硬磁軟材料輸流管的屈曲不穩(wěn)定性分析1)

馬地龍 王 琳 ,2) 陳 偉 ?,,3)

* (華中科技大學(xué)航空航天學(xué)院工程力學(xué)系,武漢 430074)

? (華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院,武漢 430074)

** (智能制造裝備與技術(shù)全國(guó)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,武漢 430074)

引言

輸流管道是一類典型的工程結(jié)構(gòu),廣泛應(yīng)用于海洋工程、航空與航天工程、核反應(yīng)器[1]等重大工程領(lǐng)域.Bourriéres[2]是輸液管動(dòng)力學(xué)研究的先驅(qū)之一,他推導(dǎo)了管道的線性振動(dòng)方程,并以懸臂邊界為例開展穩(wěn)定性研究.Niordson[3]對(duì)兩端簡(jiǎn)支管道在輸送流體時(shí)的失穩(wěn)行為進(jìn)行了研究.他們的研究發(fā)現(xiàn)[2-3],管道的固有頻率會(huì)隨管內(nèi)流體速度的變化而改變.Handelman[4]通過求解輸流管系統(tǒng)的矩陣特征值,研究了系統(tǒng)的穩(wěn)定性行為.通過綜述前人大量研究工作,Paidoussis[5]全面總結(jié)了輸流管動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性的4 種問題:(1) 內(nèi)部流體作用下細(xì)長(zhǎng)管道的穩(wěn)定性;(2) 軸向外流作用下細(xì)長(zhǎng)管道的振動(dòng)響應(yīng);(3) 層間流體作用下共軸圓柱殼體結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)行為;(4) 橫向外流作用下管束的渦激振動(dòng)響應(yīng).這一系統(tǒng)性的綜述論文為后續(xù)的深入研究提供了重要參考.

隨著工程實(shí)際結(jié)構(gòu)對(duì)可靠性要求的不斷提高,輸流管道[6-7]的動(dòng)力學(xué)分析和調(diào)控得到了迅猛發(fā)展.典型的應(yīng)用場(chǎng)景包括熱交換管道、空中加油管道、火箭發(fā)動(dòng)機(jī)燃油管道和噴墨印刷的供墨管道等.輸流管道的動(dòng)力學(xué)行為實(shí)質(zhì)上是流體與管道結(jié)構(gòu)的相互作用(流固耦合作用),內(nèi)流可以產(chǎn)生出作用于管道上的離心力和科里奧利力,同時(shí)管道變形或振動(dòng)又會(huì)對(duì)內(nèi)流的流動(dòng)行為造成影響.此外,這種流固耦合行為還會(huì)受到諸如結(jié)構(gòu)與流體屬性[8-9]、邊界條件和外部激勵(lì)[10-14]等因素的影響.例如,Wang 等[15]對(duì)松動(dòng)支撐下輸流管道的非線性動(dòng)力學(xué)行為進(jìn)行了研究,揭示了間隙約束的幾何和物理參數(shù)對(duì)管道穩(wěn)定性和振動(dòng)行為的影響規(guī)律.Oyelade 等[16]研究了輸送兩相高壓熱流體時(shí)微彎管道的動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性,揭示了兩相流及幾何缺陷等參數(shù)對(duì)管道動(dòng)力學(xué)行為的影響機(jī)制.

近年來,學(xué)者們?cè)谡J(rèn)識(shí)輸流管振動(dòng)機(jī)理的基礎(chǔ)上,正進(jìn)一步研究系統(tǒng)穩(wěn)定性和動(dòng)力學(xué)行為的調(diào)控技術(shù).比較常用的調(diào)控方法是采用彈簧-阻尼組合下的減振器進(jìn)行被動(dòng)調(diào)控,如非線性能量阱[17-18]、慣容器[19-20]等.然而,這類方法并不適用于軟材料輸流管的動(dòng)力學(xué)調(diào)控.上述減振器本身具有一定質(zhì)量,雖然適用于金屬等彈性模量較大的管道,但容易局部改變軟質(zhì)管道的橫截面形狀.因此,有必要提出適用于軟材料管道的新調(diào)控方法.

