基于擾動(dòng)觀測(cè)器的電動(dòng)汽車永磁同步電機(jī)預(yù)設(shè)性能控制

倪雙飛，戴宇辰，蔡啟程，孫仲陽

（1.國(guó)網(wǎng)江蘇省電力有限公司 常州市金壇區(qū)供電分公司，江蘇 常州 213000；2.浙江師范大學(xué) 工學(xué)院，浙江 金華 321000；3.國(guó)網(wǎng)江蘇省電力有限公司 泰州市供電分公司，江蘇 泰州 225400；4.國(guó)網(wǎng)江蘇省電力有限公司 儀征市供電分公司，江蘇 儀征 211400）

0 引言

近年來，由于化石燃料供應(yīng)短缺、環(huán)境污染和全球變暖等問題，電動(dòng)汽車已逐漸成為未來汽車的發(fā)展方向［1］。永磁同步電機(jī)（permanent magnet synchronous motor，PMSM）具有運(yùn)行效率高、轉(zhuǎn)矩慣性比大、功率密度大、轉(zhuǎn)速范圍寬、使用壽命長(zhǎng)等優(yōu)點(diǎn)，更適合作為電動(dòng)汽車的牽引電機(jī)［2-3］。然而，PMSM驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)具有高度非線性、強(qiáng)耦合、多變量的特性，并且電動(dòng)汽車在運(yùn)行過程中會(huì)出現(xiàn)外部負(fù)載擾動(dòng)，使得傳統(tǒng)的PI控制在保證驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)和抗干擾能力方面存在明顯不足。

近年來，隨著控制理論的發(fā)展，眾多研究者致力于使用一些先進(jìn)的控制方法替代傳統(tǒng)的PI控制，例如模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、非線性控制和魯棒控制等［4］。其中，反推控制（backstepping control，BC）作為一種典型的非線性控制策略，在對(duì)PMSM的研究中得到了推廣應(yīng)用。其將非線性系統(tǒng)拆分成低于系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng)，同時(shí)，為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù)并設(shè)計(jì)虛擬控制律，最后通過遞推的方式得到整個(gè)系統(tǒng)的實(shí)際控制律［5］。

在實(shí)際行駛中，電動(dòng)汽車除了要面對(duì)復(fù)雜的路況外，還必須克服惡劣天氣條件（如雨雪天氣）的影響，這些可能會(huì)造成負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)。因此，為了提高電動(dòng)汽車PMSM 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的抗干擾性能，一種有效的方法就是使用擾動(dòng)觀測(cè)器，以實(shí)時(shí)檢測(cè)負(fù)載轉(zhuǎn)矩，并將估計(jì)的擾動(dòng)信息提供給控制器進(jìn)行補(bǔ)償，以此增強(qiáng)牽引電機(jī)的抗干擾性能［6-9］。文獻(xiàn)［7］在設(shè)計(jì)控制器中引入了擾動(dòng)觀測(cè)器，以便當(dāng)負(fù)載發(fā)生擾動(dòng)時(shí)提高PMSM驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的抗干擾能力；但該擾動(dòng)觀測(cè)器的估計(jì)誤差不是有限時(shí)間收斂的，并且文獻(xiàn)［7］和文獻(xiàn)［8］都沒有給出精確的擾動(dòng)估計(jì)曲線圖。文獻(xiàn)［9］設(shè)計(jì)了一種有限時(shí)間擾動(dòng)觀測(cè)器，然而該擾動(dòng)觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，控制參數(shù)較多，不利于工程應(yīng)用。盡管使用擾動(dòng)觀測(cè)器可以增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性，但采用上述控制方法，PMSM驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的暫態(tài)性能，如超調(diào)量、誤差收斂速度等，并不能滿足預(yù)先設(shè)定的條件。因此，預(yù)設(shè)性能控制已成為近年來研究的熱點(diǎn)。由于電動(dòng)汽車頻繁加減速、爬坡和下坡，PMSM 控制系統(tǒng)不僅要求響應(yīng)速度快，而且要求無超調(diào)響應(yīng)。采用預(yù)設(shè)性能控制算法可以保證跟蹤誤差收斂到預(yù)先設(shè)定的區(qū)域內(nèi)，收斂速度和超調(diào)量滿足預(yù)先設(shè)定條件［10-11］。文獻(xiàn)［12］將反推法與預(yù)設(shè)性能控制相結(jié)合，使控制器兼顧系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)性能。預(yù)設(shè)性能控制方法已被應(yīng)用于機(jī)器人運(yùn)動(dòng)控制［13-14］和高速飛行器姿態(tài)控制［15］等領(lǐng)域。文獻(xiàn)［14］將預(yù)設(shè)性能控制應(yīng)用于受外部干擾的機(jī)器人系統(tǒng)中，仿真結(jié)果表明，在控制器設(shè)計(jì)中引入預(yù)設(shè)性能函數(shù)后，系統(tǒng)誤差收斂到預(yù)先指定的任意小區(qū)域。文獻(xiàn)［15］設(shè)計(jì)了一種高超聲速飛行器預(yù)設(shè)性能精細(xì)姿態(tài)控制方法，仿真結(jié)果表明，預(yù)設(shè)性能控制可以在預(yù)設(shè)邊界內(nèi)保證瞬態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)誤差，并大大降低超調(diào)量。然而，利用預(yù)設(shè)性能控制來解決永磁同步電機(jī)的速度跟蹤問題的研究還很少。

