考慮雙重剪切的開放系統(tǒng)梯形渠道Pasternak雙參數(shù)凍土地基梁模型

肖 旻，王正中，吳 浪，楊曉松，崔 浩，葛建銳

(1.江西科技師范大學(xué)建筑工程學(xué)院，江西，南昌 330013；2.西北農(nóng)林科技大學(xué)旱區(qū)寒區(qū)水工程安全研究中心，陜西，咸陽 712100；3.西北農(nóng)林科技大學(xué)旱區(qū)農(nóng)業(yè)水土工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西，咸陽 712100；4.中國科學(xué)院西北生態(tài)環(huán)境資源研究院凍土工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅，蘭州 730000；5.塔里木大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院，新疆維吾爾自治區(qū)，阿拉爾 843300；6.蘭州理工大學(xué)能源與動(dòng)力工程學(xué)院，甘肅，蘭州 730050)

在中國北方廣大旱寒地區(qū)，渠系灌溉是維系農(nóng)業(yè)發(fā)展的主要灌溉方式，但冬季極易發(fā)生凍害[1]。眾多學(xué)者對凍土凍脹特征、渠道凍害機(jī)理及凍脹力學(xué)模型進(jìn)行探索[2-6]。李甲林等[7]通過分析梯形渠道凍害機(jī)理，初步明確凍脹條件下襯砌承受的荷載類型并提出梯形渠道凍脹力學(xué)理論框架。申向東等[8]將板間填縫視為鉸結(jié)點(diǎn)并提出預(yù)制板襯砌梯形渠道凍脹力學(xué)模型。宋玲等[9]把冬季輸水渠道凍脹力學(xué)分析視為非垂直、非全周凍拔問題，建立冬季輸水梯形渠道凍脹力學(xué)分析框架。唐少容等[10]提出小U 形渠道凍脹力學(xué)分析方法。此類模型因未考慮凍土-襯砌間相互作用即未考慮凍脹力隨襯砌凍脹變形發(fā)生的釋放與衰減現(xiàn)象，計(jì)算結(jié)果往往偏保守。

彈性地基梁模型是研究土體-結(jié)構(gòu)間相互作用的行之有效、應(yīng)用廣泛的方法[11-15]，已在寒區(qū)工程力學(xué)分析中得到廣泛應(yīng)用[16-19]。就渠道而言，李宗利等[20]提出“凍脹力系數(shù)”的概念并構(gòu)建基于Winkler 模型的梯形渠道凍脹力學(xué)理論框架。肖旻等[21]構(gòu)建考慮凍土-結(jié)構(gòu)間相互作用的梯形渠道Winkler 地基模型。何鵬飛等[22]基于凍脹力與切向凍結(jié)力的關(guān)系對文獻(xiàn)[21]進(jìn)行修正，指出強(qiáng)度校核時(shí)應(yīng)考慮切向凍結(jié)力的影響。葛建銳等[23]基于Winkler 模型對結(jié)冰初期-流冰期-封凍期三個(gè)階段分別構(gòu)建了考慮冰-結(jié)構(gòu)-凍土協(xié)同作用的梯形渠道凍脹破壞彈性地基梁模型。

由此可見，相關(guān)研究已取得一定進(jìn)展，但仍存在一些問題：首先，Winkler 模型本身存在固有缺陷，它忽略土中剪力即沒有考慮離散土彈簧間的相互作用，而因冰膠結(jié)作用凍土剪切系數(shù)普遍大于常溫土，這將影響結(jié)果準(zhǔn)確性[11-12,24-26]。其次，已有模型常預(yù)先假定切向凍結(jié)力分布規(guī)律(如假定切向凍結(jié)力呈線性分布、切向凍結(jié)力與法向凍脹力成正比或接觸面各點(diǎn)同時(shí)達(dá)到屈服強(qiáng)度等)，這些假定與實(shí)際不盡相符。若該分布能從模型中自然導(dǎo)出從而避免預(yù)先假定，將有助于進(jìn)一步提高模型的合理性和完備性。

