基于前景理論和混合加權(quán)距離的區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊多屬性決策

何望琳, 王琦峰, 葉夢(mèng)依

(浙江萬(wàn)里學(xué)院, 浙江 寧波 315100)

自從Zadeh提出模糊集以來,該理論在現(xiàn)代社會(huì)得到了廣泛的應(yīng)用,作為經(jīng)典模糊集的重要推廣,直覺模糊集(intuitionistic fuzzy set,IFS)用隸屬度與非隸屬度來表示肯定和否定的程度,能夠細(xì)膩地描述和刻畫客觀世界的模糊性本質(zhì)。畢達(dá)哥拉斯模糊集(Pythagorean fuzzy set,PFS)作為直覺模糊集的延伸,提出專家能夠不受隸屬度與非隸屬度的平方和不超過1的限制,從而能夠更加準(zhǔn)確地表達(dá)信息,提高其應(yīng)用的靈活性[1-2]。畢達(dá)哥拉斯模糊集的隸屬度與非隸屬度的平方和不大于1的要求雖然拓展了模糊集使用場(chǎng)景,但隨著決策的復(fù)雜性不斷提高,決策者有時(shí)難以用一個(gè)具體的數(shù)值來準(zhǔn)確表達(dá)。針對(duì)該情況,區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊集(interval-values Pythagorean fuzzy set,IVPFS)的概念被提出,該模糊集可用區(qū)間值的形式表示隸屬度與非隸屬度[3]。

IVPFS延續(xù)了PFS的優(yōu)勢(shì),應(yīng)用范圍較之更為廣泛,近年來也有許多學(xué)者對(duì)IVPFS進(jìn)行研究,并取得了豐富的研究成果。尹東亮等[4]提出了基于改進(jìn)得分函數(shù)和前景理論的區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊多屬性決策方法。萬(wàn)本庭等[5]首先基于冪平均計(jì)算和基于區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的思想,首次建立了一種基于區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯冪平均的數(shù)學(xué)模型,并將之用于決策問題。李進(jìn)軍等[6]提出區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊冪幾何-幾何Heronian平均算子和區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊加權(quán)冪幾何-幾何Heronian平均算子。黃月和張賢勇[7]將粗糙集和區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊集進(jìn)行建模分析,構(gòu)建了區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊粗糙集模型,并通過實(shí)例驗(yàn)證說明了其新模型的有效性。目前針對(duì)區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊集的距離測(cè)度還處于初步階段,因此整理了關(guān)于畢達(dá)哥拉斯模糊集的距離測(cè)度文獻(xiàn)。其中,常娟等[8]提出了一種廣義畢達(dá)哥拉斯猶豫模糊集合的綜合加權(quán)距離度量方法,并將其用于實(shí)際問題中。李德清等[9]比較分析了畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的排序方法,對(duì)畢達(dá)哥拉斯模糊集的距離進(jìn)行了新的界定。曾守楨和穆志民[10]提出了畢達(dá)哥拉斯模糊集的混合加權(quán)距離測(cè)度。畢達(dá)哥拉斯模糊集也被應(yīng)用于艦載雷達(dá)偵探系統(tǒng)中,陳秋瓊等[11]為了對(duì)其效能進(jìn)行評(píng)估,運(yùn)用畢達(dá)哥拉斯模糊混合加權(quán)歐式距離對(duì)艦載雷達(dá)偵察系統(tǒng)效能進(jìn)行優(yōu)劣排序。決策中會(huì)出現(xiàn)權(quán)重不確定的情況,陜振沛等[12]對(duì)權(quán)重完全未知的猶豫模糊混合集成算子進(jìn)行研究,提出了一種有效實(shí)用的群決策方法。同時(shí)為了考慮決策者的心理主觀價(jià)值,許多學(xué)者引入前景理論進(jìn)行決策分析。李美娟等[13]將畢達(dá)哥拉斯模糊的 TOPSIS方法應(yīng)用到實(shí)際工程中。常娟等[14]針對(duì)決策者具有一定的局限性,擬采用累計(jì)期望理論與多目標(biāo)協(xié)調(diào)最優(yōu)方案相結(jié)合的方式進(jìn)行決策。趙笑然等[15]針對(duì)山地鐵路選址評(píng)估中對(duì)定量指標(biāo)進(jìn)行系統(tǒng)性定量研究的現(xiàn)狀,對(duì)山地鐵路選址中決策者存在的諸如“受限理性”等人的思維活動(dòng),研究山地鐵路選址決策的云建模與累計(jì)展望等技術(shù)。

