一種奇異值分解與子空間加權(quán)聯(lián)合的改進(jìn)MUSIC 算法*

石依山，尚 尚，喬鐵柱，劉 強(qiáng)，祝 健

（江蘇科技大學(xué)海洋學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003）

0 引言

作為雷達(dá)信號(hào)處理的重要分支，波達(dá)方向（DOA）估計(jì)在近年得到了迅速的發(fā)展［1］，并廣泛應(yīng)用于軍事、醫(yī)學(xué)、通信等領(lǐng)域［2-3］。近些年來(lái)，超分辨算法逐漸成為主流，其中，最廣為人知的是Schmidt 等人在1979 年提出的多重信號(hào)分類（MUSIC）算法［4］。

MUSIC 算法的提出推動(dòng)了超分辨算法的高速發(fā)展。在實(shí)際應(yīng)用中，由于通信環(huán)境錯(cuò)綜復(fù)雜，經(jīng)常存在接收端收到的噪聲幅度較大導(dǎo)致信噪比較低或者快拍數(shù)不足的情況，此時(shí)傳統(tǒng)算法的分辨率會(huì)有所降低。當(dāng)存在2 個(gè)到達(dá)角相近的信源時(shí)，兩者的譜峰會(huì)逐漸相互融合，以至于無(wú)法分辨出2 個(gè)目標(biāo)的來(lái)波方向［5］。一些學(xué)者針對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了改進(jìn)。文獻(xiàn)［6］通過(guò)對(duì)傳統(tǒng)算法中的譜函數(shù)求導(dǎo)二次之后能在原始波達(dá)方向上生成負(fù)峰值的特點(diǎn)，利用搜索二階導(dǎo)數(shù)的最小值確定來(lái)波方向，而當(dāng)原譜函數(shù)圖像并不具有準(zhǔn)確的凹凸性時(shí)，算法的性能失效。文獻(xiàn)［7］將智能優(yōu)化算法與DOA 估計(jì)算法相結(jié)合，在可以估計(jì)到多個(gè)目標(biāo)的同時(shí)降低了搜索時(shí)間，但對(duì)鄰近目標(biāo)的分辨率不高。文獻(xiàn)［8-9］將優(yōu)化的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)運(yùn)用到DOA 估計(jì)中，具有很高的估計(jì)精度，但實(shí)時(shí)性有所欠缺。

本文針對(duì)低信噪比、小快拍數(shù)情況下傳統(tǒng)MUSIC 算法估計(jì)性能失效這一問(wèn)題，提出了一種將最大利用互協(xié)方差信息構(gòu)建矩陣并進(jìn)行奇異值分解和對(duì)改進(jìn)的子空間進(jìn)行加權(quán)處理相結(jié)合的改進(jìn)MUSIC 算法。相比于常規(guī)DOA 估計(jì)算法，該算法在基本不提升計(jì)算復(fù)雜度的基礎(chǔ)上，在低信噪比以及小快拍數(shù)的條件下對(duì)靠近的目標(biāo)具有較高的分辨概率，在陣元數(shù)較少的情況下相較于傳統(tǒng)算法分辨概率也有很大提升，具有較高的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用價(jià)值。

