固-液兩相內(nèi)流激勵(lì)下懸臂輸流管道穩(wěn)定性特征研究1)

高 云 陳曉東 程 瑋 劉 磊

* (哈爾濱工業(yè)大學(xué)(威海)海洋工程學(xué)院,山東威海 264209)

? (天津大學(xué)水利工程智能建設(shè)與運(yùn)維全國(guó)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,天津 300072)

引言

輸流管道在能源、海洋工程和化工等領(lǐng)域均有著非常廣泛的應(yīng)用.根據(jù)結(jié)構(gòu)邊界條件,輸流管道可大致分為兩類:一類是兩端固支的輸流管道;另一類是一端固支、另一端自由的懸臂輸流管道.由于懸臂輸流管道自由端與外界存在質(zhì)量和動(dòng)量交換,因此,與兩端固支的輸流管道相比,懸臂輸流管道的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特征要更為復(fù)雜.為了保證流體能夠在懸臂輸流管道內(nèi)進(jìn)行安全、穩(wěn)定地輸送,有必要對(duì)懸臂輸流管道的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特征展開(kāi)深入研究.

根據(jù)管內(nèi)介質(zhì)不同,可以將懸臂輸流管道動(dòng)力響應(yīng)特征研究劃分為:單相內(nèi)流激勵(lì)下懸臂輸流管道動(dòng)力響應(yīng)研究以及多相內(nèi)流激勵(lì)下懸臂輸流管道動(dòng)力響應(yīng)研究.針對(duì)單相內(nèi)流激勵(lì)下懸臂輸流管道的動(dòng)力響應(yīng)研究,目前已經(jīng)取得了很多有意義的研究成果.Semler 等[1]基于哈密頓原理推導(dǎo)得到了二維懸臂輸流管道動(dòng)力學(xué)控制方程.Wadham 等[2]首先推導(dǎo)了三維懸臂輸流管道的控制方程,同年,Wadham 等[3-4]分別對(duì)有彈簧約束的懸臂管道動(dòng)力學(xué)和附加點(diǎn)質(zhì)量的懸臂管道動(dòng)力學(xué)[3]展開(kāi)研究,發(fā)現(xiàn)理論結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果具有良好的一致性.Modarres等[5]研究了懸臂輸流管道系統(tǒng)的顫振問(wèn)題,主要探討了質(zhì)量比和重力參數(shù)的影響.包日東等[6]和Ghayesh等[7]研究了受約束的單相內(nèi)流懸臂管道動(dòng)力學(xué)特性,揭示了其通向混沌的途徑.Yamashita 等[8]研究了受周期性激勵(lì)的懸臂管道振動(dòng)問(wèn)題,對(duì)理論預(yù)測(cè)的激勵(lì)效應(yīng)進(jìn)行了定性驗(yàn)證.Yun 等[9]提出了一種分析單相內(nèi)流激勵(lì)下懸臂管道自由振動(dòng)的方法,得到了不同流速下的模態(tài)振型.王乙坤等[10]研究了懸臂管與松動(dòng)約束的碰撞振動(dòng)問(wèn)題,得到了不同內(nèi)流速度下摩擦力對(duì)管道動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響規(guī)律.陶立佳等[11]研究了隨從力作用下懸臂輸流管道的穩(wěn)定性,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的失穩(wěn)方式與臨界流速大小有關(guān).王乙坤等[12]研究了懸臂管道在內(nèi)流激勵(lì)下的參數(shù)共振行為,發(fā)現(xiàn)分布式運(yùn)動(dòng)約束力對(duì)管道位移響應(yīng)有顯著影響.易浩然等[13]研究了調(diào)控集中質(zhì)量對(duì)懸臂輸流管穩(wěn)定性的影響,得到了集中質(zhì)量位置對(duì)管道振幅表現(xiàn)的影響規(guī)律.Zhou 等[14]研究了基底激勵(lì)下懸臂管道的振動(dòng)響應(yīng)特征,得到了在亞臨界流速和超臨界流速區(qū)間內(nèi)管道的響應(yīng)規(guī)律.方孟孟等[15]研究了懸臂輸流管道在基礎(chǔ)激勵(lì)以及脈動(dòng)內(nèi)流聯(lián)合作用下的動(dòng)力學(xué)行為,發(fā)現(xiàn)相位差和頻率比對(duì)系統(tǒng)的混沌百分比有重要影響.ElNajjar 等[16]研究了附加質(zhì)量和彈簧位置對(duì)懸臂管道臨界流速的影響,發(fā)現(xiàn)在特定位置添加附加質(zhì)量和彈簧均可顯著提高臨界流速.2020 年開(kāi)始,Chen 等[17-19]針對(duì)懸臂輸流管道系統(tǒng)地開(kāi)展了一系列研究工作,研究?jī)?nèi)容主要包括:重力作用下懸臂輸流軟管可能出現(xiàn)的極大幅度振動(dòng)[17]、懸臂輸流管道大變形振動(dòng)的磁調(diào)控方法[18]以及三維懸臂輸流管道的幾何精確理論模型[19].近期,隨歲寒等[20]研究了懸臂管道受重力和內(nèi)流作用時(shí)的撓度和轉(zhuǎn)角,發(fā)現(xiàn)隨著內(nèi)流流速增大,結(jié)構(gòu)撓度和轉(zhuǎn)角會(huì)減小.趙志賢等[21]研究了懸臂輸流管道的自由振動(dòng)問(wèn)題,發(fā)現(xiàn)一端帶有彈性支承的約束形式更有利于提高管道自由振動(dòng)的穩(wěn)定性.漆發(fā)輝等[22]研究了分布載荷作用下懸臂輸流管道的穩(wěn)定性,得到了分布載荷和質(zhì)量比和黏彈性系數(shù)對(duì)系統(tǒng)失穩(wěn)臨界流速的影響規(guī)律.

