用相對速度解決圓心是動點的圓周運動的動力學(xué)問題

趙燦冬

（靖江高級中學(xué) 江蘇 泰州 214500）

【例1】如圖1所示，質(zhì)量為M的光滑半圓形凹槽放在光滑水平面上，凹槽的半徑為R，質(zhì)量為m的小球從凹槽的左側(cè)最高點由靜止釋放，求當(dāng)小球滑至凹槽的最低點時，小球?qū)Π疾鄣膲毫?

圖1

解析：根據(jù)動量守恒定律的相關(guān)知識可知，小球的運動軌跡不是圓，但小球相對于半圓形凹槽的運動是一個圓.所以本題可以以半圓形凹槽為參考系來解決問題.

首先計算小球運動到最低點時，小球和半圓形凹槽的速度.

當(dāng)小球滾到凹槽的最低點時，根據(jù)水平方向動量守恒

根據(jù)機械能守恒

當(dāng)小球滾到凹槽的最低時

式中v相是小球相對于半圓凹槽的相對速度.答案是肯定的，但疑問是有的.

為什么可以用相對速度來計算？

本題在求解的過程中，有一個問題沒有說清：相對于半圓形凹槽做圓周運動就一定可以這樣列式求解嗎？回答是否定的，因為在本題中還有一個隱藏的條件：當(dāng)小球在最低點時，圓弧槽的加速度為零.

分析半圓形凹槽的受力可知，在水平方向半圓形凹槽不受力的作用，所以其加速度為零.而小球相對于半圓形凹槽做圓周運動，此時，相對于半圓形凹槽，其相對加速度

所以，球?qū)Φ丶铀俣?/p>

因此本題可以用相對速度計算向心力來求解的關(guān)鍵是半圓形凹槽的加速度為零，而不是選擇了半圓形凹槽為參考系.實際上，由于在整個過程中，半圓形凹槽做變速運動，不是真正良好的慣性系.本題不需要選擇其為參考系，只要根據(jù)運動的相對性和加速度的牽連關(guān)系求出小球的對地加速度即可求解.

有些情況下，物體可以相對于一個有加速度的另一物體做圓周運動，這時也可以根據(jù)牽連關(guān)系求解.

圖2

【例2】如圖2所示，用長為l的輕繩a和b豎直懸掛質(zhì)量均為m的小球A和B，某時刻，突然給球A一個水平向左的沖量I后，求此時繩a和繩b的張力.

錯解：因為B球相對于A球做圓周運動，所以B球的加速度為

分析B球的受力，根據(jù)牛頓第二定律

解出

分析球B的受力，根據(jù)牛頓第二定律

解出

再對球A受力分析，根據(jù)牛頓第二定律

解出

2005年江蘇高考的最后一道題在參考答案中就注意到了這一問題，并給出了說明.

【例3】如圖3所示，三個質(zhì)量均為m的彈性小球用兩根長均為L的輕繩連成一條直線而靜止在光滑水平面上.現(xiàn)給中間的小球B一個初速度v0，方向與繩垂直.小球相互碰撞時無機械能損失，輕繩不可伸長.求當(dāng)三個小球處在同一直線上時，繩中的拉力F的大小.

圖3

解析：當(dāng)三個小球再次處在同一直線上時，則由動量守恒定律和機械能守恒定律，得

以后三球還會處于同一直線，三球的速度回復(fù)到初始狀態(tài)

小球A和C均以半徑L繞小球B做圓周運動，在兩種情況下，當(dāng)三個小球處在同一直線上時，以小球B為參考系（小球B的加速度為零，為慣性參考系），小球A（C）相對于小球B的速度均為

所以，此時繩中拉力大小為

本題特別強調(diào)了小球B的加速度為零這一特殊條件.

用這一方法可以求例1中小球在任意位置的速度嗎？回答是肯定的，只是比較繁.

圖4

例1解法2：設(shè)小球在某時刻和球心的連線與水平方向夾角為θ，如圖4（a）所示.

此時，半圓形凹槽的速度大小為vM，小球的速度大小為vm，小球速度的水平分量大小為vmx，豎直分量大小為vmy，如圖4（b）.

根據(jù)小球相對于半圓形凹槽的速度沿圓弧的切線方向，可得

根據(jù)水平方向動量守恒

根據(jù)機械能守恒

可得

由圖4（b）可知

解得

設(shè)半圓形凹槽對小球的作用力為N，則半圓形凹槽的加速度為

沿半徑方向的分量為

所以小球?qū)Φ匮匕霃椒较虻募铀俣葹?/p>

分析小球的受力，在沿半徑方向，根據(jù)牛頓第二定律得

解得

用相對速度解決動圓心的圓周運動問題拓寬了解題的思路，但是要注意分清圓心的加速度，這一點是關(guān)鍵.