從“方程”到“不等式”

文／許斌

方程和不等式是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中相等與不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是一類(lèi)應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)工具。從理解方程和不等式及其解的意義，到靈活地解方程和不等式，再到應(yīng)用方程（組）、不等式（組）解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，我們一路走來(lái)，感受到數(shù)學(xué)的別樣精彩和廣泛的應(yīng)用價(jià)值。

一、知識(shí)塊解析

等式的基本性質(zhì)是解方程的基本依據(jù)。一元一次方程是學(xué)習(xí)其他方程的基礎(chǔ)，解一元一次方程的一般步驟是：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1。

二元一次方程組的考點(diǎn)主要是掌握方程組的解的意義，靈活利用代入法或加減法解二元一次方程組，理解消元是解決多元方程組的常規(guī)思路，能運(yùn)用二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題。

解一元二次方程是中考必考知識(shí)點(diǎn)。一元二次方程的解法有：直接開(kāi)平方法、因式分解法、配方法、公式法，我們要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用適當(dāng)?shù)姆椒?。一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當(dāng)b2-4ac≥0 時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)實(shí)數(shù)根為。法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)了一元二次方程的根與系數(shù)之間的密切關(guān)系，即后人也稱(chēng)之為韋達(dá)定理。利用韋達(dá)定理，我們可以很方便地求一些代數(shù)式的值或字母參數(shù)的值。

分式方程可以通過(guò)去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，但需要注意這種變形不是恒等變形。因此，我們?cè)谇蟪稣椒匠痰慕夂?，還要增加檢驗(yàn)這一步驟。

不等式的考點(diǎn)有：理解不等式的基本性質(zhì)，能正確運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)求一元一次不等式（組）的解集，將解集在數(shù)軸上表示出來(lái)等；對(duì)于含字母參數(shù)的一元一次不等式（組），能根據(jù)題意列出不等式（組），求出字母參數(shù)的值或范圍；能根據(jù)題意正確使用不等號(hào)，列出不等式，解決實(shí)際問(wèn)題。

求方程、不等式的解（解集），我們還可以通過(guò)畫(huà)函數(shù)圖像來(lái)說(shuō)明。這種方法為求方程、不等式的解（解集）打開(kāi)了一片新的天地，體現(xiàn)了方程、不等式、函數(shù)之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化。

二、易混點(diǎn)解析

1.解一元一次方程與解一元一次不等式

在它們的求解（解集）過(guò)程中，當(dāng)系數(shù)化為1 時(shí)，需要將等式（不等式）兩邊同時(shí)乘一個(gè)不為0 的數(shù)，等號(hào)仍成立，而不等式兩邊同時(shí)乘一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)方向要改變。不少同學(xué)會(huì)習(xí)慣性照抄不等號(hào)，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。

2.解整式方程與分式方程

不少同學(xué)在解方程的時(shí)候，不去辨識(shí)方程的類(lèi)型。由于整式方程的各步驟變形都是恒等變形，計(jì)算沒(méi)有問(wèn)題的話(huà)，得到的答案自然也正確。但如果是解分式方程，得到整式方程的解后，還要代入公分母檢驗(yàn)根是否能讓分式有意義。檢驗(yàn)是解分式方程不可或缺的一步，有些同學(xué)經(jīng)常會(huì)忘記檢驗(yàn)，從而失分。

3.根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系

一元二次方程是使用根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系的前提，有些同學(xué)容易忽略這一點(diǎn)。因此，在利用此方法解決問(wèn)題后，我們需要檢驗(yàn)求出的值是否符合題意，或是否使實(shí)際問(wèn)題有意義。

4.不等號(hào)的使用

兩個(gè)量之間的關(guān)系有三種：大于、等于、小于，如果是不大于，那應(yīng)該是小于或等于。在解決問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們要仔細(xì)揣摩“不超過(guò)”與“超過(guò)”、“不高于”與“低于”、“至少”與“大于”等的區(qū)別，從而正確使用不等號(hào)。

三、真題應(yīng)用

1.已知關(guān)于x的方程x2+mx-20=0 的一個(gè)根是-4，求m的值及它的另一個(gè)根。

2.若方程的解使關(guān)于x的不等式（2-a）x-3＞0 成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

3.若實(shí)數(shù)x、y、m滿(mǎn)足x+y+m=6，3xy+m=4，求代數(shù)式-2xy+1的最大值。

復(fù)習(xí)建議：做第1 題時(shí)，可以先說(shuō)說(shuō)解題的方法；從這道題出發(fā)，還能有哪些改編。做第2 題時(shí)，可以將條件改為“不成立”，思考a的取值范圍又是什么。做第3 題時(shí)，注意思考求代數(shù)式最值的方法，我們還有哪些巧算的方法。