平行軸渦動(dòng)黏性充液轉(zhuǎn)子動(dòng)力穩(wěn)定性計(jì)算和影響因素分析1)

王 威 王維民 ,*2) 任映霖 王珈樂 李維博

* (北京化工大學(xué)高端壓縮機(jī)及系統(tǒng)技術(shù)全國重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100029)

? (北京化工大學(xué)高端機(jī)械裝備健康監(jiān)控與自愈化北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100029)

** (北京化工大學(xué)發(fā)動(dòng)機(jī)健康監(jiān)控及網(wǎng)絡(luò)化教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100029)

引言

高速離心機(jī)是核工業(yè)、化工、生物、醫(yī)藥等國防工業(yè)領(lǐng)域和國民經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)領(lǐng)域的關(guān)鍵技術(shù)裝備,尤其在核能領(lǐng)域,高速離心機(jī)廣泛應(yīng)用于提純放射性乏燃料,對于提高乏燃料利用率、降低核廢料污染以及保障我國核電可持續(xù)發(fā)展具有重大戰(zhàn)略意義.在一定條件下當(dāng)充液轉(zhuǎn)子發(fā)生擾動(dòng)時(shí),腔內(nèi)旋轉(zhuǎn)液體被激起擾動(dòng)運(yùn)動(dòng),二者發(fā)生耦合,誘發(fā)轉(zhuǎn)子自激失穩(wěn)[1],并且在某一較寬轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)轉(zhuǎn)子始終呈現(xiàn)出失穩(wěn)狀態(tài)[2-4].在失穩(wěn)轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)轉(zhuǎn)子以極大的振動(dòng)作異步渦動(dòng),這嚴(yán)重制約了充液轉(zhuǎn)子向高速化、大型化方向的發(fā)展.

采用減振裝置來減小液體激勵(lì)導(dǎo)致轉(zhuǎn)子失穩(wěn)的不利影響是充液離心機(jī)轉(zhuǎn)子振動(dòng)控制中常用的技術(shù)手段,其中黏彈性橡膠材料生產(chǎn)成本低廉且具有較好的耗散作用,被廣泛用于各類減振與降振系統(tǒng)中.趙云飛[5]、竇逸飛[6]和郝澤睿[7]建立了非充液狀態(tài)下的轉(zhuǎn)子-基礎(chǔ)耦合有限元?jiǎng)恿W(xué)模型,揭示了基于動(dòng)力吸振原理下的彈性基礎(chǔ)剛度、橡膠阻尼對系統(tǒng)固有頻率和轉(zhuǎn)子振動(dòng)抑制的作用規(guī)律.Derendyaev等[8-10]建立了單跨內(nèi)充液的Laval 轉(zhuǎn)子模型,研究了不同充液黏性和支承各向異性下的系統(tǒng)穩(wěn)定性問題,并提出了一種不同于傳統(tǒng)的D 分解的穩(wěn)定性判據(jù).Zhang 等[11]首次提出了氣泡動(dòng)力學(xué)方程,針對液體運(yùn)動(dòng)過程中因空化而形成氣泡,建立了全新的振蕩氣泡動(dòng)力學(xué)理論并開展實(shí)驗(yàn)研究,對其理論模型進(jìn)行了驗(yàn)證,該理論不僅統(tǒng)一了不同的經(jīng)典氣泡方程,同時(shí)該方程保持了統(tǒng)一而優(yōu)雅的數(shù)學(xué)形式.

在考察部分充液轉(zhuǎn)子的動(dòng)力穩(wěn)定性時(shí),如何計(jì)算液體作用在轉(zhuǎn)子內(nèi)壁上的擾動(dòng)流體力是關(guān)鍵一步[12-14].與此同時(shí)在理論分析中,流體的黏性以及轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的外阻尼在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性邊界的判定中扮演重要角色.在未考慮流體黏性的模型中,外阻尼是導(dǎo)致充液轉(zhuǎn)子失穩(wěn)的關(guān)鍵因素[15-16],而實(shí)際上流體均具有一定的黏性,分析轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性時(shí)引入外阻尼而不考慮流體黏性是不充分的[16];在考慮流體黏性的模型中,通過增大外阻尼能夠很好抑制充液轉(zhuǎn)子的失穩(wěn)[16-20],需要注意的是當(dāng)流體(例如水)的黏度較低時(shí),充液轉(zhuǎn)子的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速區(qū)間隨外阻尼的增大而保持不變[19].

