例談摩擦力作用下的局部簡諧運動

許冬保

(江西省九江市第一中學(xué),江西 九江 332000)

簡諧運動是一種理想化的振動,振動中的機械能守恒,振幅保持不變.可實際上,振動系統(tǒng)不可避免地要受到摩擦和其他阻力,即受到阻尼的作用,振動系統(tǒng)克服阻尼作用做功,系統(tǒng)的機械能就要損耗,振動的振幅也逐漸減少,待到機械能耗盡之時,振動就停下來了,這種振幅逐漸減小的振動叫做阻尼振動[1].在高中階段,阻尼振動大多考查振動系統(tǒng)受摩擦力作用的情形,本文就此問題,例談分析策略.

1 探究水平彈簧振子在摩擦力作用下的振動規(guī)律

一個水平放置的彈簧振子,如果物塊與水平面間的動摩擦因數(shù)為μ,在水平方向上物塊僅受摩擦力及彈簧彈力作用,可以證明該系統(tǒng)的振動為簡諧運動.

如圖1,設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k,若將物塊向右拉離平衡位置,并有較大的位移x(在彈簧彈性限度內(nèi)),那么當(dāng)釋放此物塊,讓其從右向左運動時,取向右為正方向,則運動中物塊受到的合力F1為

圖1 彈簧振子的阻尼振動

F1=-kx+μmg

同理,當(dāng)此物塊從左向右運動時,物塊所受的合力為

綜上所述,物體在摩擦力作用下作阻尼振動,整個運動不是簡諧運動.但是在單方向的運動中,摩擦力不變,在該過程中物體做簡諧運動.在下一個單方向的運動中,物體仍做簡諧運動……如此循環(huán),平衡點位置交替變化,連續(xù)的振動中,物體的振幅周期性遞減.

由于簡諧運動的周期公式僅與m、k有關(guān),所以在每個簡諧運動中物塊運動的時間均相同.若某次振動中,速度為零時記為時刻零點,則物塊振動的x-t圖像如圖2所示.

圖2 x-t圖像

為區(qū)別于一般的簡諧運動,本文將此類簡諧運動稱為“局部簡諧運動”.

2 實例分析

振動問題往往涉及力學(xué)中的牛頓運動定律、功能關(guān)系等規(guī)律的應(yīng)用,由于振動物體受到彈簧的彈力是變力,因此對速度、位移、加速度、能量等物理量的分析,成為教學(xué)的難點.下面以水平面、斜面及豎直面的情形分類分析,對于摩擦力作用下的振動問題,基于局部簡諧運動的觀念進(jìn)行分析.

2.1 物體在水平面上的局部簡諧運動

例1如圖3,勁度系數(shù)為k的水平輕彈簧一端固定在墻上O點,原長為OB,另一端與質(zhì)量為m的小物塊(視為質(zhì)點)緊靠但不拴接.先壓縮彈簧,置物塊于A點,然后由靜止釋放,小物塊運動到C點恰好停止.設(shè)小物塊從A到B用時t1,從B到C用時t2,已知物塊與地面間的動摩擦因數(shù)為μ.水平地面上A、B、C三點滿足關(guān)系A(chǔ)B=BC=l.重力加速度為g.

圖3 水平面上的振動物塊

(1)證明小物塊從A到B的運動為簡諧運動;

(2)比較時間t1、t2的長短;

(3)若l未知,試寫出由已知量表示l的表達(dá)式.

解析(1)考察在A、B之間的任意位置,若物塊相對位置B(彈簧原長)的位移為x,取向右為正方向,則小物塊所受的合外力為F=-kx-μmg

(2)小物塊做簡諧運動,速度隨時間按正弦函數(shù)規(guī)律變化,在B處,彈簧與小物塊分離,此后,小物塊做勻減速運動,可作出v-t圖像,如圖4所示.

圖4 v-t 圖像分析

評述在水平方向上小物塊受彈簧彈力及摩擦力作用,開始一段時間做局部簡諧運動.達(dá)最大速度時,合力為零,平衡點的位置在B點左側(cè).在B處彈簧為原長,由于彈簧未與小物塊拴接,因此,小物塊與彈簧在B處分離,此后小物塊做勻減速運動.由v-t圖像比較運動時間,形象、直觀.