近年來,有研究報(bào)道顯示,活性材料結(jié)構(gòu)在外加電[21-22]、光[23]、熱[24]和磁[25-29]等外場(chǎng)調(diào)控下可實(shí)現(xiàn)力學(xué)行為的調(diào)節(jié),并被認(rèn)為是一種很有潛力的新調(diào)控技術(shù).相較于其他物理場(chǎng)調(diào)控,磁場(chǎng)調(diào)控具有力輸出大、響應(yīng)迅速和無線操控等優(yōu)勢(shì)[30-31].最近,一種通過在軟材料基底里嵌入硬磁顆粒制作而成的新材料[32]引起了研究人員的廣泛注意.這類磁學(xué)上硬、力學(xué)上軟的材料被稱為硬磁軟材料.為了滿足不同磁性器件的功能性及結(jié)構(gòu)性要求,可采用3D 直寫打印的方法來制成所需元件[33-34].例如,可將硬磁顆?；螂x散磁鐵嵌入到高彈體基質(zhì)中,將其加溫至熔融狀后從噴嘴擠出,之后再通過調(diào)控噴嘴附近的磁場(chǎng)方向,可實(shí)現(xiàn)各種磁活性細(xì)長(zhǎng)結(jié)構(gòu)的磁化矢量[35]可編程化制造.

硬磁軟材料因其性能優(yōu)越,被認(rèn)為有巨大的工程應(yīng)用潛力.例如,磁調(diào)控下的膠囊機(jī)器人[36]和微納機(jī)器人[37]可以沿著血管或消化系統(tǒng)進(jìn)入人體,完成活檢和藥物運(yùn)送.還有報(bào)道顯示,一類磁驅(qū)軟體機(jī)器人[38-39]通過磁調(diào)控可在大腦狹窄的血管中行進(jìn)并完成藥物輸送.Wang 等[40]設(shè)計(jì)了一種清除血栓的磁軟導(dǎo)線,通過磁控制可將導(dǎo)線精準(zhǔn)地伸入到血管內(nèi)部,直達(dá)病灶部位并完成清除工作.總體而言,硬磁軟材料的磁學(xué)性質(zhì)較為穩(wěn)定,可用于受限空間內(nèi)的無線操控.正因?yàn)槿绱?磁調(diào)控方法備受關(guān)注.

特別地,對(duì)于輸送藥物的新型醫(yī)療器械來說,將流體器械設(shè)計(jì)成管狀結(jié)構(gòu)是一種可能方案.但是,現(xiàn)有的管狀硬磁軟結(jié)構(gòu)的力學(xué)分析及其應(yīng)用研究主要集中在沒有內(nèi)部流體(藥物)的理想情形,而基于硬磁軟材料技術(shù)的輸流管磁調(diào)控的研究工作還較少.Chen 等[30]首次研究了硬磁軟材料制成的輸流管道的動(dòng)力學(xué)行為和穩(wěn)定性.Guo 等[25]分析了局部磁化的硬磁軟管的靜變形、動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性和非線性動(dòng)態(tài)響應(yīng)問題.Dehrouyeh-Semnani[41]將輸流管磁驅(qū)控制的應(yīng)用場(chǎng)景拓展至非均勻磁化構(gòu)型.需要指出的是,當(dāng)前這方面的研究主要集中于懸臂輸流管道問題,很少涉及兩端支撐邊界條件下的輸流管道問題.事實(shí)上,在海底輸油/輸氣管、航空加油管和核工程傳熱管等諸多應(yīng)用場(chǎng)景中[42],柔性管道大都具有兩端支撐的邊界條件.而磁調(diào)控下的微創(chuàng)手術(shù)、藥物輸送等領(lǐng)域[38-39]所采用的硬磁軟材料管道,其兩端邊界條件比較復(fù)雜,還可能是時(shí)變的,故不可簡(jiǎn)單地視為懸臂邊界條件.為此,有必要進(jìn)一步研究?jī)啥酥螚l件下輸流管道的磁調(diào)控原理.

基于以上分析,本文著重研究上端鉸支、下端可軸向滑動(dòng)鉸支的輸流管道系統(tǒng)的硬磁調(diào)控特性.首先基于Hamilton 原理,推導(dǎo)了鉸支-可滑動(dòng)鉸支邊界下硬磁軟材料輸流管道的非線性動(dòng)力學(xué)方程;然后,通過Galerkin 離散方法實(shí)現(xiàn)了模型降階,并在此基礎(chǔ)上分析了管道的穩(wěn)定性,計(jì)算了管道的非線性力學(xué)響應(yīng);最后,對(duì)輸流管道的后屈曲行為進(jìn)行了參數(shù)分析,并得出一些重要結(jié)論.