針對特定類型的充液轉(zhuǎn)子,例如軸向長度較深的轉(zhuǎn)鼓、油井鉆桿等模型,其渦動(dòng)中心與轉(zhuǎn)子自轉(zhuǎn)中心并不重合,直接結(jié)果是產(chǎn)生陀螺效應(yīng)并且改變了腔內(nèi)液體沿軸線方向的分布規(guī)律.為了完整體現(xiàn)流體與轉(zhuǎn)子之間的相互耦合作用,此時(shí)需要建立三維計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)模型.流場計(jì)算完成后的處理思路有:(1) 完整計(jì)算出作用在轉(zhuǎn)子上的集中力和集中力矩,耦合到轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程中進(jìn)一步分析轉(zhuǎn)子的失穩(wěn)邊界,分析結(jié)果表明陀螺剛化效應(yīng)以及由于流體運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生與轉(zhuǎn)鼓傾斜方向相反的力矩均能夠提高轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性的上下邊界[21];(2) 計(jì)算出流體擾動(dòng)力沿軸線方向分布規(guī)律,此時(shí)流體力以分布力的形式耦合到轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型中,進(jìn)而分析充液轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性,研究發(fā)現(xiàn)流體壓強(qiáng)與轉(zhuǎn)子的撓曲變形之間存在著非常復(fù)雜的非線性關(guān)系[22-26],把油井鉆桿這一類型的柔性充液轉(zhuǎn)子視為剛性轉(zhuǎn)子分析是不合理的.

如何求解納維-斯托克斯方程并且耦合到轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程是必不可少的步驟.Wang 等[24]和袁惠群等[27]推導(dǎo)了無量綱形式納維-斯托克斯方程,采用解析解的方式求解了流體激振力,根據(jù)哈密頓原理推導(dǎo)了耦合流體激振力的轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程,并進(jìn)行了無量綱化處理,研究了不同支撐剛度、充液比、質(zhì)量比和雷諾數(shù)等對充液轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性的影響,結(jié)果表明與本文結(jié)論一致,支撐剛度的變化對充液轉(zhuǎn)子失穩(wěn)轉(zhuǎn)速區(qū)間的影響并不明顯;Sahebnasagh 等[28]建立了含有兩種不同理想液體的充液轉(zhuǎn)子的納維-斯托克斯方程,并運(yùn)用解析解的方法分析了這一類型充液轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性,結(jié)果表明與充有一種液體的轉(zhuǎn)子相比,充有兩種不同液體轉(zhuǎn)子更易失穩(wěn).Firouz-Abadi 等[29]基于不可壓縮流體的納維-斯托克斯方程,為圓柱體各部分的液體運(yùn)動(dòng)建立了二維模型,并以解析解求得施加在圓筒壁上的液體壓力,將旋轉(zhuǎn)圓筒的振動(dòng)與液體運(yùn)動(dòng)相結(jié)合,得到液固耦合轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)模型,確定了系統(tǒng)不穩(wěn)定的條件.

研究充液轉(zhuǎn)子動(dòng)力穩(wěn)定性的另一個(gè)重要手段是實(shí)驗(yàn),并且充液轉(zhuǎn)子的不穩(wěn)定現(xiàn)象最早也是通過實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的[2].實(shí)驗(yàn)分析表明,充液轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性是充液比、流體黏性、系統(tǒng)剛度以及外阻尼等眾多因素共同決定的[30-32].首先,對充有高黏度流體的轉(zhuǎn)子系統(tǒng),理論分析中必須采用黏性流體模型;其次,充液比增大轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不穩(wěn)定區(qū)明顯減小;第三,充液轉(zhuǎn)子在加速和減速通過不穩(wěn)定區(qū)時(shí),轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)不具唯一性,前兩點(diǎn)與理論分析具有一致性.

本研究工作以平行軸渦動(dòng)黏性充液轉(zhuǎn)子為研究對象,流體動(dòng)力學(xué)方程中忽略流體的重力以及表面張力的影響,同時(shí)假定流場內(nèi)各物理量沿液盤軸向是均一的.采用有限差分法求解流體動(dòng)力學(xué)方程,耦合轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程并以狀態(tài)空間法降階求解出特征值,根據(jù)方程的特征根進(jìn)而判定黏性充液轉(zhuǎn)子的動(dòng)力穩(wěn)定性,并針對不同充液比、黏性、剛度和阻尼等參數(shù)下的穩(wěn)定性特性進(jìn)行討論,為充液離心機(jī)轉(zhuǎn)子的增穩(wěn)設(shè)計(jì)與減振調(diào)控提供了新思路.

1 流體運(yùn)動(dòng)控制方程

1.1 流體動(dòng)力學(xué)方程

如圖1 所示,充以部分不可壓縮黏性液體的中空液盤裝配于彈性軸的中間,轉(zhuǎn)子的自轉(zhuǎn)角速度恒定為 ?,并以未知角速度 ω 圍繞轉(zhuǎn)子中心軸線渦動(dòng),擾動(dòng)振幅表示為