為此，該文在現(xiàn)有模型基礎(chǔ)上，類比常溫土雙參數(shù)模型，引入僅產(chǎn)生剪切變形但不可壓縮的剪切層使土彈簧相互聯(lián)系，用兩個(gè)參數(shù)描述土體特性，體現(xiàn)土體變形的連續(xù)性。在凍土-襯砌接觸界面引入切向Winkler 彈簧構(gòu)建以各截面切向位移為基本未知量的平衡微分方程并求解，可避免預(yù)先假定切向凍結(jié)力分布。

1 模型的建立

凍土-結(jié)構(gòu)間法向相互作用包括兩個(gè)方面：凍土凍脹受到襯砌板約束產(chǎn)生凍脹力，同時(shí)襯砌發(fā)生凍脹變形；襯砌變形使其對凍土凍脹的約束減弱，導(dǎo)致凍脹力消減與釋放，當(dāng)凍土-襯砌間有脫離趨勢時(shí)轉(zhuǎn)為法向凍結(jié)力(兩者合稱接觸面法向應(yīng)力)[27-28]。

凍土-結(jié)構(gòu)間切向相互作用指凍土-襯砌接觸面有相對滑移趨勢時(shí)引起的約束反力。

1.1 基本假設(shè)

地下水埋深淺導(dǎo)致凍結(jié)過程中存在明顯水分補(bǔ)給的渠道稱開放系統(tǒng)渠道[21,29]。本文以此類渠道為研究對象，對具體渠道而言地下水補(bǔ)給視為引起凍土凍脹強(qiáng)度差異的主導(dǎo)因素[21,30-31]。

結(jié)合已有研究[7-10,20-23]，補(bǔ)充如下假設(shè)：

1) 渠道沿輸水方向尺寸遠(yuǎn)大于橫向尺寸，力學(xué)分析簡化為平面應(yīng)變問題。

2) 力學(xué)分析僅考慮凍深范圍內(nèi)凍土層變形，不考慮凍深以外土層的固結(jié)。

3) 把渠基土等效為考慮雙重剪切的雙參數(shù)地基(如圖1)。引入Pasternak 剪切層描述凍土-結(jié)構(gòu)間法向相互作用；引入滿足Winkler 假設(shè)的接觸界面層描述凍土-結(jié)構(gòu)間的切向相互作用。

圖1 考慮雙重剪切的Pasternak 凍土地基梯形渠道斷面示意圖Fig.1 Section of trapezoidal canal on Pasternak frozen soil foundation considering double shear effect

下標(biāo)i為e時(shí)代表底板，為t時(shí)泛指坡板，分別為m、s時(shí)特指陰、陽坡坡板。接觸面法向應(yīng)力表現(xiàn)為凍脹力時(shí)取正值，表現(xiàn)為凍結(jié)力時(shí)取負(fù)值。圖1 為斷面示意圖。ω0為自由凍脹量；ω為實(shí)際凍脹量；H為凍深；q0為作用在剪切層上的接觸面法向應(yīng)力；q為作用在襯砌板上實(shí)際的接觸面法向應(yīng)力；F0為作用在剪切層上的剪力；FQ為作用在襯砌板上的剪力；M為截面彎矩；kx為接觸面切向剛度；ky為基床系數(shù)；g為剪切系數(shù)。圖1 中坡板采用的坐標(biāo)系以渠頂為原點(diǎn)，x軸正向由渠頂指向渠底，y軸正向垂直坡面指向渠槽一側(cè)；底板采用的坐標(biāo)系以左側(cè)坡腳為原點(diǎn)，x軸正向自左側(cè)坡腳指向另一側(cè)坡腳，y軸正向垂直底面朝上。

1.2 凍土-襯砌法向相互作用的控制方程

1.2.1 渠道基土自由凍脹量

中國北部多數(shù)省區(qū)有關(guān)部門都設(shè)置試驗(yàn)場確定凍土凍脹強(qiáng)度與地下水位的函數(shù)關(guān)系[7,30,32-33]。研究表明[7,20-23,30-35]，該函數(shù)關(guān)系可表達(dá)如下：

式中：η0為自由凍脹強(qiáng)度；z為地下水位；a、b為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)。