相比于單相內(nèi)流激勵(lì)下懸臂輸流管道,針對(duì)多相內(nèi)流激勵(lì)下懸臂輸流管道動(dòng)力響應(yīng)的研究起步較晚,且研究成果也相對(duì)較少.Adegoke 等[23]研究了熱載荷作用下輸送兩相流的懸臂管振動(dòng)問(wèn)題,發(fā)現(xiàn)溫差、壓力和頂部張力的增加會(huì)提高管道的橫向振動(dòng)頻率.Liu 等[24]建立了輸送氣液兩相段塞流的懸臂管道系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型,分析了管道系統(tǒng)的固有頻率.Ebrahimi 等[25]研究了不同兩相流模型下懸臂管道結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性,發(fā)現(xiàn)模型的選擇對(duì)失穩(wěn)邊界有顯著影響,同時(shí)管道的動(dòng)態(tài)響應(yīng)在很大程度上取決于氣體的體積分?jǐn)?shù).Guo 等[26]提出了考慮熱效應(yīng)的兩相流懸臂式管中管系統(tǒng)自由振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型,發(fā)現(xiàn)管中管系統(tǒng)在穩(wěn)定性方面優(yōu)于單管輸液系統(tǒng).

由以上研究可以發(fā)現(xiàn),目前針對(duì)內(nèi)流激勵(lì)下懸臂輸流管道動(dòng)力響應(yīng)特征研究存在兩個(gè)明顯不足.(1) 目前絕大多數(shù)研究均是針對(duì)單相內(nèi)流展開(kāi),而針對(duì)多相內(nèi)流的研究較少.此外,在有限的針對(duì)多相內(nèi)流的研究中,大多均是針對(duì)氣-液兩相內(nèi)流展開(kāi),而針對(duì)固-液兩相內(nèi)流的研究則十分少見(jiàn).(2) 在目前的研究中,絕大多數(shù)均假設(shè)管道質(zhì)量分布具備均質(zhì)特征,沒(méi)有考慮附著在管道上的集中質(zhì)量塊引起的非均質(zhì)特征.因此,端部帶集中質(zhì)量塊的懸臂管道在固-液兩相內(nèi)流激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特征、尤其是穩(wěn)定性特征問(wèn)題還有待深入研究.該研究對(duì)懸臂輸流管道早期的合理設(shè)計(jì)、以及服役期的安全工作均有著重要的理論和工程價(jià)值.基于以上問(wèn)題,本文基于能量法建立了固-液兩相內(nèi)流激勵(lì)下帶集中質(zhì)量塊懸臂管道的非線性耦合動(dòng)力學(xué)模型,緊接著對(duì)管道動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了數(shù)值求解,并對(duì)管道的穩(wěn)定性特征展開(kāi)了深入分析.

