細(xì)聚丙烯纖維混凝土介觀離散力學(xué)模型及其I 型斷裂強度負(fù)效應(yīng)機理

沈 雷，吳 杰，鄧通發(fā)，曹茂森，徐 磊，李田雨

(1.河海大學(xué)水利水電學(xué)院，江蘇，南京 210024；2.江西理工大學(xué)環(huán)境巖土與工程災(zāi)害控制重點實驗室，江西，贛州 341000；3.河海大學(xué)工程力學(xué)系，江蘇，南京 210024；4.滁州學(xué)院安徽省橋梁結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)診斷與智慧運維國際聯(lián)合研究中心，滁州 239099)

細(xì)聚丙烯纖維混凝土(PFRC)在土木工程中運用廣泛。細(xì)聚丙烯纖維能夠預(yù)防、減少澆筑期裂縫的萌發(fā)與擴展。在混凝土抗火方面，細(xì)聚丙烯纖維的添加能夠有效抑制孔隙壓力的形成，防止高溫爆裂現(xiàn)象發(fā)生。然而，在介觀尺度上(介于宏觀與細(xì)觀之間)，細(xì)纖維混凝土力學(xué)性能數(shù)值研究存在困難。

在模擬方法方面，纖維混凝土力學(xué)模型可分為宏觀均質(zhì)化[1-4]，細(xì)觀計算[5-6]以及介于前兩者之間的獨立網(wǎng)格法[7]。獨立網(wǎng)格法的基本思想是，混凝土基體離散過程與纖維分布相互獨立，依據(jù)空間關(guān)系確定纖維連接的基體單元，當(dāng)基體出現(xiàn)開裂時橋接作用力計入單元總力。此類方法既消除了纖維對基體離散過程的困擾，又能夠模擬各向異性纖維的力學(xué)作用，其中混凝土基體的方法有傳統(tǒng)有限元[7-8]、無網(wǎng)格法[9]以及本文所用的離散格構(gòu)模型[10-11]等。然而，對于直徑≤100 μm 的細(xì)纖維，由于細(xì)纖維數(shù)量過多，現(xiàn)有模型在刻畫數(shù)量過多的纖維橋接力以及纖維拔出、斷裂過程中需要巨大計算成本。

在物理現(xiàn)象方面，細(xì)與粗聚丙烯纖維對混凝土宏觀力學(xué)性能的作用差異甚大，粗纖維能夠顯著提升抗彎荷載峰值而細(xì)纖維的作用并不明顯[12]。諸多試驗發(fā)現(xiàn)，細(xì)聚丙烯纖維的添加會導(dǎo)致混凝土抗拉和抗壓強度降低[13-14]。細(xì)聚丙烯纖維體積含量在0%～0.3%時，混凝土劈拉強度呈現(xiàn)先增后減的趨勢[15]。在纖維體積含量為1%和2%時，三點彎峰值荷載分別下降7.3%和36.0%[16]?？梢?，細(xì)聚丙烯纖維對材料結(jié)構(gòu)以及力學(xué)性能的作用并不是單純的提升作用，其作用機理尚不明晰。

針對現(xiàn)有數(shù)值方法的困難和物理認(rèn)知的不足，本文在鋼纖維混凝土力學(xué)本構(gòu)[11,17]的基礎(chǔ)上，提出細(xì)纖維直徑等效概念，并對本構(gòu)做相應(yīng)改進，以實現(xiàn)細(xì)纖維(直徑≤100 μm)混凝土力學(xué)行為的模擬，并揭示細(xì)聚丙烯纖維含量對混凝土宏觀I 型斷裂強度的影響。

1 細(xì)纖維加強混凝土力學(xué)模型

1.1 離散過程

Lattice Discrete Particle Model (LDPM)是介觀尺度混凝土離散力學(xué)模型，旨在不單獨劃分骨料和砂漿單元的情況下模擬混凝土非均質(zhì)材料的破壞行為。假設(shè)骨料為球狀，在試件內(nèi)部隨機投放骨料，依據(jù)配合比確定最大和最小骨料直徑(分別為da和d0)，尺寸分布滿足Fuller 曲線分布，試件表面投放無體積節(jié)點。離散化過程見圖1。利用試件表面點和內(nèi)部骨料球心生成四面體網(wǎng)格，四面體單元的邊即為格構(gòu)單元(Lattice)。取一個四面體單元，有骨料球心Pi和單元中心點T，面中心點Fk以及邊中心點Eij為頂點(i,j,k=1,2,3,4 且i≠j≠k)，可在四面體單元中生成12 個三角形潛在開裂面(Facet)。每個Facet 局部坐標(biāo)系法向單位向量n和切向單位向量m和l。形成由Facet 包裹的多面體胞元(Cell)系統(tǒng)，每個胞元含有一個骨料和周圍砂漿。