考慮到地下水位的橫向差異，有各點(diǎn)自由凍脹量如下[7,20-23,30-35]：

1.2.2 接觸面法向應(yīng)力計(jì)算

凍土自由凍脹量被完全約束時(shí)，結(jié)構(gòu)處于未變形的初始狀態(tài)，剪切層也處于未變形且無內(nèi)力的初始狀態(tài)，此時(shí)襯砌板受到的凍脹力可視為初始外荷載。但工程中基土凍脹并不會(huì)被完全約束，往往處于部分約束狀態(tài)，此時(shí)結(jié)構(gòu)對凍土約束程度降低，導(dǎo)致凍脹力的衰減與釋放，可以認(rèn)為產(chǎn)生一個(gè)與襯砌板凍脹位移成比例的附加荷載使凍脹力減小[21](即凍脹力線性衰減，小變形條件下符合實(shí)際)，同時(shí)考慮剪切層撓曲引起剪力F0的修正。最后，凍土-結(jié)構(gòu)間相互作用趨于平衡，此時(shí)荷載分布為實(shí)際的接觸面法向應(yīng)力分布。

首先，計(jì)算作用在剪切層上的接觸面法向應(yīng)力q0(x)。由于此時(shí)僅考慮Winkler 彈簧變形尚未計(jì)入剪切層的影響，從而可參考已有文獻(xiàn)[7, 20 - 23, 31]，并注意到凍土與襯砌間變形協(xié)調(diào)即襯砌板與剪切層在對應(yīng)點(diǎn)撓度相同，q0(x)可由式(3)計(jì)算：

式中：Ef為凍土彈性模量；ω(x)為實(shí)際凍脹位移；p(x)為初始外荷載。類比常溫土彈性地基梁模型[36]，系數(shù)Ef/H可視為基床系數(shù)，即ky=Ef/H。式(3)中右側(cè)第二項(xiàng)反映襯砌凍脹變形引起的凍脹力釋放和衰減。

其次，計(jì)算實(shí)際接觸面法向應(yīng)力q(x)。如圖1所示。取隔離體Ⅱ?yàn)榉治鰧ο?，同時(shí)由沿法向(即y軸方向)的靜力平衡條件有：

考慮到F0(x)=-g·dω(x)/dx，其中g(shù)為剪切系數(shù)，負(fù)號表明ω′(x)與F0(x)符號相反。依據(jù)式(4)，接觸面法向應(yīng)力分布q(x)如下：

1.2.3 渠道襯砌凍脹變形的撓曲線微分方程

類比常溫土Pasternak 彈性地基梁理論[11-12,24-26]，取圖1 中隔離體Ⅰ為研究對象，可導(dǎo)出撓曲線微分方程如下：

式中：Ec為混凝土的彈性模量；I為慣性矩。

剪切系數(shù)可依據(jù)VLASOV 等[37]的方法確定，計(jì)算公式為：gi=(Efi·Hi)/[6·(1+ν)]，其中Ef為基土彈性模量；Hi取凍土層厚度；ν為泊松比。

考 慮 到pi(x)=0.01Efi·a·e-bz(x)[19-21,29,36]，代 入式(6)整理并化為標(biāo)準(zhǔn)形式如下：

式中：

渠道底板與坡板的受力特點(diǎn)如圖2 所示，底板兩端同時(shí)受坡板約束；坡板則在坡頂處受頂蓋板約束，在坡腳處受到底板約束。設(shè)le為底板板長，be為底板板厚；lt為坡板板長，bt為坡板板厚。

圖2 梯形渠道襯砌板的凍脹破壞及端部約束示意圖Fig.2 Frost-heaving damage and end restraints of concrete lining of trapezoidal canals

因底板各點(diǎn)到地下水埋深的距離相同，式(7)中右側(cè)為均布荷載。設(shè)渠頂?shù)叵滤粸閦0，斷面深度為h，則z(x)恒等于z0-h。將z(x)代入式(7)得底板撓曲線微分方程如式(8)。坡板各點(diǎn)到地下水埋深的距離不同，從而式(6)中右側(cè)為非均布荷載。由幾何關(guān)系有：z(x)=z0-x·sinθ，其中θ/(°)為坡板傾角。將z(x)代入式(7)得坡板撓曲線微分方程如式(9)。式(8)、式(9)共同組成凍土-襯砌法向相互作用的控制方程。