經(jīng)過對(duì)眾多文獻(xiàn)的細(xì)致梳理和分析,許多學(xué)者對(duì)畢達(dá)哥拉斯模糊集和混合加權(quán)距離測(cè)度進(jìn)行了深入探討,并獲得了豐富的研究成果。然而,目前關(guān)于如何將混合加權(quán)距離測(cè)度應(yīng)用于區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊集中的研究仍然處于初級(jí)階段。大部分的研究都是基于原始數(shù)據(jù)進(jìn)行的,并沒有充分考慮到?jīng)Q策者的主觀價(jià)值感受。這種決策方式往往過于理想化,大部分都是基于決策者的完全理性判斷。然而,在實(shí)際操作中,決策行為與決策者的心理和主觀價(jià)值觀有著緊密的聯(lián)系,這些決策通常是有限理性的,因此,現(xiàn)有研究在這方面存在一定程度的局限性。

為了彌補(bǔ)現(xiàn)有研究的局限性,本文將前景理論應(yīng)用于畢達(dá)哥拉斯模糊集中。在充分考慮決策者主觀價(jià)值感受的基礎(chǔ)上,構(gòu)建一個(gè)基于前景理論的區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯混合加權(quán)距離測(cè)度(PTIVPFHWD),并將其整合到逼近理想解排序(又稱優(yōu)劣解距離法,technique for perference by similarity to ideal solution,TOPSIS)系統(tǒng),提出一種基于PTIVPFHWD的TOPSIS方法,以實(shí)現(xiàn)多樣性信息的有序整合。最后,通過算例分析和方法比較來驗(yàn)證該方法的有效性。

1 基礎(chǔ)理論

1.1 區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊集

通過上述函數(shù)可以將兩個(gè)畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)進(jìn)行比較:

(1)若s(a1)

(2)當(dāng)s(a1)=s(a2)時(shí),若h(a1)h(a2),則a1>a2。

1.2 前景理論

前景理論認(rèn)為,決策者在現(xiàn)實(shí)中具有“有限理性”,它可以將決策者的心理影響納入其中,并根據(jù)參照點(diǎn)對(duì)方案進(jìn)行權(quán)衡。通過決策者依據(jù)參考點(diǎn)衡量決策方案的收益和損失情況。前景理論的價(jià)值函數(shù)可表示為

(1)

式中:ΔZ為Z偏離參考點(diǎn)Z0的大小,當(dāng)ΔZ≥0時(shí),表示決策者的感受表現(xiàn)為收益;當(dāng)ΔZ<0時(shí),表示決策者的感受表現(xiàn)為損失。α和β分別為決策者對(duì)收益和損失的敏感程度,且兩者都屬于區(qū)間(0,1);η為損失規(guī)避系數(shù),若η>1,則表示決策者對(duì)損失的敏感程度要大于對(duì)收益的敏感程度。根據(jù)Tversky和Kahneman[16],α=β=0.88,η=2.25是最符合決策者在有限理性情況下的決策心理。

2 基于前景理論的區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊混合加權(quán)距離測(cè)度