1 陣列信號(hào)與經(jīng)典MUSIC 算法

1.1 一般陣列數(shù)學(xué)模型

設(shè)接收陣列由N個(gè)陣元組成，其陣元間距為d，有M(M

式中，A（θ）為N×M維接收陣列流形：

式中，a(θi)為第i個(gè)信號(hào)的方向矢量：

M個(gè)入射信號(hào)的接收矢量為：

N個(gè)陣元接收到的高斯白噪聲矩陣為：

式中，ni(t)為第i個(gè)陣元接收到的噪聲，其方差為。

1.2 經(jīng)典MUSIC 算法

傳統(tǒng)MUSIC 算法根據(jù)N個(gè)接收信號(hào)X(t)計(jì)算得到協(xié)方差矩陣，并將其劃分成2 個(gè)空間：

在理想條件下，信號(hào)子空間與噪聲子空間相互正交，即信號(hào)子空間中的導(dǎo)向矢量與噪聲子空間正交，則有下式成立：

由上述的正交關(guān)系，可以得到MUSIC 算法的空間譜函數(shù)：

2 改進(jìn)MUSIC 算法

本文提出一種奇異值分解與子空間加權(quán)聯(lián)合的改進(jìn)MUSIC 算法，該算法分為2 個(gè)部分，第一部分對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行處理，最大程度利用互相關(guān)信息構(gòu)建新的矩陣并利用奇異值分解得到信號(hào)子空間和噪聲子空間；第二部分充分利用信號(hào)特征值和噪聲特征值中所包含的信息，分別對(duì)信號(hào)子空間和噪聲子空間進(jìn)行改進(jìn)，最終得到一種分辨率高且抗干擾能力強(qiáng)的空間譜估計(jì)算法。

2.1 奇異值分解方法

本部分對(duì)接收數(shù)據(jù)矩陣進(jìn)行處理，并提出了最大程度利用互協(xié)方差矩陣的信息構(gòu)建新的協(xié)方差矩陣的方法，用以增強(qiáng)改進(jìn)算法對(duì)噪聲的抗干擾性，進(jìn)而提升算法的分辨率。

首先，對(duì)接收信號(hào)進(jìn)行如下處理：

式中，Y(t)為處理后的接收信號(hào)，X*(t)為X(t)的復(fù)共軛矩陣，Z為交換矩陣，其副對(duì)角線為1，其他元素均為0，ZHZ=1；

計(jì)算X(t)、Y(t)的自相關(guān)函數(shù)以及兩者的互相關(guān)函數(shù)如下：

為了充分利用互相關(guān)信息，這里借鑒前后向平滑（FBSS）技術(shù)構(gòu)建新的矩陣：

如此構(gòu)成新的矩陣，充分包含了接收信號(hào)的自相關(guān)信息和互相關(guān)信息，對(duì)其進(jìn)行分解得到的子空間受噪聲的破壞更小，更加貼合真實(shí)值。

2.2 改進(jìn)的子空間加權(quán)算法

式中，vi(i=1，2，…，N)為分解得到的特征向量，它們組成了信號(hào)子空間與噪聲子空間。

其中信號(hào)子空間為：

噪聲子空間為：

2.2.1 噪聲子空間加權(quán)

考慮到噪聲特征值未被完全利用這一問(wèn)題，在信息論準(zhǔn)則能正確估計(jì)出信源個(gè)數(shù)的前提下，從大量實(shí)驗(yàn)中，可以得到噪聲特征值的最大值與最小值之比ξ應(yīng)滿足1<ξ≤2 這一特點(diǎn)［10］，這里取ξ=2。由于信噪比降低和快拍數(shù)的不足，噪聲特征值波動(dòng)較大，現(xiàn)對(duì)噪聲子空間做如下改進(jìn)：

1）構(gòu)建噪聲子空間加權(quán)系數(shù)：

式中，λi為奇異值分解得到的噪聲特征值，α為校正系數(shù)。

2）取得噪聲特征值的最大值λK+1和最小值λM，若λK+1/λM<2，則校正系數(shù)α為0。

否 則 將=λK+1/(λK+1+α) 和=λM/(λM+α)替換式（24）中的λK+1和λM，求出滿足不等式的校正系數(shù)α。

3）得到校正系數(shù)α后，噪聲子空間就可以改進(jìn)為：

式中，vK+1，vK+2，…，vM為噪聲特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，為改進(jìn)后的噪聲特征值。

如此改進(jìn)的原理是：將噪聲子空間的特征向量進(jìn)行噪聲特征值加權(quán)處理，提高了噪聲特征值中所含信息量的利用率，并且在噪聲特征值被惡劣信號(hào)環(huán)境所破壞的情況下，也可以通過(guò)校正值α約束破壞程度，同時(shí)α對(duì)信號(hào)特征值沒(méi)有影響，從而確保信源估計(jì)不受影響。

于是有：

進(jìn)而可以得到新的空間譜函數(shù)如下：

2.2.2 信號(hào)子空間加權(quán)

通過(guò)文獻(xiàn)［11］得知，在信噪比較低、快拍數(shù)不足的條件下，由分解接收矩陣獲得的信號(hào)子空間所受信噪比起伏的干擾相對(duì)較小。傳統(tǒng)的MUSIC 算法中，信號(hào)子空間信息未被利用，這里引入加權(quán)信號(hào)子空間投影（WSP）算法，該方法對(duì)通過(guò)特征值分解得到的信號(hào)特征值進(jìn)行取倒數(shù)處理，作為信號(hào)子空間的加權(quán)系數(shù)：