1.3 凍土-襯砌切向相互作用的控制方程

1.3.1 坡頂法向約束力及板間相互作用力

凍土與襯砌板接觸面切向相對滑移趨勢主要源于凍脹力作用下坡板、底板、頂蓋板間的相互作用。因此，應(yīng)求解頂蓋板對坡板的約束力及板間相互作用力，如圖3 所示。圖中：s 為陽坡；m 為陰坡；e 為渠底。共有9 個(gè)未知量：陰、陽坡坡頂法向約束力NAm、NAs；陰坡與底板相互作用力NBm、NCm；陽坡與底板相互作用力NBs、NCs；坡板、底板底部受到的切向凍結(jié)力分布τm(x)、τs(x)、τe(x)。

圖3 各襯砌板約束力及板間相互作用力示意圖Fig.3 Constraining forces and interaction forces between concrete lining plates of trapezoidal canal

由坡板靜力平衡可得(因襯砌為薄板結(jié)構(gòu)，忽略切向凍結(jié)力對各截面形心的彎矩)：

因NCm、NCs通常為壓力，取預(yù)設(shè)方向?yàn)樨?fù)。根據(jù)底板靜力平衡有：

聯(lián)立式(10)、式(11)可解出除τm(x)、τs(x)、τe(x)以外剩余的6 個(gè)未知量。

1.3.2 渠道坡板各截面切向位移及切向凍結(jié)力

以陰坡坡板為例推導(dǎo)以切向控制方程。解出切向位移um(x)后，根據(jù)Winkler 假設(shè)可確定切向凍結(jié)力分布τm(x)。

此處切向凍結(jié)力指NCm作用下凍土-結(jié)構(gòu)間有相對滑移趨勢時(shí)引起的切向約束力，計(jì)算τm(x)時(shí)僅考慮頂托力NCm作用，不考慮板自身彎曲影響。將渠坡襯砌視為側(cè)邊承受軸向力的同時(shí)界面受到切向約束的矩形梁，如圖4。NCm作用下切向凍結(jié)力自渠頂指向坡腳。因渠道為薄板結(jié)構(gòu)，截面應(yīng)力視為均勻分布[38-39]，下同。

圖4 渠道坡板切向凍結(jié)力分布計(jì)算簡圖Fig.4 Schematic diagram for calculation of distribution of tangential ad-freezing force on slope plate

考慮圖4 右側(cè)所示長度為dx的微元體，σm(x)為截面應(yīng)力，由x軸方向的靜力平衡條件有：

設(shè)陰坡板各截面切向位移為um(x)，依應(yīng)力、應(yīng)變與位移本構(gòu)關(guān)系有：σm(x)=Ec·[dum(x)/dx]，同時(shí)有：dσm(x)/dx=Ec·[d2um(x)/dx2]。接觸界面服從Winkler 假設(shè)，從而切向約束力τm(x)大小與um(x)成正比但方向相反，即：τm(x)=-kxm·um(x)，kxm為切向剛度。結(jié)合式(12)，得到以截面切向位移為基本未知量的微分控制方程：

式(13)為齊次方程，其通解為：

式中：cm1、cm2為待定常數(shù)；sinh、cosh 為雙曲函數(shù)。該式應(yīng)滿足如下邊界條件：考慮頂蓋板約束作用，當(dāng)x=0 時(shí)，um(0)=0；當(dāng)x=lt時(shí)，σm(lt)=NCm/bt。又NCm已先行解出，方程得解。將該方程的解代入“τm(x)=-kxm·um(x)”即得渠道坡板切向凍結(jié)力分布。

1.3.3 渠道底板各截面切向位移及切向凍結(jié)力

渠道底板切向凍結(jié)力指底板兩端板間相互作用力水平分量Nmx=NCm·cosθ-NBm·sinθ 及Nsx=NCs·cosθ -NBs·sinθ 同時(shí)作用下凍土-結(jié)構(gòu)間有相對滑動(dòng)趨勢時(shí)導(dǎo)致的約束反力，同樣在計(jì)算τe(x)時(shí)僅考慮底板兩側(cè)板間相互作用力的影響。將底板視為兩端承受軸向集中力的同時(shí)接觸界面受到切向約束的矩形梁，如圖5 所示。由于陰坡、陽坡板對底板作用力有差異，切向約束力應(yīng)自陽坡一端指向底板另一端。應(yīng)用與第1.3.2 節(jié)相同的方法，可導(dǎo)出底板切向凍結(jié)力分布。但需要注意的是，此時(shí)應(yīng)采用如下邊界條件：當(dāng)x=0 時(shí)，σe(0)=Nmx/be；同時(shí)當(dāng)x=le時(shí)，σe(le)=Nsx/be。

