初中數學教科書中的數學文化研究

周欣　劉彩云

摘 要：教科書中體現數學文化是新課標要求，是發(fā)展學生核心素養(yǎng)的現實路徑，同時也是傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的重要手段.本文以人教版七年級數學教科書為研究對象，以數學文化的“欄目分布”“內容分類”“融入功能”“認知水平”4個維度構建分析框架，并對其在“數與代數”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”4大領域的呈現和運用進行研究.研究結果顯示：教科書中的數學文化內容豐富，但各個維度在不同領域下分布不均衡，建議新一輪教材編訂時深入挖掘豐富多樣的文化素材，合理規(guī)劃4大領域中數學文化的比例，建議教師深入研讀教材內容，優(yōu)化教學設計，探究多樣數學文化融入數學教學的路徑.

關鍵詞：數學文化；數學教科書；初中數學教學

自2003年《普通高中數學課程標準（實驗）》正式提出“數學文化”概念，2011年《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標2011年版》）明確要求把數學文化滲透在數學教材中^［1］，教育部將數學文化融入數學課堂作為基礎教育新課程改革的重要內容，數學文化成為數學教育領域的熱門話題，各種有關數學文化的研究在全國各地展開.如顧沛教授在南開大學開設的數學文化課程，分別從數學問題、數學典故、數學觀點三個角度切入，展開數學文化^［2］.宋乃慶教授帶領西南大學團隊編寫了適應于小學的《數學文化讀本》，隨后應用于全國200余所小學；華東師范大學汪曉勤專注于數學史融入數學教學（HPM）方面的研究，從理論構建到實踐拓展、從教材到教學設計，密切關注數學史與數學思想在數學課堂中的落實^［3］.近年來，隨著《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標2022年版》）的發(fā)布，數學文化的地位愈加凸顯，《課標2022年版》在課程內容的設置上提出“關注數學學科發(fā)展前沿與數學文化，繼承和弘揚中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”^［4］.

關于數學文化的內涵，國內外學者從不同角度對數學文化進行了定義.美國著名數學家和數學教育家M.克萊因（M.Kline，1908－1992）率先提出：“知識是一個整體，數學是這個整體的一部分.每一個時代的數學都是這個時代更廣闊的文化運動的一部分.我們必須將數學與歷史、科學、哲學、社會科學、藝術、音樂、文學、邏輯學以及與所講主題相關的別的學科聯(lián)系起來.我們必須盡可能地組織教材，使數學的發(fā)展與我們的文明和文化的發(fā)展聯(lián)系起來”^［5］.顧沛教授分別從狹義和廣義兩個方面對數學文化的內涵進行闡述：“狹義的數學文化內涵是指數學思想、精神、方法、觀點以及它們的形成和發(fā)展；廣義上的數學文化除上述內涵外，還包含數學家、數學史、數學美、數學教育、數學與人文的交叉、數學與各種文化的關系等”^［6］.《普通高中數學課程標準（2017年版）》首次對數學文化進行了定義：“數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展；還包括數學在人類生活、科學技術、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動”^［7］.學者們都從文化的角度指出了數學文化的顯性與隱性組成要素，尤其關注數學對文明發(fā)展的作用以及與其他學科領域的聯(lián)系.

數學教科書是落實數學課程標準、傳遞數學學科內容、指導教師數學教學、引領學生數學學習的重要工具，同時也是滲透優(yōu)秀數學文化的重要載體.研究教科書中的數學文化，能夠幫助教育工作者立足于教材進行教學設計，更好地激發(fā)學生的數學學習興趣，幫助學生更好地認識數學、理解數學、學習數學.將《課標2022年版》與《課標2011年版》相比，課程內容依舊由“數與代數”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”4大領域組成.基于此，本研究擬從數學文化的欄目分布、內容分類、融入功能、認知水平4個維度進行數據挖掘與詳細分析，以人教版七年級數學教科書為研究對象，將4個維度和4大領域中的呈現和運用做詳細研究，以期數學文化在初中數學教學中的價值得到最大的展現.