將式（24）與式（25）結(jié)合，可以有效減少噪聲對(duì)算法的干擾。

最終，改進(jìn)后的算法空間譜函數(shù)為：

通過(guò)對(duì)式（26）進(jìn)行譜峰搜索，即可在對(duì)應(yīng)目標(biāo)方向位置獲得對(duì)應(yīng)譜峰。

3 仿真及分析

為了分析本文提出的改進(jìn)算法分辨性能，采用實(shí)際應(yīng)用中常見(jiàn)的由8 個(gè)陣元組成的均勻線陣進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。仿真實(shí)驗(yàn)中，陣元間距d=λi/2，接收到的噪聲為0 均值的高斯白噪聲。

3.1 驗(yàn)證算法的分辨能力

假設(shè)2 個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)，分別從2°和-2°的方向射向接收陣列，選取經(jīng)典MUSIC 算法、MMUSIC 算法［12］和本文的改進(jìn)算法進(jìn)行比較。在信噪比SNR=0 dB、快拍數(shù)等于1 024 時(shí)，3 種算法對(duì)鄰近目標(biāo)的分辨能力如圖1 所示。當(dāng)信噪比SNR=10 dB、快拍數(shù)為112 時(shí)，3 種算法對(duì)鄰近目標(biāo)的分辨能力如圖2 所示。信噪比SNR=0 dB、快拍數(shù)等于112 的條件下，3 種算法對(duì)鄰近目標(biāo)的分辨能力如圖3 所示。

圖1 信噪比為0 dB 時(shí)的DOA 估計(jì)結(jié)果

圖2 快拍數(shù)為112 時(shí)的DOA 估計(jì)結(jié)果

圖3 信噪比為0 dB 且快拍數(shù)為112 時(shí)的估計(jì)結(jié)果

由圖1-2 可以看出，無(wú)論是低信噪比還是快拍數(shù)不足的非理想條件下，傳統(tǒng)MUSIC 算法與MMUSIC算法都無(wú)法對(duì)鄰近目標(biāo)進(jìn)行分辨，本文的改進(jìn)算法在2 個(gè)方向之間出現(xiàn)明顯的凹陷，成功分辨了兩相鄰目標(biāo)。由圖3 可以看出，經(jīng)典MUSIC 算法以及MMUSIC 算法在非理想條件下，來(lái)波方向處2 個(gè)目標(biāo)的譜峰已經(jīng)融合，完全喪失了分辨能力，而本文的改進(jìn)算法仍可以分辨2 個(gè)目標(biāo)，證明了該算法在強(qiáng)干擾且快拍數(shù)不足的條件下仍然具有對(duì)相鄰目標(biāo)的分辨性能。

3.2 低信噪對(duì)分辨性能的影響

在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用場(chǎng)景中，由于噪聲的干擾，接收信號(hào)的信噪比不夠理想，進(jìn)而導(dǎo)致DOA 估計(jì)算法的分辨性能受到影響。假設(shè)2 個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)，分別從2°和-3°的方向射向接收陣列，快拍數(shù)為112，信噪比從-4 dB 到8 dB 以每次2 dB 增長(zhǎng)，將本文的改進(jìn)算法與經(jīng)典MUSIC 算法相對(duì)比，進(jìn)行200 次Monte Carlo 實(shí)驗(yàn)，得到的分辨概率結(jié)果如圖4 所示，具體數(shù)值如表1所示。

表1 信噪比變化時(shí)的分辨概率

圖4 不同信噪比下改進(jìn)算法和傳統(tǒng)MUSIC 算法的分辨概率比較

如圖4 所示，在信噪比較低的條件下，傳統(tǒng)MUSIC 算法完全喪失分辨性能，伴隨信噪比的提升，本文改進(jìn)算法的分辨概率迅速增加，分辨性能遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)算法，在信噪比為2 dB 時(shí)，傳統(tǒng)MUSIC 算法還無(wú)法分辨目標(biāo)，而改進(jìn)算法仍然對(duì)目標(biāo)有較高的分辨率。