圖1 纖維加強混凝土離散化過程Fig.1 Discretize process of fiber reinforced concrete

1.2 混凝土基體本構(gòu)

以相鄰骨料Pi和Pj之間的潛在開裂面(Facet)為例，如圖1。Facet 上應(yīng)變定義為：

式中：eN為法向應(yīng)變分量；eM和eL分別為相互正交的切向應(yīng)變分量； [[u]]為Facet 上的位移間斷；l為骨料球心間距；n、m和l分別為相互正交的法向、切向單位向量。

在Facet 上定義法向和切向應(yīng)力，其彈性的力學(xué)響應(yīng)定義為：

式中：tN為法向應(yīng)力分量；tM和tL為切向應(yīng)變分量；相應(yīng)的EN=E0和ET=αE0分別為法向和切向彈性模量，其中E0=E/(1-2ν)為等效彈性模量；α=(1-4ν)/(1+ν) 為法向和切向的耦合系數(shù)，E為彈性模量，ν為泊松比，通?；炷?α =0.25。

式中：rst=σs/σt為介觀剪切強度 σs和介觀拉伸強度 σt的比值，須注意模型中的介觀強度由校正計算確定；Df表征纖維摻加引起的基體強度上升，隨著纖維含量(Vf)增加，纖維界面吸附水分導(dǎo)致局部水灰比降低并且孔隙結(jié)構(gòu)改善[18]，砂漿強度隨之增加：

應(yīng)力峰值后的軟化階段，等效軟化模量采用指數(shù)函數(shù)形式，H0(ω)=Ht(2ω/π)nt，Ht為軟化模量，nt=0.2為軟化指數(shù)。純拉伸應(yīng)力狀態(tài)下，H0(π/2)=Ht=2E0/(lt/l-1) ，其 中：為拉伸特征長度；Gt為脆性斷裂能。純剪切情況下，有H0(0)=0。更多關(guān)于高圍壓狀態(tài)下的材料密實和孔隙塌陷行為以及壓剪狀態(tài)下的內(nèi)摩擦行為，請見文獻[17]。

Facet 總開裂寬度定義為δ =δNn+δLl+δMm，其中δN=l(eN-tN/EN) 為法向開裂寬度，δL=l(eLtL/EL) 和δM=l(eM-tM/EM)為切向開裂寬度。當(dāng)混凝土基體發(fā)生開裂時，纖維將阻礙縫面間的擴展，在LDPM 中體現(xiàn)為在潛在開裂面(Facet)上的橋接作用力(crack-bringing force)。Facet 的總應(yīng)力張量則由混凝土基體應(yīng)力張量(t)和所有相交纖維的橋接總力組成：

式中，Ak為Facet 的面積。當(dāng)Facet處于壓縮狀態(tài)或開裂寬度為0時，纖維對Facet無應(yīng)力貢獻，Pf≈0；當(dāng) δ>0 ，利用開裂寬度計算橋接作用力Pf(δ)。模型中，纖維的加入引入橋接力，同時也減少了水泥基體的粘結(jié)面積，當(dāng)纖維彈?；驈姸鹊陀谒嗷w時，纖維含量的增加會引起混凝土宏觀強度的降低，此為負(fù)作用機理。

最終，每個由Facet 構(gòu)成的多面體胞元(Cell)滿足力平衡和動量守恒，建立控制方程：

式中： FI為CellI周圍的Facet 集合；矢量c為骨料球心指向Facet 的距離；VI為CellI的體積；b為集合 FI中Facet 上的外力集合。

1.3 纖維-基體相互作用

本文以模型計算極限為依據(jù)，劃分直徑≤100 μm為細(xì)纖維。而LDPM 的Facet 為介觀尺度(>1000 μm)，因此在細(xì)纖維和基體力學(xué)模型之間存在尺度上的失配。具體反映為，體積含量為0.2%的150 mm×150 mm×150 mm 試件內(nèi)含有細(xì)聚丙烯纖維(df=50 μm，Lf=12 mm)約22.5 萬根，可見足尺寸構(gòu)件模擬的計算成本極高。因此，本節(jié)在SCHAUFFERT等[11]、SHEN 等[17]、馮君等[19]工作基礎(chǔ)上引入纖維直徑等效系數(shù)rf=/df≥1，在不影響模型精度的同時降低纖維投放數(shù)量(=Nf/rf2)，以提升模型計算效率，使其能夠模擬細(xì)纖維(df≤100 μm)加強混凝土力學(xué)行為。

