基于凸包理論的含風電電力系統(tǒng)負荷恢復方案優(yōu)化

伊昆明，孫 磊，丁 江，丁 明

（1.合肥工業(yè)大學電氣與自動化工程學院,安徽省合肥市 230009；2.新能源利用與節(jié)能安徽省重點實驗室（合肥工業(yè)大學）,安徽省合肥市 230009；3.國網南昌供電公司,江西省南昌市 330000）

0 引言

近年來,自然災害和網絡攻擊等極端事件導致電力系統(tǒng)大規(guī)模停電事故頻發(fā),給國民經濟帶來嚴重的負面影響［1］。合理有效的負荷恢復方案有助于加快電力系統(tǒng)整體恢復進程,大幅降低因大停電事故導致的負面影響［2］。以風電為代表的可再生能源接入電力系統(tǒng)將有利于加快系統(tǒng)恢復速度［3］,但其出力的不確定性使得系統(tǒng)在恢復過程中存在大停電風險［4］。因此,研究含風電的電力系統(tǒng)負荷恢復策略具有重要意義。

現(xiàn)有負荷恢復模型通?？紤]頻率、電壓、發(fā)電機出力和潮流方程等約束條件,以最大化加權負荷恢復量或最小化停電損失為目標函數(shù)［5-8］。文獻［9］以最大化負荷恢復量為目標,建立了基于交流（AC）潮流的負荷恢復模型,但無法保證模型在多項式時間內精確求解。為解決考慮AC 潮流的負荷恢復模型求解效率低的問題,已有專家學者展開了對AC 潮流方程的線性近似和凸松弛的研究。線性近似方法主要對方程中的非線性項做近似處理,將非凸潮流模型轉化為線性的潮流模型［10］,如直流潮流模型。文獻［11-12］基于直流潮流提出了考慮動態(tài)頻率安全約束的負荷恢復模型。然而,直流潮流模型忽略了無功功率和網損,導致所得解誤差較大。文獻［13-14］將正余弦函數(shù)和電壓的平方項描述為關于相角和電壓的線性函數(shù),建立了基于混合整數(shù)線性規(guī)劃的滾動負荷恢復模型。但線性化的模型所得到的解未必是原模型的可行解［15］。凸松弛方法主要包括半正定松弛（semidefinite relaxation,SDR）、二階錐松弛（second-order cone relaxation,SOCR）和二次凸松弛（quadratic convex relaxation,QCR）,其中,SOCR 因其求解速度較快而被廣泛應用在電力系統(tǒng)諸多領域［16-17］。文獻［18］提出了計及通信系統(tǒng)失效的信息物理協(xié)同恢復策略,并構建了基于SOCR 的恢復模型,提高了模型的求解效率。文獻［19］建立了以最大化彈性指標為目標函數(shù)的故障恢復模型,并將所提出的模型描述為混合整數(shù)二階錐優(yōu)化模型。SOCR 具有快速求得全局最優(yōu)解的優(yōu)勢,但由于松弛誤差較大,其得到的最優(yōu)解未必在原模型可行域內［15］。采用上述文獻的方法處理負荷恢復模型中的AC 潮流方程,雖然在一定程度上提高了模型的求解效率,但無法保證解的精度。

凸包理論在處理強非線性電力系統(tǒng)AC 潮流方程方面得到了一定應用。文獻［20］提出了單變量平方、雙變量乘積等非線性項的凸包方程。在此基礎上,文獻［21-22］將非線性項的凸包方程應用到最優(yōu)潮流中,算例驗證了凸包方法能夠減小松弛解與標準模型解的最優(yōu)性差距。文獻［23］提出了將潮流方程的極坐標形式轉化為復功率指數(shù)形式的坐標變換方法,所提出的方法有助于提高凸包緊密性。文獻［24］提出了基于正交和組合的方法,有效減少了AC 潮流SDR 的誤差。極坐標下的AC 潮流方程具有高度非線性,由遞歸方法得到的三變量乘積項的凸表達式無法保證是三變量乘積項的凸包［25］,其帶來的松弛誤差較大。凸包方法的效果在一定程度上取決于凸包參數(shù),但目前尚且沒有精確的凸包參數(shù)的確定方法,通過調整凸包參數(shù)的取值范圍,可縮小可行域,進而減少因引入凸包帶來的誤差。

