基于單元級損傷指標(biāo)的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合板損傷識別方法

石慶賀, 楊穎, 孫偉, 王昊, 胡可軍

（1.江蘇理工學(xué)院 材料工程學(xué)院，常州 213001；2.中國航空研究院，北京 100000）

纖維增強(qiáng)復(fù)合材料廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車、風(fēng)力發(fā)電機(jī)等工程領(lǐng)域[1]。這些工程結(jié)構(gòu)在使用過程中由于環(huán)境工況等因素導(dǎo)致結(jié)構(gòu)產(chǎn)生材料開裂、結(jié)構(gòu)失穩(wěn)、斷裂等破壞形式，從而對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生不可估量的損失[2-3]。結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測技術(shù)可以實時在線監(jiān)測結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，并通過將其與基準(zhǔn)結(jié)構(gòu)的響應(yīng)進(jìn)行比較和分析，推測出結(jié)構(gòu)的安全狀態(tài)，因此成為復(fù)合材料結(jié)構(gòu)維護(hù)運營的重要手段和必然趨勢[4]。結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測的重要技術(shù)之一是損傷識別，即定義恰當(dāng)?shù)慕Y(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)，并在結(jié)構(gòu)服役過程中監(jiān)測損傷指標(biāo)的變化情況，通過損傷指標(biāo)的變化趨勢來評估結(jié)構(gòu)的健康狀況。結(jié)構(gòu)剛度損傷是表征結(jié)構(gòu)承載能力缺失最常用的一類損傷指標(biāo)。傳統(tǒng)損傷指標(biāo)是應(yīng)用最廣泛的一類剛度損傷描述方法，它采用一個標(biāo)量來表示單元整體的損傷情況。目前已有基于靜力位移[5]、模態(tài)[6]、加速度[7]等結(jié)構(gòu)響應(yīng)的傳統(tǒng)損傷指標(biāo)識別方法。然而復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)由于其各向異性和復(fù)雜加工工序等原因，導(dǎo)致其具有纖維斷裂、基體開裂、剪切失效、分層等多種失效模式[8]，傳統(tǒng)損傷指標(biāo)已經(jīng)無法精細(xì)化反映其復(fù)雜的失效形式?；诖耍琖ang等[9]提出了適用于層合板結(jié)構(gòu)的材料級損傷指標(biāo)(各向異性折減指標(biāo)ARF)。該指標(biāo)針對層合板的每層采用一個包含3個損傷參數(shù)的向量來描述該層各個方向的承載能力缺失，具有較明確的物理意義。但是，層合板結(jié)構(gòu)層數(shù)較多，若對每層建立損傷指標(biāo)則會產(chǎn)生大量的待求解參數(shù)，勢必會引起巨大的計算量和欠定方程的求解問題。另外，根據(jù)復(fù)合材料經(jīng)典層合板理論，其本構(gòu)關(guān)系可由拉壓、彎曲、剪切、耦合等剛度矩陣組成。因此，本文將利用各個方向剛度的折減系數(shù)來構(gòu)建損傷剛度矩陣，把各個方向剛度的折減系數(shù)稱為單元級損傷參數(shù)。這種損傷的構(gòu)建方式將會減少損傷參數(shù)的個數(shù)，并能包含更多的損傷信息。需要注意的是，材料級損傷指標(biāo)能夠表征層合板每個單層的各向承載能力損失，因此可作為描述結(jié)構(gòu)真實的損傷指標(biāo)依據(jù)。

兩類損傷指標(biāo)的等效是一個剛度等效問題，在剛度等效方面，學(xué)者們基于小變形下的疊加理論開展了一系列研究：邱家波等[10]基于線性疊加理論和層合板理論對復(fù)合材料帽型加筋層合板典型板元的面內(nèi)剛度和彎曲剛度進(jìn)行了等效計算；朱秀杰等[11]基于一階剪切變形梁理論和經(jīng)典層合板理論對復(fù)合材料層合箱梁等效剛度進(jìn)行了計算；劉航等[12]利用經(jīng)典彈性力學(xué)和材料力學(xué)理論推導(dǎo)了上正交各向異性半球形凸起凹凸板的等效剛度；黃炳生等[13]基于等效剛度法對蜂窩梁鋼框架結(jié)構(gòu)，提出了矩形孔蜂窩梁鋼框架內(nèi)力和位移計算方法。這些方法為結(jié)構(gòu)剛度提供了較好的思路，但以上方法進(jìn)行剛度等效的對象是完整結(jié)構(gòu)，通過經(jīng)典力學(xué)理論可對結(jié)構(gòu)宏觀剛度進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐茖?dǎo)和等效，是正問題研究的范疇。然而，對于復(fù)雜失效模式下的復(fù)合材料損傷結(jié)構(gòu)來講，兩類損傷指標(biāo)的等效問題不具備唯一的確定解，屬于典型的反問題范疇，選擇或構(gòu)建合理的數(shù)學(xué)力學(xué)量，使兩類指標(biāo)在復(fù)雜失效模式下具有一致的物理力學(xué)意義，是保證所提單元級損傷指標(biāo)合理性的前提。因此，本文將從數(shù)學(xué)和力學(xué)兩個方面對損傷指標(biāo)進(jìn)行等效，比較各種算子的等效效果。

