隧道拱頂滲漏穩(wěn)態(tài)滲流場的解析研究

余俊，李東凱

(中南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410075)

隧道病害問題隨著隧道數(shù)量的增加而逐漸增多.隧道拱頂開裂、漏水是隧道較常見病害[1-2]，長時間的滲漏水會造成隧道襯砌混凝土結構和隧道內設備的破壞，影響隧道的正常使用[3].

隧道滲流研究方法主要分為數(shù)值法和解析法兩類.數(shù)值法的隧道滲流研究已經(jīng)較為成熟，很多學者采用數(shù)值模擬方法開展隧道發(fā)生滲流情況下的涌水量研究[4-8].Zhang 等[9]用有限元孔隙壓力減壓法分析飽和土中盾構隧道的局部滲漏對隧道和地面沉降的影響，發(fā)現(xiàn)采用均勻隧道滲漏假設會高估隧道和地面的沉降，局部滲漏水情況應單獨考慮.Yang 等[10]采用有限元軟件建立水力學二維和三維模型，模擬了隧道局部滲漏引起的地面和隧道響應.鄭剛等[11]采用有限差分方法針對盾構隧道線漏水問題，分析漏水部位對隧道周圍土體和相鄰隧道的影響.劉印等[12]通過有限元軟件中管片接頭弱化和接頭滲流路徑的設置，研究局部接頭滲漏水對隧道周圍土體孔壓及沉降的影響.Wu 等[13]采用在三維有限元模型中引入一維滲漏單元的方法模擬盾構接縫長期滲漏的情況，為研究隧道和地面對隧道任意局部滲漏情況的響應提供了新的方向.相比于數(shù)值法，解析解可以作為重要補充且使用簡單，它能夠通過函數(shù)形式將各影響因素直觀地表達出來，便于學者進一步研究滲流規(guī)律.Harr[14]通過鏡像法得到隧道周圍的孔隙壓力分布.Park 等[15]提出沿隧道周長2 種不同的邊界條件（零孔壓邊界條件和恒定總水頭邊界條件），通過保角變換的方法給出不同邊界條件下的封閉解析解.很多學者在這2 種邊界條件的基礎上采用不同的方法推導無注漿圈[16-18]和有注漿圈[19-22]的隧道滲流解析解.這些解析解采用的是將局部滲漏能力均化到整個隧道上或者針對完全滲漏隧道，無法真實反映隧道發(fā)生局部滲漏水的情況.Guo 等[23]通過Mobius 變換和等效周長法給出地下水通過線缺陷滲入下水道的滲流量近似解.Tang 等[24]在隧道完全滲漏情況下滲流精確解[18]的基礎上提出計算帶有一條線缺陷的管道周圍孔隙水壓力和滲流量的解析方法.但這些解都不是精確的解析解，與數(shù)值模擬結果和實驗結果均有較大差距.

針對隧道拱頂線漏水的病害問題，本研究根據(jù)對稱性簡化邊界條件，結合保角變換法和分離變量法給出隧道發(fā)生拱頂滲漏時穩(wěn)態(tài)滲流場的顯式解析解.針對只采用保角變換方法無法給出局部滲漏情況下準確解析解的問題，本研究利用正交性求解解析解中的未知數(shù).本研究將對比滲流量計算結果與現(xiàn)有解析解、數(shù)值解和試驗解，并對比水頭和水壓力計算結果與有限元軟件計算結果，進行所得解析解的正確性和優(yōu)越性驗證.此外，本研究將通過參數(shù)分析探究隧道埋深、滲漏寬度對襯砌水壓力和滲流量的影響規(guī)律.

1 模型假定

富水區(qū)隧道的襯砌結構通常為馬蹄形，在解析研究方面，對于如馬蹄形的非圓形斷面一般采用保角變換將斷面映射為圓形[25]，但是復變函數(shù)求解過程較為復雜，因此在解析研究中往往直接假設隧道為圓形斷面[17]或者使用等效周長法和等效面積法將真實隧道斷面簡化為圓形斷面[26].本研究采用圓形斷面隧道進行解析研究.

半無限飽和土體中隧道發(fā)生線漏水時可以近似為平面滲流，由于線漏水發(fā)生在拱頂，模型關于隧道中軸線對稱，可以取隧道半截面進行分析，平面示意圖如圖1 所示，圓形隧道半徑為r，隧道中心距地面距離為h，地表水位為hw，發(fā)生滲漏水部位的弧長為D.