1 問(wèn)題描述

如圖1 所示,考慮一長(zhǎng)度為L(zhǎng)、外徑為D、內(nèi)徑為d的懸臂輸流管道在內(nèi)流激勵(lì)下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特征問(wèn)題,管道在自由端具有質(zhì)量塊me,管道內(nèi)部介質(zhì)為固-液兩相流,流體流動(dòng)方向自上而下,管道上端采用固接邊界條件,下端采用自由邊界條件.取管道頂端為原點(diǎn)o;z方向與管道未變形時(shí)軸線方向重合、且定義向下為正;x方向與管道振動(dòng)方向重合、且定義向右為正;x和z兩個(gè)坐標(biāo)方向構(gòu)成結(jié)構(gòu)模型所在的二維坐標(biāo)系.

圖1 管道示意圖Fig.1 Pipeline diagram

由于經(jīng)典的Hamilton 原理不適用于本文所研究的懸臂輸流管道模型,因此,這里將基于修正的Hamilton 原理建立管道振動(dòng)方程.當(dāng)管道自由端與外界存在質(zhì)量與動(dòng)量交換時(shí),修正的哈密頓原理可表示如下[27]

式中,L 為系統(tǒng)拉格朗日函數(shù),W為非保守力做功,M為管道內(nèi)流質(zhì)量,U為管道內(nèi)流速度,rL為管道自由端位置向量,τL為管道自由端空間切向量.當(dāng)僅考慮管道的平面內(nèi)振動(dòng)時(shí),rL和τL可表示為rL=xi+zk,τL=x'i+z'k(其中′表示對(duì)管道z坐標(biāo)求空間偏導(dǎo)).

值得注意的是,式(1)表示的是針對(duì)單相內(nèi)流的修正Hamilton 原理表達(dá)式.若考慮固-液兩相內(nèi)流問(wèn)題,式(1)可改寫為

式中,Us和Ul分別為固相和液相的流動(dòng)速度;Ms和Ml分別表示管道內(nèi)部的固相質(zhì)量以及液相質(zhì)量.L=T-V,其中,T以及V分別表示振動(dòng)系統(tǒng)的總動(dòng)能和總勢(shì)能.

當(dāng)管道發(fā)生振動(dòng)時(shí),管內(nèi)固體介質(zhì)絕對(duì)流動(dòng)速度vs以及管內(nèi)液體絕對(duì)流動(dòng)速度vl,可寫作管道振動(dòng)速度和管內(nèi)介質(zhì)對(duì)管道相對(duì)速度的關(guān)系表達(dá)式[28]

為了方便計(jì)算,這里沒(méi)有對(duì)內(nèi)部流場(chǎng)采用精細(xì)化建模,而是將內(nèi)部流場(chǎng)看作是均勻定常流動(dòng).系統(tǒng)總動(dòng)能T等于管道結(jié)構(gòu)動(dòng)能Tp、管內(nèi)固體動(dòng)能Ts以及管內(nèi)液體動(dòng)能Tl之和,表示如下

式中,mp是管道結(jié)構(gòu)的質(zhì)量.δ為Dirac 函數(shù),單位為L(zhǎng)-1,表示如下

系統(tǒng)總勢(shì)能V等于管道內(nèi)部固體重力勢(shì)能、管道內(nèi)部液體重力勢(shì)能、管道結(jié)構(gòu)重力勢(shì)能、管道末端集中質(zhì)量塊me引起的重力勢(shì)能、以及管道彎曲引起的彈性勢(shì)能之和,可表示為

