橫向振動(dòng)立管上升流中球形單顆粒運(yùn)動(dòng)特征1)

魏明珠 段金龍 王 旭 周濟(jì)福 ,

* (中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所流固耦合系統(tǒng)力學(xué)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京100190)

? (中國(guó)科學(xué)院大學(xué)工程科學(xué)學(xué)院,北京 100049)

引言

近年來,隨著陸地礦產(chǎn)資源的枯竭,人們把目光投向深海.深海中蘊(yùn)含著豐富的多金屬結(jié)核、富鈷結(jié)殼、熱液硫化物等金屬礦產(chǎn)資源[1].開發(fā)這類礦產(chǎn)資源具有非常重要的意義.本研究著眼于深海海底錳結(jié)核的開采,開采系統(tǒng)示意如圖1.分布在幾千米深海海床上的錳結(jié)核被采礦車收集,并破碎成幾厘米的礦石塊,經(jīng)輸運(yùn)軟管、中間艙、輸運(yùn)立管輸送至海面的采礦船[2].其中,用于輸送礦石的管道系統(tǒng)會(huì)受到波浪和海流的作用發(fā)生振動(dòng)響應(yīng)[3-6].當(dāng)管道振動(dòng)劇烈,并且礦石顆粒與管道流體的密度比較大[1-2]時(shí),顆粒必然滯后于管道的運(yùn)動(dòng),管道系統(tǒng)內(nèi)的礦石顆粒會(huì)與管壁發(fā)生碰撞,必然導(dǎo)致管道內(nèi)礦石的運(yùn)動(dòng)更加復(fù)雜[7].

圖1 深海采礦系統(tǒng)示意圖Fig.1 Sketch of the deep-sea mining system.

目前,許多學(xué)者對(duì)靜止管道上升流中顆粒的運(yùn)動(dòng)特征進(jìn)行了廣泛的研究,主要分析管道內(nèi)流場(chǎng)、顆粒密度和顆粒尺寸等對(duì)顆粒運(yùn)動(dòng)行為的影響.如Segré等[8]試驗(yàn)觀測(cè)了顆粒與流體密度比β=ρp/ρf(ρp為顆粒密度,ρf為流體密度)接近1.0 的懸浮顆粒在管道Poiseuille 流中的運(yùn)動(dòng)特性[9-16],發(fā)現(xiàn)顆粒群總在距離管道軸線2/3 的位置處聚集,隨后更多的學(xué)者研究并驗(yàn)證了該現(xiàn)象.Feng 等[9]和Fox 等[10]對(duì)平面剪切流中大密度差顆粒的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了研究,發(fā)現(xiàn)顆粒的橫向運(yùn)動(dòng)受密度比的影響較大.并且Liu 等[11]對(duì)密度比β介于1.1 和4.0 之間的單個(gè)球體顆粒在管道Poiseuille 流中的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行了研究,通過分析球體尾渦結(jié)構(gòu)解釋了不同密度比的顆粒運(yùn)動(dòng)軌跡差異較大的原因.另外,Matas 等[12-14]和Bai 等[15]研究發(fā)現(xiàn)顆粒與管道直徑比λ=d/D(其中d為顆粒直徑,D為管道直徑)對(duì)顆粒的橫向遷移運(yùn)動(dòng)有顯著影響:小直徑比的顆粒在更靠近管道軸線位置運(yùn)動(dòng),而大直徑比的顆粒則在更靠近于管壁位置運(yùn)動(dòng).在Matas 等[12-14]研究基礎(chǔ)上,Shao 等[16]進(jìn)一步對(duì)雷諾數(shù)高達(dá)2200 的管道Poiseuille 流中不同密度比和直徑比的顆粒運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了研究,并分析了顆粒釋放位置對(duì)其橫向遷移運(yùn)動(dòng)的影響.

另外,由于管道壓降和群顆粒在管道中的堵塞等直接影響礦石輸送效率,因此,國(guó)內(nèi)外很多學(xué)者研究了各種顆粒級(jí)配、顆粒尺寸和管道輸送速度對(duì)兩者的影響規(guī)律.如Zhang 等[17]重點(diǎn)關(guān)注了垂直管道中群顆粒運(yùn)動(dòng)初始階段顆粒局部濃度和速度的變化,討論了管道入口輸送速度和濃度對(duì)管道壓降和堵塞的影響.Ren 等[18]分析了顆粒尺寸和級(jí)配對(duì)群顆粒在垂直管道中發(fā)生堵塞的影響,并分析了Stp數(shù)(,其中uf和μf分別為管道中流體的速度和黏度)對(duì)顆粒間碰撞作用力和碰撞頻率的影響.Wan 等[19]分析了顆粒濃度、顆粒級(jí)配以及兩相流初始混合速度對(duì)管道內(nèi)流流型和摩擦損失的影響.張巖等[20]通過分析雙尺寸顆粒群的混合及分離時(shí)的顆粒濃度變化特征、顆粒間碰撞頻率及顆粒群受力變化等,對(duì)顆粒群的分離機(jī)理進(jìn)行了解釋.除上述研究外,管道中顆粒數(shù)量和顆粒形狀對(duì)其運(yùn)動(dòng)行為的影響也得到廣泛研究[21-23].除管道定常流中顆粒的運(yùn)動(dòng)特性,一些學(xué)者還對(duì)非定常流場(chǎng)中顆粒的受力進(jìn)行了分析.黃社華等[24]對(duì)非定常無界流場(chǎng)中顆粒運(yùn)動(dòng)所受的Basset 力的特性進(jìn)行了分析,并證明了高頻脈動(dòng)下的Basset 力可以忽略.Michaelides等[25-27]比較了無界振動(dòng)流場(chǎng)中Basset 力在顆粒所受總力中的占比,并討論了Basset 力可以忽略的條件:顆粒直徑大于1μm,流體振蕩無量綱頻率(其中ω表示振蕩流場(chǎng)圓頻率,ρp和Rp分別表示顆粒密度和半徑,μf為流體黏度)小于0.5,直徑比β<0.002 或β>0.7.這些針對(duì)靜止管道和無界非定常流場(chǎng)中顆粒運(yùn)動(dòng)的研究可以為深海采礦的發(fā)展奠定一定的基礎(chǔ).

