例題延展，深化理解

文／周前猛

數(shù)學(xué)教材例題的作用是幫助大家理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。同時(shí)，例題也為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供了拓展的基礎(chǔ)素材。下面以蘇科版數(shù)學(xué)教材八（下）第116 頁(yè)的例2 第（2）題為例，談?wù)劺}的學(xué)習(xí)與拓展。

分式方程的解題步驟是：①去分母；②解整式方程；③驗(yàn)根。

思考一、根據(jù)分式方程根的情況，求參數(shù)的值

【解析】將分式方程去分母并整理，得x=m+6。若方程有增根，則增根為x=2，代入x=m+6，得m=-4。

【點(diǎn)評(píng)】分式方程的增根是使分式方程最簡(jiǎn)公分母為0 的未知數(shù)的值，可能會(huì)出現(xiàn)一個(gè)或多個(gè)，分別代入求參數(shù)即可。

【解析】去分母，得2（x+2）+mx=3（x-2）。整理，得（m-1）x=-10。當(dāng)m-1=0，即m=1 時(shí)，原方程無(wú)解；當(dāng)m-1≠0 時(shí)，原方程有增根x=±2，分別代入（m-1）x=-10，得m=-4 和m=6。所以m=1、-4 或6 時(shí)，原方程無(wú)解。

【點(diǎn)評(píng)】含參數(shù)的分式方程無(wú)解，要分兩種情況考慮，一是去分母后的整式方程無(wú)解，二是去分母后的整式方程的解是分式方程的增根。

【解析】將原方程轉(zhuǎn)化為整式方程，得2x2-2x+a+4=0①。原分式方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，得方程①有根的情況有兩種類型。一是方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即Δ=4-8（a+4）=0，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，x是原方程的唯一根。二是方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，而其中一根使原方程分母為0，即方程①有一個(gè)根為0或2。當(dāng)x=0 時(shí)，代入①式，得a+4=0，即a=-4，這時(shí)方程①的另一個(gè)根是x=1，將x=1 代入最簡(jiǎn)公分母檢驗(yàn)不為0，所以x=1 是原方程的唯一根；當(dāng)x=2 時(shí)，代入①式，得a=-8，這時(shí)方程①的另一個(gè)根是x=-1，將x=-1 代入最簡(jiǎn)公分母檢驗(yàn)不為0，所以x=-1 是原方程的唯一根。綜上可得a的值分別為。

【點(diǎn)評(píng)】分式方程去分母后是一元二次方程，一元二次方程有解的情況有兩種，要分類討論，并檢驗(yàn)是否符合要求。

思考二、根據(jù)分式方程的解的范圍，求參數(shù)的范圍

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)分式方程解的范圍可以確定參數(shù)的取值范圍，其方法是先把參數(shù)看成常數(shù)參與運(yùn)算，算出x的值（用參數(shù)表示），再結(jié)合分式方程解的范圍，得到不等式，通過(guò)解不等式求出參數(shù)范圍。

【點(diǎn)評(píng)】去分母后需要分類討論，此分式方程的增根可能有兩個(gè)，要分別檢驗(yàn)排除。

拓展2若分式方程有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍。

【解析】去分母并整理，得ax2+4x-4=0。當(dāng)a=0時(shí)，方程為一元一次方程4x-4=0，解得x=1。經(jīng)檢驗(yàn)，x=1 是增根，舍去。當(dāng)a≠0 時(shí)，方程為一元二次方程，若此方程有實(shí)數(shù)根，則Δ≥0，解得a≥-1。當(dāng)a=-1時(shí)，x1=x2=2，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解；當(dāng)a＞-1 時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，至少其中一個(gè)是原方程的解。綜上可得a≥-1且a≠0。

【點(diǎn)評(píng)】去分母后的方程類型不確定，需要分類討論，若為一元二次方程且有實(shí)數(shù)根，又分為兩種情況，需要分類討論，并且檢驗(yàn)是否為增根。