損傷識別的重要內(nèi)容是對損傷程度進(jìn)行辨識，若直接對結(jié)構(gòu)中每個單元的損傷程度進(jìn)行辨識會造成巨大的計算量，同時會增加反問題求解的不適定性。而通過損傷定位指標(biāo)來識別損傷候選單元，然后通過定量識別方法來量化損傷程度的分步損傷識別方法則較好地解決了這個問題[14-15]。這類方法通過損傷定位來縮小候選損傷單元集合的規(guī)模，從而提高了識別結(jié)構(gòu)損傷程度的效率。損傷定位可根據(jù)結(jié)構(gòu)特征或響應(yīng)構(gòu)造損傷定位指標(biāo)來識別損傷單元，郭惠勇等[16]在解決結(jié)構(gòu)的多損傷識別問題時，提出了一種基于應(yīng)變能等效指標(biāo)的損傷識別方法。損傷程度的識別則是通過模型修正方法如靈敏度分析法[17-18]、機(jī)器學(xué)習(xí)法[19-20]或優(yōu)化方法[21-22]對結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)進(jìn)行量化。靈敏度分析法[23]經(jīng)常用于損傷定量識別，并且已經(jīng)廣泛應(yīng)用于各向同性材料結(jié)構(gòu)的損傷檢測，劉康[24]從特征值和特征向量的靈敏度公式出發(fā)，推導(dǎo)出模態(tài)柔度對任意設(shè)計參數(shù)的靈敏度公式。該方法在損傷參數(shù)與響應(yīng)呈線性關(guān)系的問題中得到了很好的應(yīng)用。然而，復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的損傷參數(shù)與結(jié)構(gòu)響應(yīng)呈現(xiàn)較強(qiáng)的非線性關(guān)系，因此攝動法很難應(yīng)用。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法、深度學(xué)習(xí)方法等機(jī)器學(xué)習(xí)方法[25]是參數(shù)識別的新興領(lǐng)域，它們通過樣本數(shù)據(jù)建立結(jié)構(gòu)響應(yīng)與損傷參數(shù)之間的非線性映射關(guān)系，并利用該映射關(guān)系進(jìn)行損傷識別。然而，該方法需要大量的樣本數(shù)據(jù)，訓(xùn)練效率較低。優(yōu)化方法通過最小化參考模型與損傷模型之間的動態(tài)特性或響應(yīng)誤差直接識別損傷[26]。具有操作簡單、物理意義明確的優(yōu)點，因此得到了大量學(xué)者的青睞。

綜上所述，本文將基于層合理論提出一種損傷參數(shù)較少，又能描述層合結(jié)構(gòu)拉壓、彎曲、剪切等承載能力缺失的單元級損傷指標(biāo)-層合單元損傷指標(biāo)，并依據(jù)數(shù)學(xué)和力學(xué)理論提出材料級和單元級損傷指標(biāo)的等效方法。在此基礎(chǔ)上，提出一種基于該單元級損傷指標(biāo)的復(fù)合材料分步損傷識別方法?；谒岢龅膿p傷建模方法，可以清晰地識別復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的損傷類型和損傷程度。

1 損傷指標(biāo)構(gòu)建

損傷指標(biāo)的定義必須能合理表征結(jié)構(gòu)承載能力的缺失。結(jié)構(gòu)損傷由無數(shù)個微觀缺陷綜合作用產(chǎn)生，采用某個損傷指標(biāo)向量來綜合表示這些微觀損傷，必然與真實損傷狀態(tài)存在著差別，因此建立的損傷指標(biāo)必然是一個“等效”指標(biāo)。在本文中，結(jié)構(gòu)損傷由剛度折減來進(jìn)行表示，下面介紹傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)、材料級結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)和本文提出的單元級結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)。

1.1 傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)

結(jié)構(gòu)的剛度矩陣可以表示為

其中，αi為第i個單元的相對剛度系數(shù)，且0≤αi≤1；當(dāng)αi=1 時，代表第i個單元無損傷；當(dāng)αi=0 時，代表第i個單元完全損傷。

1.2 材料級結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)

材料級損傷指標(biāo)能夠表征層合板每個單層的各向承載能力損失，因此可以作為描述結(jié)構(gòu)真實的損傷指標(biāo)依據(jù)?；诓牧霞墦p傷參數(shù)的剛度矩陣可以表示為

其中：m指m個單元；n指層合板一共有n層；、、是第i個單元第j層的纖維方向、基體方向和剪切方向的損傷參數(shù)，該值為0時指該單元該層沒有損傷，該值為1代表該單元該層完全損傷。

1.3 單元級結(jié)構(gòu)損傷指標(biāo)——層合單元損傷指標(biāo)

