例說解決排列組合問題的基本策略和常見模型

白亞軍

(甘肅省永昌縣第一高級(jí)中學(xué),甘肅 金昌 737200)

排列組合知識(shí)是高中數(shù)學(xué)必不可少的內(nèi)容之一,對(duì)于思維能力的要求比較高,解題時(shí)一定要講究策略.本文將對(duì)高中階段排列組合問題的基本策略和常見模型進(jìn)行全面總結(jié).

1 解決排列組合問題的基本策略

1.1 特優(yōu)策略

例1 用0,1,2,3,4組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),共有多少種排法?

1.2 正難則反策略

例2 在10件產(chǎn)品中,有7件合格品,3件次品,從這10件產(chǎn)品中任意抽出3件,至少有一件次品的情況有多少種?

1.3 先取再排策略

例3 從4名男生和3名女生中選3人,分別從事3項(xiàng)不同的工作,若這3人中只有一名女生,則選派方案有多少種?

1.4 合理分類與分步策略

例4在一次演唱會(huì)上共10名演員,其中8人能唱歌,5人會(huì)跳舞,現(xiàn)要演出一個(gè)2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少種選派方法?

1.5 構(gòu)造模型策略

例5馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中3盞,但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種?

2 排列組合問題的常見模型

2.1 相鄰問題(捆綁法)

例6 5個(gè)人排隊(duì),其中甲乙相鄰,共有多少種不同的排法?

評(píng)注當(dāng)題目中有“相鄰元素”時(shí),則可將相鄰元素視為一個(gè)整體,與其他元素進(jìn)行排列,然后再考慮相鄰元素之間的順序即可.

2.2 不相鄰問題(插空法)

例7有6名同學(xué)排隊(duì),其中甲乙不相鄰,則共有多少種不同的排法?

評(píng)注當(dāng)題目中有“不相鄰元素”時(shí),則可考慮用剩余元素“搭臺(tái)”,不相鄰元素進(jìn)行“插空”,然后再進(jìn)行各自的排序,注意兩點(diǎn):(1)要注意在插空的過程中是否可以插在兩邊;(2)要從題目中判斷是否需要各自排序.

2.3 涂色問題(種植問題)

例8 如圖1所示,將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色,如果只有5種顏色可供使用,則有多少種染色方法?

圖1 例8題圖

解析A,C不相鄰,按照A,C是否同色分類,按照A→C→S→B→D的順序進(jìn)行染色:第一類,A,C相同顏色,則有5×1×4×3×3=180種不同的染色方法,第二類,A,C不同顏色,則有5×4×3×2×2=240種不同的染色方法,根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,共有180+240=420種不同的染色方法.

評(píng)注涂色的規(guī)則是“相鄰區(qū)域涂不同的顏色”,在處理涂色問題時(shí),可以找出不相鄰區(qū)域,按它們相同顏色和不同顏色進(jìn)行討論.

2.4 錯(cuò)位排列

例9 安排6個(gè)班的班主任監(jiān)考這六個(gè)班,則其中恰好有兩個(gè)班主任監(jiān)考自己班的安排總數(shù)有多少種?

評(píng)注排列好的n個(gè)元素,經(jīng)過一次再排序后,每個(gè)元素都不在原先的位置上,則稱為這n個(gè)元素的一個(gè)錯(cuò)位排列.例如對(duì)于a,b,c,d,則d,c,a,b是其中一個(gè)錯(cuò)位排列,3個(gè)元素的錯(cuò)排有2種,4個(gè)元素的錯(cuò)排有9種,5個(gè)元素的錯(cuò)排有44種,以上三種情況可作為結(jié)論記住.

2.5 特定順序排列

例10已知A,B,C,D,E,F6個(gè)人排隊(duì),其中A,B,C相對(duì)位置不變,則不同的排法有多少種?

2.6 多排問題直排處理

例11 在一次講座活動(dòng)中,前后排分別有11,12個(gè)座位,需空出前排中間的3個(gè)座位,現(xiàn)安排兩名學(xué)生分開就座(即彼此不相鄰),有多少種不同的排法?

評(píng)注多排元素排列問題通常可簡(jiǎn)化為一排考慮,然后分段進(jìn)行研究.但在其中需要注意的是,多排轉(zhuǎn)化為一排后會(huì)存在實(shí)際不相鄰的情況(如前后排的首尾是不相鄰的,將其拉成一排則首尾相連),因此在解決此類問題時(shí),需仔細(xì)觀察實(shí)際情況.

2.7 不同元素分組

例12 將編號(hào)為A,B,C,D,E,F的6個(gè)小球,放入3個(gè)不同的盒子,每個(gè)盒子至少放一個(gè)小球,則不同的放法有多少種?

2.8 相同元素分組

例13將6個(gè)相同的小球放入到4個(gè)不同的盒子里,每個(gè)盒子至少放1個(gè)球,則不同的放法有多少種?

3 結(jié)束語

只有熟練掌握基本的解題策略,根據(jù)它們的條件,我們就可以選取不同的技巧來解決問題.對(duì)于一些比較復(fù)雜的問題,我們可以將幾種策略結(jié)合起來應(yīng)用,把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化,舉一反三,觸類旁通,進(jìn)而為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).