三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究

馬忠平

摘 要：在新課程改革下，三角函數(shù)可以廣泛應(yīng)用于解決幾何形狀的問題，教師引導(dǎo)學(xué)生利用正弦、余弦和正切函數(shù)來計(jì)算三角形的邊長、角度和面積.熟練掌握函數(shù)概念可以幫助學(xué)生理解和計(jì)算各種圖形的屬性.同時(shí)，三角函數(shù)在物理學(xué)中也具有廣泛的應(yīng)用，在運(yùn)動(dòng)學(xué)中的平拋運(yùn)動(dòng)和斜拋運(yùn)動(dòng)，通過三角函數(shù)來描述分析和計(jì)算拋射角度.此外，三角函數(shù)還可以用于描述波動(dòng)、振動(dòng)、電路、光學(xué)等現(xiàn)象，也可以應(yīng)用于統(tǒng)計(jì)學(xué)和數(shù)據(jù)分析中，計(jì)算周期性數(shù)據(jù)的分析，通過正弦函數(shù)和余弦函數(shù)進(jìn)行建模和預(yù)測，轉(zhuǎn)換和調(diào)整數(shù)據(jù)的規(guī)律、趨勢和周期性變化，有助于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和解決實(shí)際問題的綜合素養(yǎng)能力.

關(guān)鍵詞：新課程；三角函數(shù)；高中數(shù)學(xué)；重要作用

在新課改背景下的高中數(shù)學(xué)課堂中，教師通過貫穿“合理情境”來培養(yǎng)抽象思維素養(yǎng)，以“探究性活動(dòng)”來培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)，以“變式訓(xùn)練”來培養(yǎng)創(chuàng)新能力，以“歸納提煉”來培養(yǎng)歸納概括素養(yǎng)，可以幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中更好地理解和運(yùn)用三角函數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合運(yùn)用能力.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師培養(yǎng)核心素養(yǎng)的“生長點(diǎn)”的，需要注重問題引導(dǎo)、情境設(shè)計(jì)、探究引導(dǎo)和合作學(xué)習(xí)等方面，通過激發(fā)學(xué)生的興趣，讓學(xué)生參與到數(shù)學(xué)的探索、思考和解決問題的過程中，從而逐步培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).

1 三角函數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域

三角函數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中扮演著重要的角色，它的應(yīng)用范圍涵蓋了幾何學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域.

1.1 幾何應(yīng)用

直角三角形是三角函數(shù)在幾何學(xué)中最常見的應(yīng)用之一.通過三角函數(shù)，可以計(jì)算出任意一條邊的長度以及角的大小.例如，利用正弦定理和余弦定理，可以在不知道全部邊長和角度的情況下，求解任意一個(gè)三角形的邊長和角度.

1.2 物理應(yīng)用

三角函數(shù)在物理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.例如，在轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)中，角速度和角加速度的變化可以用正弦型函數(shù)或余弦型函數(shù)來描述.在聲學(xué)中，聲音的傳播和波動(dòng)也可以用三角函數(shù)來表示.此外，光的折射和反射中也涉及三角函數(shù)的應(yīng)用.

1.3 工程應(yīng)用

三角函數(shù)在測量和計(jì)算中有很多應(yīng)用.例如，通過測量角度和邊長，可以使用三角函數(shù)計(jì)算出無法直接測量的高度、距離和角度.此外，三角函數(shù)還在航海、航空、建筑和地理測量中起著重要的作用，能夠培養(yǎng)學(xué)生的綜合素養(yǎng)和實(shí)際應(yīng)用能力.

2 三角函數(shù)培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)

在新課改下，高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的教學(xué)旨在培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，學(xué)生通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)的相關(guān)概念和性質(zhì)，培養(yǎng)抽象思維、邏輯思維和推理能力，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題，培養(yǎng)問題解決能力和創(chuàng)新思維.在學(xué)習(xí)三角函數(shù)時(shí)，新課改下注重學(xué)生的主體性，鼓勵(lì)學(xué)生通過課前預(yù)習(xí)、課堂互動(dòng)和課后總結(jié)等方式進(jìn)行深入學(xué)習(xí)，掌握建立數(shù)學(xué)模型的方法和技巧，進(jìn)行小組合作和團(tuán)隊(duì)討論.教師引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用三角函數(shù)的知識進(jìn)行分析和求解，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，以及數(shù)學(xué)建模和分析問題的能力^［1］.具體細(xì)化分析如下：

2.1 以合理情境來培養(yǎng)學(xué)生抽象思維素養(yǎng)

