培養(yǎng)初中生函數(shù)與方程思想的策略研究

? 江蘇省如皋市外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 陳志勇

函數(shù)與方程思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)重視函數(shù)與方程思想的滲透,讓學(xué)生深刻理解、掌握函數(shù)與方程思想,并靈活應(yīng)用函數(shù)與方程思想解決一些實(shí)際問(wèn)題,感悟思想的魅力,提高學(xué)生的解題能力及思維品質(zhì)[1].那么,在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)如何滲透呢?筆者結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)談了幾點(diǎn)拙見(jiàn),供參考!

1 認(rèn)真研讀教材,挖掘教學(xué)資源

教材是課程的核心資源和權(quán)威載體,遠(yuǎn)離教材的教學(xué)不利于教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成和學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升.因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要認(rèn)真研究教材、立足教材,充分挖掘教學(xué)資源,通過(guò)合理開(kāi)發(fā)與運(yùn)用,提高教學(xué)有效性.滲透數(shù)學(xué)思想是課堂教學(xué)的重要任務(wù),也是培養(yǎng)學(xué)生可持續(xù)學(xué)習(xí)能力的必經(jīng)之路[2].為了更好地滲透函數(shù)與方程思想,教師應(yīng)立足教材,選擇和函數(shù)與方程相關(guān)的內(nèi)容,充分挖掘二者之間的內(nèi)在聯(lián)系,讓學(xué)生形成對(duì)函數(shù)與方程思想的正確認(rèn)識(shí)和深刻理解.

例如,在學(xué)習(xí)“二次函數(shù)”時(shí),為了能讓學(xué)生建立二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系,教師基于對(duì)教材內(nèi)容的分析,明確了可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)概念的對(duì)比發(fā)現(xiàn)二者的內(nèi)在聯(lián)系.教學(xué)中,通過(guò)師生互動(dòng),幫助學(xué)生理解并掌握形如“y=ax2+bx+c(a,b,c都是常數(shù),且a≠0)的函數(shù)就叫二次函數(shù)”.在此基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生回顧一元二次方程的知識(shí),即“一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0(a,b,c都是常數(shù),且a≠0)”.通過(guò)對(duì)比分析,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)“二次函數(shù)”與“一元二次方程”的聯(lián)結(jié)點(diǎn),讓學(xué)生意識(shí)到當(dāng)y=0時(shí),二次函數(shù)就變成了一元二次方程,由此可以利用方程的知識(shí)來(lái)解決函數(shù)問(wèn)題.

在實(shí)際教學(xué)中,教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生去對(duì)比、去發(fā)現(xiàn),這樣通過(guò)有目的的滲透不僅可以激活學(xué)生的思維,而且可以激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)探究的興趣,有利于知識(shí)的深化.

脫離數(shù)學(xué)內(nèi)容談數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)是空洞的,也是難以理解的.教師需要充分挖掘教材資源,善于從聯(lián)系的角度引導(dǎo)學(xué)生將相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行對(duì)比,以此通過(guò)新知與舊知的有效溝通,逐漸完善個(gè)體認(rèn)知體系,提高學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).

2 啟發(fā)深度思考,培養(yǎng)轉(zhuǎn)化意識(shí)

在函數(shù)教學(xué)中,教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生與方程的內(nèi)容建立聯(lián)系.如,在教學(xué)“一次函數(shù)”時(shí),引導(dǎo)學(xué)生回顧“一元一次方程”的相關(guān)知識(shí);在教學(xué)“二次函數(shù)”時(shí),引導(dǎo)學(xué)生回顧“一元二次方程”的相關(guān)知識(shí).學(xué)生通過(guò)深度思考,充分體會(huì)函數(shù)思想與方程思想相輔相成,這樣既可以達(dá)到鞏固已有知識(shí)的目的,還可以更好地理解函數(shù)與方程思想的本質(zhì).同時(shí),通過(guò)二者的溝通與轉(zhuǎn)化,有利于加深對(duì)函數(shù)與方程思想方法的理解,促進(jìn)思維能力的發(fā)展和解題能力的提升.

例如,在教學(xué)“二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)”時(shí),為了滲透函數(shù)與方程思想方法,教師提出了如下問(wèn)題:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a≠0)的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與方程ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),且a≠0)的解是什么關(guān)系?由此通過(guò)啟發(fā)性問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)二者之間的聯(lián)系.在問(wèn)題的解決過(guò)程中,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分類(lèi)討論,即分為二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)、一個(gè)交點(diǎn)、沒(méi)有交點(diǎn)三種情況.學(xué)生在教師的啟發(fā)下積極思考,發(fā)現(xiàn)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn)時(shí),此時(shí)對(duì)應(yīng)的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.這樣,通過(guò)有效的啟發(fā),引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)規(guī)律,奠定了函數(shù)與方程思想的基礎(chǔ).

其實(shí),函數(shù)與方程思想的本質(zhì)就是相互轉(zhuǎn)化.教學(xué)中,教師要善于通過(guò)啟發(fā)性問(wèn)題,引導(dǎo)學(xué)生將相關(guān)的知識(shí)建立一一對(duì)應(yīng)的聯(lián)系,進(jìn)而通過(guò)深度思考與探究實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的靈活轉(zhuǎn)換,讓學(xué)生深刻理解函數(shù)與方程思想,培養(yǎng)轉(zhuǎn)化意識(shí)[3].

