Schwarz-Christoffel變換及其應(yīng)用分析

李浩希

（華南理工大學(xué)，廣東 廣州 510641）

0 引言

Schwarz-Christoffel 變換在計(jì)算復(fù)雜多邊形邊界的數(shù)值方法中具有重要意義。學(xué)者對(duì)其進(jìn)行了深入的研究，對(duì)于推動(dòng)Schwarz-Christoffel 變換的應(yīng)用具有重要啟示。

Howe[1]提出了一種高效的數(shù)值方法，用于計(jì)算復(fù)雜多邊形邊界的Schwarz-Christoffel 變換方程的常數(shù)，它采用了直接搜索單純性技術(shù)來(lái)最小化多邊形尺寸誤差的平方和，同時(shí)使用高斯-雅各比求積公式來(lái)評(píng)估誤差函數(shù)的元素。Hu[2]開(kāi)發(fā)出能實(shí)現(xiàn)Schwarz-Christoffel共形變換的雙連通多邊形區(qū)域的軟件。該軟件選擇計(jì)算參數(shù)準(zhǔn)確性高、計(jì)算速度快、映射“擁擠”區(qū)域的能力強(qiáng)，解決了與映射函數(shù)相關(guān)的所謂附加參數(shù)問(wèn)題，并評(píng)估正向和反向映射。Natarajan[3]利用Schwarz-Christoffel 映射將多邊形域映射到單位圓盤(pán)，并采用基于單位圓盤(pán)的中點(diǎn)求積規(guī)則。這一方法避免了通常需要的兩級(jí)等參映射，并確保雅可比矩陣的正定性。并在多邊形有限元的背景下，對(duì)一些基準(zhǔn)問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，結(jié)果表明所提出的方法能夠獲得準(zhǔn)確的結(jié)果。崔建斌等[4]研究了Schwarz-Christoffel變換及其數(shù)值解法，采用Levenberg-Marquardt 算法求解非線性系統(tǒng)中的變換參數(shù)，針對(duì)奇異積分問(wèn)題進(jìn)行了區(qū)間細(xì)分和高斯-雅各比型積分的校正，提高了計(jì)算的精度，并用算例驗(yàn)證了該方法的可行性。

綜上所述，學(xué)者們提出了高效的理論和數(shù)值方法來(lái)計(jì)算復(fù)雜多邊形邊界的變換常數(shù)，并開(kāi)發(fā)了軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)Schwarz-Christoffel 共形映射。這些研究為Schwarz-Christoffel 變換的應(yīng)用和改進(jìn)提供了有價(jià)值的參考。本文對(duì)Schwarz-Christoffel 變換的概念、原理進(jìn)行介紹，并分析其應(yīng)用價(jià)值。

1 Schwarz-Christoffel變換簡(jiǎn)介

1.1 基本概念

Schwarz-Christoffel(SC)變換是使用解析函數(shù)將一個(gè)平面上復(fù)雜形狀的幾何體映射到另一個(gè)平面上得到簡(jiǎn)單形狀的幾何體的映射方法。它由數(shù)學(xué)家Hermann Schwarz 和Elwin Christoffel 在19 世紀(jì)末提出。其基本思想是通過(guò)利用已知幾何圖形邊界與所求解析函數(shù)在邊界上的值之間的關(guān)系，得到該函數(shù)在該幾何區(qū)域內(nèi)的值，并通過(guò)求解特定的常微分方程，將這個(gè)解析函數(shù)映射到多邊形區(qū)域內(nèi)，從而可以方便地求解該多邊形區(qū)域內(nèi)的問(wèn)題。

在復(fù)平面Z上的多邊形有N條邊，它的頂點(diǎn)和內(nèi)角分別為Zi和παi()i= 1,2,…,N。將T 平面上幾何體上的點(diǎn)映射到Z平面上的Schwarz-Christoffel變換公式為[5]：

式中：K——形狀系數(shù)；

C——位置系數(shù)；

παi——Z平面上多邊形的內(nèi)角；

ai——T平面x軸上的點(diǎn)。

1.2 變換示意

對(duì)橢圓和正方形映射到單位圓的Schwarz-Christoffel 變換進(jìn)行介紹。通過(guò)將橢圓形和正方形變換成簡(jiǎn)單的圓形，可以更方便地進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和分析。