圖1 部分充液轉(zhuǎn)子Fig.1 Rotor partially filled with liquid

其中,λ=σ+jω,σ 為阻尼衰減指數(shù)(未知),ω 為渦動(dòng)頻率(未知),j2=-1 .由于轉(zhuǎn)子的渦動(dòng),在流體的動(dòng)力學(xué)方程中需引入強(qiáng)迫項(xiàng),該強(qiáng)迫項(xiàng)在液體層中產(chǎn)生激勵(lì),而激勵(lì)又作用于液盤的內(nèi)壁,該激勵(lì)力與維持液體運(yùn)動(dòng)所需要的力大小相等方向相反,該激勵(lì)力可以表示為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)速度 ? 和渦動(dòng)頻率 ω 的函數(shù),將該激勵(lì)力耦合到轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)方程中,當(dāng) ω 同時(shí)滿足流體動(dòng)力學(xué)方程和轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程,方程求解完成,同時(shí)將得到的衰減阻尼指數(shù) σ 求對數(shù)衰減率便可判斷出穩(wěn)定性.采用擾動(dòng)位移X1和X2可以將液體的自由表面表示為

其中,b是無擾動(dòng)時(shí)旋轉(zhuǎn)液體在離心力作用下的自由表面,R是有擾動(dòng)時(shí)旋轉(zhuǎn)液體的自由表面,Φ1和Φ2是擾動(dòng)發(fā)生后液體自由表面的響應(yīng)函數(shù).在圖1中,直角坐標(biāo)XOY是固定坐標(biāo)系,直角坐標(biāo)xO1y和極坐標(biāo)系rO1θ是隨液盤轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系,因此在轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系rO1θ下液體層的動(dòng)力學(xué)方程為

其中,vr和vθ分別是流體微元沿著極坐標(biāo)徑向r方向和周向θ方向的速度分量,p是流體壓強(qiáng),ρ是流體密度,ν 是流體的運(yùn)動(dòng)黏度.方程右端最后一項(xiàng)表示轉(zhuǎn)子渦動(dòng)產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系的加速度.

1.2 連續(xù)性方程

根據(jù)質(zhì)量守恒,在二維轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系rO1θ中,不可壓縮牛頓流體的連續(xù)性方程可以表述為如下形式

1.3 邊界條件

在二維轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系rO1θ中,液盤的內(nèi)壁面上,即r=a處,流體徑向速度和切向速度為0 (無滑移)

其中,a表示液盤內(nèi)壁面半徑.在液體的自由表面上,即r=R處,流體壓強(qiáng)為0

其次,在液體的自由表面上,即r=R處,液體自由表面有微小擾動(dòng),流體的徑向速度為

R是在式(2)中定義的擾動(dòng)后流體的自由液面,在微小擾動(dòng)下近似認(rèn)為

第三,在液體的自由表面上,即r=b處,流體沿周向的剪切力為0

其中,μ=ρν是流體的動(dòng)力黏度.對于不可壓縮黏性流體,邊界條件式(9)可以改寫為

因此,腔內(nèi)流體完整的邊界條件可以逐一表示為

2 流體運(yùn)動(dòng)控制方程求解

2.1 流體動(dòng)力學(xué)方程線性化

流體動(dòng)力學(xué)方程(3)是非線性方程,因此無法通過解析法得到該方程完整的解.在這里我們參考Wolf[3]的求解辦法,采用擾動(dòng)法對方程(3)進(jìn)行線性化,其中擾動(dòng)參數(shù)為轉(zhuǎn)子的擾動(dòng)位移X1和X2,并且忽略高階項(xiàng)

在穩(wěn)態(tài)條件下,無擾動(dòng)時(shí)有

為了使流體動(dòng)力學(xué)方程(3) 在擾動(dòng)方向X1和X2上解耦,在此引入6 個(gè)輔助變量[3],分別如下

因此,可以反解出擾動(dòng)方向X1和X2上的擾動(dòng)速度和擾動(dòng)壓力

將式(12)、式(13)和式(15)代入式(3)中可以得到穩(wěn)態(tài)條件下和擾動(dòng)條件下的6 個(gè)動(dòng)力學(xué)方程

其中,α=λ+j?,β=λ-j? .同理,根據(jù)質(zhì)量守恒

將式(12)、式(13)和式(15)代入式(11),可以得到以輔助變量表示的完整邊界條件

2.2 擾動(dòng)方程解耦

在文中,擾動(dòng)速度和擾動(dòng)壓力同時(shí)是時(shí)間和空間(坐標(biāo))的函數(shù),為方便計(jì)算,需要將時(shí)間和空間解耦分離,因此輔助變量可以表述為

將式(19)代入式(16b)～式(16d)和式(17),可以將該問題轉(zhuǎn)換為兩個(gè)解耦方程的邊值問題,解耦后的方程為

其邊值為

顯然,式(21)表示的4 組邊值與式(18)表示的4 組邊界條件是逐一對應(yīng)的.式(20)是一組4 階線性齊次常微分方程組,其通解中包含第一類和第二類Bessel 函數(shù),并且第一類和第二類Bessel 函數(shù)均出現(xiàn)于通解的虛部,造成函數(shù)容易出現(xiàn)極端梯度.采用有限差分?jǐn)?shù)值計(jì)算手段很好地解決了這一求解難題.