3 結(jié)合典型案例,增強(qiáng)解題體驗(yàn)

應(yīng)用是強(qiáng)化知識(shí)、提煉方法、感悟思想的必經(jīng)之路.教學(xué)中,教師需要結(jié)合具體案例讓學(xué)生體驗(yàn)函數(shù)與方程思想方法的重要應(yīng)用價(jià)值,以此強(qiáng)化學(xué)生應(yīng)用函數(shù)與方程思想解題的意識(shí),提高解題能力.函數(shù)與方程思想在解題中有著重要的應(yīng)用,尤其在解決與生活相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題時(shí),常常需要將具體情境抽象成函數(shù)模型或方程模型,然后運(yùn)用函數(shù)與方程的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.

例如,在初三復(fù)習(xí)教學(xué)中,教師給出了一道這樣的練習(xí):已知方程x2-3x+k=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,其中一個(gè)根大于1,另一個(gè)根小于1,求k的取值范圍.分析題設(shè)信息不難發(fā)現(xiàn),該方程的兩根是不確定的,若從方程的角度去分析將很難找到解題的突破口.因此,可嘗試從函數(shù)的角度出發(fā),結(jié)合函數(shù)的圖象及性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)尋找解題的突破口.基于此,不妨先將方程x2-3x+k=0視為對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為0的二次函數(shù),方程的根即為函數(shù)值為零時(shí)自變量x的值.結(jié)合二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)易于發(fā)現(xiàn),該二次函數(shù)的圖象為開(kāi)口向上的拋物線,且與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).已知方程的兩個(gè)根分別為大于1和小于1的兩個(gè)實(shí)數(shù),故當(dāng)x=1時(shí),y<0.把x=1代入x2-3x+k=0,解得k=2,由此可以求出k<2.這樣將方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題,運(yùn)用函數(shù)相關(guān)知識(shí)即可靈活地解決,充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想的優(yōu)勢(shì),加深了學(xué)生對(duì)函數(shù)與方程思想的理解.

學(xué)以致用是教學(xué)的最終追求,是學(xué)生思維水平和學(xué)習(xí)能力的集中表現(xiàn).在解決函數(shù)與方程的問(wèn)題時(shí),若遇到障礙,應(yīng)嘗試通過(guò)方程與函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化來(lái)尋找解題的突破口,培養(yǎng)應(yīng)用函數(shù)與方程思想的思維習(xí)慣,提高數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

4 引導(dǎo)總結(jié)回顧,內(nèi)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)

在傳統(tǒng)教學(xué)模式的束縛下,數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)度強(qiáng)調(diào)機(jī)械記憶和盲目套用,這樣表面上學(xué)生可以通過(guò)模仿和套用來(lái)解決問(wèn)題,但是學(xué)生對(duì)知識(shí)、方法、思想的理解是淺層的,難以實(shí)現(xiàn)知識(shí)的內(nèi)化,不利于解決問(wèn)題能力的提升.對(duì)于函數(shù)與方程思想方法的理解亦是如此,若學(xué)生僅僅是簡(jiǎn)單機(jī)械地記憶函數(shù)與方程思想,不理解其本質(zhì),不主動(dòng)重構(gòu),那么,他們又如何將其內(nèi)化為自己知識(shí)結(jié)構(gòu)的一部分呢?因此,在實(shí)際教學(xué)中,要少一些“機(jī)械記憶”,多一些“自主探究”,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)探究過(guò)程進(jìn)行及時(shí)總結(jié)歸納,重視提煉蘊(yùn)含其中的思想方法,以此將其內(nèi)化為自身的思想方法,提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

例如,在解答“已知方程x2-3x+k=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,其中一個(gè)根大于1,另一個(gè)根小于1,求k的取值范圍”這一問(wèn)題后,教師不要急于結(jié)束該問(wèn)題的探究,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行有效的反思,通過(guò)思路的梳理和數(shù)學(xué)思想方法的提煉來(lái)升華學(xué)生的認(rèn)知.通過(guò)有效反思,學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)應(yīng)用函數(shù)與方程的思想可使問(wèn)題向直觀化、簡(jiǎn)單化轉(zhuǎn)化,使得問(wèn)題的解決變得更加輕松、愉悅.當(dāng)然,對(duì)于基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生來(lái)講,他們的反思意識(shí)和反思能力相對(duì)欠缺,教師可以帶領(lǐng)學(xué)生一起回顧,以通過(guò)教師的啟發(fā)和引導(dǎo),幫助學(xué)生理解問(wèn)題的來(lái)龍去脈,認(rèn)清問(wèn)題的本質(zhì).例如,對(duì)于本題的解題過(guò)程,教師可以讓學(xué)生重新審題,思考“為什么要轉(zhuǎn)化?”“如何轉(zhuǎn)化?”“轉(zhuǎn)化后應(yīng)用什么知識(shí)來(lái)求解?”這樣,通過(guò)解題過(guò)程的反思,不但可以進(jìn)一步鞏固相關(guān)知識(shí)與方法,而且可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的內(nèi)化.

總之,函數(shù)與方程思想方法的形成是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程,需要在日常教學(xué)中逐步滲透.教學(xué)中,教師需充分挖掘各種教學(xué)資源,通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、探索、應(yīng)用、歸納等過(guò)程,幫助學(xué)生將函數(shù)與方程思想內(nèi)化為自己知識(shí)結(jié)構(gòu)不可分割的一部分,以此提升綜合素養(yǎng).