（1）橢圓至單位圓的Schwarz-Christoffel變換

Tobin[6]提出由橢圓形至單位圓的Schwarz-Christoffel變換，設(shè)橢圓形的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)為a，半短軸長(zhǎng)為b，(z=x+yi)為平面上橢圓形范圍內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)（坐標(biāo)應(yīng)該有兩個(gè)值？，這是不是“坐標(biāo)方程”）。由橢圓形至單位圓的Schwarz-Christoffel變換如下：

式中：

橢圓形通過(guò)上述Schwarz-Christoffel 變換共形映射到圓形的過(guò)程如圖1所示。

圖1 橢圓至單位圓的SC變換示意圖[11]

（2）正方形至單位圓的Schwarz-Christoffel變換

Chamberlain Fong[7]提出由正方形至圓形的Schwarz-Christoffel 變換，坐標(biāo)在范圍x∈[- 1,1 ],y∈[- 1,1 ]內(nèi)的單位正方形至單位圓的Schwarz-Christoffel映射如下所示：

其中:

通過(guò)公式即可將橢圓形或正方形共形映射到單位圓。

2 Schwarz-Christoffel工具箱及其作用

2.1 Schwarz-Christoffel工具箱

SC Toolbox 即為Schwarz-Christoffel 工具箱，Schwarz-Christoffel 工具箱提供了調(diào)用函數(shù)和圖形界面兩種方式來(lái)輸入圖形信息，并將輸入的圖形進(jìn)行Schwarz-Christoffel共形映射。

Schwarz-Christoffel 工具箱的前身是SCPACK，SCPACK 是L.N.Trefethen 在20 世紀(jì)80 年代早期開(kāi)發(fā)的基于Fortran 編程語(yǔ)言的程序。Schwarz-Christoffel 工具箱在SCPACK 的基礎(chǔ)上加入了交互功能以及可視化功能，而且也不需要用戶進(jìn)行編程。使得程序在計(jì)算Schwarz-Christoffel共形映射時(shí)更加直觀便捷。

Schwarz-Christoffel 共形映射是將一個(gè)平面的上半平面映射成另一個(gè)平面上的多角形區(qū)域，當(dāng)多角形的頂點(diǎn)大于3 時(shí)，映射函數(shù)的求取就已經(jīng)變得十分困難了，依靠傳統(tǒng)解析方法往往很難解出映射函數(shù)。基于MATLAB 編程的Schwarz-Christoffel 工具箱為這一類問(wèn)題的求解提供了可能，可以用來(lái)求解復(fù)雜多邊形（包括無(wú)邊界區(qū)域、邏輯四邊形和通道）對(duì)應(yīng)的Schwarz-Christoffel映射函數(shù)。Schwarz-Christoffel工具箱包括一個(gè)用于在具有分段常數(shù)邊界條件的此類區(qū)域上可以快速求解拉普拉斯方程的模塊，這是它快速求解出圖形對(duì)應(yīng)的Schwarz-Christoffel 映射函數(shù)的基礎(chǔ)。除此之外，Schwarz-Christoffel 工具箱還可以通過(guò)交互式界面進(jìn)行圖形信息輸入、對(duì)圖形進(jìn)行Schwarz-Christoffel 共形映射等操作。

2.2 Schwarz-Christoffel工具箱的作用

應(yīng)用Schwarz-Christoffel 工具箱，可以將多邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)作為所要轉(zhuǎn)換的目標(biāo)圖形坐標(biāo)通過(guò)polygon指令輸入Schwarz-Christoffel 工具箱中；再通過(guò)diskmap指令構(gòu)造一個(gè)由多邊形向單位圓的共形映射；之后再通過(guò)center指令定義轉(zhuǎn)換后的單位圓圓心坐標(biāo)。

除了將圖形信息通過(guò)調(diào)用polygon 指令輸入之外，還可以通過(guò)scgui 指令在交互式界面中畫(huà)出目標(biāo)形狀，然后再通過(guò)可視化操作界面轉(zhuǎn)換為單位圓。

通過(guò)Schwarz-Christoffel Toolbox 轉(zhuǎn)換前后的多邊形如圖2所示。

圖2 通過(guò)Schwarz-Christoffel Toolbox變換前后的多邊形

在對(duì)圖形成功變換后，可以通過(guò)evalinv 指令得到原圖形變換后位于單位圓內(nèi)的等效坐標(biāo)，也可以通過(guò)eval指令由單位圓上的點(diǎn)得到變換前該點(diǎn)的原坐標(biāo)。

