經(jīng)典文化背景下的試題賞析與教學(xué)實(shí)踐

謝盛富

1 引言

《課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，“數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分.”“在教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)有意識(shí)地結(jié)合相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容，將數(shù)學(xué)文化滲透在日常教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)、社會(huì)發(fā)展中的作用，感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識(shí)和人文素養(yǎng)；將數(shù)學(xué)文化融入教學(xué)，還有利于激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，有利于進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)，有利于開(kāi)拓學(xué)生視野、提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).”數(shù)學(xué)文化是經(jīng)典文化的重要組成部分，是高考題、各地模擬題的命題方向之一.縱觀近年數(shù)學(xué)題，常以傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)文化（尤其是數(shù)學(xué)名著）為背景進(jìn)行命題，特別是結(jié)合經(jīng)典的、各學(xué)科的、各領(lǐng)域等有關(guān)文化成就或現(xiàn)代科技發(fā)展等命制新穎試題，從中引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)獨(dú)特的學(xué)科價(jià)值、多維的文化價(jià)值、廣泛的應(yīng)用價(jià)值、豐富的審美價(jià)值和德育價(jià)值，這正是數(shù)學(xué)教育塑造學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展的正確價(jià)值觀的一種有效途徑.

2 試題賞析

例1 （2023年北京卷·9）坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美．如圖1，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面是全等的等腰三角形．若AB=25 m，BC=AD=10 m，且等腰梯形所在的平面、等腰三

A.102 m B.112 m C.117m D.125 m

分析：本題以建筑造型之一的坡屋頂為試題命制背景，展示數(shù)學(xué)問(wèn)題源于生活、貼近學(xué)生的實(shí)際、數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)，展現(xiàn)我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧與創(chuàng)造，考查學(xué)生的閱讀理解能力，考查立體幾何的結(jié)構(gòu)特征，考查數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析，考查學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

實(shí)際上，在近年高考試題中，也涌現(xiàn)了不少以建筑有關(guān)為背景的試題，比如，2022年全國(guó)卷Ⅱ第3題以“古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)”與“古代建筑屋頂截面”為背景，考查等差數(shù)列和斜率的計(jì)算；2022年天津卷第8題以“十字歇山”為背景，考查幾何體的體積計(jì)算；2020年全國(guó)卷Ⅰ第3題以“埃及胡夫金字塔”為背景，考查高與邊長(zhǎng)的比值計(jì)算；2020年全國(guó)卷Ⅱ理科第4題以“天壇的圜丘壇”為背景，考查等比數(shù)列的求和；2018年全國(guó)卷Ⅲ第3題以“榫卯”為背景，考查三視圖的判斷.

詳解：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EO⊥平面ABCD，垂足為O，過(guò)E分別做EG⊥BC，EM⊥AB，垂足分別為G，M，

變式 在例1條件不變的情況下，教學(xué)中可以改變提問(wèn)方式，以便更好地系統(tǒng)復(fù)習(xí)立體幾何的面積與體積公式并利用空間向量計(jì)算空間角等問(wèn)題.比如，（1）求該五面體的體積（或某個(gè)面的面積）；（2）求直線AF與直線CE所成的角；（3）求直線BE與平面ABCD所成的角，等等.

3 教學(xué)途徑

教學(xué)實(shí)踐中，可根據(jù)不同內(nèi)容或不同年齡段，采取不同的教與學(xué)方式，豐富學(xué)生的多樣化學(xué)習(xí)方式，或改進(jìn)學(xué)習(xí)方法，如收集資料、實(shí)踐探索、調(diào)查研究、合作交流、自主探究、小論文寫(xiě)作等，感受不同時(shí)期經(jīng)典文化及其呈現(xiàn)方式，讓學(xué)生通過(guò)多種途徑接受經(jīng)典文化的浸潤(rùn)及熏陶，發(fā)揮情感教育的目標(biāo)功能，立足高考而不囿于高考.其主要途徑有：

（1）植入傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)文化

以往的課堂、試題在數(shù)學(xué)文化層面下了很大功夫，比如借助名人詩(shī)詞或文章、古代數(shù)學(xué)成就、數(shù)學(xué)名著等進(jìn)行命制試題，融合數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法及能力，創(chuàng)新試題情境，設(shè)置合理的數(shù)學(xué)問(wèn)題，考查數(shù)學(xué)知識(shí)、能力，有效考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神，滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（2）利用教材閱讀材料、圖書(shū)館或網(wǎng)絡(luò)

以閱讀材料為基礎(chǔ)，通過(guò)圖書(shū)館或網(wǎng)絡(luò)搜集、查找、閱讀有關(guān)文獻(xiàn)資料，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與，理解數(shù)學(xué)、感悟數(shù)學(xué)，弘揚(yáng)美德、陶冶情操，體驗(yàn)經(jīng)典文化育人的過(guò)程，激發(fā)熱愛(ài)學(xué)習(xí)情感，樹(shù)立宏偉志向，對(duì)青少年樹(shù)立正確的世界觀、人生觀和價(jià)值觀有很大的幫助.