近年來,隨著深海采礦的快速發(fā)展,橫向振動(dòng)管道中顆粒的運(yùn)動(dòng)開始引起相關(guān)學(xué)者的關(guān)注.萬初一等[28]討論了管道振動(dòng)頻率與振幅、進(jìn)料濃度和顆粒尺寸等對(duì)毫米級(jí)顆粒的聚集位置、管內(nèi)流場(chǎng)特征以及管內(nèi)壓降的影響.Wei 等[7]主要分析了不同顆粒初始釋放位置、管道振動(dòng)頻率和幅度下,單一尺寸和密度的粗顆粒的運(yùn)動(dòng)特征,并給出了振動(dòng)管道中顆粒運(yùn)動(dòng)的5 種軌跡類型.但是這些初步的研究還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能揭示深海采礦作業(yè)過程中振動(dòng)管道系統(tǒng)內(nèi)的礦石顆粒運(yùn)動(dòng)規(guī)律.

綜上,雖然顆粒在靜止管道或無界振動(dòng)流場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)特征已被廣泛研究,但是目前對(duì)于振動(dòng)管道中顆粒運(yùn)動(dòng)特性的認(rèn)識(shí)尚不足夠,特別是在現(xiàn)有的研究中,并未考慮不同顆粒與流體密度比β、顆粒與管道直徑比λ條件下振動(dòng)管道中顆粒運(yùn)動(dòng)行為的差異性,以及由于管道振動(dòng)引起的顆粒與壁面的碰撞對(duì)顆粒運(yùn)動(dòng)的影響.因此,有必要從機(jī)理上深入揭示不同振動(dòng)參數(shù)和顆粒自身物理參數(shù)影響下振動(dòng)管道中顆粒的運(yùn)動(dòng)特征,特別是大密度比和大直徑比對(duì)橫向振動(dòng)管道中粗顆粒運(yùn)動(dòng)的影響規(guī)律.基于此,本文基于實(shí)際工程背景的參數(shù),主要關(guān)注了管道振動(dòng)參數(shù)、顆粒與流體密度比以及顆粒與立管直徑比對(duì)橫向振動(dòng)立管中球形單顆粒運(yùn)動(dòng)的影響規(guī)律.

1 控制方程

1.1 顆粒運(yùn)動(dòng)方程

將輸送立管中礦石視為球形顆粒,暫不考慮顆粒的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)以及破碎.在立管中運(yùn)動(dòng)的顆粒會(huì)受到自身重力FG和流體作用力的影響.其中,流體作用力包括拖曳力FD,附加質(zhì)量力FAM,浮力FB,Saffman 力FLS,壓力梯度力FP,以及Basset 力FH.因此,顆粒運(yùn)動(dòng)方程如下[29]

選取流體密度ρf,立管軸線處的流體速度U,以及立管直徑D為量綱單位對(duì)方程(1)進(jìn)行無量綱化,得到的無量綱量如下

無量綱方程為

其中,ufi和vpi分別表示流場(chǎng)速度和顆粒速度,為顆粒所在位置處的流體旋度.CD,CLS和CH分別表示拖曳力系數(shù)、Saffman 力系數(shù)以及Basset 力系數(shù).顆粒密度和流體密度分別為ρp和ρf,顆粒直徑為d,立管直徑為D,流體黏性系數(shù)為μf,立管中軸線上的流體垂向速度為U.

考慮顆粒雷諾數(shù)Rep和顆粒與立管直徑比λ=d/D對(duì)拖曳力系數(shù)CD共同影響,拖曳力系數(shù)的表達(dá)式如下[30]

其中

Saffman 力系數(shù)CLS計(jì)算如下

另外,由于立管在橫向上作簡(jiǎn)諧振動(dòng),立管中流體為非定常運(yùn)動(dòng),因此需要考慮Basset 力,其系數(shù)CH由顆粒雷諾數(shù)Rep和Strouhal 數(shù)St共同決定[31]

1.2 碰撞方程

由于顆粒與立管中流體之間存在密度差,因此顆粒并不能完全跟隨管道運(yùn)動(dòng),會(huì)出現(xiàn)相對(duì)運(yùn)動(dòng),從而導(dǎo)致兩者之間發(fā)生碰撞.目前,常采用的碰撞算法有兩種:軟球碰撞模型[32]和硬球碰撞模型[33].兩種碰撞模型都能計(jì)算碰撞后的顆粒速度,前者的求解過程能更好地展示碰撞過程中顆粒的速度變化,因此,本文運(yùn)用軟球碰撞模型[32]計(jì)算顆粒與管壁碰撞后的速度,碰撞示意如圖2 所示.碰撞力Fcol計(jì)算如下

圖2 顆粒與管壁之間碰撞示意圖Fig.2 Schematic representation of the model of a collision between the particle and the riser wall

其中,Fn和Fτ分別表示法向和切向力.本文采用的軟球碰撞模型也被稱為彈簧——阻尼模型,彈簧表示顆粒碰撞后的彈性變形,阻尼表示顆粒碰撞后的黏性耗散.kn,kτ和Nn,Nτ分別為法向和切向的剛度系數(shù)和阻尼系數(shù),δn和δτ為法向和切向重疊距離.相對(duì)速度Upw=vpi-Uw,其中vpi和Uw分別為顆粒速度和管壁速度,Upw,τ為相對(duì)速度的切向分量.法向單位向量n由顆粒所處管道橫截面處管道軸線坐標(biāo)Pc(xc,yc,zc)和顆粒位置坐標(biāo)Pp(xp,yp,zp)計(jì)算所得,其中zc=zp(顆粒所處位置的管道橫截面中心的縱坐標(biāo)zc與顆粒圓心縱坐標(biāo)zp相等).kn,kτ,Nn,δn和δτ表達(dá)式如下

其中,Rp為顆粒半徑,Cn,rest表示法向恢復(fù)系數(shù),時(shí)間步長(zhǎng)為?t.下標(biāo)“eq”表示等效參數(shù).等效楊氏模量Eeq、等效半徑Req、等效質(zhì)量Meq以及等效剪切模量Geq分別有表達(dá)式如下

其中,下標(biāo)p和w分別代表顆粒和管壁;E,G,M和R分別為楊氏模量、剪切模量、質(zhì)量以及半徑.在碰撞中,管壁質(zhì)量和半徑視為∞,因此Req=Rp和Meq=Mp.

