問(wèn)題引領(lǐng)視角下的數(shù)學(xué)公式教學(xué)探索
——以“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”為例

邱嘉怡

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510631)

公式教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一,其教學(xué)的好壞直接影響著學(xué)生知識(shí)技能的掌握與能力的培養(yǎng).

1 數(shù)學(xué)公式教學(xué)

數(shù)學(xué)公式是用數(shù)學(xué)符號(hào)和字母表示各個(gè)量之間一定數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)式子[1].在實(shí)際的數(shù)學(xué)課堂中,公式教學(xué)的現(xiàn)狀并不樂(lè)觀,部分老師重公式結(jié)論、輕公式推導(dǎo),導(dǎo)致學(xué)生會(huì)記憶公式,而不理解公式;部分老師將重點(diǎn)放在公式的證明過(guò)程而忽略了證明方法的發(fā)現(xiàn)和探究,使課堂教學(xué)再次淪為“滿堂灌”的講授式教學(xué),導(dǎo)致學(xué)生課堂參與度低、學(xué)習(xí)積極性不夠.

2 問(wèn)題引領(lǐng)式教學(xué)

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說(shuō)過(guò)“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”,數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展源于一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與解決過(guò)程.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》提出“四能”的教學(xué)目標(biāo),即培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問(wèn)題的能力,也凸顯了問(wèn)題引領(lǐng)這一教學(xué)策略的重要地位.教師唯有科學(xué)、合理地設(shè)計(jì)問(wèn)題,才能很好地引領(lǐng)學(xué)生圍繞“問(wèn)題”這一中心,分析問(wèn)題、探究知識(shí),最終促使學(xué)生在問(wèn)題引領(lǐng)下完成數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)[2],從而充分發(fā)揮學(xué)生的課堂主體作用.

3 “等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式”教學(xué)設(shè)計(jì)案例分析

3.1 情境引入

3.1.1創(chuàng)設(shè)情境

泰姬陵是一座用白色大理石建成的巨大陵墓清真寺,在它的墻面上鑲嵌著來(lái)自世界各地的珍稀寶石.相傳,陵墓中有如圖1所示的三角形圖案,它以相同大小的圓寶石鑲嵌而成,第一層有一顆圓寶石,其后每層都比上一層多一顆圓寶石,共100層.那么,這個(gè)三角形圖案中一共有多少顆圓寶石呢?

圖1 情境引入

【設(shè)計(jì)意圖】創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,引入新課內(nèi)容.

3.1.2回顧舊知

師:這是一個(gè)實(shí)際的問(wèn)題,如果將問(wèn)題數(shù)學(xué)化,轉(zhuǎn)化成一道數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決,這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題就是計(jì)算1+2+…+100的值.而根據(jù)上節(jié)課所學(xué),該式的各項(xiàng)構(gòu)成了一個(gè)什么數(shù)列呢?

生:以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列.

師:因此所轉(zhuǎn)化成的數(shù)學(xué)問(wèn)題還可以看作是在求以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列前100項(xiàng)的和.那么,大家還記得“數(shù)學(xué)王子”高斯是怎么計(jì)算這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的嗎?

生1:高斯將1與100配對(duì),2與99配對(duì),以此類(lèi)推,他將100個(gè)數(shù)依次兩兩配對(duì),最后得到了50組值均為101的數(shù),從而算出了答案.

3.1.3提煉高斯算法的實(shí)質(zhì)

師:對(duì)于這樣一個(gè)不同數(shù)的求和問(wèn)題,高斯通過(guò)首尾配對(duì)的方法將其轉(zhuǎn)化為了相同數(shù)的求和問(wèn)題,而相同數(shù)的求和實(shí)際上就是什么運(yùn)算?

生:乘法運(yùn)算.

師:因此,高斯將復(fù)雜的多步求和問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為了簡(jiǎn)單的一步相乘問(wèn)題,這也體現(xiàn)了一種由繁化簡(jiǎn)的化歸思想.

3.2 探究新知

3.2.1求解以1為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列前n項(xiàng)和

問(wèn)題1 如何計(jì)算Sn=1+2+…+n?

師:這位同學(xué)剛剛聽(tīng)課很認(rèn)真,已經(jīng)學(xué)會(huì)了高斯算法中首尾配對(duì)的思想了.然而老師有個(gè)疑問(wèn),這n個(gè)數(shù)一定能恰好實(shí)現(xiàn)首尾配對(duì)嗎?

生3:不一定.

師:噢,為什么?

生3:因?yàn)楫?dāng)n為奇數(shù)時(shí),這n個(gè)數(shù)首尾配對(duì)會(huì)有一個(gè)數(shù)剩下.而我們不能確定n是偶數(shù)還是奇數(shù),所以不一定能恰好實(shí)現(xiàn)首尾配對(duì).

師:很好!這位同學(xué)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),首尾配對(duì)是針對(duì)偶數(shù)個(gè)數(shù)相加.而在這里我們不能確定n是偶數(shù)還是奇數(shù),所以不能直接使用首尾配對(duì)的方法.那么當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí),在數(shù)學(xué)上,我們?cè)撛趺醋?

生:分類(lèi)討論.

師:很好!分類(lèi)討論是數(shù)學(xué)中的重要思想之一.

3.2.2倒序相加法的探索

師:分類(lèi)討論的方法雖然清晰,但有些麻煩,我們還有更好的方法來(lái)求解問(wèn)題1嗎?