2.3 有限差分法求解動(dòng)力學(xué)方程

式(20)和式(21)描述了擾動(dòng)速度和擾動(dòng)壓力滿足的微分方程以及邊界條件,并且當(dāng)采用文獻(xiàn)[3]所提到方法,對原流體速度和流體壓強(qiáng)進(jìn)行時(shí)空解耦分離后,可以看出輔助變量均是關(guān)于徑向坐標(biāo)r的一元函數(shù),與時(shí)間項(xiàng)無關(guān).我們將液體層沿著半徑方向劃分為n個(gè)單元,一共產(chǎn)生n+1 個(gè)節(jié)點(diǎn).下面我們用有限差分表示微分方程中的各階微商,在單元的內(nèi)部節(jié)點(diǎn)上采用中心差分公式表示各階微商,一元函數(shù)的前4 階中心差分公式為

其中,i=2,3,···,n-2,為各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值,單元長度為 ?r=(a-b)/n.式(20)的微分方程可以寫作差分格式

在式(23)中方程的各項(xiàng)系數(shù)為

其中,ri是各節(jié)點(diǎn)的徑向坐標(biāo),i=2,3,· ··,n-2 .式(23)給出了求解域內(nèi)部各節(jié)點(diǎn)需要滿足的線性方程組(微分方程轉(zhuǎn)化為線性方程組),對于邊界上的節(jié)點(diǎn)則需要滿足邊界條件,即需要滿足式(21),由于邊界條件中存在導(dǎo)數(shù),而在邊界上只能用單側(cè)有限差分表示各階微商,一元函數(shù)的前3 階單側(cè)有限差分公式分別為

將式(25)代入到式(21),有對應(yīng)的4 組邊界條件

將式(24)和式(26)改寫為矩陣形式

3 流體激勵(lì)力的積分運(yùn)算

采用計(jì)算機(jī)程序求解式(23)和式(26)便可計(jì)算各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值.將節(jié)點(diǎn)函數(shù)值回代到式(9)和式(12)便可計(jì)算液體層各坐標(biāo)位置的流體壓強(qiáng)以及流體剪切力,需要計(jì)算作用在液盤內(nèi)壁面上的流體力,就需要對壓力和剪切力做數(shù)值積分運(yùn)算,此時(shí),取徑向坐標(biāo)r=a,則在直角坐標(biāo)xO1y中作用在液盤內(nèi)壁面上的流體凈力為

其中,L是液盤的軸向長度.上述積分運(yùn)算的計(jì)算量較大,此處不詳細(xì)推導(dǎo),在此給出關(guān)鍵性的計(jì)算結(jié)論

其中

式中ml=ρπa2L是充滿液盤內(nèi)腔時(shí)液體的全部質(zhì)量.

直角坐標(biāo)xO1y是隨盤轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)系,為了建立轉(zhuǎn)子在平衡位置的動(dòng)力學(xué)方程,需要得到固定坐標(biāo)系XOY下的流體力分量,根據(jù)坐標(biāo)變換關(guān)系有

因此,可以將式(32)和式(33)均代入式(34)

4 轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程的建立及方程降階

在得到流體激勵(lì)力后,可以在固定坐標(biāo)系XOY下建立轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程

在式(38)中,mr是未充液時(shí)空轉(zhuǎn)子的質(zhì)量,cX和cY為主阻尼系數(shù),kX和kY為主剛度系數(shù).因此,轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程式(37)可以重新寫作

針對式(39) 我們采用狀態(tài)空間法對其進(jìn)行降階,轉(zhuǎn)化為一般性的特征值求解問題,進(jìn)而計(jì)算轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的渦動(dòng)頻率 ω (阻尼固有頻率)和阻尼衰減指數(shù)σ,與所有的穩(wěn)定性判定結(jié)論一致,當(dāng)阻尼衰減指數(shù)σ<0 時(shí),整個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是穩(wěn)定的;當(dāng)阻尼因子 σ≥0時(shí),轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是非穩(wěn)定的.采用狀態(tài)空間法降階處理后的常微分方程為

經(jīng)過上述降階處理后,便可采用現(xiàn)有計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)特征值問題的求解方法計(jì)算其特征值

需要注意的是,在本問題中流體動(dòng)力學(xué)方程和轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程相互耦合,無法預(yù)先知道特征值 λi,因此上述求解過程是一個(gè)循環(huán)迭代過程,當(dāng)收斂精度滿足要求后,求解結(jié)束.其一般思路是:

(1) 猜想特征值 λ 代入流體動(dòng)力學(xué)方程式(3);

(2) 經(jīng)過整理后,式(23)和式(26)表示的邊值問題便可采用有限差分法求解,進(jìn)而計(jì)算作用在液盤上的流體激勵(lì)力;

(3) 步驟(2)完成后,則A+B和A-B的值均可計(jì)算,此時(shí)利用式(41)便可計(jì)算特征值 λi;

(4) 步驟(3)計(jì)算得到的特征值一共是4 個(gè),可分為兩組,每一組以共軛復(fù)數(shù)的形式成對出現(xiàn),我們?nèi)?shí)部最大的特征值記為 λmax,當(dāng)前后兩次計(jì)算特征值的二范數(shù)滿足收斂精度(<10-4),σmax即為判斷穩(wěn)定性的特征值實(shí)部;當(dāng)未達(dá)到收斂精度時(shí),把特征值 λmax賦值給步驟(1)中的 λ 繼續(xù)迭代.