由于顆粒和管壁之間為三維碰撞,且管壁為弧形,因此將顆粒與管壁之間的相對(duì)速度表示如下

其中,θ表示顆粒中心所在橫截面上顆粒與管軸的連線與x軸正向的夾角,如圖2 所示.vn和vτθ分別與立管半徑和顆粒在位置處的切線平行,vτz沿立管軸線z方向.

為清晰地展示顆粒運(yùn)動(dòng)方程(2)與上述碰撞算法的耦合求解過程,現(xiàn)將橫向振動(dòng)立管中的顆粒運(yùn)動(dòng)求解流程進(jìn)行詳細(xì)介紹,并繪制求解流程圖,如圖3所示.

圖3 橫向振動(dòng)立管中顆粒運(yùn)動(dòng)求解流程圖Fig.3 A flowchart showing solving procedure of the coupling method

在圖3 中,(xp0,yp0,zp0)和(vpx0,vpy0,vpz0)分別表示顆粒的初始位置和速度.在求解顆粒速度之前,需要通過顆粒中心與管道軸線之間的距離h=和容差參數(shù) ε (10-3～10-4)來判斷顆粒與管壁之間是否發(fā)生碰撞.

(1) 當(dāng)滿足條件h>(D-d)/2– εd時(shí),碰撞發(fā)生.用此時(shí)刻的顆粒速度(vpx(0),vpy(0),vpz(0))和立管速度(vpc(0),vpc(0),vpc(0)),通過上述碰撞算法求解碰后的顆粒速度(vpx(1),vpy(1),vpz(1)),然后將碰后的顆粒速度代入方程(2)中,求解下一時(shí)刻的顆粒速度.

(2) 當(dāng)h≤(D-d)/2– εd時(shí),碰撞未發(fā)生.此時(shí),用變步長(zhǎng)的4 階、5 階龍格-庫(kù)塔法求解顆粒速度.

1.3 驗(yàn)證

首先,通過與Vojir 等[27]無界振蕩流場(chǎng)中顆粒速度的數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,驗(yàn)證1.1 節(jié)和1.2 節(jié)所述計(jì)算方法的準(zhǔn)確性.其中,流體密度為ρf=1000 kg/m3,流體黏度為 μf=0.001 Pa·s,顆粒半徑Rp=0.0001 m,顆粒密度ρp=2700 kg/m3,即顆粒與流體的密度比β=2.7.流體橫向振動(dòng)速度為ufx,Amcos(2πft+φ0),其中,ufx,Am表示流場(chǎng)振動(dòng)速度的峰值,f和φ0分別為流體振動(dòng)頻率和初相位,φ0=π/2.采用單位時(shí)間tp和流場(chǎng)振動(dòng)速度峰值ufx,Am分別對(duì)時(shí)間t和顆粒速度進(jìn)行無量綱化,另外流場(chǎng)振動(dòng)的圓頻率2πf用1/tp進(jìn)行無量綱化.單位時(shí)間tp定義如下

無量綱圓頻率2πftp=1.0,10 的無界振蕩流場(chǎng)中顆粒橫向運(yùn)動(dòng)速度的數(shù)值計(jì)算結(jié)果與Vojir 等[27]的計(jì)算結(jié)果對(duì)比分別如圖4(a)和圖4(b)所示.其中,黑色散點(diǎn)表示Vojir 等[27]的計(jì)算結(jié)果,紅色虛線為本文的計(jì)算結(jié)果.可見,兩種頻率下,顆粒速度的波幅和相位均吻合很好.

圖4 無界振蕩流場(chǎng)中顆粒速度的計(jì)算結(jié)果與Vojir 等[27]的結(jié)果對(duì)比Fig.4 Comparison of particle lateral velocity with the results of Vojir et al.[27]

由于上述驗(yàn)證中并未涉及顆粒與管壁碰撞,因此進(jìn)一步通過與Gondret 等[34]的顆粒與容器的碰撞實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比來驗(yàn)證所用計(jì)算模型的準(zhǔn)確性.實(shí)驗(yàn)中,直徑為3 mm、密度為 ρp=7800 kg/m3的鋼球在裝有硅油的方形管道中自由沉降,流體密度為ρf=935 kg/m3,流體黏度為 μf=0.01 Pa·s .鋼球與容器底面接觸后發(fā)生碰撞,速度反向,而后鋼球上升至最高點(diǎn)轉(zhuǎn)而沉降,如此反復(fù)直至鋼球速度為0.

根據(jù)Ren 等[18]和Wan 等[19]的研究,顆粒與顆粒之間碰撞持續(xù)時(shí)間約為10-5s.Wei 等[7]的分析表明,顆粒與管壁碰撞的持續(xù)時(shí)間均在3.5×10-5s 內(nèi).因此,為準(zhǔn)確計(jì)算碰撞后的顆粒速度,時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)置為10-7s.鋼球的位移和速度的數(shù)值計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的對(duì)比如圖5 所示,黑色散點(diǎn)表示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),紅色虛線為本文的計(jì)算結(jié)果.可以看出數(shù)值結(jié)果和實(shí)驗(yàn)吻合較好,4 次碰撞前后的速度誤差均在5% 以內(nèi),從而證明所發(fā)展模型的正確性.

圖5 碰撞的數(shù)值計(jì)算結(jié)果與Gondret 等[34]的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比圖Fig.5 Comparisons of particle displacement and particle velocity between numerical results and experimental data of Gondret et al.[34]for collisions

2 結(jié)果分析

基于實(shí)際的工程背景的參數(shù),本節(jié)主要分析立管振動(dòng)頻率、振動(dòng)幅度、顆粒與流體密度比,顆粒與立管直徑比等參數(shù)對(duì)橫向振動(dòng)立管中顆粒運(yùn)動(dòng)的影響.由于本文研究的管道雷諾數(shù)約為105,處于湍流狀態(tài),因此管道橫截面上的速度分布采用指數(shù)形式表示[35],立管中的流場(chǎng)速度表示為

其中,Am,f和φ0分別表示立管振動(dòng)幅度、振動(dòng)頻率和振動(dòng)初相位,U=1 m/s 為立管軸線處的流體垂向速度.D為立管直徑,顆粒位置坐標(biāo)表示為Pp(xp,yp,zp),顆粒所處立管橫截面處立管軸線坐標(biāo)表示為Pc(xc,yc,zc).另外,如1.2 節(jié)所述,當(dāng)顆粒與立管壁面發(fā)生碰撞時(shí),需要兩者的材料參數(shù)計(jì)算顆粒碰后速度.在本節(jié)中,立管和顆粒的楊氏模量Ew和Ep,分別取200 和60 GPa,泊松比μw和μp分別為0.30 和0.26,法向和切向恢復(fù)系數(shù)分別為0.76 和0.70[36],摩擦力系數(shù)為0.2.本節(jié)中,流體密度和黏性系數(shù)分別為ρf=1000 kg/m3和μf=0.001 Pa·s.