式中,κ=x″,為管道曲率.當(dāng)忽略阻尼時(shí),且不考慮系統(tǒng)外部的非保守力做功.通過(guò)系列變分操作及運(yùn)算,可聯(lián)立式(2)～式(6),得到如下動(dòng)力學(xué)方程

假設(shè)固相和液相密度分別為ρs和ρl;固相和液相體積比分別為Qs和Ql(Qs+Ql=1);固相和液相的流動(dòng)速度Us和Ul可通過(guò)滑移因子β建立聯(lián)系,即Us=βUl.

當(dāng)內(nèi)部介質(zhì)為固-液兩相流時(shí),式(7)中內(nèi)流部分的質(zhì)量項(xiàng)、動(dòng)量項(xiàng)和動(dòng)能項(xiàng)可表示成兩相的疊加形式

聯(lián)立式(7)和式(8),得到內(nèi)部介質(zhì)為固-液兩相流時(shí)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制方程

懸臂管道邊界條件(上端固支、下端自由)可表示為

為方便描述結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特征,需對(duì)方程(9)進(jìn)行無(wú)量綱化,引入如下無(wú)量綱變量

式中,η為無(wú)量綱位移,ξ為無(wú)量綱坐標(biāo)位置,τ為無(wú)量綱時(shí)間,整理得到如下無(wú)量綱方程

式中,各無(wú)量綱系數(shù)可表示為

其中,κ1為單位長(zhǎng)度管道中無(wú)量綱液體質(zhì)量,κ2為單位長(zhǎng)度管道中無(wú)量綱固體質(zhì)量,κ3為無(wú)量綱附加點(diǎn)質(zhì)量,u為無(wú)量綱內(nèi)部液相流速,χ為細(xì)長(zhǎng)比,α為無(wú)量綱重力系數(shù).無(wú)量綱形式的懸臂管道邊界條件可寫作

2 數(shù)值方法

對(duì)無(wú)量綱振動(dòng)位移η進(jìn)行Galerkin 離散,取前N階模態(tài)振型,可寫作

其中,?i(ξ)為懸臂邊界條件下輸流管道的第i階模態(tài)振型,是第i階廣義坐標(biāo).對(duì)于懸臂結(jié)構(gòu),其模態(tài)振型可表示如下[28]

將式(15)代入式(12)后,再在方程左右兩端同時(shí)乘以振型函數(shù) ?i(ξ),并在區(qū)間[0,1]上進(jìn)行定積分,得到

式中,δ函數(shù)表示的附加點(diǎn)質(zhì)量項(xiàng)的處理方式較為特殊[16],如下

將式(17)寫作矩陣形式,表示為

將式(20)轉(zhuǎn)化為一階微分方程,可表示如下

式中

假設(shè)Z(τ)的表達(dá)式寫為

將式(26)代入式(24)中得到

式中,I為單位矩陣,由式(27)可進(jìn)一步得到

由式(28)可看出,λ為矩陣Y的特征值,對(duì)Y進(jìn)行進(jìn)一步展開(kāi),如下

特征值λ是一系列復(fù)數(shù),特征值λ與特征頻率ω之間存在恒定關(guān)系,即λ≡ iω[28].根據(jù)該關(guān)系式,基于矩陣Y的特征值λ便可非常方便地求解得到系統(tǒng)特征頻率ω.特征頻率的實(shí)部反應(yīng)的是系統(tǒng)的固有頻率,特征頻率的虛部反應(yīng)的是系統(tǒng)振動(dòng)的穩(wěn)定性特征.若存在特征頻率虛部小于0 的情況,則認(rèn)為結(jié)構(gòu)發(fā)生失穩(wěn).

基于4 階Houbolt 差分格式對(duì)方程(20)進(jìn)行離散,隨后采用Newton-Raphson 迭代法求解該線性方程組得到結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)特征,該部分詳細(xì)數(shù)值方法可參考Gao 等[29]的論文.