5 穩(wěn)定性計(jì)算結(jié)果討論

由于黏性充液轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性是由多個(gè)參數(shù)控制決定的,因此,我們定義了以下幾個(gè)變量

式中 ωX為空轉(zhuǎn)子的一階固有頻率.

式中S為無量綱角頻率,簡稱頻率比.

式中c為無量綱阻尼系數(shù),表征X和Y方向外阻尼大小.

式中k為無量綱剛度系數(shù),表征X和Y方向外剛度的大小.

式中P描述液盤中存在液體量的物理量,P=1 時(shí)表示空轉(zhuǎn)子;P=∞ 時(shí)表示液盤中充滿液體.為在整個(gè)轉(zhuǎn)速區(qū)域內(nèi)全面了解不同黏性、充液比、剛度和阻尼對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,最大阻尼衰減指數(shù) σmax為頻率比S的函數(shù).

離心機(jī)的液盤結(jié)構(gòu)如圖2 所示,離心機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)及液體的物理參數(shù)如表1 和表2 所示.

表1 離心機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Centrifuge structural parameters

表2 液體的物理參數(shù)Table 2 Liquid physical parameters

圖2 離心機(jī)液盤結(jié)構(gòu)Fig.2 Centrifuge liquid tray structure

圖3(a)給出了在不同黏度條件下特征值的實(shí)部最大值 σmax隨頻率比S的變化曲線,圖3(a)中不同黏度等級代表液盤中充以不同運(yùn)動(dòng)黏度的潤滑油,例如,黏度等級為ISO VG 22 表示液盤充以室溫下平均運(yùn)動(dòng)黏度為 22 mm2/s 的潤滑油.根據(jù)穩(wěn)定性判據(jù) σmax≥0 是非穩(wěn)定區(qū),σmax<0 是穩(wěn)定區(qū)可知,隨著潤滑油的黏度增大,不穩(wěn)定下邊界左移,不穩(wěn)定上邊界右移,同時(shí)峰值增大,即充液轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定區(qū)間減小,非穩(wěn)定區(qū)間增大,這一計(jì)算結(jié)果與Holm-Christensen 等[16]的結(jié)論一致;其次,在高黏性的條件下,充液轉(zhuǎn)子存在一個(gè)較寬的非穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)間.由此可見,降低液盤中液體的黏性有利于提高轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性.

圖3(b)為不同充液比P對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,對比P=1.67,P=1.82 和P=2.003 個(gè)不同充液量的工況,在失穩(wěn)區(qū)間內(nèi),最大阻尼衰減指數(shù) σmax隨著充液量的增大(P增大)而減小,即不穩(wěn)定的下邊界右移,不穩(wěn)定上邊界左移,同時(shí)峰值降低,即充液轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定區(qū)間增大,非穩(wěn)定區(qū)間減小.該計(jì)算結(jié)果與祝長生[32]的實(shí)驗(yàn)結(jié)論吻合,其實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明在較小充液量工況下,轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非穩(wěn)定區(qū)較寬,轉(zhuǎn)子在非穩(wěn)定區(qū)內(nèi)的振動(dòng)很強(qiáng);對于較大充液量工況,轉(zhuǎn)子的非穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)間明顯減小,轉(zhuǎn)子在非穩(wěn)定區(qū)間的振動(dòng)很弱.

圖3(c) 是軸承處不同主剛度k對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,對比k=10 MN/m,k=50 MN/m 和k=90 MN/m 3 種不同主剛度的工況,在失穩(wěn)區(qū)間內(nèi),最大阻尼衰減指數(shù) σmax隨著主剛度k的增加而減小,即不穩(wěn)定的下邊界右移,不穩(wěn)定上邊界左移,同時(shí)峰值降低,即充液轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定區(qū)間增大,非穩(wěn)定區(qū)間減小.其次,可以看出充液轉(zhuǎn)子的最大阻尼衰減指數(shù) σmax的變化隨軸承處主剛度值的改變并不明顯,這與袁惠群等[27]的計(jì)算結(jié)果一致,因此,通過增加軸承處主剛度使充液轉(zhuǎn)子增穩(wěn)具有局限性.