1 硬磁軟材料輸流管力學(xué)模型

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

本文考慮由硬磁軟材料制成的單位長(zhǎng)度質(zhì)量為m的輸流管道,其長(zhǎng)度為L(zhǎng),密度為ρ,彎曲剛度為EI,橫截面積為A;管道輸送流速為U的不可壓縮流體,流體單位長(zhǎng)度質(zhì)量為M.如圖1 所示的坐標(biāo)系,外加磁場(chǎng)的磁通量密度Ba是均勻的,其方向與x0軸正方向之間的夾角為α,管道變形前后的殘余磁通量密度分別記為和Br.

圖1 鉸支-可滑動(dòng)鉸支硬磁軟材料輸流管模型Fig.1 A hard-magnetic soft pipe conveying fluid with an upstream pinned end and an axially sliding downstream end

為了簡(jiǎn)化硬磁軟材料輸流管道動(dòng)力學(xué)控制方程的推導(dǎo)過程,本文引入以下假設(shè):(1)初始狀態(tài)下,管道變形前呈直線形狀并豎直向下,管軸線與x0軸正方向一致;(2) 管道邊界條件為鉸支-可滑動(dòng)鉸支;(3)管道細(xì)長(zhǎng)且軸線不可伸長(zhǎng),因此歐拉-伯努利梁理論是適用的;(4)管道僅在豎直平面內(nèi)變形或運(yùn)動(dòng);(5)管內(nèi)流體的流動(dòng)為定常流動(dòng);(6)管道是均勻磁化的,即殘余磁通密度大小恒定,方向總是沿著梁的軸線方向向下.

在后續(xù)分析中,u和w依次記為管道軸線的軸向位移和橫向位移,θ為管道變形后軸線的轉(zhuǎn)角,dx0和ds分別表示管道單元變形前后的長(zhǎng)度.根據(jù)管軸線不可伸長(zhǎng)假設(shè),dx0=ds.因此,管道的軸線位移可表達(dá)為[26]

結(jié)合管道初始形態(tài),管道變形后的軸線位置矢量xi+yj的兩個(gè)分量x和y可表示為

輸流管系統(tǒng)的總動(dòng)能包括管道動(dòng)能和流體動(dòng)能兩部分,其變分為

其中“·”代表對(duì)時(shí)間變量t求導(dǎo)數(shù),“′”代表對(duì)空間變量x0求導(dǎo)數(shù).

系統(tǒng)勢(shì)能由彈性勢(shì)能、重力勢(shì)能以及磁勢(shì)能3 部分組成,其中系統(tǒng)彈性勢(shì)能的變分式為[5]

式中I是管道橫截面關(guān)于中性軸的慣性矩.

輸流管系統(tǒng)重力勢(shì)能的變分式為

其中g(shù)是重力加速度.式(5)涉及到δx,由于控制方程的推導(dǎo)需要統(tǒng)一變量變分,因此需要找到δx與δy之間的關(guān)系,這需要借助不可擴(kuò)展性條件來進(jìn)行.在鉸支-可滑動(dòng)鉸支邊界下,基于x0=0 處的δy=0,可得[5]

通過使用變分積分交換式[5]

經(jīng)過變換,最終得到重力勢(shì)能的變分式為

所考慮的外加磁場(chǎng)Ba為恒定磁場(chǎng),磁場(chǎng)方向與軸x0之間的夾角為α,其表達(dá)式為

根據(jù)假設(shè)(6),硬磁軟材料管的非均勻殘余磁通量密度在各分段中是均勻的,殘余磁通密度Br為

由于變形后剩余磁通密度的方向仍與管道的軸線一致,當(dāng)前構(gòu)型下管道的磁勢(shì)能密度為[26]

將式(11)沿著管道橫截面和長(zhǎng)度積分,再變分后可得到磁勢(shì)能變分式如下

本文考慮的輸流管道系統(tǒng)包括動(dòng)能T、彈性勢(shì)能V、重力勢(shì)能G和磁勢(shì)能Vm這4 個(gè)部分,因此,系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù) L 可寫成