針對上述問題,本文首先針對AC 潮流方程的非凸性,建立了基于直角坐標的負荷恢復二階錐優(yōu)化模型。其次,采用條件風險價值（conditional value-at-risk,CVaR）理論處理風電的不確定性。然后,基于凸包理論對引入的松弛變量進行凸化,構建基于凸包理論的混合整數(shù)二階錐優(yōu)化模型,優(yōu)化負荷恢復方案；提出凸包參數(shù)的動態(tài)迭代方法,縮小可行域范圍,減少松弛誤差。最后,采用IEEE 39節(jié)點系統(tǒng)和改進的廣東電力系統(tǒng),驗證所提模型的有效性。

1 凸包理論

凸包本質上是一個凸多邊形或多面體,通過多個凸函數(shù)和凹函數(shù)包圍一個非線性方程。其中,凸函數(shù)是不大于非線性方程全局解的最高凸函數(shù),凹函數(shù)是不小于非線性方程全局解的最低凹函數(shù),由這些凸函數(shù)和凹函數(shù)構成的集合稱為凸包［20］。凸包的意義在于能夠對非線性約束進行凸松弛,對約束中非線性項凸化。電力系統(tǒng)的AC 潮流方程包含三角函數(shù)、變量相乘等非線性項,導致模型求解困難且無法保證全局最優(yōu)。將SOCR、QCR 等凸松弛技術引入電力潮流方程中已成為研究熱點,因其能夠加快求解速度且在一定松弛條件下能夠求得全局最優(yōu)解而被廣泛應用。常規(guī)SOCR 方法雖能提高模型求解效率,但當其松弛誤差較大時,所得結果并不精確,且僅能得到原問題最優(yōu)值的一個上界或下界［15］?；谕拱碚?通過動態(tài)改變包絡邊界縮小可行域,提高松弛緊密性,減少松弛后的最優(yōu)解與原模型最優(yōu)解的誤差,從而提高模型求解的精度,且運用凸包理論得到的解與原問題的解相近甚至相同。

確定函數(shù)在其定義域內的凸多面體（convex polyhedron）有利于構造該函數(shù)的凸包方程,這是因為凸多面體包絡（convex polyhedron envelope）總可由有限個仿射函數(shù)表示,且該包絡為所有仿射函數(shù)在其定義域內的最大值［26］。仿射函數(shù)具有F(x)=ATx+b形 式,其 中,A和x為n維 向 量,b為 參 數(shù)。具有凸多面體的函數(shù),其凸包一定經過多面體上的頂點,本文通過可行域的頂點獲取超平面進而得到凸包方程。雖然文獻［23］提出了定義域內分區(qū)域構造凸包的方法,即將定義域分成若干子定義域,在子定義域內由頂點獲取超平面,但會增加模型中布爾變量和約束的個數(shù),導致模型求解難度增加。因此,確定一個具有凸多面體的函數(shù)的凸包方程,需要找到該函數(shù)在定義域內的頂點,例如,節(jié)點i電壓Vi的 平 方 (?i∈ΩB) 在 定 義 域 內 的 頂 點 為(Vmin,VminVmin)和(Vmax,VmaxVmax),其凸包表達式見式（1）和式（2）；雙變量乘積項ViVj(?i,j∈ΩB)在定義域內的頂點為(Vmin,Vmin,VminVmin)、（Vmax,Vmax,VmaxVmax）、（Vmin,Vmax,VminVmax）和（Vmax,Vmin,VmaxVmin）,則該雙變量乘積項ViVj的凸包表達式如式（3）—式（6）所示［20-21］。

式中：ΩB為節(jié)點集合；Vmin和Vmax分別為節(jié)點電壓的最小和最大值；uii和uij為表示凸包而引入的輔助變量。

由式（1）和式（2）構成的松弛域見附錄A 圖A1,由式（3）—式（6）構成的松弛域見附錄A 圖A2。附錄A 圖A1 展示 了V2i的凸包松弛域,如陰影區(qū)域所示；附錄A 圖A2 展示了ViVj的凸包松弛域的一個截面,其中,陰影區(qū)域表示的凸松弛域由4 條直線確定其邊界。