需要說明的是,Wei 等[7]的研究表明顆粒初始釋放位置不影響顆粒的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng),顆粒在非振動(dòng)橫向(y方向)的運(yùn)動(dòng)可以忽略,并且在本文研究設(shè)定的顆粒物性參數(shù)和立管振動(dòng)參數(shù)范圍內(nèi)(根據(jù)實(shí)際工程背景設(shè)定的參數(shù)),Basset 力在顆粒運(yùn)動(dòng)中占比很小,可以忽略.因此,下文的計(jì)算結(jié)果未考慮Basset 力,且只討論顆粒在振動(dòng)橫向(x方向)和垂向(z方向)上的運(yùn)動(dòng)特征.除此之外,本文關(guān)注顆粒進(jìn)入動(dòng)態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)后的運(yùn)動(dòng)特征,因此,每個(gè)工況至少計(jì)算40 個(gè)立管運(yùn)動(dòng)周期,立管振動(dòng)頻率f=0.5～2.0 Hz,因此模擬時(shí)長(zhǎng)為20～80 s.當(dāng)顆粒與管壁未發(fā)生碰撞(即顆粒距離管壁較遠(yuǎn)) 時(shí),用變步長(zhǎng)的4 階、5 階龍格-庫(kù)塔法求解顆粒速度,時(shí)間步長(zhǎng)最大為10-4s.當(dāng)顆粒與管壁即將發(fā)生碰撞(即顆粒距離管壁很近)時(shí),為了準(zhǔn)確計(jì)算碰撞后的顆粒速度,在顆粒與管壁發(fā)生碰撞的時(shí)段,時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)置為10-7s.

2.1 振動(dòng)參數(shù)的影響

在振動(dòng)立管中,管道振動(dòng)頻率和管道振動(dòng)幅度是影響顆粒運(yùn)動(dòng)的最明顯的兩個(gè)因素.根據(jù)劉大有[37]的研究,一維無界振蕩流場(chǎng)中顆粒運(yùn)動(dòng)速度的幅值以及其與振蕩流場(chǎng)的相位差與管道振動(dòng)頻率和密度比直接相關(guān).基于此,本節(jié)主要討論顆粒橫向和垂向運(yùn)動(dòng)特性在不同立管振幅和振動(dòng)頻率下的變化特征.本節(jié)主要分析不同管道振動(dòng)頻率和振幅下,顆粒橫向速度相位差φ、相對(duì)橫向速度vpxre、以及顆粒垂向速度vpz的變化特征.研究中,顆粒直徑d=0.015 m,立管直徑D=0.1 m,顆粒密度ρp=2000 kg/m3(密度比β=ρp/ρf=2.0),振動(dòng)頻率f/(U/D)和振動(dòng)幅度Am/D的組合如表1 所示.

表1 立管振動(dòng)參數(shù)設(shè)置Table 1 Vibrational parameters of the oscillating riser

2.1.1 振動(dòng)參數(shù)對(duì)顆粒橫向運(yùn)動(dòng)的影響

首先,研究立管振動(dòng)參數(shù)對(duì)顆粒橫向速度和位移的影響.考慮發(fā)生碰撞和未發(fā)生碰撞兩種情況,以表1 中f/(U/D)=0.05 為例,分析立管振動(dòng)幅值對(duì)顆粒橫向速度和位移的影響.在研究立管振動(dòng)頻率對(duì)顆粒運(yùn)動(dòng)特征影響時(shí),選取立管振幅Am/D=1.0,振動(dòng)頻率f/(U/D)=0.05,0.06,0.07,0.075,0.10,0.15,0.20.另外,如1.2 節(jié)所述,顆粒與壁面是否發(fā)生碰撞與顆粒中心和管道軸線之間的相對(duì)距離相關(guān).因此,分析立管振動(dòng)方向上的顆粒與管道軸線之間相對(duì)位移的波動(dòng)幅值xr,Am隨立管振動(dòng)參數(shù)的變化規(guī)律十分必要.xr,Am定義如下

其中,xp和xc分別為顆粒和管道軸線所在位置的橫向坐標(biāo),max(xp-xc)和min(xp-xc)分別表示一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)顆粒與立管之間相對(duì)位移的最大值和最小值,N表示振動(dòng)周期的數(shù)量,為保證選取樣本的代表性,每種立管振動(dòng)參數(shù)下N取值至少為20.不同立管振動(dòng)參數(shù)下xr,Am變化如圖6 所示.

圖6 顆粒和振動(dòng)立管橫向相對(duì)位移幅值隨(a)立管振幅和(b)振動(dòng)頻率的變化Fig.6 Fluctuation amplitudes of the relative displacement between the particle and vibrating riser with various (a) vibrational amplitudes and(b) frequencies

從圖6 中發(fā)現(xiàn),隨著立管振幅或振動(dòng)頻率的增加,顆粒與立管的相對(duì)位移xr,Am不斷增加.然而,如圖6(a)和圖6(b)所示,當(dāng)Am/D≥ 3.0 或f/(U/D)≥ 0.15,xr,Am保持在一個(gè)常數(shù)值0.85,不再繼續(xù)增加,表明顆粒與管壁之間發(fā)生碰撞,由于管壁的限制,xr,Am不再繼續(xù)增加.xr,Am變化規(guī)律與顆粒和振動(dòng)立管之間橫向相對(duì)速度和相位差相關(guān).首先,分析振動(dòng)方向上顆粒速度與管道速度之間的相位差隨振動(dòng)參數(shù)的變化.定義顆粒橫向速度極值所在時(shí)刻的相位為φp,管道振動(dòng)速度極值點(diǎn)所在的相位為φf.兩者之間相位差φ如下計(jì)算

其中,為保證選取樣本的代表性,每種立管振動(dòng)參數(shù)下的N取值至少為20,即選取至少20 個(gè)周期的相位差,取其平均值作為相位差φ.圖7 顯示了相位差φ隨振動(dòng)幅度和振動(dòng)頻率的變化趨勢(shì).

