二次函數(shù)綜合題的解法探究與啟示
——以2023年南充市中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)題型為例

相晨晨

(合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,安徽 合肥 230071)

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是中考數(shù)學(xué)的重要考點.由于其涉及的知識面廣,思維難度大,通常以中考壓軸題的形式呈現(xiàn),對學(xué)生而言具有一定的難度.解決這類問題需要學(xué)生具備較高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維能力.2023年南充市中考數(shù)學(xué)第25題是一道以二次函數(shù)為背景的壓軸題,具有一定的選拔功能.本文立足核心素養(yǎng),明晰思維路徑,探究多種解法,培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 試題呈現(xiàn)

如圖1,拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點,與y軸交于點C.

圖1 拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)

(1)求拋物線的解析式.

(2)點P在拋物線上,點Q在x軸上,以B,C,P,Q為頂點的四邊形為平行四邊形,求點P的坐標(biāo).

(3)如圖2,拋物線的頂點D,對稱軸與x軸交于點E,過點K(1,3)的直線(直線KD除外)與拋物線交于G,H兩點,直線DG,DH分別交x軸于點M,N,試探究EM·EN是否為定值,若是,求出該定值;若不是,說明理由.

2 試題分析

不論是從知識的綜合性還是思維的層次性來看,二次函數(shù)都當(dāng)之無愧地占據(jù)著初中數(shù)學(xué)代數(shù)領(lǐng)域的“制高點”,是中考壓軸題的命題熱點[1].本題是一道二次函數(shù)的綜合題,以二次函數(shù)為背景并結(jié)合圖形與幾何進行命題,不僅能考查學(xué)生對二次函數(shù)和圖形與幾何相關(guān)知識的掌握情況,還能考查學(xué)生綜合應(yīng)用知識的能力及靈活處理問題的心態(tài).問題的難度層層遞進,符合學(xué)生的心理特征及由易到難的解題模式.本題以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,集中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)課程的育人價值,符合《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》所提出的命題原則,即實現(xiàn)對核心素養(yǎng)導(dǎo)向的義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程學(xué)業(yè)質(zhì)量的全面考查[2].

本題主要考查的核心概念有二次函數(shù)、平行四邊形的性質(zhì)、一次函數(shù)、線段定值等,蘊含豐富的數(shù)學(xué)思想和方法,主要有方程思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和模型思想等.綜合考查了學(xué)生的運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力和創(chuàng)新意識等核心素養(yǎng).

問題(1)難度較小,考查二次函數(shù)的解析式,學(xué)生只要熟知二次函數(shù)相關(guān)知識及求解方法,就能很容易解出正確答案.此問題主要考查學(xué)生的運算能力,培養(yǎng)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界.問題(2)難度上升,從學(xué)生的認知規(guī)律來看,只要學(xué)生認真審清題目,提取有關(guān)信息,采用“爬山法”,一步一步分析題目,也能很快解決問題.而本題是從平行四邊形的性質(zhì)出發(fā),最終落腳到點的坐標(biāo),解題最關(guān)鍵的一點是學(xué)生能夠考慮到分類討論的思想,想到固定點B,C組成的線段,而點P在拋物線上,通過拋物線的圖象來看,點P有可能在x軸的上方,也有可能在x軸的下方,然后采用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題.此問題主要考查學(xué)生的運算能力、幾何直觀、推理能力等,培養(yǎng)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界和用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界.問題(3)難度要比前兩個問題高,學(xué)生要根據(jù)題目的信息先提出猜想,再進行證明,最后得出結(jié)論,并借助尺規(guī)將數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為實際圖形,促進學(xué)生理解和思維的轉(zhuǎn)變.此問題需要學(xué)生解出三個一次函數(shù)的解析式,并通過方程思想,解出兩根之間的關(guān)系,再通過射影定理模型得出結(jié)論,對學(xué)生運算能力和邏輯思維能力的要求相對較高,知識的綜合性更強,這不僅考查學(xué)生的“四基”和“四能”,更考查學(xué)生是否具有穩(wěn)定的心態(tài),培養(yǎng)學(xué)生會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界.

3 試題解答

3.1 問題(1)的解法

解法2 (對稱法)因為拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于A(-1,0),B(3,0)兩點,從而得出拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)的對稱軸為x=1,所以b=2a.將A(-1,0)代入拋物線中a-b+3=0,從而得出a=-1,b=2,所以拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

解法3 (兩點式)根據(jù)題意,可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,從而得出-3a=3,解得a=-1,進而得出拋物線的解析式為y=-x2+2x+3(a≠0).

3.2 問題(2)的解法

根據(jù)已知條件,以B,C,P,Q為頂點的四邊形為平行四邊形,但并沒有明確說明P的位置,所以要對點P的位置進行分類討論,分為兩種情況,第一種是P在x軸的上方,第二種是P在x軸的下方.

第一種情況:P在x軸的上方.