外阻尼比c對充液轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響是另一個(gè)重要的影響因素,研究發(fā)現(xiàn)在各種無黏性充液轉(zhuǎn)子模型中引入外阻尼,部分充液轉(zhuǎn)子在任何轉(zhuǎn)速下均是非穩(wěn)定的.Hendricks 等[17]給出的解釋是,外阻尼力與轉(zhuǎn)子的加速度具有相位差,無黏性流體無法抵消該阻尼力.圖3(d)給出了不同外阻尼比c對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,首先,在整個(gè)轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)最大阻尼衰減指數(shù) σmax隨頻率比S的變化規(guī)律與圖3(a)～圖3(c)所示的變化規(guī)律均一致,在 1 .1S附近(左邊和右邊)出現(xiàn)兩個(gè)峰值.其次,在整體轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi),最大阻尼衰減指數(shù) σmax隨著外阻尼比c的增加而減小,即不穩(wěn)定的下邊界右移,不穩(wěn)定上邊界左移,同時(shí)曲線整體向下移動(dòng),即充液轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定區(qū)間增大,非穩(wěn)定區(qū)間減小;當(dāng)c=0 (無外阻尼)時(shí),整個(gè)轉(zhuǎn)速區(qū)域內(nèi)不存在穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)間.與前面3 個(gè)影響因素(黏性、充液比和主剛度)明顯不同,外阻尼c能夠從整個(gè)轉(zhuǎn)速區(qū)域內(nèi)降低最大阻尼衰減指數(shù) σmax,提高充液轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

為突出本研究中圖3 所示的結(jié)果所表述的規(guī)律更具有一般性,增強(qiáng)本研究結(jié)論的說服力,在圖4 中計(jì)算了多工況下黏性充液轉(zhuǎn)子失穩(wěn)轉(zhuǎn)速邊界隨流體黏性、充液比、軸承剛度和主阻尼等參數(shù)的變化規(guī)律.當(dāng)黏性充液轉(zhuǎn)子的工作轉(zhuǎn)速落入邊界BC1 和BC2 之間或者邊界BC3 和BC4 之間時(shí),黏性充液轉(zhuǎn)子出現(xiàn)失穩(wěn),工作轉(zhuǎn)速落在該區(qū)域以外時(shí),轉(zhuǎn)子充分穩(wěn)定.此外,在轉(zhuǎn)子的一階臨界轉(zhuǎn)速以上均存在兩個(gè)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速區(qū)間,除軸承剛度以外,流體黏性、充液比和主阻尼的失穩(wěn)邊界存在交點(diǎn),即是說通過參數(shù)調(diào)整,黏性充液轉(zhuǎn)子失穩(wěn)轉(zhuǎn)速區(qū)間可以消除.

圖4 不同參數(shù)對系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速區(qū)間邊界的影響Fig.4 Influence of different parameters on the boundary of the unstable speed range of the system

圖4(a)表明當(dāng)充液轉(zhuǎn)子的液體黏度增大,轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速區(qū)間逐漸變寬,該現(xiàn)象說明當(dāng)流體黏度等級處于ISO VG 22～I(xiàn)SO VG 46 之間時(shí),降低流體黏性有利于轉(zhuǎn)子趨于穩(wěn)定.

圖4(b)表明當(dāng)充液轉(zhuǎn)子的充液量(1/P減小)增大時(shí),轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速區(qū)間逐漸變窄,轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性增強(qiáng),并且當(dāng)充液比的倒數(shù)1/P小于0.55 時(shí),不存在失穩(wěn)轉(zhuǎn)速區(qū)間.

圖4(c)表明當(dāng)改變軸承剛度(107～108N/m)時(shí),轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速邊界會隨之一起改變,但是失穩(wěn)轉(zhuǎn)速區(qū)間寬度不發(fā)生明顯變化,通過參數(shù)調(diào)節(jié)難以將失穩(wěn)轉(zhuǎn)速區(qū)間消除.

圖4(d)表明當(dāng)增加主阻尼時(shí),轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速區(qū)間逐漸變窄,轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性增強(qiáng),并且當(dāng)主阻尼系數(shù)大于6 N·s/m 時(shí),轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速區(qū)間消失,此時(shí)啟停轉(zhuǎn)子,轉(zhuǎn)子不會出現(xiàn)失穩(wěn).

圖5 給出了不同參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響的瀑布圖,該圖能夠更為清晰直觀地反映不同參數(shù)變化時(shí),系統(tǒng)穩(wěn)定性隨各參數(shù)值變化的梯度大小和線性程度;不穩(wěn)定區(qū)間在頻率比區(qū)間上的具體位置變化、不穩(wěn)定區(qū)間的寬窄變化等特性.

