逆向思維在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的訓(xùn)練策略

□山東省平度市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 張光輝

數(shù)學(xué)的本質(zhì)是思維。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師有必要培養(yǎng)學(xué)生的各種思維，其中最為典型的便是逆向思維，是初中學(xué)生必不可少的一項(xiàng)能力。其作為創(chuàng)新思維的一種，能突破學(xué)生原有的正向思維定勢，從反向出發(fā)，求索、思考、判斷、分析，獲得對所思考內(nèi)容的創(chuàng)新理解；能夠讓學(xué)生掌握從多角度分析并思考知識(shí)和問題的方法。基于此，本文闡述了逆向思維的基本內(nèi)涵，分析了逆向思維在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的訓(xùn)練價(jià)值及訓(xùn)練策略，旨在提高學(xué)生的思維水準(zhǔn)，促進(jìn)他們學(xué)科核心素養(yǎng)的培育及發(fā)展。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》提出數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，主要包括“三會(huì)”，其中便涉及了學(xué)生“用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”，這既反映了數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本特征，也是學(xué)生對數(shù)學(xué)基本思想的感悟和內(nèi)化結(jié)果。在具體教學(xué)過程中，教師應(yīng)該充分發(fā)揮數(shù)學(xué)課程作為“思維的體操”的作用，多維訓(xùn)練學(xué)生的思維。逆向思維作為一種反向思維，能讓學(xué)生突破以往正向思維思考的模式，從逆向角度分析，完成推理與判斷，形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)，促進(jìn)他們養(yǎng)成科學(xué)的態(tài)度及理性精神。因此，初中數(shù)學(xué)教師要重視逆向思維的訓(xùn)練，于多元化的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中支撐學(xué)生完成多元思考，為他們核心素養(yǎng)的發(fā)展提供有力支撐。

一、逆向思維基本概述

逆向思維是一種反向探索問題的思維方式，具有“反其道而行”的特點(diǎn)。從哲學(xué)的角度分析，世界上一切事物都包含了既相互對立又相互統(tǒng)一的兩個(gè)方面，對立與統(tǒng)一的哲學(xué)特性是逆向思維存在的客觀基礎(chǔ)。從人體認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的角度分析，如果將原有的思路稱為正向思維，那么一切與原有思路相反的都可以稱為逆向思維。從這一點(diǎn)便可以看出逆向思維具有創(chuàng)新性，旨在突破傳統(tǒng)思考模式的限制，將以往所掌握的、所認(rèn)知的集結(jié)，通過思考、求索的方式，實(shí)現(xiàn)對已有認(rèn)知的創(chuàng)新或顛覆。

逆向思維的本質(zhì)其實(shí)是反向求索，當(dāng)人們在問題解決、知識(shí)思考、道理認(rèn)知過程中，一旦由原有思維無法突破或者得出更好方案時(shí)，便會(huì)依據(jù)一種原理或者方法的特點(diǎn)對其進(jìn)行否定或者反向思考，以求取得問題的解決。

逆向思維具有普遍性、批判性及新穎性特征，適用于數(shù)學(xué)教學(xué)的所有教學(xué)模塊，不管是理論知識(shí)的學(xué)習(xí)還是問題的解決，都可以運(yùn)用逆向思維，所以它有著普遍性。逆向思維是突破正向思維定勢的束縛，否定以往的習(xí)慣和經(jīng)驗(yàn)，形成新的認(rèn)知模式，所以它有著批判性和質(zhì)疑性。逆向思維訓(xùn)練的過程就是讓學(xué)生嘗試從不同的方面分析并解讀知識(shí)，達(dá)成問題的解決，讓學(xué)生立足事物的多面屬性，從不同的角度出發(fā)，克服循規(guī)蹈矩的思維障礙，所以它有著一定的創(chuàng)新性。

二、逆向思維在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的訓(xùn)練價(jià)值

（一）有利于推進(jìn)學(xué)生質(zhì)疑思辨

逆向思維在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的訓(xùn)練，有利于推進(jìn)學(xué)生質(zhì)疑思辨。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》在“四能”中指出了學(xué)生要發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題并解決問題?！八哪堋迸c學(xué)生核心素養(yǎng)的“三會(huì)”環(huán)環(huán)相扣，發(fā)現(xiàn)、提出、分析與解決問題的過程便是學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光、思維、語言完成對現(xiàn)實(shí)世界觀察、思考與表達(dá)的過程。這樣的過程讓學(xué)生經(jīng)歷質(zhì)疑、思辨，促進(jìn)他們對所學(xué)知識(shí)點(diǎn)及問題進(jìn)行深入研究。逆向思維在這一過程中起到了十分重要的作用，不管是最開始的發(fā)現(xiàn)問題還是最后的解決問題，都需要學(xué)生突破思維定勢，從不同的角度思考、分析問題，經(jīng)歷數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的過程，持續(xù)增強(qiáng)質(zhì)疑問難的批判性思維，促進(jìn)了學(xué)生的深遠(yuǎn)發(fā)展。