圖1 隧道平面模型Fig.1 Tunnel plane model

本研究的基本假定如下.1）距離隧道無窮遠處近似視為不透水邊界，隧道襯砌不發(fā)生滲漏水的部位由于滲透系數(shù)遠小于土體滲透系數(shù)，視為不透水邊界；取半截面分析后，根據(jù)對稱性，隧道中軸線可視為法向不透水邊界.2）發(fā)生滲漏水的部位為零孔壓邊界（滲漏水位置處的位置水頭）；一般情況下，發(fā)生滲漏水的尺寸較小，因此滲漏水部位的位置水頭選取滲漏水部位中心處的位置水頭，即h2=-h+r.3）土體均質、各向同性，滲透系數(shù)保持恒定.4）隧道處于穩(wěn)定滲流狀態(tài)，水流服從達西定律.

2 公式推導

2.1 保角變換

根據(jù)達西定律和質量守恒定律，隧道周圍的二維滲流可以用拉普拉斯方程描述，但在z平面中直接求解是非常困難的[18]，為此基于復變函數(shù)的保角變換將原z平面中較復雜的滲流區(qū)域映射到ζ 平面的矩形滲流區(qū)域再進行求解，最后通過保角變換的反變換將解變回原始的z平面，得到隧道發(fā)生拱頂滲漏水時滲流場的顯式解析解.區(qū)別于文獻[23]和文獻[24]，本研究僅采用保角變換的方法得到解析解.結合保角變換和分離變量法，可以單獨考慮拱頂滲漏位置的滲漏能力，得到精確的滲流場解析解，而不是得到近似解或者在他人研究基礎上的改進解析解.

如圖2 所示，基于映射函數(shù)將z平面下的滲流區(qū)域映射到ζ 平面的矩形滲流區(qū)域，映射函數(shù)為

圖2 保角變換示意圖Fig.2 Diagram of conformal mapping

式中：u、v為w平面的橫縱坐標，ξ、η 為ζ 平面的橫縱坐標.除了點4，其余各點根據(jù)式（1）和式（2）映射到ζ 平面后的數(shù)值見圖2.點4 的β 根據(jù)式（1）和式（2）得到，為

2.2 滲流場的解析解

假定滲流區(qū)域為均質含水層，忽略含水介質在壓縮過程引起的介質滲透性變化，則ζ 平面中矩形區(qū)域的二維穩(wěn)態(tài)滲流滿足拉普拉斯方程：

式中：H1、H2分別為圖2(c)中區(qū)域①和區(qū)域②的總水頭.根據(jù)模型假定闡述圖2(c)的解析模型邊界條件如下.1）z平面中1-3、5-6 邊界位于取對稱結構的中軸線上，在ζ 平面中視為法向不透水邊界；4-5 邊界為襯砌結構，在ζ 平面中也視為法向不透水邊界.2）z平面中6-7、2-7 邊界均為無窮遠邊界，均在ζ 平面中視為不透水邊界.

ζ 平面中矩形區(qū)域的邊界條件如下.1）區(qū)域①：左邊界（ξ=ln α）為滲漏部位中心的位置水頭h2；右邊界（ξ=0）為地表水頭hw；上邊界（η=π）為法向不透水邊界，即 ?H1/?η=0.2）區(qū)域②：左邊界（ξ=ln α）為不透水邊界，即 ?H2/?ξ=0 ；右邊界（ξ=0）為地表水頭hw；下邊界（η=0）為法向不透水邊界，即 ?H2/?η=0.3）區(qū)域①和區(qū)域②之間的連續(xù)條件為

基于分離變量法[27]，當矩形區(qū)域左右邊界為水頭邊界時，拉普拉斯方程的通解為

當矩形區(qū)域左邊界為不透水邊界，右邊界為導數(shù)邊界時，拉普拉斯方程的通解為

式中：a0、b0、c0、A0n、B0n、C0m、D0m均為待定常數(shù)，可根據(jù)邊界條件和連續(xù)條件求解.將區(qū)域①和區(qū)域②的邊界條件分別帶入式（6）和式（7），將區(qū)域①和區(qū)域②的總水頭寫成級數(shù)和的形式：

式中：An、Bm為水頭解中待求參數(shù)；kn=-nπ/ln α,km=-(2m-1)π/2ln α；n、m=1,2,3,···,∞.根據(jù)2 個區(qū)域的總水頭解和連續(xù)條件式（5）得到

為了求解級數(shù)方程中的未知數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的正交性特意構造非齊次方程組，使方程中未知數(shù)可解，在式（10）和式（11）兩邊分別乘以sinknξ、sinkmξ，并分別在[ln α,0]上積分，得到