文獻［26-27］證明了函數(shù)ψ(y1,y2)=y1y2在定義域R2中的所有多面體上均有一個凸多面體包絡,且函數(shù)在該凸多面體是邊凹（edge concave）［26］的。因此,其凸包方程可以直接由凸多面體頂點確定［28］。設（k′為邊的條數(shù)）為多面體P所有邊的集合,SP為多面體P所有點的集合,函數(shù)G在多面體P上二階連續(xù)可微,HG(p)為函數(shù)G在點p處的Hessian 矩陣,若對于D中任意邊向量dli都有,其中,p∈SP,則稱函數(shù)G在該多面體上是邊凹的［26,29］。如果函數(shù)G在它的一個多面體上均是邊凹的,則該多面體為凸多面體且有一個凸多面體包絡。如果一個函數(shù)φ(m1,m2,…,mn)對于任一變量mi是單獨線性的（其他變量設定為參數(shù),n為變量的維數(shù)）,即mi為變量時,mj(j≠i)均為參數(shù),則函數(shù)φ(m1,m2,…,mn)稱為多線性函數(shù)（multilinear function）。已有文獻證明一個多線性函數(shù)在其定義域內有凸多面體包絡,且函數(shù)在多面體上是邊凹的［26,29］。

由上述理論可知,函數(shù)Θ(y1,y2,y3,y4)=y1y2+y3y4是由形如函數(shù)ψ(y1,y2)=y1y2線性疊加而成的,且Θ(y1,y2,y3,y4)對于每一個變量都是單獨線性的,故其為多線性函數(shù)。Θ(y1,y2,y3,y4)在定義域上的凸包方程可以直接由凸多面體頂點確定。如果函數(shù)ψ和函數(shù)?的凸包均是凸多面體,則函 數(shù)ψ的 凸 包 與 函 數(shù)?的 凸 包 的Minkowski 和,即conv(ψ)+conv(?)也是凸多面體［30］。由文獻［26］可知兩個函數(shù)的凸包之和應包含在這兩個函數(shù)和的凸包內,如式（7）所示。

式中：ψ和?均為表示含雙變量乘積項的函數(shù)；conv(?)為函數(shù)的凸包。當且僅當函數(shù)ψ的凸包與函數(shù)?的凸包的Minkowski 和以及函數(shù)Θ的凸包均為凸多面體時,式（7）中的等號成立。

式（1）和式（2）可構建平方項函數(shù)的凸包；式（3）—式（6）可構建雙變量乘積項的凸包,結合式（7）及其等號成立條件,可構建函數(shù)和的凸包,將在2.2節(jié)中具體介紹。附錄A 圖A3 展示了函數(shù)的凸包松弛域,為附錄A 圖A3 中藍色平面與紅色曲面之間的區(qū)域。其中,ei,t和fi,t分別為第t時步電力系統(tǒng)節(jié)點i的電壓實部和電壓虛部。

2 基于凸包理論的負荷恢復模型

在實際恢復過程中,負荷的投入與否由斷路器的開合狀態(tài)決定,而一條母線通常有多條饋線。因此,節(jié)點負荷的恢復量不可能連續(xù)變化。根據電力系統(tǒng)實際運行工況,母線負荷由若干離散的負荷點組成。構建的負荷恢復模型中決策變量分別為每個時步負荷點的恢復狀態(tài)和發(fā)電機出力等。

2.1 目標函數(shù)

負荷恢復階段的主要目標是盡快恢復電力負荷,本文所提出的負荷恢復模型的目標函數(shù)之一為最小化停電損失。風電作為一種發(fā)展較為成熟的清潔能源,已廣泛接入電力系統(tǒng),但風電機組出力的不確定性影響系統(tǒng)穩(wěn)定運行和恢復能力。本文引入節(jié)點可容許風電功率范圍的概念［31-32］,并結合CVaR理論計算因風電出力的不確定性帶來的風險損失。因此,本文模型的另一個目標函數(shù)為最小化風電功率缺額和盈余風險損失值。綜上所述,本文提出的目標函數(shù)可由式（8）—式（10）表示。