（二）有利于拓寬學(xué)生解題思路

逆向思維在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的訓(xùn)練，能夠拓寬學(xué)生的解題思路。多數(shù)學(xué)生在解題的時(shí)候，基本上采取的是正向思考的方式，往往很難快速找到解決問題的思路或者以正向思考方式展開的解題過程比較復(fù)雜。教師訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維，能讓學(xué)生開闊問題思考的視角、簡化問題解決的過程、降低問題解決的難度，使他們能夠在不斷的訓(xùn)練中轉(zhuǎn)變正向思維思考的定勢，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)變思維方法，從提升思維能力及問題分析和解決能力出發(fā)完成解題活動(dòng)，創(chuàng)新、探索更為多元的解題思路。以倒推或質(zhì)疑的態(tài)度重新解決問題，敢于反其道而行，使自身的思維得以朝著不同的方向發(fā)展，多角度、多方面更新維度。這樣便讓學(xué)生以辯證客觀的態(tài)度分析數(shù)學(xué)問題，獲得更為深層的感悟與體會(huì)，為他們后續(xù)更為全面的發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

（三）有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力

逆向思維在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的訓(xùn)練，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。數(shù)學(xué)課程有著極強(qiáng)的抽象性，其中涉及了大量的數(shù)學(xué)公式與理論知識(shí)，學(xué)生理解起來比較困難。逆向思維的訓(xùn)練能夠讓學(xué)生突破傳統(tǒng)模式的局限，探尋知識(shí)理解的新方式，啟發(fā)他們多元思考，能以更為新穎的視角理解知識(shí)內(nèi)容，逐漸獲得更為豐富且新穎的學(xué)習(xí)體驗(yàn)與理解深度，使學(xué)生的創(chuàng)新思維得到不斷深化。在具體的學(xué)習(xí)實(shí)踐中，學(xué)生也將逐漸形成大膽假設(shè)、小心求證的能力，轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)生搬硬套、死記硬背等被動(dòng)式的學(xué)習(xí)模式，避免思維僵化，整體提升了創(chuàng)新能力。

三、逆向思維在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的訓(xùn)練策略

（一）以問題驅(qū)動(dòng)逆向思考，實(shí)現(xiàn)質(zhì)疑思辨

古人有云：“不憤不啟、不悱不發(fā)?！庇纱丝梢?，質(zhì)疑思辨尤為重要。在訓(xùn)練學(xué)生逆向思維的過程中，教師應(yīng)引領(lǐng)學(xué)生質(zhì)疑思辨，通過問題的設(shè)計(jì)，引發(fā)學(xué)生的思維沖突。學(xué)生將在思維的沖突處找到逆向思考的切入點(diǎn)，以某一個(gè)知識(shí)引發(fā)對其他知識(shí)的思考，增強(qiáng)遷移運(yùn)用效能。同時(shí)，學(xué)生根據(jù)自己的理解產(chǎn)生新的思考，提出不同的見解，于動(dòng)態(tài)生成的思維課堂中實(shí)現(xiàn)正逆思維的融會(huì)貫通，引發(fā)更多的質(zhì)疑思辨。

以北師大版八年級(jí)下冊第一章第三節(jié)《線段的垂直平分線》進(jìn)行為例，課程教學(xué)的重點(diǎn)是讓學(xué)生證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理及判定定理，在理解的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)用性質(zhì)定理及判定定理進(jìn)行相關(guān)的證明與計(jì)算。在具體的教學(xué)中，教師應(yīng)該重視以問題來引導(dǎo)學(xué)生參與定理求證的過程，同時(shí)在求證過程中產(chǎn)生更多思考，獲得對該知識(shí)點(diǎn)的深層理解。依據(jù)學(xué)生參與知識(shí)生成的過程，教師設(shè)計(jì)的問題也要具有層次性，具體步驟如下：

1.問題引領(lǐng)知識(shí)生成。

教師可以讓學(xué)生在A4 紙上任意畫一條線段AB，利用尺規(guī)作出這一條線段的垂直平分線，在垂直平分線上任意選取一點(diǎn)C，連接CA、CB。隨即思考以下問題：