1 研究設計

1.1 研究對象

選取人民教育出版社2012年出版的《義務教育教科書·數學》七年級（2冊）（以下簡稱教科書）為研究對象，人教版數學教科書是根據2011年頒布的國家《義務教育數學課程標準（2011年版）》編寫的，是我國大多數地區(qū)所使用的一部教材，具有代表性與影響力，能夠反映我國最新的課程理念.

1.2 分析框架

1.2.1 數學文化的欄目分布

教科書被劃分出諸多欄目，本研究通過梳理教材，將欄目設置為導入、旁白、例題、習題、閱讀材料5個欄目.根據這個劃分標準，對教科書中的欄目分布進行統(tǒng)計.其中導入是指正文開始之前引入的數學文化內容，如引入活動、圖片、文字表達等；旁白為在正文中間補充的圖片或注釋；例題是教材中給出答案和解題步驟的題目；習題是教材中沒有給出答案，需要學生在學習完本節(jié)課內容后獨立完成的題目；閱讀材料為正文結束后與正文相關的拓展知識.

1.2.2 數學文化的內容分類

關于數學文化的內容分類，國內外學者有不同的觀點，Fan等人基于信仰、價值觀以及與地理、人工制品、動植物、組織行為方式、習俗、歷史和身份的互動方式，在數學教科書中開發(fā)了文化因素的概念框架^［8］.王建磐等人通過分析中、法、美三國四套教材，結合數學家的經驗，總結出適合中西方的數學文化框架，將數學文化的內容分為數學史、數學與現實生活、數學與科技生活、數學與人文藝術4個類型^［9］.汪曉勤教授基于數學實踐哲學和數學教學活動文化觀，從數學史和教育學的角度出發(fā)總結出數學及其歷史的文化價值可分為5個維度：知識源流、學科聯(lián)系、社會角色、審美娛樂、多元文化^［10］.基于對上述數學文化內容的理解，本研究采用王建磐的數學文化內容分析框架進行研究，見表1.

1.2.3 數學文化的融入功能

本文采用Dickenson－Jones建構的“教學內容——文化實踐”數學文化價值體系，對于數學文化融入數學教材的功能劃分，主要分為提供背景性情境、提供應用性情境、拓展數學思維與方法、促進數學與文化交融、體驗文化實踐5個方面^［11］，具體描述見表2.

1.2.4 數學文化的認知水平

本研究借鑒Stein等人對數學任務的分類，將教科書中數學文化的認知水平分為了了解性、無聯(lián)系程序性和聯(lián)系程序性三類^［12］，見表3.

2 研究結果

2.1 數學文化的欄目分布

對教科書中數學文化的欄目分布進行統(tǒng)計，教材中總共融入了190處數學文化.從總量上來看，習題中滲透的次數最多，高達103次，例題次之，共34次，引入、閱讀材料和旁白相對較少，分別為24次、19次和10次.可見，例題和習題是教科書呈現數學文化的主要方式.在統(tǒng)計過程中發(fā)現，例題與習題中涉及的數學文化內容主要以相關問題情境出現，以這種問題情境為載體滲透數學文化是教科書編排的主要特色，這種編排方式在一定程度上能夠激發(fā)學生解決數學問題的興趣.

分析具體數據可知，在“數與代數”領域，習題欄目占比較大，例題比較突出，旁白與閱讀材料有所缺失，這也是由教科書的特色所決定的.在引入和旁白欄目中，“圖形與幾何”領域數學文化的呈現高于其他三個領域，這是因為該領域幾何圖形部分融入了大量與現實生活有關的圖片激發(fā)學生興趣.在“統(tǒng)計與概率”和“綜合與實踐”領域，數學文化在引入、旁白、閱讀材料、例題中體現得明顯不足，由此可以看出，這兩個領域的文化素材比較少，展示出的文化素材主要分布在習題中，很難深入到課程本身.