利用Matlab 編程計算式（12）和式（13）求出An、Bm.在求解上述參數(shù)時，公式中的級數(shù)都是無窮級數(shù)，為了求解未知系數(shù)，必須將級數(shù)在第N項處截斷.但此時求出的滲流場解均為ζ 平面中滲流場的解，為了得到z平面中隧道發(fā)生拱頂滲漏水時穩(wěn)態(tài)滲流場的顯式解析解，須再次通過保角變換將ζ 平面中滲流場的解析解變換為z平面中隧道發(fā)生拱頂滲漏水時穩(wěn)態(tài)滲流場的顯式解析解.第二次保角變換的公式根據(jù)式（1）和式（2）得到，為

z平面中隧道發(fā)生拱頂滲漏水時穩(wěn)態(tài)滲流場總水頭解為

2.3 孔隙水壓力解析解

在流體力學中，根據(jù)伯努利方程，總水頭由位置水頭、壓強水頭、動能水頭組成.二維穩(wěn)態(tài)滲流情況下，動能水頭為0，總水頭表達式為

式中：ρ 為水的密度，g為重力加速度.孔隙水壓力p用水頭H表示，為

根據(jù)式（16）和式（17），孔隙水壓力解析解為

2.4 滲漏水位置滲流量解析解

z平面滲漏水位置的滲流量和ζ 平面矩形區(qū)域中3-4 段的滲流量相等，可以按照ζ 平面矩形區(qū)域來求解z平面滲漏水位置的滲流量.根據(jù)式（8）可以得到ζ 平面中滲漏水位置處3-4 段的水力梯度：

解析求解過程中選取半截面進行求解，實際滲漏水位置處的滲流量為

式中：k為土體滲透系數(shù).由式（21）可以得到

3 解析解的驗證

3.1 滲流量計算結果對比驗證

如圖3 所示，通過分析級數(shù)項數(shù)N不同取值對隧道上方中軸線上（圖2(a)中線1-3）水頭計算結果的影響.當取N=1～10 時，解析解水頭計算結果變化較大；當N≥20 時，解析解水頭計算結果變化很小.可以認為當N≥20 時，計算結果收斂，繼續(xù)增大級數(shù)項數(shù)N的意義不大，因此解析解的對比分析均取級數(shù)項數(shù)N=20.在級數(shù)項數(shù)取N=20 的情況下，解析解應用普通辦公電腦計算的計算耗時僅在1 s 左右.相較于數(shù)值軟件，在改變工程參數(shù)時，只要改變程序中的輸入值，省去了數(shù)值軟件重新建模和劃分網(wǎng)格的步驟，有較好的實用性.

圖3 級數(shù)項數(shù)對隧道上方中軸線水頭計算結果的影響Fig.3 Influence of level terms number on water head calculations results of central axis above tunnel

為了驗證本研究解析解的正確性，將由式（23）得到的解析解滲流量計算結果與文獻[24]的解析解計算結果、數(shù)值模擬計算結果和試驗結果以及文獻[23]的近似解計算結果進行對比.不同地表水頭情況下滲漏部位滲流量的對比情況如圖4 所示，不同滲漏寬度情況下滲漏部位滲流量的對比情況如圖5 所示.對比中選取的現(xiàn)有解析解計算結果、數(shù)值解計算結果和實驗數(shù)據(jù)為文獻[24]中的原始數(shù)據(jù)，本研究解析解計算過程中采用的參數(shù)也與文獻[24]中的參數(shù)相同.由圖4 中可以看出，本研究解析解和數(shù)值計算結果幾乎一致，最大誤差不超過2.5%，文獻[24]的解析解與數(shù)值模擬計算結果最小誤差大于12%.且相較于文獻[23]的近似解和文獻[24]的解析解，解析解與實驗結果更為接近.由圖5 中可以看出，本研究解析解與數(shù)值解吻合很好，遠比文獻[24] 的解析解精確，且滲漏部位的滲流量隨著滲漏寬度的增大而增大.可見，本研究解析解具有很高的精度，可以準確地預測隧道拱頂發(fā)生滲漏水時的滲流量.