問題一：沿垂直平分線對折，CA、CB 存有何種數(shù)量關(guān)系呢？

問題二：是否可以用一句話描述自己操作過程中所得的結(jié)論？

學(xué)生結(jié)合課本教材，嘗試得出結(jié)論：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。在學(xué)生得出結(jié)論之后，教師可以反問學(xué)生：這個(gè)結(jié)論成立嗎？你能證明嗎？用問題讓學(xué)生聚焦結(jié)論完成反證，于知識(shí)生成的過程中激活逆向思維。

2.問題驅(qū)動(dòng)知識(shí)深究。

在引領(lǐng)學(xué)生得到線段垂直平分線的性質(zhì)之后，教師可以借助“逆命題的探索”持續(xù)深化學(xué)生的逆向思考。具體而言，教師可以向?qū)W生拋出這樣一個(gè)問題：“在學(xué)習(xí)每一個(gè)命題時(shí)，我們都要探索它的逆命題是否也成立，這樣能幫助我們掌握性質(zhì)定理。那么同學(xué)們是否可以寫出這一性質(zhì)的逆命題呢？這一逆命題是否成立？”在寫“線段垂直平分線性質(zhì)的逆命題”時(shí)，學(xué)生將經(jīng)歷多維逆向思考的過程。以往學(xué)生都是正向思考，現(xiàn)在要通過寫逆命題的方式進(jìn)行逆向思考，這能夠突破傳統(tǒng)思維的束縛。學(xué)生從逆命題的內(nèi)涵（逆命題與原命題題設(shè)和結(jié)論相反）找出這一性質(zhì)的結(jié)論（點(diǎn)在線段垂直平分線上）與題設(shè)（該點(diǎn)與線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等），而后將結(jié)論與題設(shè)連起來，寫出逆命題：與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。在寫出逆命題之后，學(xué)生需要繼續(xù)依據(jù)所學(xué)知識(shí)完成對逆命題的求證，讓逆向思考持續(xù)生發(fā)。

教師經(jīng)過以上兩個(gè)環(huán)節(jié)的問題引領(lǐng)與驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生的逆向思維得到訓(xùn)練。在學(xué)生掌握知識(shí)點(diǎn)之后，教師可以讓學(xué)生討論交流，說出自己對本節(jié)知識(shí)的思考、質(zhì)疑。比如，有的學(xué)生根據(jù)剛才的證明方法，提出“在作垂直平分線時(shí)，我們只需要在線段外找到一個(gè)與該線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是否就可以了？”提出這一思考后，其他學(xué)生也根據(jù)自己的理解，繼續(xù)說出自己的想法，如：“必須經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)作垂線”“只需要找到與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)就可以作垂直平分線了?！辈煌膶W(xué)生提出了不同的質(zhì)疑，教師便可以讓他們自主探究，證明自己的質(zhì)疑，激發(fā)思辨，使逆向思維在課堂上得以生成。

（二）以逆向思維多元解題，拓寬解題思路

在訓(xùn)練學(xué)生逆向思維時(shí)，教師應(yīng)該引領(lǐng)學(xué)生以逆向思維多元解題，拓寬解題思路，打破傳統(tǒng)以正向思維解題的桎梏，使學(xué)生在解題中能受到潛移默化的熏陶，掌握逆向思考的方法，為他們高質(zhì)、高效的問題解答奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。同時(shí)，教師還需要引導(dǎo)學(xué)生在解答過程中進(jìn)行反思，對比正逆思維分析問題的異同，以辯證客觀的理念認(rèn)知逆向思維解題的價(jià)值。

1.執(zhí)果索因。

執(zhí)果索因比起由因?qū)Ч膯栴}解決方式能讓證明題更為簡單，只需要將結(jié)論作為切入點(diǎn)，思路朝著已知條件靠攏，以“要證明A 只需要證明B”的方式完成解決。于正逆對比中找出其中的聯(lián)系與差異，能整體拓寬學(xué)生的解題思路，以北師大版九年級(jí)上冊第四章第五節(jié)《相似三角形判定定理的證明》進(jìn)行為例，教師可以為學(xué)生出示一道比較典型的證明題，指導(dǎo)學(xué)生使用執(zhí)果索因的方法完成求證。如下：

