巧設(shè)Δ用微元思想解決物理問題*

徐清洪 楊 冰

(重慶市第八中學(xué)校 重慶 401120)

1 引言

微元法指將研究過程劃分成多個微小單元,微小單元依然遵循物理基本規(guī)律,當(dāng)對時間、位移、轉(zhuǎn)角等物理量取微小單元時,部分相關(guān)物理量在微小單元內(nèi)不會發(fā)生明顯變化,可以將其處理成定量[1].由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的階段性,很多需要應(yīng)用到高等數(shù)學(xué)中微積分知識求解的物理問題成為高中階段的學(xué)生最大的“難題”.但是,如果通過“微元法”把研究對象劃分為無窮多個小部分,化變力為恒力,化曲線為直線,再從局部到整體就可以很好地解決學(xué)生的困難.下面我們列舉了高中階段3種類型問題,共同特點是采用微元法巧妙設(shè)置Δl、ΔT、Δθ,輕松地避開了繁雜的運(yùn)算過程.

2 問題1:連接體加速度問題

【例1】如圖1所示,將質(zhì)量為 2m 的重物懸掛在輕繩的一端,輕繩的另一端系一質(zhì)量為 m 的小環(huán),小環(huán)套在豎直固定的光滑直桿上,光滑定滑輪與直桿的距離為 d.現(xiàn)將小環(huán)從與定滑輪等高的 O 處由靜止釋放,A 處在 O 處正下方距離為 d 處,則下列說法正確的是 ( )

圖1 例1題圖

A.小環(huán)剛釋放時輕繩中的張力一定大于 2mg

C.小環(huán)下降速度最大時,輕繩中的張力一定等于 2mg

D.小環(huán)從O處開始能夠下降的最大高度為 4d

解法1：定量計算

判斷選項C正誤方法如下.

本題的難點在選項C判斷,部分學(xué)生會根據(jù)速度關(guān)聯(lián)得出小環(huán)速度最大時重物速度也最大,重物加速度為零,張力與重物重力平衡,為解決該疑惑,可設(shè)細(xì)線與桿之間夾角為θ,由關(guān)聯(lián)速度可知

v環(huán)cosθ=v物

上式兩邊對t求導(dǎo)

解法2：微元法

取環(huán)速度達(dá)到最大時附近一小段運(yùn)動ABC,將其平均分為兩段,每段長為Δl,由于時間非常短這一小段運(yùn)動可以近似處理成勻速運(yùn)動,如圖2所示.AB段運(yùn)動使定滑輪左側(cè)細(xì)線長度改變量Δx1=Δlcosθ1,BC段運(yùn)動細(xì)線長度改變量Δx2=Δlcosθ2,由于θ1>θ2,有Δx2>Δx1,在小環(huán)勻速從A到B到C過程中,細(xì)線長度改變越來越快,物件在加速上升.

圖2 例1分析圖

據(jù)以上分析判斷結(jié)論為:小環(huán)速度最大時,小環(huán)加速度為零,而重物在加速上升,細(xì)線拉力大于2mg.

2 問題2:判斷液柱移動方向

【例2】兩個容器A、B用截面均勻的水平玻璃管相通,如圖3所示,A、B中所裝氣體溫度分別為10 ℃和20 ℃,水銀柱在管中央平衡,如果兩邊溫度都升高10 ℃,則水銀柱將( )

圖3 例2題圖

A.向左移動B.向右移動

C.不動D.無法確定

解法1：定量計算

假設(shè)溫度升高過程氣體體積不變,為等容變化,壓強(qiáng)與溫度成正比,有

pA=kATApB=kBTB

分析初始狀態(tài)有pA0=pB0,TA0kB,當(dāng)兩邊氣體同時升高10 ℃,壓強(qiáng)變化Δp=kΔT,所以有ΔpA>ΔpB,經(jīng)升溫后,末狀態(tài)A壓強(qiáng)大于B壓強(qiáng),力學(xué)平衡被打破,液柱向B端移動.

解法2：微元法

初始狀態(tài),水銀柱在管中平衡左右兩邊氣態(tài)壓強(qiáng)相同均為p0,控制氣體體積不變,將氣體處理成理想氣體,p-T圖為過原點直線,如圖4所示.初始態(tài)左右氣體壓強(qiáng)一樣大,A溫度低于B溫度,A斜率大.兩邊都升高相同溫度,在圖像上以初始溫度值TA0、TB0為起點取相同溫度增量ΔT,A、B壓強(qiáng)增量關(guān)系為ΔpA>ΔpB,平衡打破,液柱向B側(cè)移動.

圖4 例2分析圖

3 問題3：2022年山東高考理綜卷第12題

圖5 例3題圖

判斷選項C、D的方法如下.

解法1：定量計算

圖6 例3分析圖

其中

對ε隨夾角變化函數(shù)式求導(dǎo)

其中θ=ωt.

解法2：微元法

從θ=0到θ=45°過程中,將線框旋入磁場過程均分成很多連續(xù)相等小段Δθ,由于線框勻速轉(zhuǎn)動,Δθ對應(yīng)時間均為Δt,如圖7所示,取其中第n、n+1、n+2小段旋轉(zhuǎn)運(yùn)動為例.

圖7 微元法分析圖

4 結(jié)束語

連接體加速度關(guān)聯(lián)問題、判斷液柱移動方向、判斷感應(yīng)電動勢變化率變化情況,是高中學(xué)生學(xué)習(xí)過程中不可避免的幾個重點難題,本文在運(yùn)動及變化過程中設(shè)置Δl、ΔT、Δθ,運(yùn)用了微元法的思想,結(jié)合物理圖例圖像解決問題,巧妙、合理地避開了繁雜的運(yùn)算過程,培養(yǎng)了學(xué)生物理科學(xué)思維的同時,提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力.