本文模型中的變量和參數(shù)如附錄B 表B1 和表B2 所示。去除式（8）中的常數(shù)項,目標函數(shù)可表示為：

式（9）和式（10）包含非線性積分項,對其線性化,分別如式（12）、式（13）和式（14）、式（15）所示。

2.2 約束條件

1）節(jié)點平衡方程和潮流方程。

采用文獻［33］提出的二階錐優(yōu)化的方法處理潮流方程,引入輔助變量wii,t、cij,t、sij,t,將AC 潮流方程描述為二階錐形式。引入的輔助變量分別如式（16）—式（18）所示。

式中：ΩL為輸電線路集合。

節(jié)點平衡方程和潮流方程可描述為：

式中：ΩGi為節(jié)點i的火電機組集合；和分別為節(jié)點i的并聯(lián)電導和并聯(lián)電納；和分別為節(jié)點導納矩陣中第i行第j列元素對應的電導和電納；為線路ij的充電電納；Q為節(jié)點i的負荷d的無功功率；P和Q分別為節(jié)點i的火電機組g在第t時步的有功功率和無功功率；Pij,t和Qij,t分別為第t時步線路ij的有功和無功功率。式（19）和式（20）為節(jié)點平衡方程。式（21）和式（22）為輸電線路潮流方程。

2）節(jié)點電壓約束見式（23）,可約束電壓范圍。

3）機組出力與爬坡約束見式（24）—式（26）。

4）電力線路傳輸功率約束見式（27）,表示線路上流過的功率應在給定的閾值范圍內。

式（27）可線性化為：

5）平衡節(jié)點電壓約束見式（32）,表示平衡節(jié)點的電壓虛部為0。

式中：?i：ref 表示可以任意指定節(jié)點i為參考節(jié)點。

6）最大負荷恢復量約束見式（33）和式（34）。

式中：ΔPmaxt為第t時步允許的最大負荷恢復量；ρ為最大允許負荷恢復量與總的發(fā)電機有功出力的比值,其取值通常為5%［9］,對其取值的討論可參考文獻［34］。式（33）表示在第t時步負荷恢復量不能超過允許的最大恢復量。式（34）表示在第t時步最大負荷恢復量受到t-1 時步總的發(fā)電機有功出力限制。

7）旋轉備用約束見式（35）—式（40）。

式中：μ為P的最大值與的比值；R和R分別為火電機組g在第t時步的向上和向下備用容量；ΔPDt為第t時步系統(tǒng)的負荷恢復量。式（35）表示機組向上備用容量提供給負荷恢復和風電功率缺額。式（36）表示機組向下備用容量提供給風電功率盈余。式（37）和式（38）表示功率可容許范圍下限和上限均應在閾值范圍內。式（39）和式（40）表示機組當前時步所能提供的向上和向下備用容量。式（39）和（40）可采用大M 法線性化,此處不再贅述。

8）負荷恢復狀態(tài)約束見式（41）,表示負荷點一旦恢復,其恢復狀態(tài)將保持不變。

9）輔助變量的凸包約束見式（42）—式（44）。

根 據 輔 助 變 量wii,t、cij,t和sij,t的 定 義,可 知 三 者滿足：

式（42）為松弛的二階錐表達式。式（43）和式（44）分別為輔助變量cij,t和sij,t應滿足的約束關系。

為減少基于SOCR 的負荷恢復模型帶來的誤差,基于第1 章介紹的凸包理論,對輔助變量wii,t、cij,t和sij,t進行凸化,如式（45）—式（62）所示。

綜上所述,基于凸包理論的負荷恢復模型可描述為：

3 求解步驟

為了提高負荷恢復模型的求解精度,本文提出直角坐標系下基于凸包理論的負荷恢復二階錐優(yōu)化模型,并提出約束收緊的迭代方法動態(tài)修改模型中的參數(shù)?；趨?shù)迭代的電力系統(tǒng)負荷恢復模型的求解流程如圖1 所示,具體步驟描述如下：