學(xué)生一籌莫展.

學(xué)生若有所思.

(教師借助前面的圓寶石鑲嵌而成的三角形圖案給予提示)

師:如圖2,假設(shè)三角形圖案共有n行,其余條件不變.那么這個(gè)圖案中的圓寶石顆數(shù)為?

圖3 平行四邊形圖案

生:1+2+…+n,也即Sn.

師:根據(jù)上式,2Sn可以看作有兩個(gè)相同的三角形圖案,如果老師再做一個(gè)相同的三角形并把它倒置,此時(shí)我們得到了一個(gè)?

生:平行四邊形.

師(追問(wèn)):并且這個(gè)平行四邊形的第一行有多少顆圓寶石?

生:n+1顆.

師(追問(wèn)):第二行呢?

生:n+1顆.

師(追問(wèn)):對(duì),一直到最后一行都有?

生:n+1顆.

師(追問(wèn)):一共有多少行?

生:n行.

師:因此這個(gè)平行四邊形中的圓寶石顆數(shù)就等于?

生:n(n+1).

師:而這就是2Sn=n(n+1)等號(hào)的右邊.因此我們知道,想要求Sn,可以先求出2Sn,表面上這是一個(gè)不同數(shù)的求和問(wèn)題,但借助圖形我們發(fā)現(xiàn),2Sn就是平行四邊形圖案的圓寶石顆數(shù).而平行四邊形中的每一行是由原來(lái)三角形與倒置三角形的每行配對(duì)而成的,從而,借助三角形中行數(shù)的首尾配對(duì),我們實(shí)現(xiàn)了將不同數(shù)的求和轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的求和.

問(wèn)題2 受此啟發(fā),如何用另一種方法計(jì)算Sn=1+2+…+n

師:剛剛我們是將三角形倒置,現(xiàn)在可以怎么做?

生:將Sn倒過(guò)來(lái)寫(xiě).

師:很好,將Sn中的每一項(xiàng)倒個(gè)順序,則有Sn=n+(n-1)+…+1.

師:剛剛是把兩個(gè)三角形拼成一個(gè)平行四邊形,那么對(duì)應(yīng)到這里呢?

生:將兩式相加.2Sn=(1+n)+[2+(n-1)]+…+(n+1).

師:我們將這種求得等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法稱(chēng)為“倒序相加法”.注意到,倒序相加法的本質(zhì)也是將不同數(shù)的求和轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的求和,較之分類(lèi)討論,該法的妙處在于?

生6:通過(guò)正序和倒序兩種形式表示同一個(gè)Sn,從而在兩式相加時(shí)實(shí)現(xiàn)將Sn中的每一項(xiàng)依次進(jìn)行首尾配對(duì)以得到相同的數(shù).

3.2.3推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式

問(wèn)題3將倒序相加法由特殊到一般進(jìn)行推廣,試推導(dǎo):首項(xiàng)為a1,公差為d的等差

數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

(學(xué)生在獨(dú)立思考后與教師共同完成公式的推導(dǎo))

Sn=a1+a2+…+an

Sn=an+an-1+…+a1

將上述兩式相加,可得

2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)

師:上式兩兩配對(duì)得到的每一項(xiàng)是否相等?

生:相等.利用上節(jié)課學(xué)習(xí)的等差數(shù)列的重要性質(zhì):若p+q=s+t, 則ap+aq=as+at.

師:因此配對(duì)得到的每一項(xiàng)均為?有多少項(xiàng)?

生:a1+an,共有n項(xiàng).

2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)

=n(a1+an)

3.2.4等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的剖析與理解

師:等差數(shù)列的兩個(gè)前n項(xiàng)和公式中共涉及了等差數(shù)列的幾個(gè)基本量?

生:5個(gè),分別是a1,an,d,n,Sn.

3.2.5公式記憶

圖4 梯形ABCD

圖5 梯形ABCD分割圖示

3.3 習(xí)題鞏固

題1根據(jù)下列各題中的條件,求相應(yīng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

(1)a1=5,an=95,n=10;(2)a1=3,d=2,n=5.

題2等差數(shù)列-1,-3,-5,…的前多少項(xiàng)的和是-100?

4 結(jié)束語(yǔ)

公式推導(dǎo)是公式教學(xué)的重點(diǎn),而在問(wèn)題引領(lǐng)視角下的公式教學(xué)中,學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,逐漸探究不同層次的問(wèn)題,逐步推演與發(fā)現(xiàn)公式,從而享受到創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)的成功與喜悅,為公式的理解與應(yīng)用奠定基礎(chǔ).

實(shí)際教學(xué)反饋表明,問(wèn)題引領(lǐng)式教學(xué)能夠激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性,促進(jìn)學(xué)生思維水平的攀升,使公式教學(xué)在保持課堂活力的同時(shí)實(shí)現(xiàn)教學(xué)質(zhì)量的顯著提升.因此,問(wèn)題引領(lǐng)式教學(xué)具有豐富的教育價(jià)值,它為公式教學(xué)的開(kāi)展提供了有效的實(shí)現(xiàn)路徑,有助于打破“滿堂灌”的傳統(tǒng)教學(xué),實(shí)現(xiàn)向啟發(fā)式、互動(dòng)式、探究式教學(xué)的良好轉(zhuǎn)化.