3 結(jié)果與討論

3.1 理論及數(shù)值模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文中介紹的內(nèi)流激勵(lì)下輸流管道穩(wěn)定性特征分析理論及數(shù)值模型的可靠性,這里對(duì)其展開(kāi)了驗(yàn)證.值得注意的是,對(duì)于帶集中質(zhì)量塊的懸臂管道模型,由于缺乏管內(nèi)為固液兩相流的相關(guān)模型數(shù)據(jù),這里僅對(duì)管內(nèi)為單相流的模型進(jìn)行驗(yàn)證.將本文中豎直方向的固液兩相內(nèi)流流動(dòng)簡(jiǎn)化為水平方向的單相內(nèi)流流動(dòng).針對(duì)水平方向的單相內(nèi)流流動(dòng)問(wèn)題,可將式(7)進(jìn)行退化并進(jìn)行無(wú)量綱化處理,得到如下表達(dá)式

其中Mi為內(nèi)部流動(dòng)介質(zhì)質(zhì)量.基于第2 部分提出的理論及數(shù)值方法對(duì)式(30)進(jìn)行數(shù)值求解,通過(guò)判斷特征頻率虛部得到管道發(fā)生顫振失穩(wěn)時(shí)的臨界速度uc.圖2 給出了當(dāng)μ=0.2,ξp=0.5 以及γ=0 時(shí)基于本文數(shù)值方法得到的臨界速度uc與ElNajjar 等[16]研究結(jié)果的對(duì)比曲線.由圖2 可看出:臨界速度uc隨β的變化趨勢(shì)與ElNajjar 等的研究結(jié)果基本一致,從而驗(yàn)證了本文中判斷內(nèi)流激勵(lì)下管道穩(wěn)定性特征數(shù)值計(jì)算方法的可靠性.

圖2 臨界流速uc 驗(yàn)證圖Fig.2 Verification diagram of critical velocity uc

這里,進(jìn)一步對(duì)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性特征計(jì)算方法的可靠性展開(kāi)了驗(yàn)證,基于前面的數(shù)值方法,分別對(duì)結(jié)構(gòu)內(nèi)流速度處于臨界速度uc前的亞臨界內(nèi)流速度和臨界速度uc后的超臨界內(nèi)流速度對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特征展開(kāi)了分析.圖3 分別給出了亞臨界內(nèi)流速度(ui=8.72)以及超臨界內(nèi)流速度(ui=8.73)對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)前4 階模態(tài)振型對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo).由圖3 可以看出,當(dāng)內(nèi)流速度處于亞臨界區(qū)間時(shí),結(jié)構(gòu)前4 階模態(tài)振型對(duì)應(yīng)的廣義坐標(biāo)時(shí)程曲線均呈現(xiàn)出隨時(shí)間增加而逐漸衰減的特征,此時(shí)結(jié)構(gòu)振動(dòng)形式為衰減振動(dòng);當(dāng)內(nèi)流速度進(jìn)入超臨界區(qū)間時(shí),廣義坐標(biāo)時(shí)程曲線均呈現(xiàn)出隨時(shí)間增加而逐漸放大的特征,此時(shí)結(jié)構(gòu)振動(dòng)呈現(xiàn)出顫振失穩(wěn)形式.

圖3 內(nèi)流速度區(qū)間內(nèi)結(jié)構(gòu)前4 階模態(tài)廣義坐標(biāo)的時(shí)程振動(dòng)曲線Fig.3 The time-history vibration curve of generalized coordinates of the first four modes of the structure in the supercritical internal flow velocity interval

3.2 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性特征分析

在本節(jié)穩(wěn)定性分析中,分析模型所選取的相關(guān)參數(shù)與文獻(xiàn)[30]保持一致,具體參數(shù)如表1 所示.