損傷條件下的層合板的剛度矩陣可寫為如下形式：

其中：、、、分別代表未損傷狀態(tài)下層合板的拉壓、耦合、彎曲、剪切剛度矩陣，其中“u”表示未損傷狀態(tài)；、、、為單元級損傷參數(shù)——層合單元損傷指標(biāo)，下標(biāo)A、B、D、S分別代表層合板的拉壓、耦合、彎曲、剪切損傷，該值為0代表無損傷，該值為1則代表完全損傷；為未損傷時的系數(shù)。該損傷指標(biāo)既可以表示結(jié)構(gòu)單元各種承載能力的缺失，又能有效減少待求解參數(shù)的規(guī)模。此時，結(jié)構(gòu)的剛度矩陣可以表示為

若采用殼單元對層合板單元進(jìn)行構(gòu)建，利用三類損傷指標(biāo)時每個單元所需的損傷變量個數(shù)及特點如圖1所示，通過比較可以看出，利用擬建的單元級損傷指標(biāo)具有識別參數(shù)較少、包含損傷信息較多的優(yōu)勢。

圖1 3類損傷指標(biāo)所需損傷變量個數(shù)及特點Fig.1 Number of damage variables required for the three types of damage indicators and their characteristics

2 材料級與單元級損傷指標(biāo)的等效

正如前文所述，損傷指標(biāo)的建立是“等效”思想的運用，材料級損傷參數(shù)是基于經(jīng)典的損傷力學(xué)理論建立的，可以作為描述結(jié)構(gòu)真實的損傷指標(biāo)依據(jù)。因此，有必要建立單元級損傷指標(biāo)與材料級損傷指標(biāo)的映射關(guān)系，來研究不同損傷階段下單元級損傷參數(shù)描述損傷程度的合理性。

本部分從數(shù)學(xué)和力學(xué)兩方面建立材料級損傷參數(shù)和單元級損傷參數(shù)的等效標(biāo)的數(shù)學(xué)物理量。建立兩類指標(biāo)的等效優(yōu)化模型如下所示：

2.1 數(shù)學(xué)算子指標(biāo)

利用典型的矩陣算子表示完整剛度矩陣缺失部分的數(shù)學(xué)特征，上述優(yōu)化模型可以寫為

其中：gq(·)為矩陣范數(shù)、行列式、矩陣的跡等矩陣算子；q代表某種算子。特別注意的是，利用矩陣逼近問題的主分量分析方法對典型失效模式下的等效單元級損傷系數(shù)進(jìn)行求解，假設(shè)?Ψd=為采用材料級損傷參數(shù)進(jìn)行表征的剛度缺失矩陣，對其進(jìn)行奇異值分解?Ψd=UdΣd，Ud為左奇異向量，Vd為右奇異向量，確定其主奇異值Σd，這些奇異值可以反映基于材料級損傷參數(shù)表達(dá)的缺失剛度矩陣的主要特征。同理可以得到利用單元級損傷參數(shù)表達(dá)的主奇異值Σθ，則指標(biāo)等效問題可用以下優(yōu)化模型來代替：

以上數(shù)學(xué)算子計算簡便，可為結(jié)構(gòu)失效分析中面內(nèi)和面外剛度的失效提供計算當(dāng)量，從不同的角度來描述結(jié)構(gòu)損傷的程度。以上等效手段可為兩類指標(biāo)的當(dāng)量分析提供標(biāo)的，方便兩類指標(biāo)在數(shù)學(xué)角度進(jìn)行比較。需要注意的是，這些等價指標(biāo)應(yīng)與物理環(huán)境的傳感器測試響應(yīng)類型能夠匹配，這樣才能提供結(jié)構(gòu)損傷識別所需要的傳感器信息。不同的數(shù)學(xué)算子表示的含義并不一致，奇異值體現(xiàn)不同失效模式的差別，矩陣算子中2范數(shù)表示矩陣的最大奇異值，可以理解為最主要的失效模式，其中行列式反映了矩陣的奇異性，矩陣的跡表示矩陣各個奇異值的和，即反映了各個奇異值打包處理后的均衡特性。

2.2 基于力學(xué)信息等效

基于力學(xué)信息的等效是最直接的等效方法，由于損傷識別的過程就是利用傳感器測得的損傷前后結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng)信息對損傷的存在、位置和程度進(jìn)行辨識，本質(zhì)上是一個優(yōu)化過程，其中優(yōu)化目標(biāo)的建立過程是參考模型和實際模型的傳感器測試量之間的殘差最小。選擇合適的力學(xué)響應(yīng)指標(biāo)對于結(jié)構(gòu)損傷識別則顯得尤為重要。選擇的力學(xué)響應(yīng)包括結(jié)構(gòu)靜力位移、固有頻率，模態(tài)振型等力學(xué)量。擬構(gòu)建如下優(yōu)化模型：

其中，h(·)為力學(xué)響應(yīng)量，可以為靜力位移、模態(tài)信息等。特別注意的是，根據(jù)剛度矩陣表示的物理意義進(jìn)行等效，剛度是承載能力的表達(dá)方式，可表示為積蓄彈性勢能的能力，則指標(biāo)等效問題可用以下優(yōu)化模型來代替：