因管道末端可以軸向移動(dòng),故本文考慮的輸流管屬于開放系統(tǒng),其相對(duì)應(yīng)的擴(kuò)展Hamilton 原理為[5]

本文考慮的軟質(zhì)管道具有黏彈性屬性,此時(shí)需要在方程中添加耗散項(xiàng).根據(jù)Kelvin–Voigt 型[1]黏彈性本構(gòu)模型,可將前文中的彈性模量更換為相應(yīng)的黏彈性形式,即

其中b為材料中的Kelvin–Voigt 阻尼系數(shù).進(jìn)行黏彈性修正后,將式(3)、式(4)、式(6)、式(8)和式(12)代入式(14)中,可得到硬磁軟材料輸流管系統(tǒng)的振動(dòng)控制方程如下

磁調(diào)控方法是通過外加磁場(chǎng)對(duì)磁性材料施加磁場(chǎng)作用力,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)管道的穩(wěn)定性和彎曲變形的調(diào)控.本文所考慮的管道是通過往橡膠等軟質(zhì)材料中有序嵌入微磁顆粒而制成,表現(xiàn)出磁活性.從力學(xué)上來講[40,43],均勻磁化管道在均勻外磁場(chǎng)作用下所受的磁場(chǎng)力表現(xiàn)為端部的集中力.式(16)中最后一項(xiàng)就是參與系統(tǒng)做功的磁場(chǎng)力軸向分量相關(guān)項(xiàng).為便于后續(xù)研究,引入以下無量綱參數(shù)

其中,β是單位長(zhǎng)度管內(nèi)流體的質(zhì)量與單位長(zhǎng)度輸流管系統(tǒng)質(zhì)量之比,μ是無量綱的黏彈性系數(shù),v是無量綱流速,γ是無量綱重力參數(shù),P是無量綱磁場(chǎng)力,η是管道軸線的無量綱橫向位移,ξ和τ分別是管道系統(tǒng)的無量綱空間坐標(biāo)變量和時(shí)間變量.將式(17)代入方程(16),管道的非線性振動(dòng)方程可重新寫成以下的無量綱形式

2 求解方法

本節(jié)將對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)控制方程求解.首先,采用Galerkin 離散方法將偏微分方程(18)降階為有限數(shù)量的常微分方程組,再采用4 階變步長(zhǎng)龍格-庫塔方法進(jìn)行迭代求解.

2.1 數(shù)值離散方法

首先對(duì)含有二階時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)的非線性項(xiàng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化,可借助下式完成[5]

非線性黏彈性項(xiàng)對(duì)結(jié)果影響有限,在計(jì)算過程中通常只保留其中的線性黏彈性項(xiàng)[1].因此,轉(zhuǎn)化后的非線性偏微分方程可寫成

鉸支-可滑動(dòng)鉸支相對(duì)應(yīng)的邊界條件為

基于Galerkin 數(shù)值離散方法,管道軸線的橫向位移可近似寫成

式(23)中的非線性項(xiàng)可以使用矩陣變換[6]的方法得到,具體形式如下

方程組(27)可采用Matlab 程序中的ODE45 函數(shù)實(shí)現(xiàn)變時(shí)間步長(zhǎng)的龍格-庫塔方法求解,其中

2.2 收斂性分析

為了確保Galerkin 近似的精度,需要選擇合適的N并進(jìn)行收斂性分析.參照文獻(xiàn)[1,26],我們選取以下計(jì)算參數(shù)和初值,基于方程(20)進(jìn)行收斂性分析

除q1外,其他廣義坐標(biāo)的初值均取為0.

不同模態(tài)截?cái)鄶?shù)N取值下,管道中點(diǎn)橫向位移隨內(nèi)流速增大的分岔曲線如圖2 所示.圖中選取了N為4,5 和6 的3 種情況.可以發(fā)現(xiàn),當(dāng)N=5 時(shí),Galerkin 截?cái)嘟频慕Y(jié)果已經(jīng)收斂.因此,本文在后續(xù)的計(jì)算中均選取N=5 開展計(jì)算.