圖1 基于參數(shù)迭代的電力系統(tǒng)負荷恢復模型的求解流程圖Fig.1 Flow chart of solution for load restoration model of power system based on parameter iteration

步驟1：輸入參數(shù)松弛容差δ、松弛因子ε(k)、調節(jié)系數(shù)γ和最大迭代次數(shù)K,初始化凸包參數(shù)、,令k=1。

步驟2：求解式（63）所示模型。

步驟3：根據求解器輸出的求解狀態(tài),判斷是否得到最優(yōu)解,若是,執(zhí)行步驟4,否則轉至步驟7。

步驟4：根據式（64）,計算每條線路的相對松弛誤差ηij,t,判斷所有線路的相對松弛誤差是否均不大于允許誤差或迭代次數(shù)是否大于K+1,若是,則求解流程結束并輸出負荷恢復方案,否則轉至步驟5。

步驟5：將步驟2 中得到的ei,t和fi,t分別賦值給中間變量e和f。

步驟6：基于松弛因子ε(k)更新凸包參數(shù)；令k=k+1,轉至步驟2。

步驟7：更新第k次迭代的ε(k),轉至步驟6。

4 算例分析

本章以IEEE 10 機39 節(jié)點系統(tǒng)和改進的廣東電力系統(tǒng)為例來說明所提出方法的有效性。本文建立的模型為二階錐優(yōu)化模型,程序基于AMPL 軟件實現(xiàn),通過調用Gurobi 9.5.2 求解器對所提出的模型進行求解。運行環(huán)境是處理器為Intel Core i7-10700、內存為16 GB 的臺式電腦。

4.1 IEEE 10 機39 節(jié)點系統(tǒng)

IEEE 10 機39 節(jié)點系統(tǒng)的負荷參數(shù)和機組參數(shù)分別見附錄C 表C1 和表C2,機組啟動功率可詳見文獻［35］,其中,待恢復負荷總量為2.77 GW。離散化的恢復時間間隔為10 min,總恢復時長設置為140 min,ρ取值為5%。節(jié)點3、5、14 和16 處有4 個風電場,各風電場的預測出力曲線見附錄C 圖C1。c0、c1、c2分別設置為1 4000、500、50［30］,μ取值為1。

4.1.1 負荷恢復結果

附錄C 表C3 所示為求解本文模型得到的最優(yōu)負荷恢復方案。由表C3 可以看出,在得到的恢復方案中,恢復所有負荷所需時間為130 min,且各時步負荷恢復量呈現(xiàn)遞增趨勢。然而,相比第110 min時的負荷恢復量,第120 min 和130 min 時的負荷恢復量有所減少,這是因為負荷恢復后期,待恢復負荷較少,且由于第120 min 和130 min 時風電缺額風險減小會導致負荷恢復量有所減小。

不同風電場在各時步的功率可容許范圍的上下限值如附錄C 圖C2 所示。由圖C2 可以看出,所有風電場在各時步的功率可容許范圍上下限的差值均大于90 MW,根據不同風電場在各時步的功率預測值和預測誤差得到其概率密度函數(shù),并結合式（65）可計算得到風電實際出力在其功率可容許范圍的概率。在本算例中,針對所有時步風電實際出力在功率可容許范圍的概率均不小于81%。該概率值相對較小,這是因為本算例中設置μ為1,通過減少μ的值,可增大可容許范圍,相應的概率也會增加。

4.1.2 風電出力對負荷恢復影響

為了分析風電出力對負荷恢復結果的影響,根據風電是否參與、是否考慮風險以及μ的不同取值設置5 種不同場景,見附錄C 表C4。場景1：允許風電參與,但不考慮風險,風電出力為預測值；場景2、3、4：均允許風電參與并考慮風險,區(qū)別在于μ的取值,分 別 設 置 為1.00、0.85、0.70；場 景5：無 風 電參與。