為了描述單元級損傷指標(biāo)之間的相關(guān)性，利用回歸分析方法針對不同的損傷模式對各單元級損傷參數(shù)進(jìn)行相關(guān)性分析，然后對回歸系數(shù)進(jìn)行檢驗，為后續(xù)結(jié)構(gòu)損傷識別提供先驗信息。

3 基于單元級損傷指標(biāo)的損傷識別方法

單元級損傷指標(biāo)的識別方法采用優(yōu)化的方法來進(jìn)行辨識，采用的優(yōu)化列式為

式中：m為識別出的損傷單元的個數(shù)；n為采用的模態(tài)階次；obj是優(yōu)化目標(biāo)；和代表參考模型和實際損傷模型第i階模態(tài)振型；fr和fd代表參考模型和實際損傷模型的頻率向量；w1、w2為模態(tài)振型和頻率殘差的加權(quán)系數(shù)。

以上優(yōu)化列式可采用梯度算法進(jìn)行快速求解，其中優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)對優(yōu)化變量的梯度求解為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，模態(tài)振型和模態(tài)特征值對優(yōu)化變量的導(dǎo)數(shù)分別用和來表示，i為第i階模態(tài)，根據(jù)結(jié)構(gòu)振動理論可得和表達(dá)式：

為了降低損傷辨識過程中的待辨識參數(shù)個數(shù)，加快損傷識別的速度，在進(jìn)行定量識別之前先進(jìn)行損傷定位，利用損傷前后的模態(tài)應(yīng)變能指標(biāo)對損傷位置進(jìn)行篩選[9]。

結(jié)構(gòu)損傷的位置可以通過損傷前后模態(tài)應(yīng)變能的變化率來確定。每個單元的模態(tài)應(yīng)變能(Modal strain energy，EMS)可以按照下式計算：

其中：表示第i階模態(tài)第j個單元的單元應(yīng)變能；?i代表第i階模態(tài)振型。

通過計算結(jié)構(gòu)損傷前后的模態(tài)應(yīng)變能，計算出損傷定位指標(biāo)，即模態(tài)應(yīng)變能變化率(Modal strain energy change ratio，)：

其中：

其中：ufi代表未損傷結(jié)構(gòu)的第i階模態(tài)頻率；dfi代表損傷結(jié)構(gòu)的第i階模態(tài)頻率；公式中的權(quán)重系數(shù)會減小模態(tài)頻率變化小的模態(tài)的影響。具有較大指標(biāo)的單元被視為損傷單元。

每個單元具有不同的模態(tài)應(yīng)變能變化率數(shù)值，該值越大，說明該單元發(fā)生損傷的可能性更大。為了篩選損傷單元，本文引入標(biāo)準(zhǔn)化模態(tài)應(yīng)變能變化率指標(biāo)，定義如下：

式中：RMSEC為各個單元模態(tài)應(yīng)變能變化率指標(biāo)組成的向量；μ(·)和σ(·)分別代表向量的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。依據(jù)定義可知，該值越大，說明該單元受到損傷的概率越大。但是認(rèn)定為損傷單元的臨界閾值并沒有一個客觀的標(biāo)準(zhǔn)，本文取值當(dāng)大于1時認(rèn)為該單元為損傷單元。

4 數(shù)值算例

4.1 數(shù)值算例1：等效指標(biāo)建立

本部分針對某一種鋪層方式[-45°/90°/45°/0°/45°/90°/-45°]來開展研究，設(shè)置典型工況對該鋪層下的失效路徑進(jìn)行模擬，得到每一個失效步下的材料級損傷參數(shù)，對每個失效步的單元級損傷參數(shù)進(jìn)行求解，從而了解單元級損傷參數(shù)的退化過程。材料屬性如表1所示。載荷工況如表2所示，載荷工況分為面內(nèi)工況和拉彎組合工況。

表1 復(fù)合材料層合板材料屬性Table 1 Material parameters of composite laminate

表2 仿真工況Table 2 Simulation conditions

根據(jù)表2中設(shè)置的載荷工況對復(fù)合材料進(jìn)行加載，加載過程中通過失效準(zhǔn)則對每個單層的失效情況進(jìn)行判定，利用漸進(jìn)失效準(zhǔn)則對失效的單層進(jìn)行退化。退化時復(fù)合材料的剛度矩陣會發(fā)生變化，本文采用的失效準(zhǔn)則為Hashin準(zhǔn)則[27]，包含纖維拉伸、纖維壓縮、基體拉伸、基體壓縮4種失效模式。

依據(jù)漸進(jìn)失效準(zhǔn)則對復(fù)合材料層合板的失效順序進(jìn)行求解，即采用終層失效法則來判定層合板的失效。兩種載荷的失效路徑如表3所示，表中的數(shù)字對應(yīng)的是層合板的具體哪一層失效，箭頭代表本失效步指向下一個失效步?？梢钥闯?，面內(nèi)載荷工況下失效過程分4個失效步，少于拉彎組合工況，這是由于面內(nèi)載荷工況的載荷由各個鋪層共同承擔(dān)，相同角度的鋪層承受的載荷一致，即相同的角度鋪層會同時失效。面內(nèi)外載荷綜合作用工況的失效過程有9個失效步，較復(fù)雜，其原因一方面是由于彎曲工況導(dǎo)致應(yīng)變呈現(xiàn)梯度分布，各個鋪層承擔(dān)載荷不同；另一方面是由于復(fù)合材料單向帶拉壓承載能力不同，抗壓能力強(qiáng)于抗拉能力。兩方面原因綜合作用導(dǎo)致失效路徑更復(fù)雜。

