讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在真實(shí)情境中發(fā)生
——以蘇科版數(shù)學(xué)教材八（上）“平面直角坐標(biāo)系”單元教學(xué)為例

■唐 莉

一、教材、學(xué)情分析

平面直角坐標(biāo)系的建立，使平面上的點(diǎn)和有序?qū)崝?shù)對(duì)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，是后續(xù)研究函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)與方程、不等式關(guān)系的基礎(chǔ)。學(xué)生學(xué)過(guò)數(shù)軸，知道直線上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)“用數(shù)對(duì)表示具體情境中物體的位置”有一定的了解，但從一維到二維，本章內(nèi)容對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力、數(shù)學(xué)表達(dá)能力、研究方法的遷移能力有較高要求，需要教師進(jìn)行適時(shí)引導(dǎo)。

二、教學(xué)目標(biāo)

經(jīng)歷從具體實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)模型——平面直角坐標(biāo)系的過(guò)程，理解建立平面直角坐標(biāo)系的必要性，促進(jìn)抽象思維和數(shù)學(xué)高階思維的發(fā)展，培養(yǎng)合作意識(shí)、問(wèn)題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，進(jìn)一步體會(huì)類(lèi)比、數(shù)形結(jié)合等思想。

三、教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解平面直角坐標(biāo)系及其相關(guān)概念，體會(huì)平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)與坐標(biāo)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；難點(diǎn)：理解建立平面直角坐標(biāo)系的必要性。

四、教學(xué)片段

1.新課引入

首先，請(qǐng)學(xué)生觀看視頻。視頻中，機(jī)械手將一件件元器件準(zhǔn)確送入芯片的相應(yīng)位置。

師：工程師是如何向機(jī)械手下達(dá)命令的呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生將芯片抽象成一個(gè)長(zhǎng)方形，將元器件的位置抽象成一個(gè)點(diǎn)。這個(gè)實(shí)際問(wèn)題就可以抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題：如何描述點(diǎn)P在長(zhǎng)方形OBCD中的位置？如圖1。

圖1

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)視頻，創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，說(shuō)明建立平面直角坐標(biāo)系的必要性、合理性；將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)如何用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，發(fā)展學(xué)生的抽象能力。

2.建立模型，形成概念

問(wèn)題1 如何描述點(diǎn)P在長(zhǎng)方形OBCD中的位置呢？

學(xué)生先獨(dú)立思考，再組內(nèi)交流。教師隨機(jī)抽選一名學(xué)生上臺(tái)展示，其他學(xué)生可隨時(shí)提問(wèn)。

生：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OD，量出PM的長(zhǎng)度就可以確定點(diǎn)P的位置。

師：大家同意嗎？

生：我們小組不同意。到OM的距離為此長(zhǎng)度的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)，所以只有這一個(gè)數(shù)值不能確定點(diǎn)P的位置?？梢赃^(guò)點(diǎn)P作PM⊥OD，PN⊥OB，如圖2，量出PM、PN的長(zhǎng)，由這兩個(gè)數(shù)值就可以確定點(diǎn)P的位置。

圖2

師：大家還有其他方法嗎？

生：我們小組受方向角的啟發(fā)，認(rèn)為連接OP，再量出∠BOP的度數(shù)，如圖3，由OP的長(zhǎng)度和∠BOP的度數(shù)這兩個(gè)數(shù)值就可以確定點(diǎn)P的位置。

圖3

師：只有點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離，可以確定點(diǎn)P的位置嗎？只有∠BOP的度數(shù)，可以確定點(diǎn)P的位置嗎？

學(xué)生通過(guò)討論發(fā)現(xiàn)：只用一個(gè)數(shù)值無(wú)法確定點(diǎn)P在長(zhǎng)方形OBCD中的位置，要確定點(diǎn)P在長(zhǎng)方形OBCD中的位置，至少需要兩個(gè)數(shù)值。

問(wèn)題2 生活中有許多需要兩個(gè)數(shù)值確定物體位置的例子，你能列舉一些嗎？

學(xué)生舉例。教師引導(dǎo)學(xué)生分析所舉事例，類(lèi)比數(shù)軸上確定直線上的點(diǎn)的方法，給出有序數(shù)對(duì)的概念。

問(wèn)題3 如果點(diǎn)Q在直線OD的左邊，如何描述點(diǎn)Q的位置？

學(xué)生形成認(rèn)知沖突，教師引導(dǎo)學(xué)生用有序數(shù)對(duì)描述點(diǎn)Q的位置。

問(wèn)題4 如何確定平面內(nèi)點(diǎn)P的位置？

教師引導(dǎo)學(xué)生探究如何才能更方便、快捷、容易統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)地表示平面內(nèi)點(diǎn)的位置，自然地構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系的概念。此過(guò)程中可以滲透數(shù)學(xué)史相關(guān)內(nèi)容的介紹。

【設(shè)計(jì)意圖】以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的方式，引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)確定點(diǎn)P在長(zhǎng)方形OBCD中的位置需要兩個(gè)數(shù)值，感受有序數(shù)對(duì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，類(lèi)比數(shù)軸上確定直線上的點(diǎn)的方法，結(jié)合對(duì)有序數(shù)對(duì)的認(rèn)識(shí)，構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系。學(xué)生面對(duì)復(fù)雜問(wèn)題能主動(dòng)簡(jiǎn)化或調(diào)取已有的研究經(jīng)驗(yàn)，并從已有經(jīng)驗(yàn)中獲取有價(jià)值的信息，提升了分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，發(fā)展了數(shù)學(xué)思維。