圖5 渠道底板切向凍結(jié)力分布計(jì)算簡圖Fig.5 Schematic diagram for calculation of distribution of tangential ad-freezing force on bottom plate

2 模型的求解

2.1 法向控制方程的求解

因式(7)、式(8)、式(9)三者齊次方程形式相同，故先確定方程的齊次解。以陰坡坡板為例，將式(9)齊次化，則其特征方程如下：

式中，r為待定系數(shù)。式(15)的判別式為：Δm=。根據(jù)ρm不同可分以下3 種情況：

1) ρm<1，即Δm<0 時(shí)，式(9)齊次解ωmh(x)為：

其中，基函數(shù)矢量F1及任意常數(shù)矢量C為：

式中：

2) ρm=1，即Δm=0 時(shí)，易知φm2=0，此時(shí)式(9)的齊次解ωmh(x)如下：

式中，基函數(shù)矢量F2為：

3) ρm＞1，即Δm＞0 時(shí)，式(9)的齊次解如下：

其中，基函數(shù)矢量F3為：

對陰坡板而言，式(9)存在特解ωmn(x)如下：

其中：

結(jié)合齊次解與特解，可得其通解為：

可根據(jù)如下邊界條件確定任意常數(shù)：當(dāng)x=0時(shí)，ωm(0)=0，(0)=0；當(dāng)x=lt時(shí)，ωm(lt)=0，(lt)=0。陽坡坡板的情形與陰坡類似。對渠底板而言，式(8)的齊次解ωeh(x)與坡板相同。

此外，式(8)還存在特解ωen(x)如下：

結(jié)合齊次解與特解，可得其通解為：

可根據(jù)如下邊界條件確定任意常數(shù)：當(dāng)x=0 時(shí)，ωe(0)=0，′(0)=0；當(dāng)x=le時(shí)，ωe(le)=0，(le)=0。

2.2 計(jì)算流程

根據(jù)前述分析，可歸納計(jì)算流程如下：

1) 參數(shù)選取?？蛇M(jìn)行試驗(yàn)或根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)獲取參數(shù)。其中參數(shù)a、b反映除地下水補(bǔ)給條件外特定地區(qū)具體工程所在區(qū)域氣象、土質(zhì)等其他因素的綜合影響，條件允許時(shí)應(yīng)擬合當(dāng)?shù)卦囼?yàn)數(shù)據(jù)獲取，相關(guān)文獻(xiàn)[7, 20 - 23, 30 - 35, 40 - 41]提供了部分地區(qū)部分土質(zhì)下的結(jié)果可供參考；凍土剪切系數(shù)g由Vlasov 提供的方法確定[37]；凍土-混凝土界面切向剛度kx可實(shí)施剪切試驗(yàn)擬合切向應(yīng)力-相對切向位移函數(shù)關(guān)系獲取。

2) 依據(jù)特征方程式(15)的判別式Δi并通過式(16)～式(18)可分別確定陰坡、陽坡及渠底襯砌板法向控制方程齊次解，再依據(jù)式(19)、式(21)可確定方程特解。結(jié)合齊次解與特解，引入邊界條件求解方程組可得陰、陽坡板及底板凍脹變形ωm(x)、ωs(x)、ωe(x)。

3) 將ωm(x)、ωs(x)、ωe(x)代入式(5)，可得陰坡、陽坡及渠底板的接觸面法向應(yīng)力分布qm(x)、qs(x)、qe(x)。將qm(x)、qs(x)、qe(x)作用到結(jié)構(gòu)上可對渠頂法向約束力及襯砌板間相互作用力進(jìn)行計(jì)算，即聯(lián)立式(10)、式(11)可得坡頂法向約束力NAm、NAs及板間相互作用力NBm、NCm、NBs、NCs。

