式1若兩個(gè)函數(shù)f（x）=ln x+a和g（x）=bex（a，b∈R）存在過(guò)點(diǎn)2，12的公切線，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1，f（x1）），（x2，g（x2）），則（x1+2x2）＼5[f（x1）+2g（x2）]=.

解析：依題可得f′（x）=1x，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，ln x1+a），則切線斜率為1x1，對(duì)應(yīng)的切線方程為y－（ln x1+a）=1x1（x－x1），將點(diǎn)2，12代入上式，可得ln x1+a=32－2x1，即f（x1）=32－2x1.

又g′（x）=bex，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x2，bex2），則切線斜率為bex2，對(duì)應(yīng)的切線方程為y－bex2=bex2（x－x2），將點(diǎn)2，12代入上式，可以得到bex2=12（3－x2），即g（x2）=12（3－x2）.

又因?yàn)?x1=bex2=12（3－x2），可得x1=2（3－x2），即x1+2x2=6.

而f（x1）+2g（x2）=32－2x1+2bex2=32－2x1+2x1=32，所以（x1+2x2）＼5[f（x1）+2g（x2）]=6×32=9.

變式2若函數(shù)f（x）=aln x與g（x）=x2的圖象存在公切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

解析：設(shè)與函數(shù)f（x）=aln x相切的切點(diǎn)為（m，aln m），m>0，由f′（x）=ax，可得切線的斜率為f′（m）=am，a≠0，則切線的方程為y－aln m=am＼5（x－m），即y=amx－a+aln m.

又切線y=amx－a+aln m與g（x）=x2也相切，則方程x2－amx+a－aln m=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，所以可得Δ=a2m2－4（a－aln m）=0，分離參數(shù)有a=4m2（1－ln m），m>0.

設(shè)函數(shù)h（m）=4m2（1－ln m），m>0，則h′（m）=4[2m（1－ln m）－m]=4m（1－2ln m）.由h′（m）=0解得m=e.當(dāng)0<m<e時(shí)，h′（m）>0，函數(shù)h（m）單調(diào)遞增；當(dāng)m>e時(shí)，h′（m）<0，函數(shù)h（m）單調(diào)遞減.所以可得m=e時(shí)，h（m）取得極大值2e，且為最大值，故a≤2e.

4 教學(xué)啟示

4.1 歸納技巧方法

涉及多條曲線（主要是兩條曲線）的公切線問(wèn)題，其核心就是相應(yīng)的切點(diǎn)坐標(biāo)，合理利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義——切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是對(duì)應(yīng)切線的斜率；而對(duì)于多條曲線的公切線問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象在切點(diǎn)處的斜率相等，同時(shí)滿足切點(diǎn)既在切線上又在相應(yīng)的曲線上，合理聯(lián)立有關(guān)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)的方程（組），通過(guò)解方程（組）或恒等變形等來(lái)分析與求解.

4.2 提升變式效應(yīng)

在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與學(xué)習(xí)過(guò)程中，根據(jù)課堂教學(xué)與學(xué)習(xí)的需要，可以適時(shí)地將一些典型問(wèn)題，特別是高考真題等進(jìn)行深入變形與拓展，借助“一題多解”“一題多變”等形式，實(shí)現(xiàn)“一題多得”.久而久之，就能逐步培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的數(shù)學(xué)思維、創(chuàng)新應(yīng)用的探索精神與創(chuàng)新意識(shí).