2.2 物體在斜面上的局部簡諧運動

例2如圖5,輕彈簧一端固定在傾角為θ=37°的粗糙斜面頂端,另一端與質(zhì)量為2m的物塊A連接,質(zhì)量為m的物塊B疊放在A上.若將彈簧與A、B系統(tǒng)從彈簧原長處由靜止釋放.當(dāng)A、B沿斜面向下運動至最低點Q(圖中未標(biāo)出)時將B取下,此后,A將沿斜面返回并恰好滑至原出發(fā)點.已知A、B在運動過程中未發(fā)生相對滑動,斜面體始終靜止在水平地面上,彈簧形變處在彈性限度內(nèi),重力加速度為g.則( ).

圖5 斜面上的振動物塊

A.下滑過程中可能存在A、B間摩擦力為零的位置

B.整個過程中系統(tǒng)增加的內(nèi)能小于物塊B減少的重力勢能

C.A與斜面間的動摩擦因數(shù)為0.15

D.A上滑過程所需時間與A、B下滑過程所需時間一定相同

解析已知A、B在下滑過程中未發(fā)生相對滑動.當(dāng)某時刻A、B間摩擦力為零時,由牛頓運動定律知,A、B的加速度大小均為gsin37°=0.6 g,方向平行斜面向下;此時,A所受彈簧彈力一定等于A受斜面的摩擦力,因摩擦力方向平行斜面向上,故彈簧彈力方向一定平行斜面向下,則彈簧必處于壓縮狀態(tài),這不合題意,選項A錯誤.

系統(tǒng)增加的內(nèi)能源于克服物塊A與斜面間的滑動摩擦力做功.全過程中,因始末狀態(tài)彈簧的彈性勢能均為零,由能量守恒定律知,整個過程中系統(tǒng)增加的內(nèi)能等于物塊B減少的重力勢能,選項B錯誤.

在A、B下滑過程中,整個系統(tǒng)在沿斜面方向上,所受重力的下滑分力及摩擦力恒定,因此,A、B構(gòu)成的系統(tǒng)做簡諧運動;同理,A上滑,仍做簡諧運動.由簡諧運動的對稱性可知,兩次簡諧運動的平衡位置相同,則彈簧彈力F相同,對于下滑、上滑過程分別有

F=3mgsinθ-3μmgcosθ;

F=2mgsinθ+2μmgcosθ

解得μ=0.15,選項C正確.

由簡諧運動的周期公式知,周期與質(zhì)量的二次方根成正比,則A上滑過程所需時間小于A、B下滑過程所需時間,選項D錯誤.

2.3 物體在豎直面上的局部簡諧運動

例3如圖6,固定在天花板上的輕桿將光滑輕質(zhì)小定滑輪懸掛在空中,一根彈性輕繩一端固定在左邊墻壁上O點,另一端與套在粗糙豎直桿上P點、質(zhì)量為m的滑塊連接,用手平托住滑塊,使OAP在一條水平線上.繩的原長與O點到滑輪距離OA相等,AP之間的距離為d,繩的彈力F與其伸長量x滿足胡克定律F=kx,滑塊初始在P點時對桿的彈力大小為mg,滑塊與桿之間的動摩擦因數(shù)為0.2.現(xiàn)將滑塊由靜止釋放,當(dāng)滑到Q點時速度恰好為零,彈性繩始終處在彈性限度內(nèi),重力加速度為g.下列說法正確的是( ).

圖6 豎直面上的振動物塊

A.滑塊從P點釋放瞬間的加速度大小為g

B.滑塊下滑過程中速度達(dá)到最大值時的位置到P點距離為0.8d

C.滑塊從P運動到Q的過程中,彈性繩對滑塊做功-0.8mgd

D.PQ之間的距離為1.6d

答案:BD.

3 結(jié)束語

本文分析了在摩擦力作用下的振動問題.振動物體若局部(即單一方向的運動過程)所受摩擦力恒定,則物體做局部簡諧運動.需要指出的是:普通物理學(xué)對阻尼振動的討論是比較復(fù)雜的.一個經(jīng)典的模型是振動物體受到的阻力隨速度按線性規(guī)律變化的情形,這樣的阻尼振動不是簡諧運動.