使用混合加權(quán)距離測(cè)度來對(duì)區(qū)間值畢拉格拉斯模糊集進(jìn)行相對(duì)科學(xué)全面的計(jì)算。權(quán)重確定方面考慮到?jīng)Q策者的理性是有限的,每個(gè)決策者對(duì)收益和損失的感受不同,因此引入前景理論來反映決策者在實(shí)際決策的過程中的不同心理特征。同時(shí)為了防止權(quán)重被決策者的主觀因素影響過多,引入李美娟等[13]提出的基于均衡視角的權(quán)重修正系數(shù)來獲得更準(zhǔn)確的權(quán)重分配結(jié)果。

2.1 區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊混合加權(quán)距離

在區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)距離定義的基礎(chǔ)上,提出區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊集之間的混合加權(quán)距離。

2.2 考慮決策者主觀偏好的權(quán)重確定

在實(shí)際的決策過程中,有成本型和效益性兩種主要屬性。理想情況下,成本型屬性越小越有利,而效益型屬性越大則越有利。通過引入前景理論,可以更深入地理解決策者在面對(duì)損失和收益時(shí)的主觀價(jià)值感受。由于各決策者的心理不同,因此決策者大致可以被分類為樂觀、悲觀和中立三種類型。通過對(duì)三種類型決策者的決策問題進(jìn)行研究,發(fā)現(xiàn)三類決策者在考慮風(fēng)險(xiǎn)偏好后都能根據(jù)自己的心理預(yù)期做出相應(yīng)的行為調(diào)整。具體來說,在面臨成本型距離度量時(shí),樂觀的決策者期望為所有模糊數(shù)的最小值;若距離度量為效益型,其期望值是每一模糊數(shù)間的最大距離;悲觀決策主體的心理期望與樂觀決策主體正好相反,在決策過程中,悲觀決策主體的心理期望是各個(gè)模糊數(shù)字的極大值,而效益型決策主體的心理期望則是各個(gè)模糊數(shù)的極小距離。本文以中立決策者為研究對(duì)象,無論他們面對(duì)的是成本型還是效益型的距離度量,心理預(yù)期均基于模糊數(shù)間的平均距離,因此決策的參考點(diǎn)為

(2)

將前景理論應(yīng)用到?jīng)Q策權(quán)重確定中的主要思路可以總結(jié)為:以中立型決策者為例子,選用Dz作為參考點(diǎn),將各模糊數(shù)與參考點(diǎn)之間的距離進(jìn)行計(jì)算,之后根據(jù)ΔZj的大小對(duì)應(yīng)前景理論的價(jià)值函數(shù)。由于價(jià)值函數(shù)Vj有正有負(fù),同時(shí)距離測(cè)度也有成本型和效益型,為了使價(jià)值函數(shù)的結(jié)果恒正,可以將前景價(jià)值進(jìn)行以下轉(zhuǎn)換[13]:

V′j=max{V1,V2,…,Vn}-
min{V1,V2,…,Vn}+Vj

(3)

V″j=max{V1,V2,…,Vn}-
min{V1,V2,…,Vn}-Vj

(4)

式(3)和式(4)分別為對(duì)效益型距離測(cè)度與成本型距離測(cè)度的前景價(jià)值轉(zhuǎn)換,經(jīng)過轉(zhuǎn)換后無論是V′j或V″j均為正數(shù)。前景價(jià)值函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換后,將其歸一化處理,可以得到與畢達(dá)哥拉斯模糊加權(quán)距離相關(guān)聯(lián)的權(quán)重:

(5)

2.3 基于均衡視角的權(quán)重修正系數(shù)

依據(jù)前景理論的價(jià)值函數(shù),受到?jīng)Q策者的主觀因素影響過大,因此參考李美娟等[13]提出一種基于均衡視角的權(quán)重修正系數(shù)。該系數(shù)不僅考慮了決策者的主觀價(jià)值感受,同時(shí)也考慮了數(shù)據(jù)本身的客觀因素,有效防止權(quán)重因?yàn)橹饔^認(rèn)識(shí)導(dǎo)致的偏差問題。