表3 層合板兩種載荷的失效路徑Table 3 Failure paths of two loads of laminates

依據(jù)數(shù)學(xué)算子或力學(xué)信息等效的方法可對等效的單元級損傷指標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化求解，包括奇異值、范數(shù)、行列式、矩陣的跡、位移指標(biāo)和應(yīng)變能指標(biāo)等。等效單元級損傷指標(biāo)的求解流程如圖2所示，材料級損傷參數(shù)是利用Hashin失效準(zhǔn)則進(jìn)行剛度折減得到的，用各個單層折減后的剛度矩陣組成的的剛度矩陣為Ψ(dij)，是一個基準(zhǔn)，而單元級損傷參數(shù)是優(yōu)化模型的優(yōu)化設(shè)計變量，通過優(yōu)化模型求解得到。由于本例中考慮的鋪層方式為對稱鋪層，耦合剛度矩陣為零，在本例中不做考慮；同時，由于本例采用的是經(jīng)典層合板理論建模，故面外剪切剛度并未體現(xiàn)。也就是說，本例中僅考慮面內(nèi)拉壓剛度和面外彎曲剛度矩陣的折減情況。圖3、圖4分別給出了兩種工況下以各種數(shù)學(xué)算子為優(yōu)化指標(biāo)的失效指標(biāo)隨失效歷程的變化曲線，其中橫軸為各個工況下的失效步，縱軸為面內(nèi)失效指標(biāo)或面外失效指標(biāo)。從圖中可以看出隨著失效步的增加，面內(nèi)和面外失效因子均出現(xiàn)了遞增趨勢，這是符合失效規(guī)律的。同時，可以看出各種曲線遞增趨勢基本保持一致，即各個曲線鮮有交叉，也能從側(cè)面反映出不同算子表現(xiàn)剛度折減程度的一致性。除了面外載荷工況，各個曲線最終上升到1，即完全破壞。6條曲線中的范數(shù)、奇異值和跡這3條曲線的數(shù)值近似相等，行列式和其他兩條力學(xué)等效指標(biāo)曲線數(shù)值偏大。這是由于前3類指標(biāo)在數(shù)學(xué)上對損傷的定義較接近，均是將損傷結(jié)構(gòu)剛度矩陣的奇異值向包含單元級損傷參數(shù)的剛度矩陣進(jìn)行“逼近”。

圖2 材料級和單元級損傷指標(biāo)等效過程示意圖Fig.2 Schematic diagram of equivalent process for material-level and element-level damage indicators

圖3 層合板面內(nèi)載荷系數(shù)退化曲線Fig.3 In-plane loading coefficient degradation curves of laminates

圖4 層合板拉彎組合工況系數(shù)退化曲線Fig.4 Combined tension-bending condition coefficient degradation curves of laminates

考慮到材料參數(shù)本身的分散性，將材料的彈性參數(shù)、強(qiáng)度參數(shù)、鋪層角度、載荷大小設(shè)置為不確定性參數(shù)，不確定性水平為5%。為了研究失效過程中面內(nèi)損傷參數(shù)和面外損傷參數(shù)的相關(guān)性，將各種彈性參數(shù)和強(qiáng)度參數(shù)對應(yīng)的面內(nèi)損傷參數(shù)和面外損傷參數(shù)以散點圖的形式畫在同一個坐標(biāo)平面內(nèi)，如圖5所示。由于本例著重考慮失效模式的影響，因此采用的是奇異值指標(biāo)。從圖中可以看出，系數(shù)A和系數(shù)D之間存在較強(qiáng)的相關(guān)性，隨著系數(shù)A的增加，系數(shù)D也呈現(xiàn)增長趨勢。分析圖中散點的相關(guān)性，得到相關(guān)性系數(shù)，該鋪層形式下的相關(guān)性系數(shù)為0.98。需要說明的是對于不同的鋪層形式，相關(guān)性系數(shù)一般是不同的。接近于1的相關(guān)性系數(shù)說明面內(nèi)和面外系數(shù)損傷情況相關(guān)性極強(qiáng)，這是非常容易理解的，由于每個失效步都會導(dǎo)致某些鋪層的剛度銳減，這些失效的鋪層會同時對面內(nèi)剛度和面外剛度造成損傷，因此造成兩類損傷指標(biāo)呈現(xiàn)一致性的趨勢。不同的是面內(nèi)剛度均勻地受到每層鋪層剛度的影響，而面外剛度受到離中性層較遠(yuǎn)的鋪層影響較大，因此兩者并非完全一致。從圖中還可以看出面內(nèi)載荷的散點分布在局部的幾個區(qū)域，而面內(nèi)外載荷工況的散點位置較分散。這是由于面內(nèi)載荷工況的載荷對于相同角度的鋪層受力是相同的，失效也是同步的，失效載荷步較少；而面內(nèi)加面外載荷工況下層合板抗拉壓性能不同，失效模式更加復(fù)雜，失效載荷步較多，這一點從表3也可以看出。該散點圖有3方面用途：(1) 為設(shè)置損傷工況提供數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，即設(shè)置的面內(nèi)面外損傷程度應(yīng)具有一定的相關(guān)性；(2) 通過觀察識別出的結(jié)果是否屬于損傷空間來判斷損傷識別結(jié)果的合理性；(3) 對損傷情況進(jìn)行匯總分析，為復(fù)合材料層合板的優(yōu)化設(shè)計提供指導(dǎo)。本算例主要用于前兩種用途，為設(shè)置合理的損傷工況提供參考，并檢查識別結(jié)果是否符合實際。同時需要說明的是，該損傷參數(shù)散點圖建立在靜力加載條件下，具有一定的局限性。如果能提供實際服役工況下的載荷條件，則分析結(jié)果則更加符合實際。