4) 在此基礎(chǔ)上，求解式(13)可得陰、陽坡板和底板各處切向位移um(x)、us(x)、ue(x)，進(jìn)而可得切向凍結(jié)力τm(x)、τs(x)、τe(x)。

5) 仍以陰坡坡板為例，各截面內(nèi)力如下式：

式中：Mm(x)為陰坡板截面彎矩；Nm(x)為陰坡坡板截面軸力。y軸方向以垂直襯砌指向渠槽一側(cè)為正。

渠道底板各截面內(nèi)力如下式：

6) 至此，由工程力學(xué)方法可進(jìn)行抗裂驗(yàn)算。

3 算例分析

塔里木灌區(qū)[40-41]位于天山南麓、塔里木盆地西北緣。最低氣溫為-29.3 ℃，歷年負(fù)溫天數(shù)為75 d。有塔里木河、阿克蘇新大河和田河等五大河流貫穿，建有多浪、勝利、上游三大水庫，地表水及地下水資源豐富。地下水埋深淺，地下水補(bǔ)給是基土凍脹的主導(dǎo)因素。

以該灌區(qū)某梯形渠道為例。襯砌板厚為0.08 m，采用C15 混凝土襯砌，基土土質(zhì)為輕壤土。底板長le為2 m，坡角為45°，斷面深度為2.5 m，地下水埋深(至渠頂)約3.5 m。作者團(tuán)隊(duì)于2010 年-2011 年冬季開展原型觀測[40-41]。坡板隔50 cm 設(shè)測點(diǎn)；底板隔25 cm 設(shè)測點(diǎn)。以保證剛度、穩(wěn)定性為原則布設(shè)監(jiān)測設(shè)備，設(shè)置位移計(jì)測凍脹位移，并用水準(zhǔn)儀校正。Ec取22 GPa；a取21.972，b取0.022，其余參數(shù)見表1。

3.1 襯砌板凍脹變形計(jì)算與對比分析

依計(jì)算流程求解法向控制方程式(8)、式(9)可得陰坡、陽坡及渠底襯砌板凍脹位移曲線ωm(x)、ωs(x)、ωe(x)。圖6 為陰坡坡板及底板凍脹位移曲線，包括依據(jù)本文模型(Pasternak 模型即g≠0)、Winkler 模型(g=0)、材料力學(xué)方法的計(jì)算結(jié)果以及觀測值。

圖6 陰坡與渠底襯砌板的凍脹位移曲線Fig.6 Frost-heaving induced displacement of each section of both shady and bottom lining plates

由圖6 可知，三種方法計(jì)算的凍脹位移分布均能較好地反映原型渠道凍脹變形總體趨勢。其中材料力學(xué)方法因未考慮襯砌凍脹變形引起凍脹力的釋放與衰減，結(jié)果與觀測值相比偏大、偏保守。彈性地基梁模型因考慮了凍土與襯砌間相互作用，計(jì)算結(jié)果精度整體優(yōu)于材料力學(xué)方法，與觀測值符合良好，且本文模型結(jié)果較Winkler 模型更接近觀測值。這是因?yàn)?，雙參數(shù)模型引入Pasternak剪切層考慮了獨(dú)立土彈簧間相互作用，提高了模型計(jì)算精度，使計(jì)算結(jié)果更符合實(shí)際。當(dāng)剪切系數(shù)g=0 時(shí)，本文模型可退化為Winkler 模型。

考慮到頂蓋板約束及坡腳處板間的相互約束，本文將襯砌兩端法向凍脹位移為0 作為控制方程的邊界條件。而實(shí)際上，各襯砌板兩端觀測值并不是準(zhǔn)確為0，頂蓋板及坡腳處因凍土凍脹發(fā)生了松動(dòng)。這將導(dǎo)致一定偏差，但偏差不顯著。

