對(duì)平行線中“拐點(diǎn)”問(wèn)題的探索與思考

文／江蘇省太倉(cāng)市沙溪鎮(zhèn)岳王學(xué)校 劉夏天

在學(xué)習(xí)平行線相關(guān)性質(zhì)時(shí)，我發(fā)現(xiàn)有一類(lèi)題目經(jīng)常出現(xiàn)。在平行線之間或者外部添加一個(gè)“拐點(diǎn)”，將這個(gè)點(diǎn)與兩條平行線上的點(diǎn)連接，會(huì)出現(xiàn)很多角，這些角區(qū)別于我們所學(xué)的同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角，但它們之間又有一定的潛在關(guān)系。因此，我想將這些關(guān)系整理下來(lái)，與大家分享。

類(lèi)型1 已知，如圖1，AB//ED，求∠ABC、∠BCD、∠CDE三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系。

圖1

該類(lèi)型與上一篇文章《平行線中的魔法》的問(wèn)題1 是一樣的。拐點(diǎn)C在兩條平行線之間，我們可以過(guò)點(diǎn)C，構(gòu)造AB、ED的平行線CF，如圖2，使∠BCD分成∠BCF與∠FCD，隨后可以發(fā)現(xiàn)∠BCF、∠FCD分別與∠ABC、∠CDE是內(nèi)錯(cuò)角的關(guān)系，利用平行線的性質(zhì)，可以得到∠BCD=∠BCF+∠FCD=∠ABC+∠CDE。

圖2

類(lèi)型2 已知，如圖3，AB//ED，求∠ABC、∠BCD、∠CDE三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系。

圖3

該類(lèi)型中，拐點(diǎn)C也在兩條平行線之間，但點(diǎn)B、C、D之間的位置關(guān)系與類(lèi)型1 稍微有些不同，我們?nèi)匀豢梢杂妙?lèi)型1的方法，過(guò)點(diǎn)C構(gòu)造平行線FC，如圖4，但此時(shí)∠BCF、∠FCD分別與∠ABC、∠CDE是同旁內(nèi)角的關(guān)系，可以得到∠BCF+ ∠ABC=180°，∠FCD+ ∠CDE=180°。因 此，∠ABC+ ∠BCD+ ∠CDE=∠ABC+∠BCF+∠FCD+∠CDE=180°+180°=360°。

圖4

類(lèi)型3 已知，如圖5，AB//ED，求∠ABC、∠BCD、∠CDE三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系。

圖5

該類(lèi)型中，拐點(diǎn)C在兩條平行線之外，當(dāng)然，我們也可以用類(lèi)型1 與類(lèi)型2的方法，作平行線來(lái)解決，但我認(rèn)為有更簡(jiǎn)單的方法。此圖形中有一個(gè)現(xiàn)成的三角形，不妨設(shè)AB與CD的交點(diǎn)為點(diǎn)F，利用平行線的性質(zhì)，可得∠CDE=∠CFA，而∠CFA又 是△CFB的 外 角，可 以 得 到∠CFA= ∠ABC+ ∠BCD，因 此，∠CDE=∠ABC+∠BCD。

以上三個(gè)類(lèi)型的基本題型，就是我通過(guò)對(duì)平行線中“拐點(diǎn)”問(wèn)題的探索與思考后，整理出來(lái)的。經(jīng)過(guò)這番整理與總結(jié)，我感覺(jué)自己對(duì)這類(lèi)題目有了更深的理解。

教 師 點(diǎn) 評(píng)

在學(xué)習(xí)幾何的過(guò)程中，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行總結(jié)與提煉，并歸納成基本題型，是對(duì)大家抽象思維和概括能力的鍛煉，也能讓大家在做題時(shí)有更靈活的思維。期待同學(xué)們能夠在練習(xí)的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)更多的基本圖形，并能夠自我創(chuàng)新，對(duì)基本題型進(jìn)行改編，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。