圖2 不同模態(tài)截?cái)鄶?shù)N 下以流速為控制變量的管道中點(diǎn)橫向位移分岔圖Fig.2 Bifurcation diagram for the midpoint's transverse displacement of the pipe with various flow velocities when different values of N is chosen for calculations

3 穩(wěn)定性分析

3.1 線性頻率分析

為了判斷管道系統(tǒng)的失穩(wěn)形式,需要分析輸流管系統(tǒng)的線性動(dòng)力學(xué)行為,方程(20)的線性化形式為

本節(jié)通過Galerkin 方法離散方程(30),求解時(shí)仍沿用式(29)中的無量綱參數(shù).

圖3 給出了輸流管系統(tǒng)前3 階特征值隨流速變化的演化曲線,其中Im(ω) 代表無量綱振動(dòng)頻率,Re(ω)為與管道阻尼有關(guān)的特征值實(shí)部.由圖3 可知,隨著流速的增大,輸流管系統(tǒng)的第一階振動(dòng)頻率Im(ω)減小,但Re(ω)保持不變;當(dāng)流速增大至某一臨界值時(shí),第一階模態(tài)的Im(ω)減小至0;當(dāng)流速大于該臨界值時(shí),第一階模態(tài)的Im(ω)=0,此時(shí)對(duì)應(yīng)的Re(ω) >0,管道將發(fā)生屈曲失穩(wěn).以上計(jì)算結(jié)果表明,管道在臨界流速下發(fā)生了第一階模態(tài)的屈曲失穩(wěn),不會(huì)出現(xiàn)顫振失穩(wěn).對(duì)于邊界條件為鉸支-可滑動(dòng)鉸支的輸流管道系統(tǒng)而言,這種靜態(tài)失穩(wěn)方式是合理的.當(dāng)內(nèi)流速超過臨界流速之后,線型模型預(yù)測(cè)的固有頻率是關(guān)于未變形管道的直線構(gòu)型[44-46],不是關(guān)于屈曲位形,因此上述分析存在一定的局限性.但是,本文更為關(guān)注的是在結(jié)構(gòu)失穩(wěn)之后磁調(diào)控對(duì)屈曲構(gòu)形的影響,因此進(jìn)行特征值分析的主要目的是得到臨界流速值.

圖3 輸流管系統(tǒng)前3 階特征值隨流速變化的結(jié)果Fig.3 The variation of the first three eigenvalues of the fluid-conveying pipe system with various flow velocities

3.2 臨界流速分析

圖4 給出了臨界流速vcr隨磁場(chǎng)力P及磁偏角α增大的變化圖.如圖4(a),當(dāng)α=π/3 時(shí),令P值從0 增大到20,臨界流速單調(diào)增大;在圖4(b) 中,當(dāng)P=10 時(shí),令α值從0 增大到2,臨界流速逐漸減小.可以得出,單獨(dú)改變P或α?xí)沟门R界流速單調(diào)增大或減小.

圖4 輸流管系統(tǒng)臨界流速隨參數(shù)變化的結(jié)果Fig.4 The result of the change of critical flow rate of the pipeline system with parameters

臨界流速vcr既受到磁場(chǎng)力P的影響,也受到磁偏角α的影響,這是因?yàn)榇帕?xiàng)是由這兩個(gè)參數(shù)組成的.因此,在利用磁場(chǎng)力調(diào)控系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí),需要同時(shí)考慮磁場(chǎng)力的方向及其大小.

4 非線性行為分析

4.1 對(duì)比驗(yàn)證

在本節(jié)中,令磁場(chǎng)力P=0,從而將磁力項(xiàng)退化,再與Jiang 等[1]的理論結(jié)果進(jìn)行比較,以驗(yàn)證本文求解非線性問題的正確性.圖5 對(duì)比了本文結(jié)果與Jiang等[1]退化到二維平面問題的計(jì)算結(jié)果,可以看出:當(dāng)磁力項(xiàng)退化為0 時(shí),兩者結(jié)果完全一致,從而證實(shí)了本文計(jì)算程序是可靠的.