2.2 數學的文化內容分類

對教科書中數學文化的內容分類進行統(tǒng)計，數學文化融入教科書的內容中，數學與現實生活最多，共106處，數學與科技生活次之，共44處，數學史、數學與人文藝術在4大領域中占比都很少，分別占22處和18處，說明教材突出數學學科和現實生活與科技生活領域的聯(lián)系，旨在向學生傳達數學源于生活、服務于生活的理念.

在4大領域中的數學文化的內容分布有顯著性差異，分析圖表可知，數學史在教科書中共呈現了22次，有17處屬于“數與代數”領域，但在“綜合與實踐”領域并未涉及數學史，在“統(tǒng)計與概率”中也只有1處呈現，所以教科書中與數學史有關的內容幾乎都是“數與代數”領域中一些有關數的由來、發(fā)展起源以及數學家等內容的介紹.在“數與代數”領域，數學文化的分類不均衡，數學與現實生活遠遠高于其他三類，其次是數學與科技生活，數學史和數學與人文藝術的內容較少.數學與人文藝術在“圖形與幾何”領域高于其他三個領域，這是由于圖形與幾何中繪畫、建筑類的藝術作品較多.

2.3 數學文化的融入功能

對教科書中數學文化的融入功能進行統(tǒng)計，從圖3中可以看出，教科書特別強調提供應用性情境，共計97處，這也體現了教科書重視數學的應用價值.其次是提供背景性情境、促進數學與文化交融、拓展數學思維與方法、體驗文化實踐，可見，教科書充分考慮到了數學文化功能的多樣性.

對教科書中數學文化融入的5種功能深入分析，每種功能融入的價值并不完全相同.在“數與代數”領域，數學文化功能主要在于提供應用性情境，是排在第二位的促進數學與文化交融的3倍左右，原因在于應用型練習題數量較大.值得注意的是，“統(tǒng)計與概率”領域5種功能在教科書中都有所體現，但提供應用性情境占據總量一半以上，其他數學文化的功能融入有待深化.在“綜合與實踐”領域，拓展數學思維與方法在教科書中占比最多，出現這一現象與該領域本身的特點有關，如一些數學活動往往是跨學科主題學習，這種形式更適合發(fā)展數學思維.此外，體驗文化實踐在4個領域中僅占2處，未能深入融入教科書.

2.4 數學文化的認知水平

對教科書中數學文化的認知水平進行統(tǒng)計，教科書中聯(lián)系程序性數學文化占比最大，共計105處，無聯(lián)系程序性數學文化共計44處，了解性數學文化共計41處.從總體上分析，教材對數學文化的認知水平較高，半數以上數學文化需要學生付出認知努力加以理解.

進一步分析具體數據可知，“數與代數”領域在三種認知水平中呈現次數都是最高的，因為“數與代數”領域是中學課程中所占比重最大的一部分.“圖形與幾何”領域在各個水平中的分布大致相同，對學生認知水平要求較低，55處“圖形與幾何”中僅有17處聯(lián)系程序性，說明絕大多數題目可以把題目中的數學文化背景進行替換或者刪除，不會影響問題的解決，可見，“圖形與幾何”與文化融合程度不高.教科書對“統(tǒng)計與概率”和“綜合與實踐”領域認知要求較高，雖然這兩個領域在數量上不是最多的，但是在19處“統(tǒng)計與概率”中15處為聯(lián)系程序性，11處“綜合與實踐”中10處為聯(lián)系程序性，可見這兩個領域與文化情境是密切聯(lián)系的，學生在問題解決的程序中需要付出認知努力解決問題.

3 結論與啟示

總體來看，教科書中數學文化在4個維度都有呈現，且每個維度在4個領域的分布都有顯著差異，在每個維度中都是“數與代數”領域的數學文化最多，主要原因在于“數與代數”是初中數學的主要內容.“統(tǒng)計與概率”和“綜合與實踐”領域的數學文化內容還有待加強.