圖4 不同地表水頭情況下的滲流量Fig.4 Seepage volumes for different surface water head conditions

圖5 不同滲漏寬度情況下的滲流量Fig.5 Seepage volumes for different leakage widths

3.2 水頭和襯砌水壓力計算結果對比驗證

為了進一步驗證本研究解析解的正確性，利用有限元軟件PLAXIS 建立與解析模型相同幾何形狀、邊界條件以及滲透率的數(shù)值模型.建模步驟如下.1）按照解析模型建立相同的幾何模型，對于解析模型中橫向邊界為無窮遠的情況，根據(jù)文獻[21]，將橫向邊界寬度和地表到底部邊界的距離均取為隧道直徑的9 倍.2）采用15 節(jié)點的三角形單元對模型進行網(wǎng)格劃分，并對隧道周圍進行網(wǎng)格局部加密.3）設置邊界條件：隧道襯砌為不透水邊界，拱頂滲漏部位為零孔壓邊界；地表施加15 m 水頭邊界，模型側邊界和底部邊界均為不透水邊界.4）激活隧道襯砌、鈍化隧道內部土體，并進行地下水穩(wěn)態(tài)滲流計算，得到數(shù)值計算結果.模型圖如圖6 所示，若無特殊說明，驗證和討論取用的模型參數(shù)如下：hw=15 m，h=9 m，r=3 m，D=0.3 m，k=1.16×10-5m/s.如圖7 所示為本研究解析解與有限元軟件水頭計算結果，如圖8 所示為隧道襯砌水壓力計算結果對比圖.可以看出，本研究解析解水頭計算結果和水壓力計算結果與有限元軟件計算結果基本吻合，進一步說明了本研究解析解的正確性.可見，本研究解析解能夠準確地預測當隧道發(fā)生拱頂滲漏水時周圍滲流場的情況.

圖6 PLAXIS 模型圖Fig.6 PLAXIS model diagram

圖7 水頭計算結果對比Fig.7 Comparison of water head calculation results

圖8 襯砌水壓力計算結果對比Fig.8 Comparison of lining water pressure calculation results

4 參數(shù)分析

4.1 隧道埋深

如圖9 所示為不同埋深情況下隧道襯砌水壓力分布情況.可以看出，以滲漏水位置為中心±60°范圍內襯砌上水壓力比不發(fā)生滲漏時的靜水壓力有明顯下降.原因是地下水大量流入，導致隧道周圍襯砌水壓力明顯降低.當h/r=3 時，在局部滲漏水位置±60°范圍內的襯砌水壓力小于靜水壓力的86%；當h/r=6 時，在局部滲漏水位置±60°范圍內的襯砌水壓力小于靜水壓力的78%；當h/r=9時，在局部滲漏水位置±60°范圍內的襯砌水壓力小于靜水壓力的75%.可見隧道埋深越大，滲漏水對滲漏部位周圍襯砌上水壓力減小作用越大.值得注意的是，隧道滲漏會使以滲漏水位置為中心周圍±60°范圍內的襯砌水壓力明顯降低，這也可以為設有排水孔隧道的設計提供參考.

圖9 不同埋深情況下的隧道襯砌水壓力分布圖Fig.9 Diagram of water pressure distribution on tunnel lining for different burial depths

如圖10 所示為隧道埋深對襯砌上最大水壓力pmax的影響.可以看出，無論地表水頭多大，隧道襯砌上最大水壓力都會隨著隧道埋深的增大而線性增大；隨著隧道埋深的增加，發(fā)生滲漏時襯砌上的最大水壓力與不發(fā)生滲漏時最大靜水壓力的差值越來越大.當hw/r=3、4、5，h/r從0 增大到9 時，發(fā)生滲漏的襯砌最大水壓力與不發(fā)生滲漏襯砌最大靜水壓力的比值從1.00 減小到0.87，說明滲漏水對隧道襯砌最大水壓力的降低作用隨著隧道埋深的增加而增加，但發(fā)生滲漏的襯砌最大水壓力與不發(fā)生滲漏襯砌最大靜水壓力的比值與地表水頭的大小無關.

圖10 隧道埋深對襯砌最大水壓力的影響Fig.10 Influence of tunnel burial depth on maximum lining water pressure

如圖11 所示為隧道埋深對滲漏部位滲流量的影響.可以看出，無論地表水頭多大，發(fā)生滲漏處滲流量的變化趨勢相同，都會隨著隧道埋深的增大先減小后增大.原因是隧道埋深較小時，地表的水很容易通過隧道上方土層流入隧道，隨著隧道埋深的增大，地表水流入隧道變得困難，導致滲流量先減小而后隨著隧道埋深的繼續(xù)增大，滲漏水位置處的水頭逐漸減小，水力梯度逐漸增大，滲漏水處的滲流量也隨之增大.因此，滲流量在隨著隧道埋深變化時存在唯一最小值.當hw/r=3 時，最小值對應的h/r=1.87；當hw/r=4 時，最小值對應的h/r=2.07；當hw/r=5 時，最小值對應的h/r=2.27.可見，隨著地表水頭的增大，滲流量最小值對應的隧道埋深會逐漸增大.

