利用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決最值問(wèn)題

陳禮弦

(貴州省貴安新區(qū)普貢中學(xué),貴州 貴安新區(qū) 561113)

與線段之和或差有關(guān)的幾何最值問(wèn)題是中考熱點(diǎn),通常以中考?jí)狠S題的形式出現(xiàn),具有一定的選拔性功能,對(duì)學(xué)生而言具有一定的難度.這類(lèi)問(wèn)題是教學(xué)的難點(diǎn),是核心素養(yǎng)的重點(diǎn)考查對(duì)象[1].在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師該如何引導(dǎo)學(xué)生利用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決最值問(wèn)題呢?根據(jù)筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn),只要弄清三個(gè)數(shù)學(xué)模型,學(xué)生在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)便會(huì)收到事半功倍之效.

1 模型1 “一線兩點(diǎn)”型

1.1 利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求線段和的最小值

1.1.1點(diǎn)在直線兩側(cè)時(shí),線段和的最小值問(wèn)題

例1 如圖1,兩定點(diǎn)C、D位于直線a兩側(cè),在直線a上找一點(diǎn)M,使得MC+MD的值最小.

圖1 點(diǎn)在線段兩側(cè)示意圖

解析如圖2,連接CD交直線a于點(diǎn)M,點(diǎn)M就是所找的點(diǎn).理由是“兩點(diǎn)之間線段最短”.

1.1.2點(diǎn)在直線同側(cè)時(shí),線段和的最小值問(wèn)題

例2 如圖3,兩定點(diǎn)C、D位于直線a的同側(cè),在直線a上找一點(diǎn)M,使得MC+MD的值最小.

圖3 點(diǎn)在直線同側(cè)示意圖

解析如圖4,作點(diǎn)D關(guān)于直線a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′,連接CD′與直線a交于點(diǎn)M,點(diǎn)M就是所找的點(diǎn).顯然,將直線a同側(cè)兩個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩側(cè)兩個(gè)定點(diǎn),便可以利用點(diǎn)在直線兩側(cè)時(shí)線段和的最小值問(wèn)題的處理方法解決最值問(wèn)題.

1.1.3模型應(yīng)用

例3 如圖5,已知△DEF中,DE=DE,GH是DE的垂直平分線,M是GH上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N是EF的中點(diǎn),如果DE=13,△DEF的周長(zhǎng)是36,求EM+MN的最小值.

圖5 例3題圖

1.2 利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求線段差最大值

1.2.1點(diǎn)在直線同側(cè)時(shí),線段差的最大值問(wèn)題

例4 如圖7,兩定點(diǎn)M,N位于直線b的同側(cè),在直線b上找一點(diǎn)H,使得|HM-HN|的值最大.

圖7 點(diǎn)在直線同側(cè)示意圖

解析如圖8,連接MN并延長(zhǎng)與直線b交于點(diǎn)H,點(diǎn)H就是所找的點(diǎn).

1.2.2點(diǎn)在直線兩側(cè)時(shí),線段差的最大值問(wèn)題

例5 如圖9,兩定點(diǎn)B,C位于直線l的兩側(cè),在直線n上找一點(diǎn)M,使得︱MB-MC|的值最大.

圖9 點(diǎn)在直線兩側(cè)示意圖

解析如圖10,作點(diǎn)C關(guān)于直線n的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C′,連接BC′并延長(zhǎng)與直線n交于點(diǎn)M,點(diǎn)M就是所找的點(diǎn).顯然,將已知直線兩側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn)轉(zhuǎn)化為同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn),便可以用同側(cè)線段差最大值的方法解決問(wèn)題.

1.2.3模型應(yīng)用

例6 如圖11,在正方形DEFG中,DE=6,點(diǎn)I是對(duì)角線EG上靠近點(diǎn)E的三等分點(diǎn),點(diǎn)H是DG邊上的一點(diǎn),且GH=2.J為EF上一點(diǎn),連接JH、JI.

圖11 例6題圖

①在圖中畫(huà)JH-JI的最大值時(shí)點(diǎn)J的位置(為區(qū)分點(diǎn)J,請(qǐng)用字母J’標(biāo)記);

②求JH-JI的最大值.

解析如圖12,連接HI并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)J′,則點(diǎn)J′即為所求作的點(diǎn).

2 模型2 “一定兩線”型

2.1 利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求周長(zhǎng)最小值

例7 如圖13,點(diǎn)D是∠BOC的內(nèi)部一定點(diǎn),在OB上找一點(diǎn)N,在OC上找一點(diǎn)M,使得△DMN的周長(zhǎng)最小.

圖13 例7題圖

解析如圖14,分別作點(diǎn)D關(guān)于OB、OC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′、D″,連接D′D″,交OB、OC于點(diǎn)N、M,點(diǎn)N、M便是所找的點(diǎn).

2.2 利用“兩點(diǎn)之間線段最短”求線段和的最小值

例8 如圖15,點(diǎn)M是∠DEF的內(nèi)部一定點(diǎn)M,在ED上找一點(diǎn)A,在EF上找一點(diǎn)B,使得MB+AB的值最小.

圖15 例8題圖

解析如圖16,作點(diǎn)M關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M′,過(guò)點(diǎn)M′作ED的垂線,分別與ED、EF交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)A、B是所找的點(diǎn).

2.3 模型應(yīng)用

例9 如圖17,在Rt△BCD中,∠BCD=90°,DC=6,BC=8,DE是∠BDC的平分線.若M、N分別是DC、DE上的動(dòng)點(diǎn),求NC+NM的最小值.

圖17 例9題圖

3 模型3 “一定長(zhǎng),兩定點(diǎn)”型

3.1 異側(cè)線段和最小值問(wèn)題

例10 如圖19,已知直線a∥b,直線a和直線b之間距離為c,在直線a和直線b上分別找點(diǎn)A、B兩點(diǎn),使AB⊥a,且MA+AB+BN的值最小.

圖19 例10題圖

解析如圖20,將點(diǎn)M向下平移c個(gè)單位到M′,連接M′N(xiāo)交直線b于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)B作BA⊥l1于點(diǎn)A,點(diǎn)A、B兩點(diǎn)是所找的點(diǎn).

3.2 同側(cè)線段和的最小值問(wèn)題

例11 如圖21,在直線a上找A、B兩點(diǎn)(A在B左側(cè)),使得AB=k,且MA+AB+BN的值最小.

圖21 例11題圖

解析如圖22,將點(diǎn)M向右平移k個(gè)單位到點(diǎn)M′,作點(diǎn)M′關(guān)于直線a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M″,連接M″N交直線a于點(diǎn)B,將點(diǎn)B向左平移k個(gè)單位到點(diǎn)A,A、B兩點(diǎn)是所找的點(diǎn).

4 結(jié)束語(yǔ)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷并弄清“一線兩點(diǎn)”型、“一定兩線”型、“一定長(zhǎng),兩定點(diǎn)”型最值問(wèn)題的求解方法,不僅能夠提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,而且能夠使教師的教學(xué)效果達(dá)到“教是為了不教”之目的[2].