如圖1 所示，點(diǎn)D、E 是三角形ABC 邊AB、AC上的點(diǎn)，∠ADE=∠ACB，求證AD·AB=AE·AC。

圖1

教師需要引領(lǐng)學(xué)生從“AD·AB=AE·AC”這一求證結(jié)論出發(fā)進(jìn)行變形，明確要求AD·AB=AE·AC只需要使。結(jié)合這一變形，學(xué)生可以聯(lián)結(jié)相似三角形對應(yīng)邊成比例的知識(shí)點(diǎn)，證明△ADE 與△ACB相似，便可以從對應(yīng)邊成比例的關(guān)系出發(fā)得出以此完成求證。

2.正難則反。

正難則反幾乎適用于所有解題內(nèi)容，在否定結(jié)論更加明顯、具體或直接證明結(jié)論難以下手時(shí)，就要改變思考方向，運(yùn)用反證法，讓問題迎刃而解。教師需要讓學(xué)生掌握反證法的關(guān)鍵（否定結(jié)論），引領(lǐng)學(xué)生總結(jié)題目中關(guān)鍵詞的常見否定形式，而后完成解題。以北師大版八年級(jí)上冊第七章《平行線的判定》進(jìn)行為例，教師可以為學(xué)生出示以下例題：

如圖2 所示，四邊形ABCD 中，M、N 分別是AB、CD 的中點(diǎn)，且，求證：AD ∥BC。

圖2

這道題給出的信息很難從正向出發(fā)求證，也很難從結(jié)論出發(fā)求證，因此教師可以讓學(xué)生假設(shè)AD、BC不平行，結(jié)合已知條件，先證明，得出，再證明“MP+PN ＞MN”，順勢得出，與原式矛盾，就此反證得出AD、BC 不平行不成立，進(jìn)而完成求證。

（三）以雙向思考拓寬維度，全面理解知識(shí)

在訓(xùn)練學(xué)生逆向思維時(shí)，教師要注重引領(lǐng)學(xué)生雙向思考，拓寬思索維度，讓學(xué)生更為全面地理解所學(xué)知識(shí)。逆向思維的培養(yǎng)與訓(xùn)練并不代表要摒棄正向思考的模式，正逆融通才能讓學(xué)生的思考視角更為廣闊，才能避免出現(xiàn)狹隘的思考模式。所以，教師要引領(lǐng)學(xué)生雙向思考，促進(jìn)他們更為全面、深刻地理解所學(xué)知識(shí)。

以北師大版七年級(jí)上冊第二章第一節(jié)《有理數(shù)》進(jìn)行為例，學(xué)生需要重點(diǎn)理解有理數(shù)的概念，因此教師可以先從正向思考的視角出發(fā)，為學(xué)生出示一些具有代表性的數(shù)字，如等，讓學(xué)生根據(jù)這些數(shù)字并結(jié)合已有認(rèn)知基礎(chǔ)，總結(jié)出“有理數(shù)就是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱”。然后，教師從反向思考的視角出發(fā)，讓學(xué)生結(jié)合“有理數(shù)”的概念表述“無理數(shù)”的概念。以此，學(xué)生便將根據(jù)已經(jīng)推導(dǎo)出來的概念進(jìn)行逆向思維反推，以此得出無理數(shù)的概念為“無限不循環(huán)的小數(shù)、無法寫作兩正數(shù)之比的數(shù)”。這樣一來，學(xué)生便經(jīng)歷了正逆思考的過程，思維更為發(fā)散，對正逆思維的認(rèn)知也更為具象。在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生能夠?qū)W會(huì)從雙向思考的視角完成知識(shí)點(diǎn)理解與分析，在雙向多維思考中產(chǎn)生對知識(shí)點(diǎn)的創(chuàng)造性理解，提升創(chuàng)新能力。

四、結(jié)語

綜上所述，逆向思維作為與正向思維相對應(yīng)的一種模式，對學(xué)生的課程學(xué)習(xí)有著極大助力。在新課標(biāo)背景下，初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該明白“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要方式之一，要重視對學(xué)生思維的訓(xùn)練。教師要從意識(shí)理念層面清晰認(rèn)知逆向思維對學(xué)生提供的助力，采取有效的策略，優(yōu)化逆向思維的訓(xùn)練模式。教師可以通過以問題驅(qū)動(dòng)逆向思考、以逆向思維多元解題、以雙向思考拓寬維度等方式，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)質(zhì)疑思辨、拓寬解題思路、全面理解知識(shí)，持續(xù)優(yōu)化學(xué)生學(xué)習(xí)的全過程，突出他們的主體地位，推進(jìn)學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展。