為實(shí)現(xiàn)外部負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)下電動(dòng)汽車永磁同步電機(jī)精確轉(zhuǎn)速跟蹤控制，本文設(shè)計(jì)了一種基于擾動(dòng)觀測(cè)器的預(yù)設(shè)性能反推控制器（disturbance-observer based prescribed-performance backstepping controller，DPBC）。其采用一種新型的擾動(dòng)觀測(cè)器來估計(jì)負(fù)載擾動(dòng)，增強(qiáng)電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的抗干擾能力，同時(shí)保證估計(jì)誤差在有限時(shí)間內(nèi)收斂；使用二階滑模微分器（second-order sliding mode differentiator，SOSMD）代替?zhèn)鹘y(tǒng)指令濾波器，SOSMD 的輸出信號(hào)可以在有限時(shí)間內(nèi)逼近虛擬控制律的導(dǎo)數(shù)，以此解決“微分爆炸”問題；為了在電動(dòng)汽車頻繁加速和減速時(shí)達(dá)到預(yù)設(shè)的高瞬態(tài)、穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速跟蹤性能，引入預(yù)設(shè)性能函數(shù)以保證跟蹤誤差在預(yù)設(shè)邊界內(nèi)。

1 PMSM動(dòng)態(tài)模型

圖1示出電動(dòng)汽車的電機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)［16］。其中，直流電源Vdc由電動(dòng)汽車蓄電池提供，直流母線電容器C可吸收高頻電涌，逆變器用于電能轉(zhuǎn)換。對(duì)于表貼式PMSM，其在dq坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型可以表示為［17］

圖1 電動(dòng)汽車PMSM 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)Fig.1 EV PMSM drive system

式中：ud——定子電壓d軸分量；uq——定子電壓q軸分量；id——定子電流d軸分量；iq——定子電流q軸分量；Rs——電樞繞組電阻；Ls——電樞繞組電感；φf——永磁體磁通；p——極對(duì)數(shù)；Tm——電磁轉(zhuǎn)矩；ωg——機(jī)械角速度。

此外，PMSM的機(jī)械傳動(dòng)方程為

式中：J——轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；B——阻尼系數(shù)；TL——負(fù)載轉(zhuǎn)矩；Td——擾動(dòng)轉(zhuǎn)矩 。

2 預(yù)設(shè)性能函數(shù)及誤差轉(zhuǎn)換

引入預(yù)設(shè)性能控制是為保證電機(jī)的轉(zhuǎn)速跟蹤誤差χ=x1-x1，c始終在預(yù)設(shè)邊界內(nèi)（其中x1，c為目標(biāo)轉(zhuǎn)速）。轉(zhuǎn)速跟蹤誤差χ需滿足如下條件：

預(yù)設(shè)性能函數(shù)可表示為

式中：ν0——預(yù)設(shè)性能函數(shù)的初值，正常數(shù)；ν∞——穩(wěn)態(tài)誤差的最大邊界，正常數(shù)；a——誤差收斂速度，正常數(shù)。

另

對(duì)于電動(dòng)汽車PMSM驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)，誤差變換定義如下：