不同場景的各時步總負荷恢復量對比如圖2 所示。由圖2 可以看出：第130 min 時,場景1 和場景2的總負荷恢復量達到2 770 MW,負荷恢復過程結束；在第140 min 時,場景3、4、5 完成負荷恢復。相比于場景5,場景1 完成負荷恢復所需的時間較短,進而說明風電的參與能夠加快負荷恢復進程。相比于場景2,場景3、4 的μ值有所減少,導致負荷恢復進程延緩。場景2、3、4 的各時步負荷恢復量和容許風電缺額量對比如附錄C 圖C3 所示。容許風電缺額量是指風電預測值與可容許范圍下限之差,其值越大,則由風電缺額帶來的風險越小。由附錄C 圖C3 可以看出：第80 min 至120 min 時段,針對負荷恢復量大小滿足場景2>場景3>場景4；針對容許風電缺額量大小滿足場景4>場景3>場景2。結合圖2 和附錄C 圖C3 可知：減小μ值能夠增大容許風電缺額量,進而降低風電不確定性帶來的風險和單個時步負荷恢復量,導致總負荷恢復量有所減少,延緩了負荷恢復進程。

圖2 不同場景的各時步總負荷恢復量Fig.2 Total restored load capacity at each time step in different scenarios

4.1.3 本文模型的有效性驗證

為了說明本文提出直角坐標系下基于凸包的負荷恢復模型的有效性,將本文所提出的模型與文獻［9］和文獻［36］的模型進行對比。文獻［9］的模型為基于標準AC 潮流方程的負荷恢復模型；文獻［36］的模型為基于二階錐優(yōu)化的負荷恢復模型。

表1 為求解不同模型得到的目標函數(shù)值和求解時間。

表1 求解不同模型得到的目標函數(shù)值和計算時間Table 1 Objective function value and computational time by solving different models

由表1 可以看出,求解文獻［36］的模型得到的目標函數(shù)值最大,求解考慮參數(shù)迭代的本文模型得到的目標函數(shù)值次之,求解文獻［9］的模型得到的目標函數(shù)值最小。由此可知,相比于文獻［36］的模型,采用本文提出的模型得到的解與文獻［9］的模型得到的解的誤差更小,其中,誤差由式（66）計算。與考慮參數(shù)迭代的場景相比,求解不考慮參數(shù)迭代的本文模型得到的解的誤差更大。由此可知,采用基于參數(shù)迭代的方法有助于減少松弛誤差。需要指出的是,本文模型雖然犧牲了一定的求解時間,但提高了模型的求解精度,且本文模型的求解時間在可接受范圍內。

式中：ε′為相對誤差；SAC為求解文獻［9］的模型得到的最優(yōu)解；Srelax為求解松弛模型的最優(yōu)解,在本算例中,松弛模型包括文獻［36］的模型和本文模型。

求解不同模型得到的最后一個恢復時步的線路相對松弛誤差如圖3 所示。由圖3 可以看出,求解文獻［36］的模型得到的恢復方案中,60%線路的相對松弛誤差大于0.01%；而求解本文模型得到的恢復方案中,所有線路的相對松弛誤差均小于0.005%。因此,本文提出的模型能夠減小因SOCR 帶來的線路相對松弛誤差,提高松弛緊密度。

圖3 求解不同模型得到的最后一個恢復時步的輸電線路相對松弛誤差Fig.3 Relative relaxation errors of transmission lines at the last time step by solving different models

求解不同模型得到的最后一個恢復時步的部分線路的有功功率如附錄C 表C5 所示。由表C5 可以看出,求解文獻［36］模型得到的線路有功功率最大相對誤差為10.9%,而求解本文模型得到的線路有功功率的最大相對誤差僅為1.1%,滿足工程要求。因此,相比于文獻［36］的模型,本文提出的模型能夠得到更接近求解文獻［9］的模型得到的全局最優(yōu)解。

4.2 改進的廣東電力系統(tǒng)