從欄目分布上來看，數學文化在各個欄目均有所呈現.例題與習題在各個領域體現次數最多，說明教材編寫者注重將生活情境、數學情境、科學情境等文化素材融入到問題情境中，以求學生能夠在現實生活中抽象出數學問題，發(fā)展抽象能力與創(chuàng)新意識，逐步會用數學的眼光觀察現實世界.在新一輪教材編寫過程中，要進一步加強文化背景與數學的關聯(lián)度，在問題解決過程中提升對數學文化的認識；要注重數學文化在引入以及閱讀材料中的滲透，深入挖掘“統(tǒng)計與概率”和“綜合與實踐”領域的文化素材，在引入部分滲透數學史或數學與科技生活，幫助學生了解概念的起源與發(fā)展，感受數學的應用價值，從而激發(fā)學生的學習動機.閱讀材料往往借助較大篇幅的文字出現，不僅可以促進學生閱讀能力的提升，同時也能拓寬學生的知識視野，加深學生對所學內容的理解.

從內容分類來看，數學家華羅庚曾說過：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日月之繁，無處不用到數學.”^［13］《課標2022年版》中要求學生“體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯(lián)系”.體現數學來源于生活又廣泛地應用于現實生活的特征，同時也在一定程度上說明數學學科與其他學科聯(lián)系之密切.數學文化強調跨學科互動與知識的整合，這與STEAM教育強調學科融合、解決真實問題的教育理念具有高度的一致性.經研究發(fā)現，數學與科技生活的聯(lián)系在各個領域的融入并不突出，教科書可以根據這一特征，融入更多學科融合教育元素，開發(fā)數學文化項目學習案例，打破學科之間的限制，培養(yǎng)學生跨學科思維，體現數學文化多學科、多維度的育人價值.最后，數學史滲透的總量少且不平衡，數學史料主要集中在“數與代數”領域，為此，教師在課堂教學中要深入分析各個領域教學內容，積極利用其涉及的數學史，在進行教學設計時，可將數學史作為引入放在課前，作為書本知識的支撐放在課中，作為書本知識的補充或拓展放在課后，“綜合與實踐”活動是培養(yǎng)學生全面發(fā)展的重要途徑，教師可以結合數學史本身的內容屬性，開展數學游戲、數學家的故事演講比賽、制作數學史手抄報或黑板報等活動融入數學史.

從融入功能來看，首先，教科書在各個領域都重視數學的應用功能，隨著大數據、人工智能的發(fā)展，數學的應用領域也應與時俱進、不斷拓展，從學生熟悉的生活與社會情境，以及符合學生認知發(fā)展規(guī)律的數學與科技情境中，逐步培養(yǎng)學生用數學的眼光發(fā)現和提出問題，發(fā)展學生應用意識和創(chuàng)新意識.其次，4個領域都沒能突出數學文化體驗文化實踐的功能，尤其是在當前“雙減”背景下義務教育改革探索新出路階段，教師更要在課堂各個環(huán)節(jié)有機滲透體驗文化實踐，為學生充分的實踐、探究留出時間，起到減負增效的作用.最后，初中階段的學生從童年期向青年期過渡，從具體運算階段向形式運算階段過渡，這個時候他們的抽象邏輯思維占主導地位^［14］，在教材編寫中發(fā)揮數學文化拓展思維與方法的功能，學生通過這些思維訓練，能用數學的思維方法，綜合運用數學與其他學科的相關知識，有邏輯地分析問題，提升思維能力，逐步形成“會用數學的思維思考現實世界”的核心素養(yǎng).

從認知水平來看，整體上教材對數學文化的認知水平提出了較高要求，但在“圖形與幾何”領域，教材中大多使用的文化素材目的是讓學生了解而非理解，學生不需要將素材與題目相聯(lián)系就可以解決問題，文化素材與教學內容聯(lián)系性不強.究其原因，是現有的教材缺乏與“圖形與幾何”深入聯(lián)系的數學文化情境，所以建議在教材修訂中適當加強這方面內容.在“統(tǒng)計與概率”和“綜合與實踐”領域與數學文化緊密聯(lián)系，教師在教學過程中要恰當融入教科書中提供的文化素材，避免數學文化融入的工具性，數學文化的融入不僅僅是給學生講授幾個文化素材，而是要深入挖掘其中體現的數學思想，探究多元文化融入教學的現實路徑.

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