隨機(jī)兩體耗散誘導(dǎo)的非厄米多體局域化*

劉敬鵠 徐志浩2)?

1) (山西大學(xué)理論物理研究所,量子光學(xué)與光量子器件國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,太原 030006)

2) (山西大學(xué)極端光學(xué)協(xié)同創(chuàng)新中心,太原 030006)

本文數(shù)值研究了在一維非厄米的硬核玻色模型中由隨機(jī)兩體耗散誘導(dǎo)的非厄米多體局域化現(xiàn)象.隨著無序強(qiáng)度的增強(qiáng),系統(tǒng)的能譜統(tǒng)計(jì)分布從AI? 對(duì)稱類向二維泊松系綜過渡,多體本征態(tài)的歸一化參與率展示了從有限值到接近零的轉(zhuǎn)變,半鏈糾纏熵服從體積律到面積律的轉(zhuǎn)變,動(dòng)力學(xué)半鏈糾纏熵表現(xiàn)為從線性增長(zhǎng)到對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的轉(zhuǎn)變.數(shù)值結(jié)果表明,在該模型中由隨機(jī)兩體耗散誘導(dǎo)的非厄米多體局域化現(xiàn)象的魯棒性.該研究結(jié)果為非厄米系統(tǒng)中多體局域化的研究提供了新的視角.

1 引言

多體局域化揭示了多體無序系統(tǒng)中存在穩(wěn)定的局域態(tài),徹底改變了人們對(duì)量子系統(tǒng)的理解[1-11].作為安德森局域化[12,13]的重要延伸,多體局域化提供了量子多體系統(tǒng)保持非熱平衡態(tài)的例子[14-18],它可以由許多序參量來表征.例如,呈泊松分布的能級(jí)統(tǒng)計(jì)分布[19,20]、隨時(shí)間對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的糾纏熵[21,22]、本征態(tài)糾纏熵的面積定律[23,24]、有限的非平衡占據(jù)數(shù)[25,26]、可積性的出現(xiàn)[27,28]等.因?yàn)槠湓诹孔哟鎯?chǔ)和可控動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域存在潛在的應(yīng)用前景,在實(shí)驗(yàn)和理論方面引起了廣泛的關(guān)注[25,29-33].目前,已經(jīng)在很多平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)了多體局域相關(guān)的實(shí)驗(yàn),包括超冷原子[29,30]、離子阱[32]和超導(dǎo)電路[25,33]等.

傳統(tǒng)的量子力學(xué)是基于厄米性的假設(shè),即厄米算符代表物理可觀測(cè)量.這個(gè)假設(shè)保證了這些算符的本征值是實(shí)數(shù),相應(yīng)的本征矢滿足正交歸一性[34,35].然而,近年來,理論和實(shí)驗(yàn)的研究已從厄米系統(tǒng)推廣到非厄米系統(tǒng),并涌現(xiàn)出一系列新奇的非厄米現(xiàn)象及其應(yīng)用,如非厄米趨膚效應(yīng)[36,37]、邊界依賴的能譜[38]、體-邊對(duì)應(yīng)關(guān)系的失效[39,40]和非布洛赫能帶理論[41-43].最近在非厄米系統(tǒng)中引入無序,為局域化現(xiàn)象的研究開辟了新的視角.最早由Hatano和Nelson[44-46]把在位無序勢(shì)和非互易躍遷引入到單粒子格點(diǎn)模型中,揭示了非互易會(huì)誘導(dǎo)出安德森局域化轉(zhuǎn)變,同時(shí)伴隨著單粒子譜的實(shí)-復(fù)轉(zhuǎn)變和拓?fù)湎噢D(zhuǎn)變的獨(dú)特現(xiàn)象.Hamazaki 等[47]將這一問題擴(kuò)展到了多體系統(tǒng)中,在具有時(shí)間反演對(duì)稱性的非互易晶格模型中存在非厄米多體局域化,并且發(fā)現(xiàn)了局域化轉(zhuǎn)變和譜的實(shí)-復(fù)轉(zhuǎn)變一致.另外在時(shí)間反演對(duì)稱性破缺的非厄米無序和準(zhǔn)周期系統(tǒng)中也發(fā)現(xiàn)存在多體局域化現(xiàn)象[48-50].非厄米效應(yīng)可以在許多實(shí)驗(yàn)平臺(tái)實(shí)現(xiàn),特別是最近通過可控的兩體非彈性散射,在玻色哈伯德模型中實(shí)現(xiàn)了復(fù)相互作用[51,52].Wang 等[53]討論了利用光學(xué)Feshbach 共振實(shí)現(xiàn)復(fù)散射長(zhǎng)度的可行方案.本文考慮一個(gè)具有隨機(jī)兩體耗散的一維非厄米的硬核玻色模型,發(fā)現(xiàn)在強(qiáng)無序區(qū)域系統(tǒng)存在非厄米多體局域化現(xiàn)象.該研究對(duì)理解非厄米多體局域化有重要意義.