圖7 顆粒和振動(dòng)立管橫向速度的相位差隨(a)立管振幅和(b)振動(dòng)頻率的變化Fig.7 Phase differences between the particle velocity and riser velocity with various (a) vibrational amplitudes and (b) frequencies

從圖6 中可以看出,當(dāng)f/(U/D)=0.05,Am/D≤1.5 或f/(U/D)≤0.1,Am/D=1.0 時(shí),顆粒與管軸之間的距離隨振動(dòng)頻率或振幅的增加持續(xù)變大,表明在此振動(dòng)參數(shù)變化區(qū)間顆粒與管壁之間無碰撞發(fā)生,此時(shí)相位差(圖7)隨立管振幅或振動(dòng)頻率的增加而增加.這是因?yàn)殡S著振幅和頻率的增加,顆粒對(duì)管道的跟隨性變?nèi)?相位差會(huì)相應(yīng)增加.而當(dāng)f/(U/D)=0.05,Am/D=2.0～4.0 或f/(U/D)=0.15～0.20,Am/D=1.0 時(shí),每個(gè)立管振動(dòng)周期內(nèi)顆粒與管壁碰撞2 次,此時(shí)相位差φ急劇減小,且立管振幅或振動(dòng)頻率越大,φ的值越小.這是因?yàn)闄M向相對(duì)位移由相對(duì)速度和相位差φ共同決定,有碰撞發(fā)生條件下,顆粒與立管之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)位移幅值受到管壁的影響不再繼續(xù)增加,而碰撞作用通過瞬時(shí)改變兩者相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度,從而間接影響相位差,導(dǎo)致相對(duì)運(yùn)動(dòng)距離幅值xr,Am/D不再繼續(xù)變大.由此可見,碰撞對(duì)顆粒橫向速度有顯著影響.比較圖7(a)和圖7(b),可以發(fā)現(xiàn)在本文研究的參數(shù)范圍內(nèi),與振動(dòng)幅度相比,振動(dòng)頻率對(duì)相位差的影響更大.

除相位差外,在振動(dòng)方向上,顆粒與立管之間的速度差vpxre是決定顆粒與管壁之間是否發(fā)生碰撞的另一決定性因素.將vpxre的幅值定義為vpxre,Am,其求解如下

其中,N為顆粒運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定后,選取時(shí)間段內(nèi)相對(duì)速度最大值或最小值出現(xiàn)的次數(shù)(N≥ 20).

表1 中振動(dòng)參數(shù)下,vpxre,Am的值如圖8 所示.從圖8 中可以看出,無論是否發(fā)生碰撞,顆粒相對(duì)速度隨立管振動(dòng)頻率和振動(dòng)幅值的增加而增加.這是因?yàn)?無碰撞發(fā)生條件下,如圖9 中黑色實(shí)線所示,顆粒與振動(dòng)立管之間的橫向相對(duì)速度與顆粒對(duì)流體的跟隨能力有關(guān).如圖9 中帶圓點(diǎn)的虛線所示,有碰撞發(fā)生條件下,兩者之間的相對(duì)速度會(huì)在短暫的時(shí)間內(nèi)(t1～t2)受碰撞作用的影響,而后完全受控于流體作用[7].因此,碰撞不會(huì)改變相對(duì)速度隨立管振動(dòng)頻率和振幅的變化趨勢(shì).

圖8 不同振動(dòng)參數(shù)下的顆粒橫向相對(duì)速度幅值Fig.8 Flucutation amplitudes of the relative lateral velocity with various vibrational parameters

圖9 顆粒橫向相對(duì)速度的歷時(shí)曲線Fig.9 Variations of the relative lateral velocity with time

2.1.2 振動(dòng)參數(shù)對(duì)顆粒垂向運(yùn)動(dòng)的影響

顆粒的垂向平均速度變化直接影響礦石的提升效率.因此,很有必要分析立管振動(dòng)頻率和振動(dòng)幅度對(duì)顆粒垂向平均速度的影響.在顆粒釋放后的運(yùn)動(dòng)初期,顆粒速度并未達(dá)到穩(wěn)定,因此這里選取顆粒運(yùn)動(dòng)速度穩(wěn)定以后20 個(gè)振動(dòng)周期的垂向速度平均值作為研究對(duì)象.

垂向平均速度計(jì)算方式如下

其中,vpz,ave表示垂向平均速度,t0～tf表示20 個(gè)周期的開始和截止時(shí)刻.

圖10 展示了不同振動(dòng)參數(shù)下顆粒垂向平均速度的變化規(guī)律,可以看出,顆粒與管壁之間無碰撞發(fā)生條件下(虛線以上),隨著振動(dòng)頻率或振動(dòng)幅值的增加,顆粒垂向平均速度減小,意味著顆粒提升效率的降低.這是因?yàn)殡S著立管振動(dòng)頻率或者振幅的增加,顆粒與振動(dòng)立管的橫向相對(duì)位移增加,并且越靠近管壁管道中流體垂向速度越小,從而導(dǎo)致顆粒垂向平均速度減小.有碰撞發(fā)生條件下,隨立管振幅的增加,顆粒垂向平均速度減小的趨勢(shì)變得平緩.這是因?yàn)橛信鲎舶l(fā)生條件下,由于管壁的限制作用,顆粒與管道軸線的相對(duì)位移達(dá)到最大(如圖6 所示),不再隨立管振動(dòng)幅度的繼續(xù)增加而改變,因此,有碰撞發(fā)生條件下,顆粒垂向平均速度隨立管振動(dòng)參數(shù)的變化與管內(nèi)流場(chǎng)的非均勻性無關(guān).顆粒垂向速度隨振動(dòng)幅度的變化主要由碰撞導(dǎo)致,但是碰撞的作用是瞬時(shí)的而不是作用在顆粒運(yùn)動(dòng)的整個(gè)周期,因此顆粒垂向平均速度的變化趨勢(shì)減緩.另外,與靜止立管中顆粒運(yùn)動(dòng)不同,橫向振動(dòng)立管中的顆粒垂向速度幅值會(huì)出現(xiàn)規(guī)律性波動(dòng)[7].為探究此波動(dòng)幅度vpz,Am隨振動(dòng)參數(shù)的變化特征,將vpz,Am定義如下