在新課改下教學(xué)過程中，教師提供具體的實(shí)際情境，讓學(xué)生通過觀察和分析情境中的問題，從中抽象出數(shù)學(xué)模型和規(guī)律，來引導(dǎo)學(xué)生理解正弦和余弦函數(shù)等高中三角函數(shù)概念，從而培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力^［2］.教師需要在教學(xué)中不斷反思和改進(jìn)，尋找適合自己學(xué)生的教學(xué)方法和策略，以達(dá)到更好的教學(xué)效果.例如，在坐標(biāo)系中畫出這些點(diǎn)，并將它們連接起來形成曲線.橫坐標(biāo)表示角度，縱坐標(biāo)表示函數(shù)值，通過連接這些點(diǎn)，可以得到一個(gè)近似的圖象，表示正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在這些角度上的取值^［3］.

此時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生探究正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)，見表1．

教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過匯總、整合三角函數(shù)的概念及公式，主動(dòng)探究正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：一是給出定義域讓學(xué)生理解正弦、余弦函數(shù)的定義域是整個(gè)實(shí)數(shù)集R.二是繪制基本圖象，讓學(xué)生根據(jù)定義和初等函數(shù)的性質(zhì)，繪制出正弦函數(shù)sin x、余弦函數(shù)cos x和正切函數(shù)tan x在一個(gè)周期內(nèi)（如從0到2π或從－π到π）的基本圖象，幫助學(xué)生理解三角函數(shù)的周期性和曲線形狀^［4］.三是讓學(xué)生觀察并比較這三個(gè)函數(shù)的圖象，引導(dǎo)學(xué)生討論正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的值域都在閉區(qū)間［－1，1］之間的論點(diǎn)，以及正切函數(shù)的值域是整個(gè)實(shí)數(shù)集R.另外，分析正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的最大值是1，最小值是－1，而正切函數(shù)沒有最大值和最小值；正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，周期為2π，正切函數(shù)也是周期函數(shù)，周期為π；余弦函數(shù)是偶函數(shù)，即cos（－x）＝cos x；而正弦函數(shù)、正切函數(shù)是奇函數(shù)，即sin（－x）＝－sin x，tan（－x）＝－tan x.四是通過探究其性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究和驗(yàn)證一些性質(zhì)，在特殊角度上的函數(shù)值，例如sin 0，cos 0，tan 0等，函數(shù)在特定區(qū)間如0，π2上的變化趨勢，尋找最值點(diǎn)和極值點(diǎn)，函數(shù)的增減性、奇偶性和周期性等.五是教師組織學(xué)生小組合作學(xué)習(xí)討論三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，例如在幾何學(xué)、物理學(xué)和工程學(xué)中的應(yīng)用，如波動(dòng)、振動(dòng)和角度計(jì)算等，促進(jìn)學(xué)生理解并掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的基本圖象和性質(zhì)，并進(jìn)一步應(yīng)用到實(shí)際問題中.教師可以在課堂中引入更具有情境感和亮點(diǎn)，讓學(xué)生自主建構(gòu)知識，學(xué)生將在探究和解決問題的過程中，逐漸培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)和應(yīng)用意義.

2.2 以探究性活動(dòng)來培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)

鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)、觀察和發(fā)現(xiàn)，通過自己動(dòng)手探索和推導(dǎo)，理解三角函數(shù)的性質(zhì)和特點(diǎn)，讓學(xué)生通過調(diào)整角度觀察三角函數(shù)圖象的變化，從中發(fā)現(xiàn)正弦、余弦和正切函數(shù)的周期性和對稱性，從而培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力.

教師為了加深學(xué)生對三角函數(shù)的定義域的理解，在課堂上講解歷年考試題的解題步驟，促進(jìn)學(xué)生跟著老師的思路，主動(dòng)探究掌握直觀學(xué)習(xí)的思維想象力，培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)性和學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生逐一攻破數(shù)學(xué)三角函數(shù)的知識難題.

3 結(jié)語

綜上所述，在新課程理念下，教師依據(jù)三角函數(shù)的教學(xué)需求，認(rèn)真落實(shí)在學(xué)生的學(xué)習(xí)上，教師需要引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)地去掌握數(shù)學(xué)基本知識和技能，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維及核心素養(yǎng)，使得學(xué)生掌握各種綜合能力.教師可以利用實(shí)際生活中的問題、案例或故事情節(jié)，引起學(xué)生的興趣和好奇心，通過引入情景，學(xué)生能夠更好地理解和感受數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用背景，從而激發(fā)學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到全面發(fā)展.

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