通過(guò)上述操作即可求得任意多邊形到單位圓的Schwarz-Christoffel共形映射。

綜上所述，Schwarz-Christoffel 工具箱可以通過(guò)輸入多邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)實(shí)現(xiàn)多邊形到單位圓的Schwarz-Christoffel 共形映射。它提供了方便的指令和交互式界面，使得轉(zhuǎn)換過(guò)程更加直觀和可視化。通過(guò)Schwarz-Christoffel Toolbox，我們可以快速而準(zhǔn)確地獲得所需的共形映射結(jié)果。這為多邊形幾何形狀的分析和處理提供了有力的工具和方法。

3 Schwarz-Christoffel變換的應(yīng)用

Schwarz-Christoffel 變換通常用于解決有界幾何區(qū)域的變形問(wèn)題，以及求解該區(qū)域中的電勢(shì)、熱勢(shì)等物理問(wèn)題。其在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛應(yīng)用。

3.1 在電氣領(lǐng)域的應(yīng)用

Balakrishnan[8]基于Schwarz-Christoffel 變換提出計(jì)算磁路中氣隙磁阻的方法。該方法應(yīng)用于示例配置的電感計(jì)算，并通過(guò)與基于有限元數(shù)值分析方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，驗(yàn)證了其有效性。Fosset[9]討論了在電化學(xué)問(wèn)題中使用坐標(biāo)變換的實(shí)用性，特別是與微電極上的非線性擴(kuò)散相關(guān)的問(wèn)題。使用Schwarz-Christoffel變換得到了雙帶電極穩(wěn)態(tài)極限電流的精確表達(dá)式，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)證明了數(shù)字模擬的準(zhǔn)確性。

3.2 在流體力學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用

Hasheminejad[10]基于Schwarz-Christoffel 變換，對(duì)填充水平圓柱形容器的自由液體橫向振蕩特性進(jìn)行研究；通過(guò)精確的二維流體動(dòng)力學(xué)分析，考慮了不可壓縮液體和不同擋板配置；并研究了填充水平、擋板布置和長(zhǎng)度對(duì)振蕩頻率和流體壓力的影響；還討論了方法的收斂性和結(jié)果的有效性。Chahar[11]基于Schwarz-Christoffel變換，采用逆方法得出了一種精確解，用于描述通過(guò)均勻各向同性多孔介質(zhì)下的淺層排水層的弧形渠道滲流問(wèn)題。此外，解還包括描述渠道輪廓形狀和施壓線軌跡的一組參數(shù)方程。

3.3 在材料領(lǐng)域的應(yīng)用

Wang[12]基于Schwarz-Christoffel 變換，在半無(wú)限各向同性介質(zhì)中，將遠(yuǎn)場(chǎng)III 模式加載下斜向邊緣裂紋附近的螺型位錯(cuò)映射到應(yīng)用加載下的自由表面附近的螺型位錯(cuò)簡(jiǎn)單情況，并推導(dǎo)了復(fù)雜勢(shì)、應(yīng)力場(chǎng)、應(yīng)力強(qiáng)度因子、位錯(cuò)圖像力、應(yīng)變能等。

綜上所述，Schwarz-Christoffel 變換通常應(yīng)用于解決有界幾何區(qū)域的變形問(wèn)題，以及求解該區(qū)域中的電勢(shì)、熱勢(shì)、流勢(shì)等物理問(wèn)題，是一種廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具，在各個(gè)領(lǐng)域中都有其獨(dú)特的應(yīng)用。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文為了分析Schwarz-Christoffel 變換的應(yīng)用價(jià)值，在介紹其基本原理的基礎(chǔ)上，分析Schwarz-Christoffel 工具箱及其在實(shí)現(xiàn)Schwarz-Christoffel 變換方面具有的重要作用，并介紹Schwarz-Christoffel 變換在電氣領(lǐng)域、流體力學(xué)領(lǐng)域和材料領(lǐng)域的應(yīng)用。分析認(rèn)為，Schwarz-Christoffel 變換可解決有界幾何區(qū)域的變形問(wèn)題，以及求解該區(qū)域中的電勢(shì)、熱勢(shì)、流勢(shì)等物理問(wèn)題，是一種廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具，在各個(gè)領(lǐng)域中都有其獨(dú)特的應(yīng)用。隨著Schwarz-Christoffel 變換繼續(xù)發(fā)展和應(yīng)用，它將在更廣泛的工程和科學(xué)領(lǐng)域中發(fā)揮重要作用，并為實(shí)際問(wèn)題的解決提供創(chuàng)新和有效的解決方案。