圖5 層合板的面內(nèi)面外損傷系數(shù)Fig.5 In-plane and out-plane damage factors of laminates

4.2 數(shù)值算例2：基于單元級損傷指標(biāo)的損傷識別

本節(jié)數(shù)值算例是為了驗證所提結(jié)構(gòu)損傷識別方法流程的有效性，研究對象為一個四邊固支板，鋪層和材料屬性與數(shù)值算例1一致。該固支板由25個單元組成，如圖6所示。損傷識別過程為首先進(jìn)行損傷定位，再進(jìn)行損傷定量識別。其中損傷定位方法如第3節(jié)所示，即采用應(yīng)變能差值指標(biāo)識別損傷候選單元，然后利用序列二次規(guī)劃算法對損傷單元的損傷程度進(jìn)行識別。

圖6 四邊固支板示意圖Fig.6 Diagram of four sides of the fixed support plate

識別過程中，為了研究測試數(shù)據(jù)的噪聲對識別結(jié)果的影響，討論了有無噪聲的兩種情況。模態(tài)頻率和振型的噪聲按下式添加：

其中：代表被噪聲水平為ξf的噪聲污染的第i階模態(tài)頻率；代表被噪聲水平為ξ?的噪聲污染的第i階模態(tài)振型。在本例中考慮頻率和振型分別受到0.05%和1%隨機(jī)噪聲的污染。

設(shè)置的損傷工況為單損傷工況和多損傷工況，如表4所示。

表4 損傷工況設(shè)置Table 4 Damage condition settings

4.2.1 損傷定位

采用應(yīng)變能差值指標(biāo)對結(jié)構(gòu)的損傷位置進(jìn)行辨識，采用前5階模態(tài)信息作為損傷定位指標(biāo)的輸入條件，圖7和圖8為兩種損傷工況下的損傷定位指標(biāo)?？梢钥闯鰺o噪聲條件下?lián)p傷位置較容易識別，噪聲條件下?lián)p傷定位指標(biāo)出現(xiàn)了一定的誤差，單損傷工況下將2號單元和24號單元識別為損傷單元；多損傷工況下將2、5、23號單元識別為損傷單元。因此，后續(xù)在對損傷工況1進(jìn)行損傷定量識別時，將對2、24號兩個單元的損傷程度進(jìn)行識別，在對損傷工況2進(jìn)行損傷定量識別時，將對2、5、23號3個單元的損傷程度進(jìn)行識別。

圖7 損傷工況1損傷定位指標(biāo)Fig.7 Damage condition 1 damage positioning index

圖8 損傷工況2損傷定位指標(biāo)Fig.8 Damage condition 2 damage positioning index

4.2.2 損傷定量

首先對損傷工況1的損傷程度進(jìn)行識別，以最小化參考模型和實際模型的模態(tài)信息殘差作為優(yōu)化目標(biāo)，以參考模型的損傷指標(biāo)作為優(yōu)化變量建立優(yōu)化模型。分別給出無噪聲和含噪聲兩種工況下的損傷識別結(jié)果，如表5和表6所示。

表5 無噪聲工況識別結(jié)果Table 5 Identification results without noise condition

表6 含噪聲工況識別結(jié)果Table 6 Identification results with noise conditions

從上述表格中所顯示的結(jié)果可以看出在無噪聲條件下，損傷單元的損傷程度可以準(zhǔn)確地辨識出來，即使在有1%噪聲的存在下，仍然可以識別出損傷程度，誤差在5%之內(nèi)。