圖5 磁場(chǎng)力為零時(shí)管道中點(diǎn)橫向屈曲位移的分岔圖結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison of bifurcation results of the transverse buckling displacement at the midpoint of the pipe when the magnetic field force is zero

4.2 初值條件的選取

對(duì)于靜態(tài)分岔,初值條件的選取可能對(duì)其計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生影響,因此需要選取合理的初值條件,使計(jì)算結(jié)果能夠涵蓋所有可能的穩(wěn)態(tài)解.本節(jié)沿用式(29)中的參數(shù),取廣義坐標(biāo)q1=±0.0025,±0.0125,±0.025 和 ±0.05 為非零初值進(jìn)行計(jì)算.

從圖6 和圖7 可以看出,當(dāng)流速低于臨界流速時(shí),輸流管保持靜止,此時(shí)管道處在零平衡位置;當(dāng)流速高于臨界值時(shí),輸流管系統(tǒng)發(fā)生靜態(tài)屈曲失穩(wěn).隨著流速增大,輸流管中點(diǎn)屈曲位移將出現(xiàn)“先增大后減小”的現(xiàn)象,輸流管道下游端的軸向位移同樣出現(xiàn)了這樣的趨勢(shì),但其在高流速下的幅值變化較小.

圖6 不同初值條件下管道中點(diǎn)屈曲位移分岔圖Fig.6 Bifurcation diagram of pipe midpoint's transverse buckling displacement for different initial conditions

圖7 不同初值條件下管道末端軸向位移分岔圖Fig.7 Bifurcation diagram of the tip end's axial displacement of the pipe for different initial conditions

管道中點(diǎn)屈曲位移的最大值為0.2 左右,管道下游端軸向位移的最大值在0.25 左右,這兩種位移處在相同的量級(jí),因而都可以直觀的從整體屈曲形狀圖觀察到.本文計(jì)算發(fā)現(xiàn),不同的初值下計(jì)算結(jié)果相同,因此下文中均以q1(0)作為初值開展計(jì)算.

4.3 磁場(chǎng)力和磁偏角對(duì)屈曲位移的影響

本節(jié)將分析磁場(chǎng)力P和磁偏角α對(duì)輸流管非線性力學(xué)響應(yīng)的影響,系統(tǒng)無量綱參數(shù)取值為β=0.142,μ=0.005,γ=18.9.

圖8 展示了不同磁偏角α下磁場(chǎng)力對(duì)管道中點(diǎn)橫向屈曲位移的影響.當(dāng)流速小于臨界值時(shí),輸流管在靜態(tài)平衡位置保持靜止;當(dāng)流速大于臨界值時(shí),輸流管以靜態(tài)分岔形式發(fā)生屈曲失穩(wěn),且臨界流速的大小會(huì)受到磁場(chǎng)力的影響.

圖8 不同磁偏角下管道中點(diǎn)橫向位移分岔圖Fig.8 Bifurcation diagrams for the lateral displacement at the pipe's

當(dāng)α<π/2 時(shí),磁調(diào)控的效果表現(xiàn)為增大其臨界流速,抑制管道失穩(wěn).若以磁偏角α=π/3 時(shí)的分岔圖為例,磁場(chǎng)力P=0 時(shí),臨界流速最小,磁場(chǎng)力P的增大會(huì)導(dǎo)致輸流管的臨界流速也隨之增大.這種磁調(diào)控的效果會(huì)隨著α接近π/2 而減小,當(dāng)α=π/2 時(shí),磁場(chǎng)力的影響完全消失.當(dāng)α>π/2 時(shí),磁調(diào)控的效果表現(xiàn)為減小其臨界流速,加劇管道失穩(wěn).例如,當(dāng)α=2π/3 時(shí)隨著磁場(chǎng)力P的增大,輸流管的臨界流速逐漸減小.

圖9 展示了不同磁偏角α下磁場(chǎng)力對(duì)管道下游端軸向位移的影響,其變化趨勢(shì)與管道中點(diǎn)橫向屈曲位移一致,即:當(dāng)流速小于臨界值時(shí),輸流管在零平衡位置保持靜止;當(dāng)流速大于臨界值時(shí),輸流管以靜態(tài)分岔形式發(fā)生屈曲失穩(wěn),且臨界流速的大小會(huì)受到磁場(chǎng)力的影響.當(dāng)α<π/2 時(shí),隨著磁場(chǎng)力P的增大,輸流管的臨界流速也逐漸增大;當(dāng)α=π/2 時(shí),磁場(chǎng)力的影響完全消失;當(dāng)α>π/2 時(shí),隨著磁場(chǎng)力P的增大,輸流管的臨界流速會(huì)逐漸減小.