圖5 不同參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響的瀑布圖Fig.5 Waterfall diagram of influence of different parameters on system stability

從圖5 中除了能得出圖3 結(jié)論以外,還有如下規(guī)律與結(jié)論:圖5(a)表達(dá)了最大阻尼衰減指數(shù) σmax隨運(yùn)動(dòng)黏度 ν 的變化規(guī)律,當(dāng)運(yùn)動(dòng)黏度 ν 增大時(shí)最大阻尼衰減指數(shù) σmax峰值隨之呈非線性增大,最大阻尼衰減指數(shù) σmax峰值梯度變化緩慢,即充液轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性降低,同時(shí)不穩(wěn)定區(qū)間的位置不變,但范圍變寬.

圖5(b)表達(dá)了最大阻尼衰減指數(shù) σmax隨充液比P的變化規(guī)律,當(dāng)充液比P增大時(shí)最大阻尼衰減指數(shù) σmax峰值隨之呈非線性減小,最大阻尼衰減指數(shù) σmax峰值梯度變化迅速,即充液轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性增強(qiáng),同時(shí)不穩(wěn)定區(qū)間的位置不變,但范圍變窄.

圖5(c)表達(dá)了最大阻尼衰減指數(shù) σmax隨主剛度k的變化規(guī)律,當(dāng)主剛度k增大時(shí)最大阻尼衰減指數(shù) σmax隨之呈非線性減小,最大阻尼衰減指數(shù) σmax峰值梯度變化緩慢,即充液轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性增強(qiáng),但是剛度調(diào)節(jié)的優(yōu)點(diǎn)在于能夠改變不穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)間的位置.

圖5(d)表達(dá)了最大阻尼衰減指數(shù) σmax隨外阻尼c的變化規(guī)律,當(dāng)外阻尼c增大時(shí)最大阻尼衰減指數(shù) σmax峰值隨之呈線性減小,即充液轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性增強(qiáng),同時(shí)不穩(wěn)定區(qū)間的位置不變,但范圍變窄.

對比分析可知,4 個(gè)參數(shù)對于充液轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性均具有一定的調(diào)節(jié)能力,其中充液比調(diào)節(jié)和外阻尼調(diào)節(jié)具有大梯度變化特征,主剛度調(diào)節(jié)梯度變化雖然較小,但是能夠改變不穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)間,因此,這3 種調(diào)節(jié)方式對于充液轉(zhuǎn)子增穩(wěn)均具有一定工程價(jià)值.

在文中我們繼續(xù)深入研究了黏性、充液比、主剛度和外阻尼造成充液轉(zhuǎn)子失穩(wěn)的原因.圖6 所示是不同黏性、充液比、主剛度和外阻尼工況下液盤中液體產(chǎn)生的等效交叉剛度 I mag(A-B) 隨頻率比S的變化曲線.為了便于分析,圖3～圖5 與圖6 一一對應(yīng),通過對比分析可以看出,最大阻尼衰減指數(shù)σmax與等效交叉剛度 I mag(A-B) 隨頻率比S的變化同步,當(dāng)?shù)刃Ы徊鎰偠?Imag(A-B) 增大時(shí),最大阻尼衰減指數(shù) σmax也隨之同步增大,在 1 .08S處最大阻尼衰減指數(shù) σmax和等效交叉剛度 I mag(A-B) 同時(shí)第一次達(dá)到最大值,隨后二者迅速同步減小,在 1.1S處等效交叉剛度 I mag(A-B) 為零,最大阻尼衰減指數(shù) σmax降到最小,此時(shí)流致失穩(wěn)現(xiàn)象消失;當(dāng)?shù)刃Ы徊鎰偠?I mag(A-B) 反向迅速增大時(shí),最大阻尼衰減指數(shù) σmax也隨之迅速同步增大,在 1 .12S處最大阻尼衰減指數(shù) σmax和等效交叉剛度值 Imag(A-B)同時(shí)第二次達(dá)到最大值,隨后二者同步減小.從圖6 這4 幅圖中可以看出,充液轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的交叉剛度受到黏度、充液比、主剛度和外阻尼的影響,并且交叉剛度與最大阻尼因子的變化規(guī)律具有同步性,因此,交叉剛度增大是造成充液轉(zhuǎn)子失穩(wěn)的重要因素.

圖6 不同參數(shù)對交叉剛度的影響Fig.6 Influence of different parameters on cross stiffness

圖7 給出了不同參數(shù)對系統(tǒng)交叉剛度影響的云圖,除了能得出圖6 結(jié)論以外,還有如下規(guī)律與結(jié)論:圖7(a)表達(dá)了交叉剛度 I mag(A-B) 隨運(yùn)動(dòng)黏度ν 的變化規(guī)律,當(dāng)運(yùn)動(dòng)黏度ν 增大時(shí)交叉剛度Imag(A-B) 隨之增大,同時(shí)交叉剛度在轉(zhuǎn)速區(qū)間上的范圍變寬,對比圖5(a) 這與最大阻尼衰減指數(shù)σmax隨運(yùn)動(dòng)黏度 ν 的變化規(guī)律呈現(xiàn)一致性,即運(yùn)動(dòng)黏度 ν 增大,交叉剛度值 I mag(A-B) 增大,最大阻尼衰減指數(shù) σmax增大,充液轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性降低,非穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)間增大.