3.2 接觸面法向應(yīng)力分布

把凍脹位移ωm(x)、ωs(x)、ωe(x)代入式(5)得接觸面法向應(yīng)力分布qm(x)、qs(x)、qe(x)，如圖7所示。圖7 中，數(shù)值為正時(shí)表示法向凍脹力，為負(fù)表示法向凍結(jié)力。由圖7 可見，接觸面法向應(yīng)力相對假設(shè)自由凍脹量被完全約束的情形(即初始凍脹力)表現(xiàn)出一定的釋放和衰減。例如，底板法向凍脹力分布為中間小、兩側(cè)大，正好與凍脹位移分布相反，表明中部因凍脹位移相對較大，凍脹力得到釋放，兩側(cè)因受到約束凍脹力衰減較小。對陰、陽坡板而言，坡腳受到約束故坡板下部凍脹力衰減較小，又該處初始凍脹力較大，故主要分布法向凍脹力；同時(shí)坡板中上部與基土間有相互脫離趨勢，又該處初始凍脹力較小，故通常分布法向凍結(jié)力；坡頂處則因受到頂蓋板約束，衰減較小，又表現(xiàn)為法向凍脹力。接觸面法向應(yīng)力沿?cái)嗝娴目傮w變化趨勢與已有研究基本一致[25-26]。

圖7 接觸面法向應(yīng)力分布曲線Fig.7 Distribution of normal stress on contact interface between frozen soil and concrete lining

3.3 各截面切向位移分布及易開裂位置估算

把qm(x)、qs(x)、qe(x)作為荷載施加到結(jié)構(gòu)上可對坡頂約束力、板間相互作用力及各襯砌板受到的切向約束力分布τm(x)、τs(x)、τe(x)進(jìn)行計(jì)算；進(jìn)而可確定襯砌各點(diǎn)截面內(nèi)力；最后計(jì)算各截面上表面應(yīng)力可進(jìn)行抗裂驗(yàn)算，并估算最易開裂位置。

以陰坡為例，圖8(a)為陰坡板各截面切向位移(絕對值)分布曲線。綜合考慮較堅(jiān)硬及特別堅(jiān)硬巖土體(如特別堅(jiān)硬的粘土、凍土、風(fēng)化巖等)與素混凝土接觸面剪切剛度取值范圍及本文算例試驗(yàn)值，對剪切剛度kxm(單位：kN/cm3)分別取0.1、0.3、0.5、0.8、1.0 時(shí)進(jìn)行參數(shù)分析。由圖8(a)可見，當(dāng)kxm=0.5 時(shí)，各截面切向位移(絕對值)從渠頂至渠底逐漸增大，最大值出現(xiàn)在坡腳處，該處被壓縮0.629 mm，對照τm-um曲線知仍屬彈性粘結(jié)區(qū)，凍結(jié)約束未失效。kxm越小，各截面切向位移趨于線性分布，切向凍結(jié)力也趨于線性分布，與已有研究線性分布假設(shè)一致[7]；當(dāng)kxm較大時(shí)，各截面切向位移逐漸偏離線性分布，切向凍結(jié)力也偏離線性分布且kxm越大偏差越大，此時(shí)線性分布假設(shè)不再適用。kxm越大即接觸面剪切剛度越大，各截面切向位移絕對值總體呈減小趨勢。

圖8 陰坡坡板凍脹力學(xué)分析Fig.8 Frost-heaving mechanical analysis of shady slope plate

圖8(b)為陰坡坡板彎矩圖(凸向渠槽一側(cè)為正)。由圖8(b)可知，坡板中下部彎矩較大，靠近坡頂?shù)纳喜縿t較小，最大值在距坡腳約1/5 坡板長處，這與已有研究相符[20,27]。彎矩圖存在拐點(diǎn)且位置與圖8 中陰坡段零點(diǎn)位置一致，位于凍脹力與法向凍結(jié)力的交界點(diǎn)，與理論預(yù)測相符。同時(shí)可見，易導(dǎo)致襯砌板開裂的最大拉應(yīng)力主要分布在上表面。圖8(c)為陰坡各截面上表面應(yīng)力分布圖。由圖8(c)可知，因底板頂托及頂蓋板約束，坡板兩端表現(xiàn)為壓應(yīng)力；坡板中下部為拉應(yīng)力，最大值在距坡腳約1/4 坡板長處。結(jié)合混凝土拉應(yīng)力允許值，危險(xiǎn)截面即易開裂位置在距坡腳約45%～20%坡板長范圍內(nèi)。