式中：z1——誤差變化值。

3 基于擾動(dòng)觀測(cè)器的預(yù)設(shè)性能控制器設(shè)計(jì)

3.1 擾動(dòng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

動(dòng)態(tài)模型可以表示為

式中：x——狀態(tài)變量，x=[x1x2x3]T；u——輸入量，u=[uqud]T；g——控制系數(shù)矩陣，d——未知的負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)，d(t)連續(xù)可微且其導(dǎo)數(shù)是有界的，d=[dδ0 0]T。

則擾動(dòng)觀測(cè)器的結(jié)構(gòu)被設(shè)計(jì)為

式中：α1d和α2d為正常數(shù)；——d的估計(jì)值。

本文的擾動(dòng)觀測(cè)器設(shè)計(jì)主要基于超扭曲算法（super-twisting algorithm，STA）。對(duì)于帶擾動(dòng)項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn)STA系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)為［18］

式中：?1和?2——狀態(tài)變量；g1和g2——設(shè)計(jì)的正常數(shù)。

根據(jù)文獻(xiàn)［18］可知，系統(tǒng)若滿足上述STA 結(jié)構(gòu)要求，通過調(diào)節(jié)g1和g2，則可在有限時(shí)間內(nèi)收斂。

推論：考慮一個(gè)帶擾動(dòng)的系統(tǒng)，應(yīng)用擾動(dòng)觀測(cè)器并選擇合適的參數(shù)，則觀測(cè)誤差能在有限時(shí)間內(nèi)收斂。

證明：定義一個(gè)觀測(cè)誤差，根據(jù)式（10）可得誤差動(dòng)態(tài)模型，見式（12）。

顯然，該誤差動(dòng)態(tài)模型符合式（12）所示的帶擾動(dòng)的STA 結(jié)構(gòu)。根據(jù)STA 系統(tǒng)的有限收斂性可知，觀測(cè)誤差zd可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到一個(gè)足夠小的范圍內(nèi)。

3.2 控制器設(shè)計(jì)

定義系統(tǒng)跟蹤誤差為

式中：x3，c——d軸電流參考值，x3，c=0；x2，c——q軸電流參考值；z2——q軸電流跟蹤誤差；z3——d軸電流跟蹤誤差。

使用SOSMD 估計(jì)虛擬控制量的導(dǎo)數(shù)，防止對(duì)虛擬控制量直接解析求導(dǎo)，以此避免傳統(tǒng)反推控制的“微分爆炸”問題。SOSMD被定義為

式中：?1和?2——正常數(shù)；?r——SOSMD的輸入信號(hào)，即虛擬控制量x2，d；ψ1——?r的估計(jì)值，ψ1=x2，c；η1——的估計(jì)值，

考慮SOSMD的估計(jì)誤差，引入誤差補(bǔ)償信號(hào)ε并定義為

式中：k1——控制器整定參數(shù)，k1＞0。

重新定義轉(zhuǎn)速跟蹤誤差

根據(jù)式（18），將虛擬控制律設(shè)計(jì)為

式中：k1——正常數(shù)；τ——擾動(dòng)觀測(cè)誤差邊界，且滿足其中n和r為正常數(shù)，為τ的估計(jì)值。

將式（19）代入式（18）中，得

為進(jìn)一步增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性，在實(shí)際控制律中引入積分滑模面。定義d軸與q軸的積分滑模面：

式中：a2和a3為正的積分滑模面參數(shù)。

同時(shí)，將滑模趨近律定義為

式中：h2、h3、ρ2、ρ3——設(shè)計(jì)的控制器參數(shù)，且均大于0。

考慮采取Sigmoid函數(shù)，即式中sig（·），以此代替?zhèn)鹘y(tǒng)符號(hào)函數(shù)，削弱滑模抖振現(xiàn)象。Sigmoid函數(shù)定義為

式中：Q——常數(shù)，且Q＞0。

由式（23）可知，Sigmoid 函數(shù)是光滑連續(xù)的。基于式（3），d軸和q軸積分滑模面的導(dǎo)數(shù)為

為構(gòu)造實(shí)際控制律，選擇李雅普諾夫函數(shù)：

對(duì)式（26）求導(dǎo)，得

其中：

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，將d軸和q軸實(shí)際控制律設(shè)計(jì)為