圖7 不同參數(shù)對交叉剛度影響的云圖Fig.7 The contour of the influence of different parameters on cross stiffness

圖7(b)表達(dá)了交叉剛度 I mag(A-B) 隨充液比P的變化規(guī)律,當(dāng)充液比P增大時(shí)交叉剛度 Imag(A-B)隨之減小,同時(shí)交叉剛度在轉(zhuǎn)速區(qū)間上的范圍變窄,對比圖5(b)這與最大阻尼衰減指數(shù) σmax隨充液比P的變化規(guī)律呈現(xiàn)一致性,即充液比P增大,交叉剛度值 I mag(A-B) 減小,最大阻尼衰減指數(shù) σmax減小,充液轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性升高,非穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)間減小.

圖7(c)表達(dá)了交叉剛度 Imag(A-B) 隨主剛度k的變化規(guī)律,當(dāng)主剛度k增大時(shí)交叉剛度 Imag(A-B)隨之增大,同時(shí)交叉剛度在轉(zhuǎn)速區(qū)間上的范圍變寬,對比圖5(c),這與最大阻尼衰減指數(shù) σmax隨k變化的規(guī)律相反.雖然主剛度調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性具有局限性,但是由于其能夠改變失穩(wěn)轉(zhuǎn)速區(qū)間的范圍,并且主剛度調(diào)節(jié)在實(shí)際工程應(yīng)用中易于實(shí)現(xiàn),因此可解決實(shí)際問題.

圖7(d) 表達(dá)了交叉剛度 Imag(A-B) 隨外阻尼比c的變化規(guī)律,由圖7(d) 可以看出交叉剛度Imag(A-B) 不隨外阻尼比c的改變而改變,但是對比圖3(d)、圖4(d)和圖5(d)可知外阻尼能夠很好抑制充液轉(zhuǎn)子的振動(dòng),實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子的增穩(wěn).

6 結(jié)論

本研究針對有黏性部分充液轉(zhuǎn)子動(dòng)力穩(wěn)定性進(jìn)行了理論研究,結(jié)果表明,超重力離心機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在臨界轉(zhuǎn)速 ωX之上存在2 個(gè)液固耦合激振誘發(fā)的失穩(wěn)區(qū)域,并有以下結(jié)論.

(1)當(dāng)系統(tǒng)其他參數(shù)選定為初始參數(shù)時(shí),流體黏度等級變化范圍為ISO VG 22～I(xiàn)SO VG 46,轉(zhuǎn)子系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速區(qū)間為(1.02～1.2) ωX;充液比變化范圍為1.67～2.00,轉(zhuǎn)子失穩(wěn)轉(zhuǎn)速區(qū)間為(1.07～1.14) ωX;由主剛度決定的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速區(qū)間是變化的;主阻尼系數(shù)變化范圍為0～5 N·s/m,轉(zhuǎn)子失穩(wěn)轉(zhuǎn)速區(qū)間為(1.01～1.20) ωX,提高轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)鍵在于各參數(shù)之間實(shí)現(xiàn)最優(yōu)組合,這一結(jié)論可為工程中的充液類轉(zhuǎn)子的整體設(shè)計(jì)提供參數(shù)指導(dǎo).

(2)除主阻尼外各因素均是通過改變充液轉(zhuǎn)子液盤的等效交叉剛度實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子增穩(wěn),因此,在實(shí)際工程應(yīng)用中可采用變參數(shù)(如調(diào)節(jié)充液比、主剛度和主阻尼) 控制技術(shù)與控制算法,當(dāng)保證充液比大于1.82,主剛度為90 MN/m,無量綱阻尼系數(shù)大于3.14×10-4時(shí),對充液類轉(zhuǎn)子振動(dòng)抑制與增穩(wěn)效果明顯.

(3)本研究的計(jì)算思路及結(jié)論可針對工程中現(xiàn)有的充液類轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性分析計(jì)算,并提供增穩(wěn)策略.在以下范圍內(nèi),黏度等級為ISO VG 22～I(xiàn)SO VG 46、充液比為1.67～2.00、主剛度為10～90 MN/m、主阻尼系數(shù)0～5 N·s/m,當(dāng)系統(tǒng)其他參數(shù)選定為初始參數(shù)時(shí),通過降低液體黏度、增加充液比、增大主剛度以及增大外阻尼均有利于提高充液轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性.

(4)本研究與其他論文相比采用了數(shù)值解的計(jì)算方法求解了納維-斯托克斯方程,避免了解析解帶來的極端梯度的現(xiàn)象,并采用狀態(tài)空間降階的方法求解了特征值,大幅提高了計(jì)算效率,節(jié)約了計(jì)算時(shí)間,在多工況計(jì)算時(shí)尤為顯著.