基于時間序列ARMA模型的拱橋施工變形預(yù)測

張 杰 李慶齡

（1.西華大學(xué)建筑與土木工程學(xué)院，四川 成都 610039；2.巴中利偉建設(shè)工程有限公司成都分公司，四川 成都 610095）

0 引言

鋼管混凝土系桿拱橋具有復(fù)雜的結(jié)構(gòu)體系，在施工過程中往往存在多種偏差和誤差。隨著橋梁施工進(jìn)程的推進(jìn)，這些偏差和誤差會導(dǎo)致主拱肋標(biāo)高偏離設(shè)計目標(biāo)，影響橋梁的內(nèi)力和線形，甚至造成合攏困難。因此，在鋼管混凝土系桿拱橋施工過程中，針對隨時間變化的施工數(shù)據(jù)進(jìn)行變形分析和預(yù)測，并對過大變形及時采取有效的控制措施，才能確保結(jié)構(gòu)的實際變形符合預(yù)期目標(biāo)[1]。

時間序列分析是一種重要的數(shù)學(xué)方法，用于處理相互關(guān)聯(lián)的動態(tài)數(shù)據(jù)集合，它可以對隨時間變化的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和預(yù)測。時間序列數(shù)據(jù)具有獨特的特點，即它們隨時間的推移而變化，并能夠反映過去所有的因果關(guān)系[2]。因此，時間序列分析能夠揭示數(shù)據(jù)隨時間變化的規(guī)律，幫助建立可預(yù)測性模型，以指導(dǎo)決策和規(guī)劃。與傳統(tǒng)的統(tǒng)計分析方法不同，時間序列分析更注重時間的因素，將時間作為自變量，從而代替復(fù)雜的影響因素和數(shù)據(jù)缺失等問題[3]。

在工程結(jié)構(gòu)監(jiān)測領(lǐng)域，時間序列分析的應(yīng)用較少，這是由于工程結(jié)構(gòu)本身的特點和監(jiān)測數(shù)據(jù)的不確定性等因素所致。然而，在房屋結(jié)構(gòu)和隧道變形監(jiān)測中，時間序列分析已經(jīng)被廣泛應(yīng)用，并且在處理監(jiān)測數(shù)據(jù)方面具有顯著的優(yōu)越性[4]。時間序列分析可以有效地處理監(jiān)測數(shù)據(jù)，用于橋梁施工監(jiān)測過程中的變形分析，并且具有很好的應(yīng)用前景。然而目前國內(nèi)在橋梁施工監(jiān)測過程中使用時間序列分析的研究仍然相對較少[5]?；诖?，本文利用時間序列ARMA 模型對某特大橋主橋施工監(jiān)控過程中主拱肋控制點變形數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，以促進(jìn)該分析方法在橋梁施工監(jiān)測中的應(yīng)用。

1 工程概況與施工變形監(jiān)測

1.1 工程概況

依托工程為一座飛燕式鋼管混凝土系桿拱橋。橋梁跨徑布置為（30m+120m+30m），橋梁總長180m，橋?qū)?1.3m，設(shè)計汽車荷載為-A 級。該大橋的纜索吊裝布置如圖1所示。

圖1 某特大橋纜索吊裝布置圖

1.2 施工變形監(jiān)測

編制該大橋主橋施工監(jiān)控方案并采用全站儀及專用棱鏡對拱肋進(jìn)行變形監(jiān)測。主拱肋變形測點根據(jù)拱肋分段情況和結(jié)構(gòu)變形情況進(jìn)行布置，每個拱肋分段布設(shè)一個監(jiān)測斷面。為避免梁段焊接影響，監(jiān)測斷面布置在距離梁段邊緣0.5m 處，共布置7個斷面；每個斷面各布置4 個測點，位于鋼管拱肋頂端，全橋共布置28個測點。