圖10 不同振動(dòng)參數(shù)下的顆粒垂向平均速度Fig.10 Particle vertical average velocity with different vibrational frequencies and amplitudes

圖11 展示了不同立管振動(dòng)參數(shù)下顆粒的vpz,Am取值.觀察圖11 可以發(fā)現(xiàn),在相同頻率下顆粒垂向速度的波動(dòng)幅度隨振動(dòng)頻率的增加而增加.造成這種現(xiàn)象的原因是,隨著振動(dòng)立管振幅的增加,立管與顆粒橫向相對(duì)位移幅值增大,顆粒更靠近管壁;同時(shí)立管中流體的垂向速度呈指數(shù)形式(式(29)),越靠近管壁流體垂向速度越小.因此,在顆粒與立管橫向相對(duì)位移幅值和流體垂向速度的共同影響下,顆粒的垂向速度幅值出現(xiàn)波動(dòng).圖11 中左下方所示區(qū)域是無碰撞發(fā)生的情況,與之相比,在有碰撞發(fā)生條件下(圖11 虛線右上方所示區(qū)域),垂向速度的波動(dòng)幅度出現(xiàn)大幅增加,這明顯與碰撞作用相關(guān).圖12 展示了振動(dòng)頻率f/(U/D)=0.1 時(shí),不同振幅下顆粒垂向速度的歷時(shí)曲線,圖中Am/D=1.5,2.0 時(shí)顆粒與管壁之間每個(gè)周期發(fā)生兩次碰撞,Am/D≤1.0 時(shí)無碰撞發(fā)生.可以看出,由于碰撞力的瞬時(shí)作用,顆粒垂向速度的極小值出現(xiàn)在碰后的時(shí)刻[7],此極小值遠(yuǎn)低于未發(fā)生碰撞時(shí).而由流場(chǎng)垂向速度影響的顆粒垂向速度極大值則趨于相等,因此vpz,Am顯著增加.

圖11 不同振動(dòng)參數(shù)下的顆粒垂向速度波動(dòng)幅值Fig.11 Flucutation amplitudes of the particle verticle velocity with various vibrational parameters

圖12 不同振幅下的顆粒垂向速度歷時(shí)曲線Fig.12 Time history of the verticle velocity with various vibrational amplitudes

2.2 密度比的影響

除立管振動(dòng)參數(shù)外,顆粒與流體密度比也會(huì)對(duì)顆粒運(yùn)動(dòng)特征產(chǎn)生影響.因此,本節(jié)主要分析相同立管振幅和振動(dòng)頻率條件下,顆粒與立管內(nèi)流體密度比β變化對(duì)顆粒運(yùn)動(dòng)特征的影響.其中,顆粒直徑d=0.015 m,立管振動(dòng)頻率f/(U/D)=0.1,對(duì)應(yīng)有碰撞、無碰撞發(fā)生的兩種振動(dòng)幅度Am/D=0.5,1.5,顆粒與流體密度比分別為β=1.5,1.8,2.0,2.2,2.4.

2.2.1 密度比對(duì)顆粒橫向運(yùn)動(dòng)的影響

首先,討論顆粒與立管內(nèi)流體密度比β變化對(duì)顆粒橫向速度的影響.為便于比較和觀察,用立管振動(dòng)周期T對(duì)時(shí)間t進(jìn)行無量綱化.

不同密度比下,顆粒橫向速度隨時(shí)間的變化如圖13 所示.從圖13(a)和圖13(b)中可以明顯看出,無論有無碰撞發(fā)生,橫向相對(duì)速度幅值隨密度比的增大而減小,這是因?yàn)殡S著密度比的增加,顆粒的慣性增加,導(dǎo)致其對(duì)周圍流體的跟隨性變?nèi)?相同流體速度下的顆粒速度會(huì)減小.

圖13 不同密度比下的顆粒橫向速度歷時(shí)曲線Fig.13 Time history of lateral velocity of the particle to the riser with various density ratios

除此之外,通過圖13 可以發(fā)現(xiàn),顆粒橫向速度的相位以及顆粒與管壁發(fā)生碰撞的時(shí)刻與密度比有關(guān).采用式(31)定義的相位差,顆粒橫向速度與立管振動(dòng)速度的相位差隨密度比的變化如圖14 所示.

圖14 顆粒和振動(dòng)立管橫向速度的相位差隨密度比的變化Fig.14 Phase difference of the particle and riser velocity in vibrational direction with various density ratios

從圖14(a)中可以看出,當(dāng)顆粒與管壁之間無碰撞發(fā)生條件下(Am/D=0.5),隨著密度比的增加,顆粒橫向速度與振動(dòng)立管之間的相位差持續(xù)增加.然而,比較圖14(a)和圖14(b)中的相位差φ的量級(jí)可以發(fā)現(xiàn),碰撞發(fā)生條件下,相位差急劇減小.這說明,碰撞可以通過改變相位差而影響顆粒橫向運(yùn)動(dòng)速度,從而減小密度比對(duì)相位差的影響.

另外,從圖13(b)中可以看出密度比會(huì)影響顆粒與管壁發(fā)生碰撞的時(shí)刻.為了進(jìn)行定量分析,圖15展示了立管振動(dòng)頻率f/(U/D)=0.10、振幅Am/D=1.5 時(shí),橫向相對(duì)位移隨時(shí)間的變化以及顆粒與管壁碰撞時(shí)刻的相位隨密度比的變化.根據(jù)碰撞發(fā)生條件,從圖15(a)可以看出,在每個(gè)立管振動(dòng)周期,顆粒與管壁發(fā)生2 次碰撞,這兩次碰撞時(shí)的相位φcol隨密度比的變化分別如圖15(b)和圖15(c)所示.可以發(fā)現(xiàn),隨著密度比的增加,顆粒與管壁碰撞時(shí)刻的相位減小,說明顆粒與流體密度比較大時(shí),碰撞更容易發(fā)生.造成這種現(xiàn)象的原因是,隨著密度比的增加,顆粒慣性增大,從而顆粒與振動(dòng)立管之間的相對(duì)速度增大,這使得兩者之間的相對(duì)位移在更短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到立管半徑,從而導(dǎo)致顆粒與振動(dòng)立管在更早的相位處發(fā)生碰撞.