2 理論模型

本文考慮一個(gè)具有隨機(jī)兩體耗散的硬核玻色子模型,其哈密頓量為

本文考慮半填充的情況,即總粒子數(shù)N=L/2,相應(yīng)的希爾伯特空間維度為D=.選取J為能量單位,即J=1,且U=0.25 為例進(jìn)行討論.本文中,對(duì)于序參量的平均需要考慮兩重平均,標(biāo)記為,其中上橫線表示無序的平均,選取無序的樣本數(shù)為Nsample=1000(L=6,8,10),Nsample=500(L=12)和Nsample=100(L=14),〈···〉表示對(duì)能級(jí)的統(tǒng)計(jì)平均,這里僅考慮能譜中心處 1/5 范圍內(nèi)的能級(jí).

3 數(shù)值結(jié)果

能譜統(tǒng)計(jì)行為作為研究多體局域化的主要手段之一被廣泛應(yīng)用.厄米情況下,隨機(jī)矩陣?yán)碚揫3,54-57]指出,當(dāng)系統(tǒng)處于混沌或遍歷相時(shí),能譜統(tǒng)計(jì)呈現(xiàn)高斯分布.根據(jù)系統(tǒng)的對(duì)稱性,分為高斯酉系綜(Gaussian unitary ensemble,GUE)、高斯正交系綜(Gaussian orthogonal ensemble,GOE)和高斯辛系綜(Gaussian symplectic ensemble,GSE),分別對(duì)應(yīng)于A 對(duì)稱類、AI 對(duì)稱類和AII 對(duì)稱類的系統(tǒng).然而,當(dāng)系統(tǒng)處于可積或多體局域相時(shí),能譜的統(tǒng)計(jì)分布遵循泊松統(tǒng)計(jì).在非厄米情況下,混沌或遍歷相也存在3 種普適類: A 對(duì)稱類、AI?對(duì)稱類和AII?對(duì)稱類[58-60],而可積或多體局域相的泊松統(tǒng)計(jì)推廣為二維泊松統(tǒng)計(jì).

為了研究非厄米系統(tǒng)復(fù)能譜的統(tǒng)計(jì)行為,復(fù)平面上的最近鄰能級(jí)間距定義為d1,i=minj|Ei-Ej|,其中Ei是系統(tǒng)的本征能量[58].由于不同系統(tǒng)具體性質(zhì)不同,導(dǎo)致局域平均密度存在差異,使得直接對(duì)d1,i的統(tǒng)計(jì)并不具備普適性.為了消除這種由局域平均密度差異帶來的影響,對(duì)d1,i進(jìn)行重整化處理,即si=,其中是局部平均密度,要求足夠大且遠(yuǎn)小于D,這里選取≈30,并且dn,i表示Ei和其第n級(jí)近鄰能級(jí)的距離.然后對(duì)能級(jí)間距si進(jìn)行歸一化,其滿足=1.通過將分布函數(shù)p(s) 與相應(yīng)對(duì)稱類的非厄米隨機(jī)矩陣進(jìn)行對(duì)比,可以直觀地反映出非厄米多體局域化轉(zhuǎn)變的發(fā)生.根據(jù)非厄米系統(tǒng)的對(duì)稱性分類,哈密頓量(1)滿足H=HT,屬于AI?對(duì)稱類,系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)行為可由相應(yīng)的非厄米隨機(jī)矩陣來刻畫[58-62].對(duì)于最簡(jiǎn)單的A 對(duì)稱類系統(tǒng),最近鄰能級(jí)間距的統(tǒng)計(jì)分布遵循Ginibre 酉系綜(Ginibre unitary ensemble) 分布:

如圖1 中黑色虛線所示.相比之下,AI?(AII?)對(duì)稱類的分布與A 類不同,即峰值低于(高于)PA(s).雖然目前對(duì)于任意尺寸的AI?和AII?對(duì)稱類分布沒有解析表達(dá)式,而小尺寸情況下AI?對(duì)稱類具有確定的表達(dá)式[58]:

圖1 當(dāng)L=14 時(shí),哈密頓量(1)式平均的最近鄰能級(jí)間距s 的統(tǒng)計(jì)分布 (a) W=2;(b) W=20.黑色虛線、紅色實(shí)線和綠色點(diǎn)線分別表示A,AI ? 類和二維泊松分布Fig.1.Mean unfolded nearest-level-spacing distributions of the Hamiltonian Eq.(1) with L=14: (a) W=2;(b) W=20.Black dash,red solid,and green dotted lines represent A,AI ? classes,and two dimensional (2D)-Poisson distributions,respectively.

圖2 當(dāng)L=14 時(shí),平均的徑向強(qiáng)度分布 和相應(yīng)的幅角分布 (a),(b) W=2; (c),(d) W=20 .紅色實(shí)線是通過統(tǒng)計(jì)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)矩陣 (1000×1000)的結(jié)果,其無序次數(shù)選取為1000.(e),(f)徑向強(qiáng)度的平均值 和相應(yīng)的幅角的平均值隨無序強(qiáng)度變化曲線.上(下)虛線對(duì)應(yīng)于AI ? 對(duì)稱類(2D-Poisson)統(tǒng)計(jì)極限值,≈0.722,≈0.193 (=2/3,=0)Fig.2.(a),(b) Mean marginal distributions and with W=2 for the complex energy spectrum for L=14 ;(c),(d)the marginal distributions and with W=20 for the complex energy spectrum.The red solid lines are obtained by calculating and of the 1000×1000 random matrices with the corresponding random matrix ensembles averaged 1000 realizations.(e),(f) The averages and as a function of the disorder strength W.The upper (lower) dash line corresponds to the AI? symmetry class (2D-Poisson) expectation,≈0.722, ≈0.193 (=2/3,=0).

其中Kν(x)=是修正的貝塞爾函數(shù),C2==1.16187··· 是一個(gè)常數(shù),如圖1 中紅實(shí)線所示,Γ 表示伽瑪函數(shù).當(dāng)無序強(qiáng)度W=2 時(shí),平均的最近鄰能級(jí)間距s的分布滿足AI?對(duì)稱類(圖1(a)).當(dāng)無序強(qiáng)度W=20時(shí),其與二維泊松分布(綠色點(diǎn)線)一致(圖1(b)).二維泊松分布數(shù)學(xué)形式如下:

本文對(duì)能譜的統(tǒng)計(jì)考慮能譜中心1/5 的范圍內(nèi)的能級(jí).圖1 的結(jié)果表明,在強(qiáng)隨機(jī)兩體耗散時(shí),系統(tǒng)進(jìn)入非厄米多體局域相.

為了進(jìn)一步驗(yàn)證非厄米多體局域化的轉(zhuǎn)變,可計(jì)算復(fù)能級(jí)差比率(complex spacing ratio,CSR),其定義為[59,60,63,64]

歸一化的參與率(normalized participation ratio,NPR) 也可以用來衡量多體局域化的發(fā)生,其定義為[66]

其中 |ψi〉是本征值Ei對(duì)應(yīng)的本征態(tài),|n1,n2···,nL〉表示在粒子數(shù)表象中的Fock 基矢.在熱力學(xué)極限下,如果本征態(tài)是遍歷態(tài),η為有限值.如果本征態(tài)是多體局域態(tài),則η趨近于0.為了便于討論,這里考慮一次無序構(gòu)型下,系統(tǒng)所有本征態(tài)的η,并且把系統(tǒng)的本征能量進(jìn)行重整化處理:

圖3 當(dāng) L=14 時(shí),在復(fù)平面上,系統(tǒng)所有本征態(tài)的 η 隨重整后能譜 εi 的分布情況(紅點(diǎn)表示能譜的中心) (a) W=2;(c) W=20 .歸一化的參與率 η 統(tǒng)計(jì)直方圖 (b) W=2 ;(d)W=20Fig.3.Distribution of η for all eigenstates versus the rescaled spectrum εi with L=14 (Red dots represent the center of the energy spectrum): (a) W=2;(c) W=20.Histogram of the normalized participation ratio η:(b) W=2;(d) W=20.

此外,還計(jì)算了多體本征態(tài)的半鏈糾纏熵(half-chain entanglement entropy),定義為S=-Tr[ρL/2lnρL/2]=,其中,λm是約化密度矩陣ρL/2的第m個(gè)本征值.ρL/2可以通過對(duì)系統(tǒng)半鏈的自由度求跡獲得,即ρL/2=TrL/2[|ψi〉〈ψi|].圖4(a)展示了不同的系統(tǒng)尺寸 (L=10,12,14)下平均的半鏈糾纏熵隨無序強(qiáng)度的變化.在弱無序時(shí),系統(tǒng)尺寸越大,越大.隨無序強(qiáng)度增強(qiáng),不同尺寸的均減小,最終趨于重合.該結(jié)果表明,在弱無序時(shí),正比于系統(tǒng)尺寸,而強(qiáng)無序情況下,其對(duì)系統(tǒng)的尺寸變化不敏感.平均的半鏈糾纏熵展現(xiàn)了從體積律到面積律的轉(zhuǎn)變行為.

圖4 (a)不同尺寸下,平均半鏈糾纏熵隨無序強(qiáng)度的變化;(b)當(dāng) L=14 時(shí),不同無序強(qiáng)度W 對(duì)應(yīng)的隨時(shí)間的演化.初態(tài)為 |ψ0〉=|1010···〉.插圖展示了平均穩(wěn)態(tài)熵 隨無序強(qiáng)度的變化Fig.4.(a) Mean half-chain entanglement entropy as a function of the disorder strength W for different L;(b) the dynamics of the mean half-chain entanglement entropy for different W with L=14.The initial state is taken as |ψ0〉=|1010···〉.The inset displays the mean steady-state entanglement entropy as a function of W.

平均的半鏈糾纏熵的動(dòng)力學(xué)演化也可以表征系統(tǒng)多體局域化的發(fā)生,其定義為

其中ρL/2(t)=TrL/2[|ψ(t)〉〈ψ(t)|] 是t時(shí)刻半鏈的約化密度矩陣.這里的 |ψ(t)〉是任意時(shí)刻的波函數(shù),其表示為

4 總結(jié)

本文研究了隨機(jī)兩體耗散誘導(dǎo)非厄米多體局域化現(xiàn)象.在弱無序時(shí),系統(tǒng)處在遍歷相,能譜統(tǒng)計(jì)滿足AI?對(duì)稱類分布,與系統(tǒng)所滿足的對(duì)稱類一致,而在強(qiáng)無序情況下,系統(tǒng)處在多體局域相,其能譜統(tǒng)計(jì)滿足二維泊松分布.通過計(jì)算歸一化的參與率,發(fā)現(xiàn)在遍歷相中,大部分本征態(tài)的歸一化的參與率是有限值,而在多體局域相中,大部分歸一化的參與率接近于零,并且系統(tǒng)平均的半鏈糾纏熵隨無序的增強(qiáng)從體積律到面積律轉(zhuǎn)變.短時(shí)內(nèi)動(dòng)力學(xué)半鏈糾纏熵的線性和對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的演化行為,進(jìn)一步驗(yàn)證了系統(tǒng)遍歷相和非厄米多體局域相的存在.長(zhǎng)時(shí)極限下,動(dòng)力學(xué)半鏈糾纏熵趨向于系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)的半鏈糾纏熵.本文的研究為非厄米系統(tǒng)多體局域化現(xiàn)象的研究提供了參考.