圖2示出本文所設(shè)計(jì)的基于擾動(dòng)觀測(cè)器的預(yù)設(shè)性能反推控制器結(jié)構(gòu)。

圖2 基于擾動(dòng)觀測(cè)器的預(yù)設(shè)性能反推控制器Fig.2 Prescribed performance back-stepping controller based on disturbance observer

4 穩(wěn)定性分析與證明

為穩(wěn)定全系統(tǒng)，構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

對(duì)式（31）求導(dǎo)，得

可見，只要選擇合適的k1值，即可滿足上述情況。

綜上所述，系統(tǒng)是有界穩(wěn)定的。

5 仿真分析

根據(jù)圖2，利用MATLAB/Simulink 構(gòu)建電動(dòng)汽車PMSM 驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)模型，并將所設(shè)計(jì)的DPBC 與傳統(tǒng)的PI 控制和BC 進(jìn)行對(duì)比；然后，通過兩個(gè)算例分析3 種控制策略下電動(dòng)汽車在變速行駛和勻速行駛下的速度跟蹤性能和抗干擾性能。根據(jù)文獻(xiàn)［19］，選取一組電動(dòng)汽車用PMSM 參數(shù)，如表1 所示。母線電壓被設(shè)置為400 V，開關(guān)頻率為10 kHz。表2 為本文所設(shè)計(jì)控制器參數(shù)值，性能函數(shù)為ν(t)=0.045e-10t+0.015，-δ=δˉ=1。

表1 PMSM 參數(shù)Table 1 Parameters of PMSM

案例一：驗(yàn)證電動(dòng)汽車在負(fù)載擾動(dòng)情況下變速行駛的轉(zhuǎn)速響應(yīng)，以此模擬電動(dòng)汽車在城市中行駛需要頻繁加減速的情形。圖3 示出案例一的負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)情況，圖4 顯示了3 種控制方法下的電機(jī)轉(zhuǎn)速跟蹤性能。電動(dòng)汽車變速行駛時(shí)，在PI 和BC 控制下，電機(jī)的速度跟蹤性能容易受到負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)的影響，導(dǎo)致轉(zhuǎn)速出現(xiàn)較大的抖振。而DPBC 控制下的電機(jī)轉(zhuǎn)速比另外兩種方法更為平滑，對(duì)負(fù)載擾動(dòng)不敏感，當(dāng)駕駛員通過操縱油門和剎車踏板控制汽車頻繁變速時(shí)，電機(jī)轉(zhuǎn)速波動(dòng)最小。轉(zhuǎn)速跟蹤誤差如圖5 所示，DPBC的跟蹤誤差保持在預(yù)設(shè)的范圍內(nèi)，而其他兩個(gè)控制器的跟蹤誤差超過預(yù)設(shè)的邊界。

圖3 案例一中負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)情況Fig.3 Load torgue disturbance in case 1

圖4 案例一中3 種控制器的轉(zhuǎn)速響應(yīng)Fig.4 Speed tracking control responses of three controllers in case 1

圖5 案例一中3 種控制器作用下的轉(zhuǎn)速跟蹤誤差Fig.5 Speed tracking errors of three controllers in case 1

案例二：為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提出方法的有效性，假設(shè)電動(dòng)汽車在啟動(dòng)后將以恒定速度行駛，以此模擬車輛的巡航控制功能。電機(jī)的目標(biāo)轉(zhuǎn)速保持在2 500 r/min。圖6 為案例二情況下存在的外部負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)。圖7為3種控制方法作用下的電機(jī)轉(zhuǎn)速跟蹤曲線圖。可見，DPBC方法下的電機(jī)轉(zhuǎn)速跟蹤精度高于PI 和BC 方法下的，有效地減弱了系統(tǒng)的抖振。此外，在圖8中，在PI控制和BC方法中沒有使用規(guī)定的性能函數(shù)，它們的跟蹤誤差超出了給定的界限；然而，采用DPBC 方法的速度跟蹤誤差較小，即使存在負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)，但誤差始終在預(yù)設(shè)范圍內(nèi)。

圖6 案例二中負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)情況Fig.6 Load torgue disturbance in case 2

圖7 案例二中3 種控制器的轉(zhuǎn)速響應(yīng)Fig.7 Speed tracking control responses of three controllers in case 2