圖9 不同磁偏角下管道下游末端軸向位移的分岔圖Fig.9 Bifurcation diagram of axial displacement of downstream end of the pipe under different magnetic field forces

對(duì)于橫向和軸向這兩種位移而言,其幅值都隨著流速呈現(xiàn)了“先增大后減小”的規(guī)律,且處在同一量級(jí).另外還可以看到,磁場(chǎng)力P和磁偏角α對(duì)輸流管系統(tǒng)的影響不是單獨(dú)起作用的;在進(jìn)行磁調(diào)控時(shí),由磁偏角α決定磁場(chǎng)力P對(duì)輸流管的影響趨勢(shì),磁場(chǎng)力P的大小決定了這種影響趨勢(shì)的大小.

對(duì)比圖8 和圖9 不難發(fā)現(xiàn),磁調(diào)控的作用直觀的體現(xiàn)在對(duì)臨界流速的影響上面.如果結(jié)合控制方程(18)中的磁場(chǎng)力項(xiàng),可以發(fā)現(xiàn)磁調(diào)控過程中起主要作用的是垂直于管道初始構(gòu)型的磁力項(xiàng).輸流管系統(tǒng)處于外加磁場(chǎng)當(dāng)中,以初始構(gòu)型為磁勢(shì)能0 點(diǎn),當(dāng)內(nèi)流速增大時(shí),管道開始變形,若管道變形方向與橫向磁場(chǎng)力方向相反,系統(tǒng)的磁勢(shì)能開始增加,通過調(diào)整磁場(chǎng)力P和磁偏角α釋放磁勢(shì)能,可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性;若管道變形方向與橫向磁場(chǎng)力方向相同,則通過增大磁勢(shì)能就可以提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性.當(dāng)內(nèi)流流速繼續(xù)增大時(shí),進(jìn)行調(diào)控所需要的外力也隨之增大,此時(shí)磁調(diào)控的效果減弱,不同磁場(chǎng)力下的曲線相互靠近,如果想要達(dá)到更為理想的調(diào)控效果只需增大磁場(chǎng)力即可.

4.4 磁場(chǎng)力和磁偏角對(duì)管道屈曲形狀的影響

本節(jié)探討磁場(chǎng)力P和磁偏角α對(duì)輸流管屈曲形狀的影響,主要對(duì)4.3≤ν≤20 范圍內(nèi)的一些典型案例進(jìn)行計(jì)算和分析.

圖10 給出了α=π/3 時(shí)不同磁場(chǎng)力P下的管道屈曲形狀.由該圖可知,當(dāng)流速大于臨界值時(shí),輸流管發(fā)生靜態(tài)屈曲,管道末端向著上端靠近;管道由直管逐漸變成類似于“L”形的管道,管道橫向屈曲位移的最大值先增大后減小.隨著流速的增大,管道屈曲位移最大值對(duì)應(yīng)的位置逐漸遠(yuǎn)離上游端.

圖10 不同磁場(chǎng)力作用下管道后屈曲構(gòu)型圖Fig.10 Post-buckling configurations of the pipe under the action of different magnetic field strengths

在磁偏角α=π/3 的情況下,橫向位移最大值變化趨勢(shì)仍為先增大后減小.對(duì)比P=0 和P=5 兩種情況下的屈曲形狀可以發(fā)現(xiàn),P較大時(shí)管道發(fā)生屈曲失穩(wěn)的臨界流速v增大了,且管道變形的整體幅值都有所減小,這說明此時(shí)磁調(diào)控的效果表現(xiàn)為增大其臨界流速,即抑制管道的失穩(wěn).

圖11 給出了P=10 時(shí)不同磁偏角α下的管道屈曲形狀.當(dāng)流速大于臨界值時(shí),輸流管發(fā)生屈曲,下游端向上游移動(dòng),橫向位移最大值先增大后減小.對(duì)比不同磁偏角α下的屈曲形狀圖,發(fā)現(xiàn)當(dāng)磁偏角α改變時(shí),磁調(diào)控的效果也截然不同,這說明磁場(chǎng)力P和磁偏角α對(duì)輸流管系統(tǒng)的影響不是單獨(dú)起作用的.除此之外,圖中管道的屈曲形狀也并不是左右對(duì)稱,這是由邊界條件的不對(duì)稱造成的.