為了進一步說明本文所提出模型的有效性,本節(jié)采用改進的廣東電力系統(tǒng)對其進行驗證。改進后的廣東實際電力系統(tǒng)包含339 個節(jié)點、611 條線路、51 臺火電機組。其中,待恢復負荷為9.68 GW；10 個風電場分別位于節(jié)點5、14、45、49、124、126、127、149、157 和158,其 預 測 功 率 見 附 錄C 圖C4。每個恢復時步步長為15 min,總恢復時長設置為210 min,ρ取值為2%。

不同場景的各時步總負荷恢復量如附錄C 圖C5 所示。由圖C5 可以看出,第180 min 時,場景1和場景2 的總負荷恢復量為9.68 GW,負荷恢復過程結束；場景3、4、5 在第195 min 完成負荷恢復。相比于場景5,場景1 完成負荷恢復所需的時間較短,說明風電的參與能夠加快負荷恢復進程。相比于場景2,場景3 和場景4 的μ值有所減少,導致負荷恢復進程延緩。

求解不同模型得到的目標函數(shù)和求解時間見附錄C 表C6。由表C6 可以看出,求解文獻［36］模型得到的目標函數(shù)值為588 006萬美元,求解考慮參數(shù)迭代的本文模型得到的目標函數(shù)值為587 937 萬美元,求解文獻［9］模型得到的目標函數(shù)值為587 901萬美元。由此可知,相比于文獻［36］模型,采用本文所提模型得到的解更接近于基于AC 潮流方程的解。求解不考慮參數(shù)迭代的本文模型得到的目標函數(shù)值為588 001 萬美元,其誤差比基于參數(shù)迭代模型得到的解的誤差大。由此可知,采用基于參數(shù)迭代的方法有助于減少松弛誤差。

不同風電裝機占比場景的各時步總負荷恢復量如圖4 所示。風電裝機占比為風電場裝機容量與系統(tǒng)總裝機容量的比值,在該系統(tǒng)中除風電外的其他機組裝機容量不變,通過改變風電裝機容量,得到不同風電裝機占比場景,進而分析不同風電裝機占比對負荷恢復方案的影響。由圖4 可以看出,在風電比例分別為0%、4%、8%、12%、16%和20%時,完成負荷恢復所需的時間分別為195、180、180、165、165、150 min。隨著電力系統(tǒng)中風電比例的增加,各時步總負荷恢復量呈遞增趨勢,完成負荷恢復所需的時間呈遞減趨勢。由此可知,在電力系統(tǒng)中接入風電將有助于加快負荷恢復進程。

圖4 不同風電裝機占比場景的各時步總負荷恢復量Fig.4 Total restored load capacity at each time step in scenarios with different proportions of installed wind power capacity

5 結語

本文提出了直角坐標系下基于凸包理論的電力系統(tǒng)負荷恢復二階錐優(yōu)化模型以及基于迭代更新的參數(shù)優(yōu)化方法。為了有效應對風電的不確定性,本文引入CVaR 理論,量化因風電出力的不確定性帶來的風電功率缺額和盈余風險損失。所構建的模型為混合整數(shù)二階錐優(yōu)化模型,采用商業(yè)求解器高效求解。通過算例分析得到如下結論：

1）風電的參與可加快負荷恢復進程,然而風電的不確定性也會增加負荷恢復過程中的風險,通過改變μ值可調節(jié)風電可容許出力范圍,從而得到兼顧負荷恢復效率和風險的負荷恢復策略。

2）采用本文所提出的直角坐標系下基于凸包理論的電力系統(tǒng)負荷恢復模型,能夠有效減小因SOCR 導致的誤差,可得到更接近于基于標準AC潮流方程的負荷恢復方案。

3）針對難以精準確定凸包參數(shù)的問題,本文提出了凸包參數(shù)的迭代計算方法,有助于減少因凸包參數(shù)的不合理取值帶來的計算誤差,提高了模型的計算精度。

本文在制定含風電的電力系統(tǒng)負荷恢復方案時認為電力系統(tǒng)的不確定性主要來自電源側,暫未考慮負荷側以及電網側的不可控因素對負荷恢復方案的影響。因此,如何提出精確的不確定因素預測方法以及構建應對源-網-荷多重不確定性的負荷恢復策略將是下一階段的研究重點。

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