假設(shè)纖維垂直于裂縫面(圖2)，纖維從混凝土基體中拔出主要分為如下階段：第一階段，纖維與基體膠結(jié)綁定，當(dāng)基體內(nèi)裂縫萌發(fā)，纖維阻礙裂縫面張開而受力，纖維與基體膠結(jié)面產(chǎn)生剪切應(yīng)力；第二階段，隨著荷載的增大，纖維和基體開始脫粘，此時為局部綁定狀態(tài)，纖維并未與基體發(fā)生較大滑移，纖維和基體間的綁定能(Gd)抵消纖維橋接力做功；第三階段，當(dāng)纖維和基體完全脫粘，纖維被橋接力牽引從砂漿中拔出，在拔出過程中纖維與基體壁面發(fā)生摩擦(初始摩擦力τf0)；最終，纖維從基體中被完全拔出，在基體中形成一個管狀裂縫。

圖2 纖維垂直拔出示意圖Fig.2 Diagram of pull-out behavior of vertical fiber

上述纖維拔出的不同階段可表現(xiàn)為橋接力隨纖維滑移(ν)變化。纖維滑移值達(dá)到臨界值(νd)時，認(rèn)為纖維與基體完全脫離(第三階段)，該臨界值定義為：

在纖維脫粘的過程中(ν<νd)，橋接力做功可分解為纖維與基體綁定能以及纖維與基體摩擦力做功：

當(dāng)纖維與砂漿完全脫粘(ν>νd)，纖維逐漸被拔出，與管道壁面發(fā)生摩擦：

圖3 傾斜纖維拔出示意圖Fig.3 Illustration of pull-out behavior of slant fiber

上述纖維橋接作用力存在的前提是纖維沒有發(fā)生斷裂。因此，須比較纖維橋接力與纖維極限承載力。當(dāng)滿足式(14)時，認(rèn)為纖維為斷裂。

式中：krup為材料參數(shù)； σuf為纖維拉伸強度。

2 試驗與模擬概況

為校正和驗證所提模型，本文開展纖維體積含量分別為0%、0.1%和0.2%細(xì)聚丙烯纖維加強混凝土的預(yù)制裂縫三點彎曲梁和立方體單軸壓縮實驗，配比和編號見表1。原材料為：42.5 級普通硅酸鹽水泥；細(xì)骨料為細(xì)度模數(shù)為2.7～3 的天然河砂；粗骨料為粒徑3 mm～20 mm 的連續(xù)級配碎石；普通自來水；聚羧酸減水劑；細(xì)聚丙烯纖維長度為12 mm，平均直徑為50 μm。立方體單軸壓縮和三點彎曲梁試件尺寸分別為150 mm×150 mm×150 mm和100 mm×100 mm×400 mm，梁預(yù)制裂縫深度40 mm，寬度2 mm。常溫澆筑，靜置24 h 后脫模，標(biāo)準(zhǔn)養(yǎng)護28 d。

表1 混凝土配比 /(kg·m-3)Table 1 Concrete mixture

圖4 為試驗裝置示意圖。立方體單軸壓縮試驗采用全自動恒應(yīng)力壓力試驗機，最大試驗力為2000 kN，加載速率為0.3 MPa/s，試件與試驗機壓板之間無潤滑處理。三點彎曲梁試驗采用電液伺服試驗機，最大試驗力為500 kN，跨中位移加載速率為0.3 mm/min。試驗過程中，立方體應(yīng)變、三點彎跨中縫口張開寬度(CMOD)等信息采用由Imetrum 公司提供的視頻應(yīng)變儀。

圖4 物理試驗與數(shù)值模擬示意圖 /mmFig.4 Illustrations for experiments and simulations

模擬中采用的數(shù)值試件尺寸、骨料尺寸、纖維尺寸和邊界條件均與物理試驗一致，如圖4 所示。計算參數(shù)由試驗數(shù)據(jù)校正確定，見表2。立方體數(shù)值模擬中，上下剛體與混凝土接觸面采用高摩擦系數(shù)(μ=0.015+0.1285/s[17])，其中s為接觸面節(jié)點滑移。三點彎曲梁試驗中，為提升計算效率，除跨中200 mm 以外部分采用線彈性有限元計算，其彈模由立方體抗壓試驗結(jié)果確定。