圖11 不同磁偏角下的管道屈曲形狀圖Fig.11 Post-buckling configurations of the pipe under the action of different magnetic field angles

從力學(xué)機(jī)理角度對(duì)圖10 和圖11 進(jìn)行分析,輸流管道受到內(nèi)流作用力、邊界約束力、重力以及外部磁場(chǎng)力的作用,在不同流速下呈現(xiàn)出相應(yīng)的構(gòu)形.作用于管道的所有力可被分解為平行于管道初始構(gòu)型的軸向力以及垂直于管道的橫向力,其中垂直于管道初始構(gòu)形的橫向外部磁場(chǎng)分力是起到磁調(diào)控作用的主要因素,調(diào)節(jié)管道的構(gòu)形只需從橫向力方面入手,即調(diào)節(jié)磁場(chǎng)力P和磁偏角α.觀察圖10 的幾幅圖片可以發(fā)現(xiàn),隨著磁場(chǎng)力P的增大其橫向分力也逐漸增大,管道的穩(wěn)定性也逐漸提升,這也印證了上述機(jī)理.

5 結(jié)論

本文針對(duì)一端鉸支、另一端可軸向滑動(dòng)鉸支的硬磁軟材料輸流管結(jié)構(gòu),試圖采用外磁場(chǎng)來調(diào)控管道的非線性力學(xué)行為.基于Hamilton 原理,首先推導(dǎo)了硬磁軟材料輸流管的振動(dòng)控制方程.其次,采用Galerkin 方法和變步長(zhǎng)4 階龍格庫塔方法,離散和求解了非線性偏微分方程.然后,通過穩(wěn)定性分析,發(fā)現(xiàn)當(dāng)流速超過其臨界值時(shí)管道會(huì)發(fā)生屈曲失穩(wěn).最后,通過考慮不同的磁場(chǎng)力P和磁偏角α,對(duì)管道系統(tǒng)的非線性力學(xué)響應(yīng)進(jìn)行了詳細(xì)分析.本文得到的結(jié)論如下.

(1) 當(dāng)流速小于臨界值時(shí),輸流管在零平衡位置保持靜止;當(dāng)流速大于臨界值時(shí),輸流管以靜態(tài)分岔形式發(fā)生屈曲失穩(wěn).

(2) 磁場(chǎng)力P和磁偏角α共同影響輸流管系統(tǒng)的穩(wěn)定性.單獨(dú)改變P或α?xí)沟门R界流速單調(diào)增大或減小.當(dāng)α<π/2 時(shí),隨著磁場(chǎng)力P的增大,輸流管的臨界流速增大,此時(shí)磁調(diào)控抑制其失穩(wěn);當(dāng)α=π/2 時(shí),磁場(chǎng)力的影響完全消失;當(dāng)α>π/2 時(shí),隨著磁場(chǎng)力P的增大,輸流管的臨界流速減小,此時(shí)磁調(diào)控反而加劇系統(tǒng)失穩(wěn).

(3) 當(dāng)流速大于臨界值時(shí),管道因屈曲失穩(wěn)而末端上移,并由直管形狀逐漸變成“L”形狀.管道橫向屈曲位移的最大值先增大后減小,并且最大值對(duì)應(yīng)的位置逐漸遠(yuǎn)離上游端.

本文建立的硬磁軟材料輸流管的非線性模型為預(yù)測(cè)軟材料輸流管的動(dòng)力學(xué)行為提供了理論基礎(chǔ),同時(shí)也為輸流管的磁調(diào)控提供了思路.需要指出的是,如果我們對(duì)磁勢(shì)能進(jìn)行修改,可將該模型拓展至非均勻磁化管道的流固耦合力學(xué)分析之中.本文所研究的磁驅(qū)調(diào)控具有非接觸式、快速響應(yīng)等優(yōu)勢(shì),有望進(jìn)一步應(yīng)用于醫(yī)用器械和極端環(huán)境作業(yè)等需精細(xì)調(diào)控的工程科技領(lǐng)域.