確定修正系數(shù)的基本思路如下:以所有距離測(cè)度的平均值作為均衡基礎(chǔ),當(dāng)某個(gè)距離測(cè)度偏離均衡基礎(chǔ)較大時(shí)候,說明該距離測(cè)度的共識(shí)度較低,給予相對(duì)較小的權(quán)重;反之若某距離測(cè)度偏離均衡基礎(chǔ)的程度較低,說明其共識(shí)度較高,應(yīng)給予相對(duì)較高的權(quán)重。將該思路轉(zhuǎn)換為公式可表達(dá)為

(6)

根據(jù)各距離的偏離程度DVj,可將基于均衡視角的權(quán)重修正系數(shù)rj表示為

(7)

式中:M=maxDVj+minDVj。

根據(jù)式(6)和式(7)可以確定權(quán)重修正系數(shù),對(duì)式(5)進(jìn)行修正,可以得到

(8)

3 基于混合加權(quán)距離的區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯TOPSIS

TOPSIS是一種在多屬性決策中被廣泛應(yīng)用的方法,它主要根據(jù)各個(gè)方案與正負(fù)理想解的距離來進(jìn)行決策分析。對(duì)于最優(yōu)決策,它要求方案與正理想解的距離最短,同時(shí)與負(fù)理想解的距離也要最遠(yuǎn)。由于評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重和目標(biāo)函數(shù)中各因素的隸屬度具有一定模糊性,所以在使用該方法時(shí)必須結(jié)合具體問題具體分析。將區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的混合加權(quán)距離融入TOPSIS,并以中立決策者為案例進(jìn)行詳細(xì)解釋,目的是實(shí)現(xiàn)多條信息的有序集合,同時(shí)也考慮到?jīng)Q策者的主觀價(jià)值感受,從而得出最優(yōu)的決策方案。

(9)

則基于PTIVPFHWD-TOPSIS決策方法步驟如下。

第一步:根據(jù)已有的原始數(shù)據(jù)構(gòu)建畢達(dá)哥拉斯模糊決策矩陣R=[fj(xi)]m×n,其中fj(xi)=F(μij,vij)是畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù),表示在屬性Cj下,方案Xi的評(píng)估值。

第二步:確定畢達(dá)哥拉斯模糊集合的正負(fù)理想解A+和A-。

(10)

上述的正負(fù)理想解根據(jù)得分函數(shù)和精確函數(shù)計(jì)算確定。

第三步:根據(jù)定義4可以分別計(jì)算方案Xi(i=1,2,…,m)距離正負(fù)理想解之間的距離d(fij,f+)和d(fij,f-),以及dPFD(ασj,βσj)。

第五步:根據(jù)前景理論的價(jià)值函數(shù)式(1)計(jì)算方案Xi(i=1,2,…,m)與正負(fù)理想解之間的前景價(jià)值,并通過式(3)和式(4)進(jìn)行轉(zhuǎn)換,得到Vij。

第六步:由式(5)獲得與畢達(dá)哥拉斯距離度量相關(guān)的加權(quán),然后依據(jù)式(6)～式(8)獲得修改的權(quán)重ω′j。

第七步:根據(jù)定義5及第六步求出的修改權(quán)重,求出各個(gè)備選方案與正、負(fù)理想解的混合加權(quán)距離IVPFHWD(xi,A+)和IVPFHWD(xi,A-)。

第八步:計(jì)算基于PTIVPFHWD的相對(duì)貼近度Ri。

(11)

式中:相對(duì)相似度Ri反映了兩個(gè)備選方案與正負(fù)理想解的偏離程度,Ri值較大,則表明這個(gè)備選方案與正、負(fù)理想解之間的關(guān)系較好。