為了更加客觀地了解噪聲對損傷程度識別精度的影響，將討論多損傷工況在不同噪聲水平下(2%～20%)的損傷定量識別結(jié)果，由于噪聲取值是隨機(jī)的，本文取每一種噪聲水平的100個隨機(jī)樣本，對每種噪聲樣本下的損傷識別結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計量化分析，各個識別參數(shù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差隨著噪聲水平增加的曲線如圖9、圖10所示，其中“MV”表示平均值，“std”表示標(biāo)準(zhǔn)差，數(shù)字表示單元編號，“A”和“D”表示單元級損傷參數(shù)的損傷類型，A為面內(nèi)損傷，D為面外損傷?？梢钥吹綋p傷單元和未損傷單元的損傷定量結(jié)果均值隨噪聲水平的增加而逐漸變得不穩(wěn)定，5號單元的損傷參數(shù)受噪聲影響較大。標(biāo)準(zhǔn)差整體上會隨著噪聲水平的增加而增加，但是不同單元的識別結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差不盡相同。未損傷單元(23號單元)的標(biāo)準(zhǔn)差一直保持較小的識別誤差，兩個損傷單元標(biāo)準(zhǔn)差呈現(xiàn)較大區(qū)別，其原因主要有以下幾個方面：(1) 不同單元的剛度系數(shù)對噪聲的敏感程度不同，因此造成差異化的影響趨勢；(2) 未損傷單元的剛度系數(shù)識別邊界的上界為1，則識別結(jié)果的最優(yōu)值會受到限制；(3) 5號單元位于四邊固支板的角落，只有一個節(jié)點的自由度信息可供監(jiān)測，受到噪聲干擾較大，2號單元則有兩個節(jié)點相連，受到噪聲干擾會有一定的削弱。

圖9 識別參數(shù)平均值(MV)隨噪聲水平變化曲線Fig.9 Curves of mean value (MV) of identification parameters with noise level

圖10 識別參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差(std)隨噪聲水平變化曲線Fig.10 Curve of standard deviation (std) of identification parameters with noise level

5 試驗驗證

通過一個實驗驗證所提方法的有效性，實驗對象是一個復(fù)合材料懸臂梁，復(fù)合材料梁由T300/FRD-YG-03制成。懸臂梁的幾何尺寸和單元編號如圖11(a)和圖11(b)所示。

模態(tài)試驗裝置如圖12所示。DAE是數(shù)據(jù)采集設(shè)備的簡稱。為了進(jìn)行模型修正和損傷識別，對損傷梁和未損傷梁的頻率和振型均進(jìn)行測量。

圖12 模態(tài)測試設(shè)備示意圖Fig.12 Schematic diagram of the modal test equipment

首先對懸臂梁有限元模型進(jìn)行修正，為損傷識別提供可靠的參考有限元模型。對原始梁進(jìn)行模態(tài)試驗。試驗裝置如圖13所示。應(yīng)該注意的是，加速度計引起結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的附加質(zhì)量，質(zhì)量是15 g。由于試驗條件有限，只測量了彎曲模態(tài)。通過修正材料的彈性參數(shù)和密度來進(jìn)行模型修正。模態(tài)頻率和材料特性參數(shù)的修正結(jié)果如表7和表8所示。仿真和試驗?zāi)B(tài)頻率的相對誤差小于3.2%，仿真模型滿足精度要求。誤差來源主要為測試精度受限、邊界條件不準(zhǔn)、有限元模型誤差等。

表7 懸臂梁修正后的固有頻率Table 7 Corrected modal frequency of cantilevered beam

表8 懸臂梁修正后的彈性參數(shù)Table 8 Elastic parameters of cantilever beam after model updating

圖13 梁模態(tài)測試試驗設(shè)備Fig.13 Modal test equipment for beam

5.1 懸臂梁損傷定位識別

對原結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)試驗后，在第9單元上施加沿寬度方向的貫通裂紋來模擬復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的損傷，裂紋的長度是梁的寬度的0.6倍，如圖14所示。選用第一和第二階模態(tài)信息用于識別損傷的位置，從表7可以看出這兩階模態(tài)具有相對高的精度。圖15為未損傷和損傷模型的第一和第二階模態(tài)信息?？梢钥闯鰮p傷后懸臂梁的振型已經(jīng)發(fā)生變化，特別是第二階振型。損傷后梁的模態(tài)頻率發(fā)生了降低。自由度的選擇如圖16所示，其中損傷單元也在圖中標(biāo)識。計算損傷局部化指標(biāo)，得到的計算結(jié)果柱狀圖如圖17所示。該圖表明損傷單元比未損單元具有更大的定位指標(biāo)，也就是說損傷單元可以被辨識。

圖14 預(yù)制的貫穿裂紋損傷Fig.14 Prefabricated penetration crack damage

圖15 未損傷和損傷懸臂梁的模態(tài)信息Fig.15 Modal information of undamaged and damaged cantilever beams

圖16 懸臂梁的測點位置Fig.16 Location of measurement points of cantilever beam

圖17 懸臂梁的損傷定位指標(biāo)Fig.17 Damage localization index of cantilever beam

5.2 懸臂梁損傷定量識別

本節(jié)將對懸臂梁進(jìn)行損傷定量識別。首先確定貫穿裂紋的單元級損傷指標(biāo)的基準(zhǔn)值，然后利用優(yōu)化模型進(jìn)行損傷量化，通過與基準(zhǔn)值的比較來討論損傷識別的精度。