以教材人教A版第二冊(cè)為例，第6頁(yè)閱讀與思考“向量及向量符合的由來(lái)”，讓學(xué)生了解向量的起源、發(fā)展及應(yīng)用，明了向量在各學(xué)科各領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用，成為解決各種問(wèn)題的有力工具；第55頁(yè)閱讀與思考“海倫與秦九韶”，讓學(xué)生了解古人是如何計(jì)算三角形的面積，知曉秦九韶的“三斜求積”比海倫公式早發(fā)現(xiàn)約600年，感受數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生的廣泛影響；此外，復(fù)數(shù)、立體幾何、統(tǒng)計(jì)、概率章節(jié)也有相關(guān)的閱讀材料，極大豐富了教師的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)習(xí)的素材.

（3）民風(fēng)民俗與現(xiàn)代時(shí)尚相融合

社會(huì)在發(fā)展，民風(fēng)民俗也在不斷傳承與創(chuàng)新，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造性轉(zhuǎn)化、創(chuàng)新性發(fā)展. 民俗文化是在古中國(guó)的土壤與氣候中孕育綻放的，生肖、節(jié)氣、太極、八卦、陰陽(yáng)、五行、清明、端午、中秋、春節(jié)、年畫(huà)、舞獅、武術(shù)、蹴鞠、剪紙、課本劇、歌謠、燈謎、諺語(yǔ)等均具有歷史性的傳承與發(fā)展，或創(chuàng)新，在各地集年貨、美食、民俗等于一體的新春廟會(huì)就是經(jīng)典文化與現(xiàn)代時(shí)尚深度融合的一種方式. 以她們?yōu)閱?wèn)題背景，可增強(qiáng)社會(huì)責(zé)任感，同時(shí)滲透數(shù)學(xué)的應(yīng)用；或融入到試題情境中，樹(shù)立家國(guó)意識(shí)，增強(qiáng)愛(ài)國(guó)情懷.

例2 猜燈迷是我國(guó)一種民俗娛樂(lè)活動(dòng)，某社區(qū)在元宵節(jié)當(dāng)天舉辦猜燈謎活動(dòng)，工作人員給每位答題人提供了5道燈迷題目，答題人從中隨機(jī)抽取2道燈迷題目作答，若2道燈謎題目全答對(duì)，答題人便可獲得獎(jiǎng)品.若甲只能答對(duì)工作人員所提供的5道題中的2道，則甲能獲得獎(jiǎng)品的概率為.

（4）巧借學(xué)科外延滲透在試題中

《課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，“D類課程包括美與數(shù)學(xué)、音樂(lè)中的數(shù)學(xué)、美術(shù)中的數(shù)學(xué)、體育運(yùn)動(dòng)中的數(shù)學(xué)”；“E類課程包括拓展視野、日常生活、地方特色的數(shù)學(xué)課程”，因此數(shù)學(xué)科外延是多姿多彩、多元廣泛化的，給一線教師和學(xué)生無(wú)限的展示空間，展現(xiàn)數(shù)學(xué)在人文學(xué)科中的應(yīng)用，感受數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值.

例3 中國(guó)四大名亭中，醉翁亭位于安徽省州市西南瑯琢山麓，愛(ài)晚亭位于湖南省長(zhǎng)沙市岳麓山清風(fēng)峽中，湖心亭位于浙江省杭州市西湖中央，陶然亭位于北京市南二環(huán)陶然橋西北側(cè)；江西南昌的滕王閣、湖南岳陽(yáng)的岳陽(yáng)樓和湖北武漢的黃鶴樓，被譽(yù)為“江南三大名樓”.小李同學(xué)要從這四大名亭、三大名樓中隨機(jī)選取2個(gè)去旅游，則愛(ài)晚亭、岳陽(yáng)樓中至少有一個(gè)入選的方案有種.

4 教例實(shí)踐

例4 （多選題）古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10，…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，把1，4，9，16，…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．如圖3中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和，下列等式中，符合這一規(guī)律的表達(dá)圖3式為（? ?）.