表2 介觀力學(xué)參數(shù)Table 2 Mesoscopic mechanical parameters

3 計算結(jié)果

3.1 模型的校準(zhǔn)與驗證

第一步，校準(zhǔn)素混凝土模型參數(shù)，見表2 左側(cè)。通過比較三點彎曲梁跨中荷載峰值以及軟化段曲線與試驗測量數(shù)據(jù)，確定混凝土介觀抗拉強度、特征長度和脆性能釋放速率，通過比較立方體單軸壓縮宏觀彈性模量和抗壓強度與試驗測量數(shù)據(jù)，確定混凝土介觀彈性模量和剪切強度。圖5和圖6 分別比較了PFRC 三點彎曲梁和立方體軸壓試驗和數(shù)值結(jié)果。圖5(a)和圖6(a)分別為混凝土基體(PFRC0)三點彎曲梁跨中荷載和CMOD 關(guān)系曲線和立方體單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線，模擬結(jié)果與試驗宏觀力學(xué)響應(yīng)吻合。

圖5 三點彎曲梁試驗與數(shù)值模擬Fig.5 Simulations of three-point bending tests

圖6 單軸壓縮試驗與數(shù)值模擬Fig.6 Simulations of uniaxial compression tests

第二步，校準(zhǔn)纖維-基體模型參數(shù)，見表2 右側(cè)。通過比較三點彎曲梁跨中荷載峰值以及軟化段曲線與試驗測量數(shù)據(jù)，確定纖維初始摩擦力。由圖5(b)可見，PFRC1 三點彎曲梁跨中荷載關(guān)于CMOD 的模擬曲線與試驗數(shù)據(jù)吻合較好。

第三步，驗證模型準(zhǔn)確性。使用表2 參數(shù)，預(yù)測PFRC2 的三點彎曲梁跨中荷載與CMOD 曲線和立方體單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線。如圖5(c)所示，無論是荷載峰值還是軟化段下降規(guī)律均與試驗測量結(jié)果較為吻合。圖5(d)為PFRC2 CMOD=0.15 mm時開裂寬度云圖以及裂縫擴展路徑，與試驗結(jié)果吻合。試驗過程觀察發(fā)現(xiàn)，斷裂面少見混凝土基體碎屑，纖維多見斷裂，少見拔出。圖6(b)和圖6(c)分別為模型預(yù)測的PFRC1 和PFRC2 的立方體單軸壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線，無論是壓縮強度還是宏觀彈性模量均與試驗測量結(jié)果吻合。圖6(d)為PFRC2單軸壓縮應(yīng)變?yōu)?.01 時開裂寬度分布云圖，以及對應(yīng)試驗中試件的破壞形態(tài)。

3.2 纖維直徑等效系數(shù)的驗證

理論上，當(dāng)纖維拔出角度與基體相對位置保持不變時，上述等效方法嚴(yán)格成立。但在實際情況中，混凝土數(shù)值試件內(nèi)骨料和纖維均隨機分布，離散后潛在開裂面(Facet)與纖維拔出角度隨機，上述等效方法不嚴(yán)格成立?；诖眢w積單元體的思想，當(dāng)纖維數(shù)量高于某一個數(shù)量級時，隨機分布且各向異性纖維橋接作用力對混凝土宏觀力學(xué)性能的作用是近似的，即統(tǒng)計學(xué)層面的等效。因此，本節(jié)首先對等效方法的正確性和相關(guān)限制條件進行研究和討論。

以df=0.1 mm，Lf=12 mm，Vf=0.2%為例，rf分別取1、2、5、10、20 和40，其余計算參數(shù)見表2。采用完全相同的混凝土數(shù)值試件和模擬參數(shù)，僅將纖維方向隨機生成。如圖7 為rf=1、10和20 斷裂區(qū)域纖維分布，隨著rf逐漸增大，纖維數(shù)量減少。在rf≤10 時，跨中荷載與CMOD 曲線基本重合，等效方法成立。而在rf>10 時，跨中荷載與CMOD 曲線在峰值處分離，并在軟化段出現(xiàn)顯著偏差，說明此時rf過大，纖維數(shù)量無法保證統(tǒng)計學(xué)層面的等效結(jié)果?？梢姡瑀f=10 為一個合理數(shù)值，此時纖維數(shù)量可減少100 倍。rf取10 可在保證計算結(jié)果與實際相同的情況下，大幅提升計算效率，為結(jié)構(gòu)層面的模擬創(chuàng)造了可能性。