5.2.1 預(yù)制貫穿裂紋的損傷基準(zhǔn)值

基準(zhǔn)值的確定采用實際結(jié)構(gòu)響應(yīng)的力學(xué)類剛度指標(biāo)，即指定載荷作用下的位移指標(biāo)。利用均勻化方法計算未損傷和損傷狀態(tài)下的等效彈性模量(Equivalent elastic modulus，EEM)。在等效彈性模量求解中，損傷單元重新劃分為50×50個單元。圖18為未損傷狀態(tài)和損傷狀態(tài)的重構(gòu)單元，其中圖18(b)中實線上的每個節(jié)點被分成兩個節(jié)點以模擬損傷模型中的貫穿裂紋。

圖18 重構(gòu)單元Fig.18 Rebuilt elements

由于試驗條件限制，只能測試懸臂梁面外方向的模態(tài)，這些模態(tài)只受到彎曲剛度的影響，因此本文只對面外的剛度折減情況進(jìn)行辨識，設(shè)置面外彎曲工況來對裂紋處的剛度參數(shù)進(jìn)行等效，如圖19所示。

圖19 計算等效剛度的工況Fig.19 Working conditions for calculating equivalent stiffness

分別計算完整單元和帶裂紋損傷單元的面內(nèi)和面外的剛度，計算結(jié)果如圖20所示，其中Kxz表示繞y方向的轉(zhuǎn)動剛度，上標(biāo)“d”表示損傷狀態(tài)，上標(biāo)“u”表示未損傷狀態(tài)。

圖20 等效剛度計算結(jié)果和位移云圖Fig.20 Equivalent stiffness calculation results and displacement nephogram

面內(nèi)和面外剛度計算公式可以由下式進(jìn)行計算：

5.2.2 損傷量化識別結(jié)果分析

通過優(yōu)化方法對損傷單元的面外損傷進(jìn)行定量識別，識別得到的結(jié)果為0.40，結(jié)果與基準(zhǔn)值較接近。產(chǎn)生誤差的原因為：(1) 預(yù)制損傷將不可避免地引起質(zhì)量損失，導(dǎo)致模態(tài)信息的變化。然而，參考有限元模型忽略了這一點；(2) 懸臂梁的模態(tài)測試試驗具有不確定性，會引起測量模態(tài)的偏差。總之，盡管試驗結(jié)果存在誤差，所提該方法仍然得到了驗證。換言之，試驗工作可以在一定程度上證明所提出的方法。

6 結(jié)論與展望

針對復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)建立了一類新的損傷指標(biāo)，與傳統(tǒng)損傷指標(biāo)相比該指標(biāo)能夠反映面內(nèi)和面外的損傷程度，與材料級損傷參數(shù)相比，該指標(biāo)具有參數(shù)數(shù)量少的優(yōu)勢?；谠搯卧墦p傷參數(shù)提出了相應(yīng)的損傷識別流程，并通過數(shù)值算例和試驗驗證了所提方法。主要結(jié)論包括：

(1) 以材料級損傷參數(shù)為基準(zhǔn)，建立了單元級損傷指標(biāo)與材料級損傷指標(biāo)的映射關(guān)系，從力學(xué)和數(shù)學(xué)兩個角度建立了等效指標(biāo)；

(2) 提出了基于單元級損傷參數(shù)的復(fù)合材料層合板的損傷識別流程，即首先利用模態(tài)應(yīng)變能指標(biāo)進(jìn)行損傷定位，篩選出損傷單元，其次利用優(yōu)化方法對損傷單元的損傷程度進(jìn)行識別；

(3) 比較了利用不同等效算子計算出的損傷指標(biāo)，發(fā)現(xiàn)各種指標(biāo)隨載荷的增加也會單調(diào)增加，各損傷指標(biāo)的增長趨勢趨于一致，并分析了面內(nèi)和面外損傷參數(shù)之間的相關(guān)性；

(4) 在進(jìn)行損傷定位時，無噪聲條件下可以清晰地分辨出損傷和未損傷單元，在噪聲條件下有可能會出現(xiàn)誤判，但是這種誤判可以通過第二步損傷定量識別來進(jìn)行消除；

(5) 分析了噪聲水平對識別結(jié)果誤差的影響，發(fā)現(xiàn)隨著噪聲水平的增加，不同位置的單元級損傷識別誤差呈現(xiàn)不同的增長趨勢。單元關(guān)聯(lián)的測點信息越多，受到噪聲的影響就越小，這是由于不同測點的噪聲會有一定的抵消作用。

識別出損傷以后，本文未給出單元級指標(biāo)到材料級指標(biāo)如何反向映射。主要難點在于材料級損傷參數(shù)在鋪層數(shù)量較多時，待識別參數(shù)數(shù)量較大，導(dǎo)致材料級損傷參數(shù)的求解病態(tài)性較強(qiáng)。如果要保證求解結(jié)果具有較高的精度，則需要更加豐富的結(jié)構(gòu)響應(yīng)信息及更有效的數(shù)據(jù)處理和分析手段。因此，考慮利用波動信號、結(jié)合正則化方法及機(jī)器學(xué)習(xí)類的手段來實現(xiàn)結(jié)構(gòu)損傷參數(shù)的高精度識別將會是未來研究工作的重點方向。