第九步:利用前一步驟計(jì)算出的Ri值對(duì)各方案進(jìn)行等級(jí)排列,以求出最佳方案。

4 算例分析

4.1 算例分析

隨著物流數(shù)字化進(jìn)程進(jìn)行的加快,冷鏈物流企業(yè)數(shù)字化轉(zhuǎn)型成為必然選擇,為了了解冷鏈物流企業(yè)的數(shù)字化轉(zhuǎn)型能力,針對(duì)冷鏈物流領(lǐng)頭企業(yè)進(jìn)行數(shù)字化轉(zhuǎn)型能力水平評(píng)價(jià)分析。在全國(guó)范圍內(nèi)選取四家具有代表性的冷鏈物流企業(yè)X1、X2、X3、X4作為算例分析對(duì)象,其相關(guān)的評(píng)價(jià)指標(biāo)屬性分別為企業(yè)技術(shù)(C1)、企業(yè)組織(C2)、企業(yè)管理(C3)、客戶服務(wù)(C4)。假設(shè)評(píng)價(jià)者使用區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)來表達(dá)其對(duì)各指標(biāo)的評(píng)估值,具體數(shù)值如表1所示。

表1 區(qū)間畢達(dá)哥拉斯模糊決策矩陣

根據(jù)式(10):確定畢達(dá)哥拉斯模糊的正理想解A+和負(fù)理想解A-。

A+={([0.5,0.8],[0.3,0.5]),([0.3,0.7],[0.2,0.6]),([0.4,0.7],[0.3,0.5]),([0.4,0.8],[0.2,0.4])};

A-={([0.2,0.7],[0.3,0.6]),([0.3,0.5],[0.5,0.8]),([0.2,0.5],[0.3,0.7]),([0.4,0.5],[0.4,0.6])}。

根據(jù)第三步和定義4得到各數(shù)值與正負(fù)理想解之間的距離,并根據(jù)第四步計(jì)算以中立型決策者為例的參照點(diǎn)Dz。之后將各值與參照點(diǎn)距離帶入價(jià)值函數(shù)中,計(jì)算出相關(guān)權(quán)重,并根據(jù)均衡視角下的權(quán)重修正系數(shù)進(jìn)行權(quán)重調(diào)整。將權(quán)重結(jié)果帶入定義5公式得到各方案與正負(fù)理想解之間的混合加權(quán)距離PTPFHWD(xi,A+)和PTPFHWD(xi,A-),如表2所示。

表2 基于前景理論的畢達(dá)哥拉斯混合加權(quán)距離結(jié)果

考慮到與混合加權(quán)測(cè)度的相關(guān)聯(lián)權(quán)重需要參考位置權(quán)重,即按照排序位置進(jìn)行權(quán)重確定,為了減輕極端值對(duì)最終結(jié)果的影響,根據(jù)正態(tài)分布規(guī)則對(duì)相關(guān)聯(lián)權(quán)重進(jìn)行賦值,其權(quán)重ω=(0.155,0.345,0.345,0.155)T。

根據(jù)式(11)計(jì)算相對(duì)貼進(jìn)度(Ri),并對(duì)各方案進(jìn)行排序(表3)。

表3 基于PTPFHWD-TOPSIS方法的評(píng)價(jià)結(jié)果

因?yàn)橄鄬?duì)貼近度R3>R4>R1>R2,故四大公司的數(shù)字化轉(zhuǎn)型能力評(píng)價(jià)排序?yàn)閄3>X4>X1>X2。根據(jù)算例可知,在基于前景理論和混合加權(quán)距離的區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊決策中數(shù)值距離正負(fù)理想解的距離在一定程度上反映了結(jié)果。其數(shù)值距離正理想解越近,同時(shí)距離負(fù)理想解越遠(yuǎn)的方案通常評(píng)價(jià)結(jié)果較好。該方法基于中立型決策者進(jìn)行展開,不同類型的決策者對(duì)成本和收益的感受不同也會(huì)造成結(jié)果的不同。