2 建立時間序列模型的基本思想

時間序列分析的核心理念是同一變量在不同時間點上的觀測值之間存在一定的關(guān)聯(lián)性。這種關(guān)聯(lián)性意味著過去的觀測值可以用來預(yù)測未來的觀測值，雖然在新的時刻仍然可能出現(xiàn)不可預(yù)測的情況。因此，可以通過建立一個描述時間序列的模型，來研究和預(yù)測這個序列在未來的變化趨勢。具體地說，若記Xt（t=…,-2,-1,0,1,2,…）是一個無限時間序列，那么時間序列模型就是一個用來描述這個序列的數(shù)學(xué)模型，如公式（1）所示。

3 時間序列ARMA模型的建立及預(yù)測分析

3.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗是時間序列建模的必要前提之一，因為時間序列的平穩(wěn)性對建模至關(guān)重要。確保時間序列的平穩(wěn)性是為了確保模型的可靠性和準(zhǔn)確性。下文對最上游拱肋跨中4號斷面測點（簡稱D4測點）施工階段CS7-CS29 的變形數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。使用Eviews軟件計算序列r的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)，相關(guān)系數(shù)和趨勢見圖2所示。

圖2 序列r的自相關(guān)圖與偏相關(guān)圖

在本例中，只關(guān)注自相關(guān)函數(shù)，而Eviews提供了自相關(guān)函數(shù)(AC）和偏自相關(guān)函數(shù)(PAC)。使用自相關(guān)函數(shù)圖可以判斷序列的穩(wěn)定性：如果自相關(guān)系數(shù)快速趨近于0 并落入隨機(jī)區(qū)間，則時間序列是平穩(wěn)的；反之，如果趨勢緩慢或不斷遞增，且在第8 期后數(shù)據(jù)符號改變，則表明序列r存在趨勢性，是非平穩(wěn)的。

經(jīng)過對序列r進(jìn)行ADF 單位根檢驗，得到的p 值為0.9919，大于顯著性水平0.05。根據(jù)顯著性檢驗結(jié)果，可以得出結(jié)論：序列r是非平穩(wěn)的。這意味著在時間序列建模中，如果直接使用序列r 進(jìn)行回歸分析，可能會遇到虛假回歸問題。為了避免這個問題，需要對序列r進(jìn)行處理，使其變?yōu)槠椒€(wěn)序列。常用的方法是進(jìn)行差分操作，通過計算相鄰觀測值之間的差異來獲得差分序列dr。差分序列dr消除了序列中的趨勢和季節(jié)性等非平穩(wěn)因素，使得序列變得平穩(wěn)。利用差分序列dr 進(jìn)行進(jìn)一步的時間序列建模分析，可以得到更可靠的結(jié)果，并避免虛假回歸問題的影響。因此，在本例中，將對原始序列r 進(jìn)行一階差分操作，生成差分序列dr，然后利用差分序列dr 進(jìn)行時間序列建模分析，以獲得更準(zhǔn)確和可靠的結(jié)果。觀察序列dr的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)，相關(guān)系數(shù)和趨勢見圖3所示。

圖3 序列dr的偏自相關(guān)系數(shù)

根據(jù)觀察，從圖3 中可以發(fā)現(xiàn)差分序列dr 的自相關(guān)圖和偏相關(guān)圖都呈現(xiàn)明顯的截尾現(xiàn)象，這表明差分序列dr 滿足平穩(wěn)性的條件。為了進(jìn)一步驗證這一點，對差分序列dr 進(jìn)行ADF 檢驗。根據(jù)檢驗結(jié)果的t 統(tǒng)計量，其實際p 值為0.0000，小于設(shè)定的顯著水平0.05。因此，經(jīng)過顯著性檢驗，可以得出結(jié)論，序列dr 不存在單位根，表明該序列已經(jīng)處于平穩(wěn)狀態(tài)。