表1 懸臂管道基本參數(shù)Table 1 Basic parameters of the cantilevered pipe

這里首先系統(tǒng)地討論了流致阻尼對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,研究了特征頻率ω隨無(wú)量綱內(nèi)流速度ui的變化特征.研究過(guò)程中,無(wú)量綱端部質(zhì)量?3=1.0×10-4,無(wú)量綱固相比Qs=0.5.圖4 給出了管道復(fù)頻率隨內(nèi)流速度變化的Argand 圖.由圖4 可以看出:當(dāng)無(wú)量綱內(nèi)流速度ui較低(ui<20.9)時(shí),所有模態(tài)的特征頻率虛部Im(ω)均為正數(shù),意味著系統(tǒng)無(wú)法從內(nèi)部流體中獲得能量,此時(shí),管道振動(dòng)呈衰減特征,結(jié)構(gòu)振幅隨時(shí)間變化逐漸趨于0.隨著ui的增加,當(dāng)ui增加至臨界速度20.9 時(shí),第3 階模態(tài)特征頻率虛部Im(ω)首先從正值跨過(guò)0 點(diǎn)變?yōu)樨?fù)值,對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)阻尼比ζ=Im(ω)/Re(ω) <0,由結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)可以知道,結(jié)構(gòu)阻尼比ζ=c/2mωn,所以此時(shí)的流致阻尼為負(fù)數(shù),意味著系統(tǒng)將從內(nèi)部流體中獲得能量,此時(shí),結(jié)構(gòu)發(fā)生顫振失穩(wěn),振幅將趨于無(wú)窮大.

圖4 管道特征頻率隨內(nèi)流速度變化特性Fig.4 Characteristic frequency of pipeline varied with internal flow velocity

為了進(jìn)一步研究流致阻尼對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響,同時(shí)驗(yàn)證圖4 給出的不穩(wěn)定性的定性判斷結(jié)果,這里計(jì)算了臨界流速uc前和達(dá)到臨界流速uc時(shí)這兩種內(nèi)流速度(ui=20.8,20.9)對(duì)應(yīng)的廣義模態(tài)坐標(biāo)隨時(shí)間變化的特征(如圖5 所示).由圖5 可看出,當(dāng)ui

圖5 廣義模態(tài)坐標(biāo)振動(dòng)時(shí)程曲線Fig.5 Generalized modal coordinate vibration time history curve

圖6 給出了4 種不同的無(wú)量綱端部質(zhì)量塊?3下系統(tǒng)臨界流速uc與細(xì)長(zhǎng)比χ的變化關(guān)系圖.由圖6可以看出,針對(duì)不同的?3,臨界速度uc隨細(xì)長(zhǎng)比χ的增加呈現(xiàn)出不同的變化特征.當(dāng)?3較小(?3=1.0×10-5)時(shí),隨著χ的增大,uc呈下降趨勢(shì),說(shuō)明此時(shí)端部質(zhì)量塊質(zhì)量對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的影響較小,結(jié)構(gòu)的柔性增加導(dǎo)致了結(jié)構(gòu)的不穩(wěn)定性增加.隨著?3的增加,當(dāng)?3取較大值(?3=2.5×10-5)時(shí),隨著χ的增大,uc幾乎保持不變.當(dāng)?3進(jìn)一步增加到5.0×10-5和7.5×10-5時(shí),隨著χ的增大,uc呈現(xiàn)先保持不變、后緩慢增大的趨勢(shì).

圖6 不同長(zhǎng)細(xì)比χ 對(duì)應(yīng)的失穩(wěn)臨界速度Fig.6 Critical velocity at different aspect ratios,χ

圖7 給出了4 種不同的無(wú)量綱端部質(zhì)量塊?3下系統(tǒng)臨界流速uc與管道重力系數(shù)α的變化關(guān)系圖.由圖7 可以看出,當(dāng)?3較小(?3=1.0×10-5)時(shí),uc隨著α的增大而迅速減小,隨著α的不斷增大,uc變化減緩,但總體變化趨勢(shì)不變.相比細(xì)長(zhǎng)比χ,管道重力系數(shù)α對(duì)臨界速度的影響要復(fù)雜很多.隨著?3的增加,當(dāng)?3較大(?3=2.5×10-5)時(shí),隨著α的增大,uc緩慢減小.當(dāng)?3進(jìn)一步增加到5.0×10-5和7.5×10-5時(shí),隨著α的不斷增大,uc總體呈增大的趨勢(shì).