4.2 比較分析

為了更好地說明基于前景理論的區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯混合加權(quán)距離的優(yōu)勢(shì)所在,進(jìn)一步做比較分析。李美娟等[13]提出基于前景理論的畢達(dá)哥拉斯有序加權(quán)距離,將決策者的主觀價(jià)值感受以量化的形式進(jìn)行表達(dá)。曾守楨和穆志民[10]提出基于混合加權(quán)距離的畢達(dá)哥拉斯模糊TOPSIS法,在有序加權(quán)著重考慮數(shù)值的序權(quán)重的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步提出能兼顧數(shù)據(jù)自身權(quán)重的混合加權(quán)距離測(cè)度方法。本文將與上述兩種方法進(jìn)行比較分析。

其中基于前景理論的畢達(dá)哥拉斯模糊有序加權(quán)TOPSIS法給出了三種不同類型的決策者,并將其分為悲觀型、中立型和樂觀型,三種類型的決策者對(duì)決策中損失和收益的心理不同,因此其權(quán)重的分配也不同。本文只采取中立型決策者進(jìn)行比較分析(表4)。

表4 基于前景理論的有序加權(quán)距離TOPSIS方法評(píng)價(jià)結(jié)果

通過對(duì)比兩種不同方法可以發(fā)現(xiàn),上述方法使用有序加權(quán)距離對(duì)方案進(jìn)行評(píng)價(jià),雖然考慮了決策者的主觀價(jià)值,使用前景理論來反映,同時(shí)強(qiáng)調(diào)集成數(shù)據(jù)的序權(quán)重,但其只考慮了權(quán)重分配的一部分,具有一定的片面性。因此在此基礎(chǔ)上提出基于前景理論的混合加權(quán)距離測(cè)度,不僅考慮權(quán)重分配中的順序問題,還能體現(xiàn)各個(gè)數(shù)據(jù)的自身重要性。這也使本文的評(píng)價(jià)方法更客觀。

基于混合加權(quán)距離的畢達(dá)哥拉斯模糊TOPSIS法雖然能夠彌補(bǔ)有序加權(quán)距離測(cè)度的缺點(diǎn),但在某種程度上忽視了決策者的主觀價(jià)值感受,其結(jié)果相對(duì)理想化,在實(shí)際決策活動(dòng)中往往會(huì)出現(xiàn)偏差,如表5所示。

表5 基于PFHWD-TOPSIS方法的評(píng)價(jià)結(jié)果

通過與兩篇文獻(xiàn)中的不同方法進(jìn)行對(duì)比,本文提出的方法不僅能夠在客觀上彌補(bǔ)有序加權(quán)距離測(cè)度的缺點(diǎn),可以考慮位置的序權(quán)重和數(shù)值自身的權(quán)重;在主觀上也能根據(jù)不同決策者的不同心理做出合適的權(quán)重評(píng)價(jià),考慮決策者的主觀因素,同時(shí)將數(shù)值改進(jìn)為區(qū)間值,解決了部分決策者在決策過程中無法使用某個(gè)準(zhǔn)確值表達(dá)的問題(圖1)。

圖1 三種方法的評(píng)價(jià)結(jié)果

5 結(jié)論

本文在畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的混合加權(quán)距離TOPSIS法的基礎(chǔ)上,考慮到?jīng)Q策者的主觀價(jià)值會(huì)對(duì)最終結(jié)果有所影響,引入前景理論來進(jìn)行權(quán)重確定,同時(shí)將畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)改進(jìn)為區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù),分析了基于前景理論的區(qū)間值畢達(dá)哥拉斯模糊數(shù)的基礎(chǔ)理論和決策步驟,同時(shí)將該方法運(yùn)用到算例分析中,以驗(yàn)證其可行性,并且討論了PTIVPFHWD與現(xiàn)有的距離測(cè)度方法之間的聯(lián)系和區(qū)別,發(fā)現(xiàn)本文提出的方法在考慮決策者的心理主觀因素之外,還能兼顧決策方案的位置權(quán)重和自身權(quán)重,能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)多樣化信息的處理。未來實(shí)際決策中可以通過調(diào)整價(jià)值函數(shù)中的系數(shù)α、β和η來提高方法的科學(xué)性和實(shí)用性。