3.3 快拍數(shù)對(duì)分辨性能的影響

在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用場(chǎng)景中，常會(huì)出現(xiàn)采樣次數(shù)不足、快拍數(shù)較小的情況。假設(shè)2 個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)，分別從2°和-3°的方向射向接收陣列，信噪比為10 dB，快拍數(shù)從16 到112 每次以16 為間隔進(jìn)行增長(zhǎng)，將本文的改進(jìn)算法與傳統(tǒng)MUSIC 算法相對(duì)比，進(jìn)行200 次Monte Carlo 實(shí)驗(yàn)，得到的分辨概率結(jié)果如圖5 所示，具體數(shù)值如表2 所示。

表2 快拍數(shù)變化時(shí)的分辨概率

圖5 不同快拍數(shù)下改進(jìn)算法和傳統(tǒng)MUSIC 算法的分辨概率比較

由圖5 可以看出，伴隨快拍數(shù)的增大，DOA 估計(jì)算法的分辨概率也隨之提高。由表2 可得，傳統(tǒng)MUSIC 算法在快拍數(shù)為96 時(shí)具有92%的分辨率，而本文的改進(jìn)算法在快拍數(shù)為48 時(shí)，其分辨率可達(dá)到90%，改進(jìn)的算法相較于經(jīng)典MUSIC 算法的快拍門限降低了48。

3.4 陣元數(shù)對(duì)分辨性能的影響

作為陣列信號(hào)處理的基本組成單元，陣元數(shù)量對(duì)DOA 估計(jì)的結(jié)果起到?jīng)Q定性作用，它決定了陣列的接收能力和靈敏度。假設(shè)2 個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)窄帶信號(hào)，分別從2°和-3°的方向射向接收陣列，信噪比為5 dB，快拍數(shù)為100，陣元數(shù)從4 到10 依次增長(zhǎng)，將本文的改進(jìn)算法與傳統(tǒng)MUSIC 算法相對(duì)比，進(jìn)行200 次Monte Carlo實(shí)驗(yàn)，得到的分辨概率結(jié)果如圖6 所示，具體數(shù)值如表3 所示。

表3 陣元數(shù)變化時(shí)的分辨概率

圖6 不同陣元數(shù)下改進(jìn)算法和傳統(tǒng)MUSIC 算法的分辨概率比較

由圖6 和表3 可以看出，陣元的數(shù)量對(duì)算法分辨率起著重要影響。陣元數(shù)由8 變?yōu)? 時(shí)，經(jīng)典MUSIC算法的分辨率發(fā)生了跳躍式的提升，而改進(jìn)算法在陣元數(shù)由4 變?yōu)? 時(shí)分辨率就取得了巨大提升，并在6 陣元時(shí)已經(jīng)具備較高的分辨概率。

4 結(jié)束語(yǔ)

為了有效克服在低信噪比和小快拍數(shù)等的作用下，傳統(tǒng)MUSIC 算法分辨率急劇下降的問(wèn)題，本文給出了一種基于改進(jìn)的協(xié)方差矩陣實(shí)現(xiàn)奇異值分解，并對(duì)子空間進(jìn)行了加權(quán)的優(yōu)化MUSIC 算法。該算法充分利用了接收信號(hào)的互協(xié)方差信息，構(gòu)建新的協(xié)方差矩陣，并通過(guò)奇異值分解得到修正后的特征值和特征向量空間，然后通過(guò)判斷噪聲特征值中最大值與最小值之比計(jì)算對(duì)應(yīng)的加權(quán)系數(shù)，并對(duì)噪聲子空間進(jìn)行改進(jìn)；隨后引用信號(hào)子空間加權(quán)算法提高對(duì)非目標(biāo)方向處噪聲的抑制能力。仿真結(jié)果表明，該算法在傳統(tǒng)MUSIC 算法和MMUSIC 算法完全失效的情況下，依然可以分辨出-2°和2°兩個(gè)相鄰目標(biāo)，具有較高的分辨性能；在低信噪比、快拍數(shù)較小以及以及陣元數(shù)變化的條件下，相較于傳統(tǒng)MUSIC 算法，本文算法在分辨率上有很大提升?！?/p>