圖7 纖維等效系數(shù)驗證Fig.7 Validations of equivalent coefficient of fiber diameter

3.3 纖維含量的影響

本文以及前人的試驗結(jié)果均表明，細(xì)纖維含量增加會引起混凝土的I 型斷裂強度先升后降現(xiàn)象，而此前模型[8,11,17]均無法刻畫該現(xiàn)象。對此，模型在式(6)中引入細(xì)纖維親水導(dǎo)致局部水灰比提升引起的基體強度上升，式(7)引入纖維夾雜引起的對Facet 基體有效粘結(jié)面積的減小，即Facet 面積 (Ak)分為多根纖維的總面積和混凝土膠結(jié)面積。細(xì)纖維添加導(dǎo)致混凝土材料結(jié)構(gòu)發(fā)生改變，相應(yīng)地對宏觀力學(xué)行為造成兩種截然不同的影響：其一是正效應(yīng)，即局部基體水灰比增加引起的強度增加和纖維橋接力作用；其二是負(fù)效應(yīng)，即隨著纖維含量的增加，F(xiàn)acet 中混凝土粘結(jié)面積減少，導(dǎo)致力學(xué)性能下降。鋼纖維的添加對混凝土抗拉強度有顯著提升[17]，說明正效應(yīng)占據(jù)主導(dǎo)地位。

圖8 為三點彎跨中荷載峰值隨Vf的變化規(guī)律。其中，采用本文表2 介觀參數(shù)時(τ0=0.01 MPa)，Vf的增加無法提升混凝土抗拉性能。當(dāng)τ0=0.1 MPa和τ0=0.5 MPa 時，混凝土在Vf分別為0.1%和0.2%處發(fā)生正、負(fù)效應(yīng)主導(dǎo)地位轉(zhuǎn)換。可見，隨著纖維與基體初始摩擦力(τ0)的提升，從I 型斷裂強度的角度，細(xì)纖維的最佳體積含量也隨之增加。

圖8 纖維含量與荷載峰值關(guān)系Fig.8 Relation between fiber dosage and load peak

圖8 比較了模型預(yù)測結(jié)果與和實驗結(jié)果。本文實驗結(jié)果表明：細(xì)聚丙烯纖維體積含量為0.1%和0.2%時，添加纖維導(dǎo)致試件三點彎跨中荷載峰值下降，說明負(fù)效應(yīng)占據(jù)主導(dǎo)地位。GUO 等[15]試驗結(jié)果表面，混凝土的劈拉強度隨纖維含量(Vf=0.12%、0.17%和0.22%)呈現(xiàn)先增后減的趨勢，相對變化值為+3.3%、+1.7%和-13.3%。BENCARDINO等[16]測得三點彎曲梁峰值荷載隨纖維含量(Vf=1%和2%)增加而分別變化-7.3%和-36.5%。

4 結(jié)論

本文通過定義纖維等效系數(shù)(rf)，提出細(xì)聚丙烯纖維(直徑≤100 μm)介觀離散力學(xué)模型，能夠模擬纖維隨機分布、纖維含量、纖維長度的宏觀力學(xué)性能的影響，并闡明I 型斷裂強度隨纖維含量先增后減的力學(xué)機理。研究結(jié)果表明：

(1) 纖維數(shù)量隨rf增大而呈平方倍減少，計算效率顯著上升。但由于纖維分布的隨機性和混凝土基體的非均質(zhì)性，rf過大導(dǎo)致計算精度降低，建議取rf≤10。

(2) 細(xì)PP 纖維微親水性提升基體局部水灰比為強度正效應(yīng)，纖維橋接力強度貢獻低于砂漿的強度負(fù)效應(yīng)。當(dāng)纖維微量添加時，細(xì)PP 纖維微親水性提升基體局部水灰比，使基體強度上升，此時正效應(yīng)高于負(fù)效應(yīng)；隨著纖維含量增加，由于纖維橋接力貢獻無法補償相應(yīng)面積基體強度，強度隨負(fù)效應(yīng)持續(xù)增長而呈減小趨勢。