筆者課題組對塔里木灌區(qū)渠道凍害調(diào)查結(jié)果表明[40-41]，梯形渠道坡板主裂縫(如圖2 所示)易發(fā)生范圍與本文估算結(jié)果基本一致。

3.4 討論

相對于存在地表或側(cè)向水分補(bǔ)給的特殊情況，地下水補(bǔ)給占主導(dǎo)作用是更加常見的情形。凍土工程中開放系統(tǒng)條件也常特指地下水補(bǔ)給[29]。該模型以開放系統(tǒng)條件下的梯形渠道為研究對象，突出地下水補(bǔ)給的橫向差異對渠基土凍脹強(qiáng)度的影響，暫未考慮地表或側(cè)向水分補(bǔ)給，在新疆塔里木灌區(qū)、甘肅白銀引黃灌區(qū)等建有大量此類渠道。此外，如能通過原型觀測或者模型試驗(yàn)恰當(dāng)確定凍脹率分布，則對前兩類特殊情形本文方法依然適用。

應(yīng)用該模型對原型渠道襯砌各點(diǎn)凍脹位移及易開裂位置進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果與原型觀測及灌區(qū)調(diào)查結(jié)果基本相符，表明模型的合理性。與現(xiàn)有結(jié)構(gòu)力學(xué)模型相比，本文模型能反映凍土與襯砌結(jié)構(gòu)的相互作用即凍脹力隨襯砌凍脹變形的釋放和衰減效應(yīng)，更符合實(shí)際；與現(xiàn)有Winkler 模型相比，本文模型通過引入Pasternak 剪切層克服了其未體現(xiàn)土體連續(xù)性的不足，引入由切向Winkler 彈簧組成的接觸界面層克服了以往需要預(yù)先假定切向凍結(jié)力分布規(guī)律的不足，提高了模型結(jié)果的精度。改進(jìn)的模型能夠較好地描述凍土與襯砌板接觸面相互作用的基本特征，例如擠壓(產(chǎn)生法向凍脹力)、脫開趨勢(產(chǎn)生法向凍結(jié)力)和粘結(jié)滑移(產(chǎn)生切向凍結(jié)力)等。

需要說明的是：即使對特定地區(qū)的具體工程而言，除地下水補(bǔ)給外，太陽輻射也會(huì)產(chǎn)生影響。構(gòu)建綜合考慮水分補(bǔ)給與太陽輻射條件的模型，仍有待深入研究。

4 結(jié)論

在現(xiàn)有Winkler 模型基礎(chǔ)上，引入Pasternak剪切層反映凍土-結(jié)構(gòu)間法向相互作用，引入切向Winkler 彈簧組成的接觸界面層反映凍土-結(jié)構(gòu)間切向相互作用，構(gòu)建考慮雙重剪切的梯形渠道凍土地基梁模型。有以下結(jié)論：

(1) 該模型克服已有Winkler 模型未考慮土彈簧間相互作用且需預(yù)先假定切向凍結(jié)力分布的缺點(diǎn)，有效提高了計(jì)算精度，且與事實(shí)更加符合。

(2) 以塔里木灌區(qū)某梯形渠道為例，對襯砌凍脹變形進(jìn)行計(jì)算，并與材料力學(xué)法、Winkler模型計(jì)算值及觀測值進(jìn)行對比。結(jié)果表明：相比Winkler 模型與材料力學(xué)法，本文模型計(jì)算值無論在大小還是在總體變化趨勢上均與觀測值更加一致。當(dāng)g=0 時(shí)退化為Winkler 模型。

(3) 通過參數(shù)分析，探討接觸面切向剛度kx對襯砌各點(diǎn)切向位移與切向凍脹力分布的影響。結(jié)果表明：當(dāng)kx越小時(shí)，襯砌各點(diǎn)切向位移和切向凍結(jié)力越接近于直線分布，與已有研究中采用“上小下大”的三角形分布假設(shè)一致；當(dāng)kx越大，各點(diǎn)切向位移與切向凍結(jié)力均不再遵循直線分布規(guī)律，此時(shí)三角形分布假設(shè)不再適用。