圖8 案例二中3 種控制器作用下的轉(zhuǎn)速跟蹤誤差Fig.8 Speed tracking errors of three controllers in case 2

根據(jù)圖5和圖8，給出3種控制方法下轉(zhuǎn)速跟蹤精度對(duì)比，如表3所示。傳統(tǒng)PI控制下的最大跟蹤誤差分別達(dá)到0.036 rad/s和0.028 rad/s；而DPBC控制下的電機(jī)轉(zhuǎn)速跟蹤最大誤差只有0.005 rad/s，跟蹤精度提升5倍以上。

表3 3 種控制方法下轉(zhuǎn)速跟蹤精度對(duì)比Table 3 Comparison of speed tracking precision among 3 control strategies

圖9 和圖10 顯示了兩種案例下電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩。結(jié)果表明，DPBC 控制方法的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)明顯小于PI 控制方法和BC控制方法的，采用DPBC方法的電動(dòng)汽車行駛更平穩(wěn)。

圖9 案例一中3 種控制器作用下的電磁轉(zhuǎn)矩Fig.9 Electromagnetic torque of three controllers in case 1

圖10 案例二中3 種控制器作用下的電磁轉(zhuǎn)矩Fig.10 Electromagnetic torque of three controllers in case 2

圖11 和圖12 分別示出案例一和案例二中施加的負(fù)載擾動(dòng)dδ和擾動(dòng)觀測(cè)器的觀測(cè)信號(hào)。由于引入了本文所提的新型擾動(dòng)觀測(cè)器，在電動(dòng)汽車行駛過程中出現(xiàn)負(fù)載擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)可以準(zhǔn)確地觀測(cè)擾動(dòng)，并將估計(jì)出的擾動(dòng)信息輸入控制器，以便自適應(yīng)地調(diào)節(jié)控制器的輸出，從而提高系統(tǒng)的抗干擾能力，抑制轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)。

圖11 案例一中擾動(dòng)估計(jì)曲線Fig.11 Curve of disturbance estimation in case 1

圖12 案例二中擾動(dòng)估計(jì)曲線Fig.12 Curve of disturbance estimation in case 2

圖13為SOSMD的輸入信號(hào)x2，d和輸出信號(hào)x2，c的曲線。可以看出，SOSMD的輸出信號(hào)可以準(zhǔn)確地跟蹤輸入信號(hào)的變化。

圖13 SOSMD 的輸入輸出信號(hào)Fig.13 Input and output signals of SOSMD

6 結(jié)束語

本文研究了電動(dòng)汽車永磁同步電機(jī)在負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)情況下的精確速度跟蹤控制問題，并設(shè)計(jì)了一種基于擾動(dòng)觀測(cè)器的預(yù)設(shè)性能反推控制器。首先，建立了永磁同步電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，并考慮了負(fù)載擾動(dòng)，引入預(yù)設(shè)性能控制以保證轉(zhuǎn)速跟蹤誤差收斂到預(yù)先設(shè)定的區(qū)域內(nèi)，達(dá)到預(yù)設(shè)的高瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速跟蹤性能。其次，針對(duì)不同路況引起的負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)，設(shè)計(jì)了一種新型的擾動(dòng)觀測(cè)器來處理負(fù)載轉(zhuǎn)矩?cái)_動(dòng)，并將擾動(dòng)估計(jì)信息輸入到控制器中，增強(qiáng)了控制器的抗擾動(dòng)能力。此外，引入二階滑模微分器對(duì)虛擬控制律的導(dǎo)數(shù)進(jìn)行逼近，解決了“微分爆炸”的問題，保證了誤差補(bǔ)償信號(hào)在有限時(shí)間內(nèi)的收斂性。最后，證明了所設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并設(shè)計(jì)了兩個(gè)實(shí)例，通過仿真驗(yàn)證了所提控制策略在電動(dòng)汽車變速和恒速行駛時(shí)具有更好的轉(zhuǎn)速跟蹤性能和抗干擾能力?？紤]電動(dòng)汽車驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)使用的是大容量電池和大功率電機(jī)，后續(xù)將搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，對(duì)控制器的實(shí)時(shí)性進(jìn)行進(jìn)一步驗(yàn)證。