解法1 (平行四邊形的性質(zhì))如圖3,過點C作CP∥BQ,過點P作PN⊥OQ,設(shè)點P的坐標(biāo)為(t,-t2+2t+3),因為四邊形BCPQ為平行四邊形,所以BC=PQ,CP=BQ進而得出Q(t,0),OQ=3+t,ON=t,NQ=3,所以PQ2=PN2+NQ2,即(-t2+2t+3)2+9=18,當(dāng)-t2+2t+3=3,解得t=0(舍去)或t=2;當(dāng)-t2+2t+3=-3,因為P在x軸的上方,所以-t2+2t+3=-3舍去,從而只有t=2符合題意,進而求出點P的坐標(biāo)為(2,3).

圖3 P在x軸的上方示意圖

解法2 直線CB的斜率為kCB=-1,又因為CB∥PQ,所以kPQ=-1,-t2+2t+3=3,解得t=0(舍去)或t=2,只有t=2是符合題意,從而求出點P的坐標(biāo)為(2,3).

第二種情況:P在x軸的下方.

圖4 P在x軸的下方示意圖

評析分類討論是二次函數(shù)綜合題常用的方法之一,是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中必須掌握的解題思想.解決本題的關(guān)鍵是對點P的位置進行分類討論,從已知條件出發(fā),可以把點P分為在x軸的上方和在x軸的下方.

3.3 問題(3)的解法

圖5 問題(3)解法1示意圖

評析這類解法思路很明確,求出點的坐標(biāo),然后根據(jù)點的坐標(biāo)求相關(guān)線段的長度,進而計算EM·MN的值.雖然運算量較大,需要明確三條直線的解析式,但是解題的思路比較清晰.

評析根據(jù)點的坐標(biāo),利用兩點間的距離公式可求得相關(guān)線段的長度,然后利用勾股定理的逆定理即可判定△MDN是直角三角形,最終利用直角三角形和相似三角形的性質(zhì)解決問題.

圖6 問題(3)解法3示意圖

評析根據(jù)圖形特征,一條線段上有垂直線,并求EM·EN,要能夠想到射影定理,利用三角形相似,證明兩個三角形相似要從角或者線段成比例角度考慮,同時解題的關(guān)鍵是要證明出∠MDN=90°.

解法4 在上面的解法中已經(jīng)求出了直線DG解析式為y=-(x1-1)x+x1+3,同理可求出直線DN的解析式為y=-(x2-1)x+x2+3,從而可以得出kDG=-(x1-1),kDN=-(x2-1),又因為x1+x2=2-k,x1x2=-k,所以kDG·kDN=(x1-1)×(x2-1)=-1,則直線DG與直線DN互相垂直,進而∠MDN=90°,所以∠MDE+∠EDN=90°,所以∠MDE=∠DNE,所以△EMD△EDN,從而得出ED2=EM·EN=16.因此,EM·EN是定值.

評析通過對圖形的觀察,發(fā)現(xiàn)解題的關(guān)鍵是要證明∠MDN=90°,兩直線的夾角為直角,說明兩直線互相垂直,則可以通過斜率關(guān)系進行證明,最后能求出EM·EN的值.

4 解題反思

4.1 重視變式訓(xùn)練,發(fā)展思維能力

題目不在于多,而在于精.一道題目不僅是一個知識點,它還可以是多個知識點的結(jié)合.在教學(xué)中教師可以圍繞著一個問題向多個方向發(fā)散,把一道題變成一類題.就如本題中的二次函數(shù),在方法上,對于點P的位置進行分類討論,通過變式的形式可以從B,C所組成的線段是邊還是對角線進行分類討論,打破學(xué)生的常規(guī)思維.在內(nèi)容上,除了可以考查線段乘積的定值和點的存在性,還可以與中點問題、線段的最值問題、面積定值、一次函數(shù)特殊角等問題進行結(jié)合.基于此,在教學(xué)中要不僅要培養(yǎng)學(xué)生能夠靈活選擇數(shù)學(xué)方法解決問題的習(xí)慣,還要通過“一題多解”培養(yǎng)學(xué)生思考問題和靈活變通的意識,而“一題多解”不僅有利于學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng),更有利于學(xué)生問題解決策略的形成、關(guān)鍵問題解決能力的培養(yǎng)[3].所以,在教學(xué)中教師可以通過變式進行教學(xué),發(fā)展學(xué)生的思維能力,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維,打破學(xué)生的思維定式,培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識和實踐能力.

4.2 構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò),提高運算能力

綜合題往往不是一個數(shù)學(xué)知識點,而是多個數(shù)學(xué)知識的結(jié)合,所以在復(fù)習(xí)的過程中,要提高學(xué)生搭建知識網(wǎng)絡(luò)的能力,形成知識框架,在教學(xué)中可以通過主題式學(xué)習(xí),將知識進行整合.知識是解決問題的前提,而解決問題的成敗關(guān)鍵在于學(xué)生的運算能力,它不僅是一種數(shù)學(xué)的操作能力,更是一種數(shù)學(xué)的思維能力[4],教師在教學(xué)中可以通過日常的運算訓(xùn)練來發(fā)展學(xué)生的運算能力,有利于培養(yǎng)學(xué)生的思考問題的品質(zhì)和養(yǎng)成科學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度.