圖7 不同重力系數(shù)α 對(duì)應(yīng)的失穩(wěn)臨界速度Fig.7 Critical velocity at different gravity coefficients,α

從4 條曲線變化趨勢(shì)可以看出,當(dāng)重力系數(shù)α達(dá)到最大值(α=1.0×10-5)時(shí),4 條曲線終點(diǎn)不斷趨近,此時(shí)uc大小接近相等.這說(shuō)明,隨著α的不斷增大,?3對(duì)uc的影響不斷減小.

圖8 給出了4 種不同端部質(zhì)量塊?3下系統(tǒng)臨界流速uc與管道固相比Qs的變化關(guān)系圖.當(dāng)?3較小(?3=1.0×10-5)時(shí),隨著Qs的增大,uc不斷增大,當(dāng)Qs增大到0.4 左右,uc增大到最大值,接著隨著Qs的不斷增大,uc不斷減小.隨著?3的增加,當(dāng)?3較大(?3=2.5×10-5)時(shí),隨著Qs的增大,uc先不斷增大,接著有減小的趨勢(shì),uc達(dá)到最大值對(duì)應(yīng)的Qs大于0.4,出現(xiàn)最大值后移現(xiàn)象.當(dāng)?3進(jìn)一步增加到5.0×10-5和7.5×10-5時(shí),隨著Qs的增大,uc呈現(xiàn)出不斷增加的趨勢(shì).

圖8 不同固相比Qs 對(duì)應(yīng)的失穩(wěn)的臨界速度Fig.8 Critical velocity at different solid phases,Qs

4 結(jié)論

本文利用能量法建立了帶集中質(zhì)量塊的懸臂輸流管道的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程,使用4 階Galerkin 法對(duì)結(jié)構(gòu)方程進(jìn)行了時(shí)空離散,得到了常微分方程組.隨后,將常微分方程組寫成矩陣形式,并基于特征值法對(duì)管道的穩(wěn)定性特征進(jìn)行了研究.本文針對(duì)端部質(zhì)量塊?3、細(xì)長(zhǎng)比χ、重力系數(shù)α和固相體積比Qs對(duì)臨界流速uc的影響展開(kāi)了深入分析.基于以上分析結(jié)果,得到結(jié)論如下.

(1)當(dāng)內(nèi)流速度處于亞臨界區(qū)間時(shí),系統(tǒng)特征頻率虛部均為正數(shù),結(jié)構(gòu)無(wú)法從流體中獲取能量,結(jié)構(gòu)振動(dòng)形式表現(xiàn)為衰減振動(dòng);當(dāng)內(nèi)流速度處于超臨界區(qū)間時(shí),系統(tǒng)的某階特征頻率虛部會(huì)出現(xiàn)負(fù)數(shù),結(jié)構(gòu)會(huì)從流體中持續(xù)不斷地獲取能量,結(jié)構(gòu)振動(dòng)形式表現(xiàn)為顫振失穩(wěn).

(2)當(dāng)重力系數(shù)較小時(shí),臨界速度受端部集中質(zhì)量塊的影響非常明顯,且隨著端部集中質(zhì)量塊質(zhì)量的增加呈下降趨勢(shì);隨著重力系數(shù)的增加,端部集中質(zhì)量塊對(duì)臨界速度的影響逐漸降低.當(dāng)質(zhì)量系數(shù)增加到1.0×10-5時(shí),不同端部集中質(zhì)量塊下的臨界速度基本保持不變.

(3)當(dāng)細(xì)長(zhǎng)比和固相比較小時(shí),臨界速度隨著端部集中質(zhì)量塊質(zhì)量的增加均呈下降趨勢(shì);當(dāng)細(xì)長(zhǎng)比和固相比較大時(shí),臨界速度不再隨著端部集中質(zhì)量塊的增加呈單調(diào)變化趨勢(shì),而是呈現(xiàn)出較為復(fù)雜的變化趨勢(shì).