圖15 當(dāng) f/(U/D)=0.10,Am/D=1.5 時(shí),(a)橫向相對(duì)位移隨時(shí)間的變化以及(b),(c)顆粒與管壁碰撞時(shí)刻的相位隨密度比的變化Fig.15 (a) Time history of the relative displacement between the particle and riser in vibrational direction and (b),(c) the phases of the collision moment with various density ratios when f/(U/D)=0.10,Am/D=1.5

2.2.2 密度比對(duì)顆粒垂向運(yùn)動(dòng)的影響

顆粒運(yùn)動(dòng)達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)后,不同密度比下的顆粒垂向速度的歷時(shí)曲線如圖16 所示.可以看出隨著密度比的增加,顆粒垂向速度不斷減小.這是因?yàn)轭w粒直徑不變,顆粒密度比β的增加使得其自身重力增加,因此相同垂向流場(chǎng)速度條件下顆粒的提升速度會(huì)減小.

圖16 不同密度比下的顆粒垂向速度歷時(shí)曲線Fig.16 Time history of vertical velocity of the particle with various density ratios

另外,通過圖16 可以發(fā)現(xiàn),顆粒垂向速度的波動(dòng)幅值會(huì)隨密度比變化而改變.因此,接下來主要討論顆粒與管內(nèi)流體密度比變化對(duì)vpz,Am的影響.

圖17 展示了顆粒垂向速度波動(dòng)幅值vpz,Am和橫向相對(duì)位移幅值xr,Am隨密度比的變化.從圖17(a)中可以發(fā)現(xiàn),對(duì)于無碰撞發(fā)生的情形,垂向速度波動(dòng)幅值與密度比呈正相關(guān),這是因?yàn)槊芏缺仍酱?顆粒的慣性越大,其對(duì)周圍流體的跟隨性變?nèi)?顆粒與振動(dòng)立管之間的橫向相對(duì)速度值和相位差增加,致使顆粒在立管中的運(yùn)動(dòng)范圍變大(圖17(c));并且立管中非均勻的流體垂向速度同樣會(huì)影響顆粒運(yùn)動(dòng),最終導(dǎo)致顆粒垂向速度波動(dòng)幅值增加.從圖17(b)中可以明顯看出,對(duì)于有碰撞發(fā)生的情形,顆粒垂向速度波動(dòng)幅值隨密度比的增加而增加,但其增長(zhǎng)率有所降低,從而證明,顆粒垂向運(yùn)動(dòng)隨顆粒與管內(nèi)流體密度比的變化特征同樣受到顆粒與管道碰撞效應(yīng)的影響.

圖17 (a),(b)顆粒垂向速度波動(dòng)幅值以及(c)橫向相對(duì)位移幅值隨密度比的變化Fig.17 (a),(b) The fluctuation amplitudes of the vertical velocity and(c) relative displacement between the particle and riser with various density ratios

2.3 直徑比的影響

由于顆粒與立管直徑比λ的變化同樣對(duì)橫向振動(dòng)立管中顆粒運(yùn)動(dòng)特性產(chǎn)生影響,因此本節(jié)分析橫向振動(dòng)立管中顆粒運(yùn)動(dòng)特征隨著顆粒與立管直徑比λ增大的變化規(guī)律.研究中,顆粒與流體的密度比β=2.0,立管直徑D=0.1 m,立管振動(dòng)頻率f/(U/D)=0.10,振動(dòng)幅度Am/D=0.5,1.5.另外,根據(jù)深海采礦過程中礦石尺寸范圍,選取直徑比λ=0.1,0.125,0.15,0.18,0.2,0.25.

2.3.1 直徑比對(duì)顆粒橫向運(yùn)動(dòng)的影響

首先,分析直徑比λ變化對(duì)顆粒橫向運(yùn)動(dòng)的影響.有無碰撞條件下,顆粒橫向速度與振動(dòng)立管之間的相位差隨直徑比的變化如圖18 所示.

圖18 顆粒與振動(dòng)立管橫向速度的相位差隨直徑比的變化Fig.18 The phase difference of the particle and riser velocity in vibrational direction with various diameter ratios

當(dāng)顆粒與管壁之間無碰撞發(fā)生條件下(Am/D=0.5),從圖18(a)中可以看出隨著直徑比的增加,顆粒橫向速度與振動(dòng)立管之間的相位差持續(xù)增加.然而,當(dāng)有碰撞發(fā)生(Am/D=1.5),相位差由0.05～0.07 急劇減小至-0.01～0.01 (圖18(b)).從而證明,碰撞可以通過改變相位差而影響顆粒橫向運(yùn)動(dòng)速度,進(jìn)而導(dǎo)致直徑比對(duì)顆粒橫向運(yùn)動(dòng)的影響減弱.

立管振動(dòng)頻率f/(U/D)=0.10,振幅Am/D=1.5 時(shí),不同直徑比下,橫向相對(duì)位移隨時(shí)間的變化以及顆粒與管壁碰撞時(shí)刻的相位如圖19 所示.根據(jù)碰撞發(fā)生條件,從圖19(a) 可以看出,立管振幅為Am/D=1.5 時(shí),在每個(gè)立管振動(dòng)周期,顆粒與管壁發(fā)生2 次碰撞,該兩次碰撞時(shí)的相位分別如圖19(b)和圖19(c)所示.可以看出,隨著直徑比的增加,顆粒與管壁2 次碰撞發(fā)生時(shí)刻的相位均會(huì)減小,表明碰撞時(shí)刻提前.這是因?yàn)殡S著顆粒直徑比增加,顆粒對(duì)管道的跟隨性變差,導(dǎo)致顆粒與振動(dòng)立管之間的相對(duì)速度增大;同時(shí),由1.2 節(jié)可知,當(dāng)滿足h>(D-d)/2– εd條件時(shí),顆粒與管壁發(fā)生碰撞,當(dāng)顆粒直徑增加時(shí),不等式右側(cè)的值會(huì)減小.鑒于上述兩種原因,隨著直徑比的增加,顆粒與管壁更容易發(fā)生碰撞,致使碰撞時(shí)刻提前,所以發(fā)生碰撞的相位會(huì)減小.