A．25=9+16B．36=15+21C．49=18+31D．64=28+36

（展示試題在多媒體上，然后先簡(jiǎn)單介紹畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的有關(guān)學(xué)說(shuō)、成果.）

教師：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，創(chuàng)立于公元前6世紀(jì)末，古希臘的重要學(xué)派之一，學(xué)派成員由數(shù)學(xué)家、音樂(lè)家、天文學(xué)家、科學(xué)家等組成，普遍采用辯證法思想，對(duì)當(dāng)時(shí)和后世都產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響. 學(xué)派的基本思想是“數(shù)是萬(wàn)物的本原”，認(rèn)為世間萬(wàn)物都是由一定的數(shù)量關(guān)系構(gòu)成的，數(shù)量的比例決定了這個(gè)世界的某些事物是否和諧.美表現(xiàn)于數(shù)量比例上的對(duì)稱與和諧，和諧起于差異的對(duì)立，美的本質(zhì)在于和諧. 他們很注意研究數(shù)，對(duì)整數(shù)進(jìn)行了深入研究，尤其注意形與數(shù)的關(guān)系，還依據(jù)幾何和哲學(xué)的神秘性來(lái)對(duì)“數(shù)”進(jìn)行分類，按照幾何圖形分類，可分成三角形數(shù)、正方形數(shù)、長(zhǎng)方形數(shù)、五角形數(shù)等.對(duì)整數(shù)進(jìn)行分類，如整數(shù)中包含有奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、親和數(shù)及完全數(shù)等，還提出了一些悖論.我們所熟悉的勾股定理也是畢達(dá)哥拉斯發(fā)明的，畢達(dá)哥拉斯為了慶賀自己的業(yè)績(jī)，殺了一百頭牛，因此勾股定理亦稱百牛定理.

教師：本題中“三角形數(shù)”與“正方形數(shù)”在往年高考試題中出現(xiàn)過(guò)，比如2009年湖北卷第10題、2012年湖北卷文科第17題、2013年湖北卷理科第14題等，均是以“三角形數(shù)”與“正方形數(shù)”為載體考查數(shù)列、邏輯推理等.回到本例，應(yīng)如何求解呢？

學(xué)生1：觀察圖形的規(guī)律，對(duì)后續(xù)圖形逐個(gè)畫(huà)出來(lái)，仿照題干中的方法進(jìn)行分解，可得到正確答案.

追問(wèn)1：這個(gè)方法雖然麻煩，卻也很直接！有沒(méi)有其它解法？站在數(shù)列的角度嘗試思考，三角形數(shù)和正方形數(shù)有什么規(guī)律？

追問(wèn)2：很好.接下來(lái)，我們?nèi)绾翁綄ふ叫螖?shù)與三角形數(shù)之間的關(guān)系，即“正方形數(shù)”是兩相鄰“三角形數(shù)”的和.

學(xué)生3：三角形數(shù)從1開(kāi)始，第幾個(gè)三角形數(shù)就是從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)相加到幾，正方形數(shù)也就是2的平方就是第1個(gè)三角形數(shù)加第2個(gè)三角形數(shù)，3的平方就是第2個(gè)三角形數(shù)加第3個(gè)三角形數(shù)，4的平方就是第3個(gè)三角形數(shù)加第4個(gè)三角形數(shù)，5的平方就是第4個(gè)三角形數(shù)加第5個(gè)三角形數(shù)，6的平方就是第5個(gè)三角形數(shù)加第6個(gè)三角形數(shù)，7的平方就是第6個(gè)三角形數(shù)加第 7個(gè)三角形數(shù).因此可知正確選項(xiàng)為BD.

追問(wèn)3：很好.還有其它想法嗎？

學(xué)生4：由已知條件得到三角形數(shù)依次為1，3，6，10，15，21，28，36，45，…，由于正方形數(shù)是這組數(shù)據(jù)中的相鄰兩數(shù)之和，容易得到：25=10+15，36=15+21，49=21+28，64=28+36，只有BD是正確的．

教師：太漂亮了.同學(xué)們通過(guò)閱讀、審題，能夠借助圖形善于觀察特征，通過(guò)探究數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從試題情境中得到正確的答案，為你們點(diǎn)贊.

設(shè)計(jì)意圖：從最基本的問(wèn)題情境，滲透經(jīng)典文化，了解文化背景，關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生嘗試求解，激發(fā)學(xué)生可貴的探究興趣，再多次追問(wèn)、挖掘題干中信息，在碰撞中啟發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維，從感性認(rèn)識(shí)上升到理性思維，回歸數(shù)學(xué)本真，用數(shù)學(xué)的眼光看待世界.

5 結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)文化下的試題命制從數(shù)學(xué)名著、數(shù)學(xué)家的成果、猜想等命題背景逐步向經(jīng)典文化轉(zhuǎn)變，不斷創(chuàng)新，不斷設(shè)置新情境，為數(shù)學(xué)問(wèn)題的命置提供了一種新方向.這能更多地在學(xué)科外延、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)之美、貼近生活的案例滲入教材、融入課堂，植入在數(shù)學(xué)試題中，讓數(shù)學(xué)教學(xué)變得生動(dòng)有趣，由此達(dá)到，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神與應(yīng)用意識(shí)，提升知識(shí)與能力的應(yīng)用水平，合理培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，提升思維品質(zhì)與解題能力，培養(yǎng)學(xué)科核心素養(yǎng)，不斷豐富和完善經(jīng)典文化在數(shù)學(xué)教育中的價(jià)值.