圖11 隧道埋深對滲漏部位滲流量的影響Fig.11 Influence of tunnel burial depth on seepage volume at leakage site

4.2 滲漏寬度

如圖12 所示為不同滲漏寬度情況下隧道襯砌上水壓力分布情況.可以看出，隨著滲漏寬度的增大，隧道襯砌上水壓力逐漸減小，但減小程度較弱，且主要減小滲漏水部位周圍±60°范圍內的襯砌水壓力.如圖13 所示為滲漏寬度對襯砌上最大水壓力pmax的影響.可以看出，隨著滲漏寬度的增大，隧道襯砌上最大水壓力逐漸減小，且與不發(fā)生滲漏時的靜水壓力差距逐漸增大，說明滲漏寬度對隧道襯砌最大水壓力的降低作用隨著滲漏寬度的增大而增大.當滲漏寬度小于0.05 m時，滲漏寬度變化對襯砌最大水壓力的影響大于滲漏寬度大于0.05 m 時滲漏寬度變化的影響.當hw=5，滲漏寬度從0 增至0.05 m 時，襯砌最大水壓力降低了2.9%；滲漏寬度從0.05 m 增至0.3 m 時，襯砌最大水壓力降低了1.6%.可見隧道拱頂滲漏水對襯砌最大水壓力降低很少，遠不如對滲漏水位置周圍水壓力的降低程度，隧道拱頂滲漏水不僅有地下水流入隧道危害，施加在隧道襯砌上的最大水壓力也未明顯減小.

圖12 不同滲漏寬度情況下的隧道襯砌水壓力分布圖Fig.12 Diagram of water pressure distribution on tunnel lining for different leakage widths

圖13 滲漏寬度對襯砌最大水壓力的影響Fig.13 Influence of leakage width on maximum lining water pressure

如圖14 所示為滲漏寬度對滲漏部位滲流量的影響.可以看出，無論地表水頭為多大，隨著滲漏寬度的增大，滲漏位置處滲流量隨著滲漏寬度的增大而增大.但當hw=5，滲漏寬度從0.005 m 增至0.050 m 時，滲漏部位滲流量從3.53×10-5m3/(s·m)增至10.04×10-5m3/(s·m)，增加了184.2%；當滲漏寬度從0.05 m 增至0.30 m 時，滲漏部位滲流量從10.04×10-5m3/(s·m)增至15.51×10-5m3/(s·m)，增加了54.5%.滲漏寬度小于0.05 m 時滲流量的變化明顯大于滲漏寬度大于0.05 m 時滲流量的變化，且隨著滲漏寬度的增大滲流量的變化程度越來越小.結果表明，當滲漏寬度小于0.05 m 時，滲漏寬度對滲漏水位置處的滲流量有較大影響，當滲漏寬度大于0.05 m 時，滲漏寬度對滲流量的影響較小.可見，在滲漏寬度較小的時候若及時對滲漏水進行控制，對滲漏水部位進行修補，可以有效地阻止地下水大量流入隧道.

圖14 滲漏寬度對滲漏部位滲流量的影響Fig.14 Influence of leakage width on seepage volume at leakage site

5 結論

（1）經(jīng)試算當級數(shù)項數(shù)N＝20 時，解析解計算耗時在1 s 左右，且結果收斂程度較好.相較于數(shù)值軟件，在改變工程參數(shù)時省去了數(shù)值軟件須重新建模和劃分網(wǎng)格的步驟.

（2）將本研究解析解計算結果與有限元計算結果對比，驗證了本研究解的正確性.與現(xiàn)有解、數(shù)值模擬以及實驗結果進行對比發(fā)現(xiàn)，本研究解與數(shù)值模擬計算結果幾乎一致，且相較于現(xiàn)有解，本研究解與實驗結果更為接近.

（3）隨著隧道埋深的增大，滲漏水對降低襯砌水壓力的作用增強，滲漏水處滲流量隨著隧道埋深的增大先減小后增大，且隨著地表水頭的增大，滲流量最小值對應的隧道埋深逐漸增大.

（4）當滲漏寬度大于0.05 m 時，滲漏寬度的變化對隧道襯砌上最大水壓力和滲流量的影響較小，因此在滲漏寬度較小的時候若及時對滲漏水進行控制，可以有效地阻止地下水大量流入隧道.

（5）本研究隧道拱頂滲漏水的解析解可以用于拱頂設置排水孔隧道滲流場的解析，為設有排水孔隧道的解析研究提供參考.

（6）本研究未考慮滲流場還不穩(wěn)定的情況和有泥沙涌入的情況，后續(xù)計劃針對任意位置發(fā)生滲漏、非穩(wěn)態(tài)以及帶有泥沙涌入情況下隧道的滲流場開展研究工作.