圖19 當(dāng) f/(U/D)=0.10,Am/D=1.5 時(shí),(a)橫向相對(duì)位移隨時(shí)間的變化以及(b),(c)顆粒與管壁碰撞時(shí)刻的相位隨直徑比的變化Fig.19 (a) Time history of the relative displacement between the particle and riser in vibrational direction and (b),(c) the phases of the collision moment with various diameter ratios when f/(U/D)=0.10,Am/D=1.5

2.3.2 直徑比對(duì)顆粒垂向運(yùn)動(dòng)的影響

顆粒運(yùn)動(dòng)狀態(tài)穩(wěn)定后,不同直徑下的顆粒垂向速度歷時(shí)曲線如圖20 所示,可以明顯看出隨著直徑比的增加,顆粒垂向速度減小.結(jié)合顆粒運(yùn)動(dòng)方程(2),可以發(fā)現(xiàn),密度比β不變時(shí),隨著顆粒與立管直徑比λ=d/D的增加,顆粒所受的拖曳力FD在總力中的占比減小,導(dǎo)致顆粒最終的垂向提升速度減小,這與張巖等[20]分析雙尺寸顆粒群分離現(xiàn)象的原因類似.

圖20 不同直徑下的顆粒垂向速度歷時(shí)曲線Fig.20 Time history of vertical velocity of the particle with various diameter ratios

顆粒垂向速度波動(dòng)幅值和無碰撞情形的橫向相對(duì)位移幅值隨直徑比的變化如圖21 所示.從圖21(a)可以看出,對(duì)于顆粒與管壁之間無碰撞發(fā)生的情形,顆粒垂向速度波動(dòng)幅值隨其直徑比的增加而變大.造成這種現(xiàn)象的原因是立管中流體的垂向速度呈指數(shù)型(式(29)),越靠近管壁流體垂向速度越小;同時(shí),如圖21(c)所示,隨著直徑比的增加,顆粒對(duì)振動(dòng)立管的跟隨性變?nèi)?導(dǎo)致顆粒在立管中的運(yùn)動(dòng)范圍變大,在流場(chǎng)和顆粒運(yùn)動(dòng)的共同作用下,顆粒垂向速度波動(dòng)幅度隨直徑比的增加而增加.

圖21 (a),(b)顆粒垂向速度波動(dòng)幅值以及(c)橫向相對(duì)位移幅值隨直徑比的變化Fig.21 (a),(b) Fluctuation amplitudes of the vertical velocity and(c) relative displacement between the particle and riser with various diameter ratios

另外,從圖21(b)可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)立管振動(dòng)幅度為Am/D=1.5,vpz,Am與直徑比呈現(xiàn)負(fù)相關(guān).這種現(xiàn)象可以解釋為:有碰撞發(fā)生,需滿足條件h>(D-d)/2–εd,可以看出顆粒直徑比越大,顆粒與管壁發(fā)生接觸時(shí),顆粒中心距離管壁越遠(yuǎn),而由式(29)可知,距離管壁越遠(yuǎn),流場(chǎng)垂向速度變化越小,導(dǎo)致流場(chǎng)對(duì)顆粒的垂向作用力的變化緩慢,因此由流場(chǎng)引起的顆粒垂向速度的波動(dòng)幅值會(huì)減小.

3 結(jié)論

本文基于顆粒運(yùn)動(dòng)方程和軟球碰撞模型,對(duì)橫向振動(dòng)立管中的單顆粒運(yùn)動(dòng)特性開展了數(shù)值研究,討論了顆粒與立管碰撞的發(fā)生條件,分析了顆粒運(yùn)動(dòng)的垂向速度、相對(duì)于立管的橫向速度隨立管振動(dòng)參數(shù)、顆粒與立管內(nèi)流體密度比(密度比)以及顆粒與立管直徑比(直徑比)的變化規(guī)律,得到以下主要結(jié)論.

大振幅或者高頻率的立管振動(dòng)可引起顆粒與立管發(fā)生碰撞,隨著密度比和直徑比的增加,顆粒與管壁發(fā)生碰撞的相位減小,即碰撞時(shí)刻提前,使得碰撞更容易發(fā)生.

顆粒垂向平均速度隨立管振動(dòng)頻率和振幅、密度比以及直徑比的增加而減小,但垂向速度的波動(dòng)幅值呈增加趨勢(shì),顆粒與立管的碰撞導(dǎo)致垂向速度的波動(dòng)幅值顯著增加.

顆粒與立管之間無碰撞發(fā)生的條件下,顆粒與立管之間橫向相對(duì)速度幅值以及兩者之間的相位差隨立管振動(dòng)頻率和振幅、密度比以及直徑比的增加而增加.而有碰撞發(fā)生的條件下,顆粒與立管的橫向相對(duì)速度的相位差受碰撞的影響急劇減小,從而減弱密度比和直徑比對(duì)顆粒橫向速度的影響.

本文的研究初步揭示了橫向振動(dòng)立管中單個(gè)粗顆粒的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,對(duì)深海采礦工程設(shè)計(jì)有參考價(jià)值.當(dāng)然,在實(shí)際海洋工程中,立管所處作業(yè)環(huán)境復(fù)雜,而且深海采礦系統(tǒng)中的采礦船、中間艙以及采礦車的運(yùn)動(dòng),會(huì)給海洋立管施加多頻成分疊加的激勵(lì)形式,其運(yùn)動(dòng)響應(yīng)更加復(fù)雜.除此之外,當(dāng)輸送管道中的礦石顆粒濃度較高時(shí),礦石顆粒間的相互作用力可能會(huì)比較強(qiáng).因此,在未來的研究中,將需要考慮更接近實(shí)際的情況,如考慮立管的“8 字形”振動(dòng)等,逐步推進(jìn)單顆粒和群顆粒礦石在復(fù)雜模態(tài)運(yùn)動(dòng)立管中的運(yùn)動(dòng)特征研究.