3.類(lèi)比學(xué)習(xí)，探究新知

教師引導(dǎo)學(xué)生描述平面直角坐標(biāo)系，深刻理解平面直角坐標(biāo)系的含義。水平的數(shù)軸稱(chēng)為x軸或橫軸，一般取向右方向?yàn)檎较颍回Q直的數(shù)軸稱(chēng)為y軸或縱軸，一般取向上方向?yàn)檎较颉勺鴺?biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，記為點(diǎn)O。

問(wèn)題5 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，你能表示點(diǎn)E的位置嗎？

圖4

師生共同完成“由點(diǎn)寫(xiě)坐標(biāo)”任務(wù)。

師：已知有序數(shù)對(duì)（3，2），你能畫(huà)出它表示的點(diǎn)的位置嗎？

師追問(wèn)：你能表示點(diǎn)B、C、D的坐標(biāo)嗎？

練一練：在平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出下列各點(diǎn)：F（-3，2）、G（-3，-2）、H（3，-2）。

問(wèn)題6 類(lèi)似于數(shù)軸上點(diǎn)與坐標(biāo)的關(guān)系，坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)又有什么關(guān)系呢？

【設(shè)計(jì)意圖】以上環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了兩個(gè)活動(dòng)：由點(diǎn)寫(xiě)坐標(biāo)，由坐標(biāo)描點(diǎn)。旨在通過(guò)作圖，加深學(xué)生對(duì)點(diǎn)與坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)的理解，讓學(xué)生從已有認(rèn)知——數(shù)軸與實(shí)數(shù)的關(guān)系，聯(lián)想到坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)的關(guān)系，降低教學(xué)難度，突出教學(xué)重點(diǎn)，促進(jìn)知識(shí)的有效遷移。

4.觀察發(fā)現(xiàn)，拓展延伸

問(wèn)題7 觀察以上平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出的點(diǎn)，你有哪些發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征、平移點(diǎn)的坐標(biāo)特征、對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)特征、坐標(biāo)與距離的關(guān)系，甚至還能發(fā)現(xiàn)G、O、E、C四點(diǎn)在同一條直線上，E、F、G、H四點(diǎn)共圓。隨后，教師幫助學(xué)生建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)不僅具有定位功能，還能刻畫(huà)圖形的位置、大小和形狀特征。

問(wèn)題8 現(xiàn)在你知道工程師是如何向機(jī)械手下達(dá)命令的吧？

生：工程師在長(zhǎng)方形芯片中建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，編輯程序，輸入元器件所在位置的點(diǎn)的坐標(biāo)，機(jī)械手就可以通過(guò)坐標(biāo)找到位置。

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生通過(guò)開(kāi)放性問(wèn)題，了解了知識(shí)的來(lái)龍去脈，進(jìn)而構(gòu)建知識(shí)體系，培養(yǎng)了系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化思維，同時(shí)體會(huì)到在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)不僅具有定位功能，還能刻畫(huà)圖形的大小和形狀特征。問(wèn)題8 旨在解決課堂一開(kāi)始提出的問(wèn)題，讓學(xué)生再次感受數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活。

5.反思小結(jié)，知識(shí)展望

問(wèn)題9 我們這節(jié)課學(xué)了什么？為什么學(xué)呢？以后我們還要學(xué)什么？

【設(shè)計(jì)意圖】用大觀念、大問(wèn)題、大任務(wù)來(lái)組織學(xué)生的單元學(xué)習(xí)。教師通過(guò)小結(jié)，幫助學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，回顧平面直角坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)過(guò)程，體會(huì)類(lèi)比、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，感受建立平面直角坐標(biāo)系的必要性和應(yīng)用價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生對(duì)平面直角坐標(biāo)系的進(jìn)一步研究，讓學(xué)生的思維從一維空間，到二維空間，再到三維空間，不斷發(fā)展。課堂結(jié)束后，教師可布置一道項(xiàng)目化作業(yè)供學(xué)生探究。

五、教學(xué)反思

本節(jié)課旨在讓學(xué)生從整體和內(nèi)部規(guī)律上系統(tǒng)掌握平面直角坐標(biāo)系的知識(shí)，再現(xiàn)“如何想到用平面直角坐標(biāo)系來(lái)描述物體（點(diǎn)）的位置”，即平面直角坐標(biāo)系的生成過(guò)程。

在此過(guò)程中，筆者通過(guò)合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助學(xué)生用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。課堂開(kāi)始，筆者利用視頻創(chuàng)設(shè)真實(shí)問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，讓學(xué)生體會(huì)新知識(shí)是根據(jù)生活需要而產(chǎn)生的，從而說(shuō)明建立平面直角坐標(biāo)系的必要性以及合理性；隨后，設(shè)置任務(wù)來(lái)驅(qū)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)，設(shè)計(jì)問(wèn)題來(lái)啟迪學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考、合作探究，探索發(fā)現(xiàn)確定點(diǎn)P在長(zhǎng)方形OBCD中的位置需要兩個(gè)數(shù)值，這樣的探究就顯得很自然。為避免“類(lèi)似于數(shù)軸確定直線上點(diǎn)的位置，能不能找到一種方法確定平面內(nèi)的點(diǎn)的位置”這類(lèi)問(wèn)題帶來(lái)的突兀感，筆者滲透了類(lèi)比思想，讓學(xué)生構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系的生長(zhǎng)過(guò)程。學(xué)生在對(duì)問(wèn)題深入、持續(xù)的探索過(guò)程中，培養(yǎng)了高階思維能力，實(shí)現(xiàn)了深度學(xué)習(xí)。