3.2 模式識別

根據(jù)樣本的自相關(guān)函數(shù)和偏相關(guān)函數(shù)的截尾性質(zhì)，可以初步判斷序列為自回歸滑動平均模型（ARMA）中的ARMA(1,2)模型。同時，需要考慮臨近的幾個模型，包括自回歸模型AR(1)和AR(2)，滑動平均模型MA(1)和MA(2)，以及ARMA 混合模型ARMA(1,1)、ARMA(1,3)、ARMA(2,1)和ARMA(2,2)。

3.3 參數(shù)估計

本文中使用常用的最小二乘法進(jìn)行參數(shù)估計，得出了各個模型的參數(shù)估計值，見表1所示。

表1 模型的參數(shù)估計值

3.4 模型定階

各階模型AIC 和BIC 準(zhǔn)則值，見表2。從表2 中可以看出：AIC 值較小的有ARMA(1,2)，ARMA(1,3)，ARMA(2,2)和MA(2)模型，SIC 值較小的也是ARMA(1,2)，ARMA(1,3)，ARMA(2,2)和MA(2)模型。根據(jù)HQ 準(zhǔn)則，ARMA(1,2)、ARMA(1,3)、ARMA(2,2)和MA(2)模型具有較小的HQ 值，因此被認(rèn)為是較為合適的模型。使用Eviews計算這些模型的統(tǒng)計檢驗量結(jié)果見表3。

表2 序列dr的各階模型定階準(zhǔn)則值

表3 各模型檢驗量

模型的優(yōu)選主要依賴于以下幾個評價指標(biāo)的對比：決定系數(shù)R2，其數(shù)值范圍為0 至1，越接近1 則代表模型擬合的效果越佳。再者，赤池信息準(zhǔn)則(AIC)，其數(shù)值越小，表明模型的精度越高。另一項是施瓦茲貝葉斯信息準(zhǔn)則(SIC)，其數(shù)值越小則表明模型更為精確。最后，Durbin-Watson 統(tǒng)計量，當(dāng)數(shù)值在1.8 到2.1 之間時，表示殘差序列呈現(xiàn)出正態(tài)分布且無相關(guān)性。

通過表3的比較可得：ARMA(2,2)模型雖然其AIC、SIC 信息量較小，但Prob 值≥0.05，即模型不顯著，不能拒絕原假設(shè)，因此不適用于本研究。ARMA(1,2)模型的擬合優(yōu)度R2最高，同時其AIC、SC 值也最小。綜合考慮，選擇采用ARMA(1,2)模型。

3.5 殘差檢驗

3.5.1 平穩(wěn)性檢驗

對于ARMA(1,2)模型，自回歸部分特征根為：λ=[1]，絕對值|λ|=[1]；滑動平均部分特征根為：v=[0.83-0.42i,0.83+0.42i]，絕對值 |v|=[0.9405,0.9405]；即 |λi|≤1,|vi|≤1(i= 1,2)，滿足平穩(wěn)可逆條件，因此，模型是平穩(wěn)可逆的。

3.5.2 正態(tài)性檢驗

對于ARMA(1,2)模型，將估計的參數(shù)代入計算，從t=p+1=2開始計算殘差序列at，同時將未知的a值和x值設(shè)為零，通過遞推方法求得模型的殘差。然后，使用Eviews 對殘差進(jìn)行LM 檢驗，得到的LM 檢驗結(jié)果為0.9876。根據(jù)檢驗結(jié)果，P值大于0.05，說明殘差序列呈正態(tài)分布。

3.5.3 白噪聲檢驗

為了驗證ARMA(1,2)模型的殘差是否具有白噪聲特性，選定滯后階數(shù)k=12，并計算了殘差的自相關(guān)函數(shù)（ACF）值以及Q 統(tǒng)計量。根據(jù)Eviews 計算結(jié)果可得出，殘差序列的自相關(guān)函數(shù)值在Bartlett范圍內(nèi)，表明殘差序列之間相互獨立。滯后12階的Q 統(tǒng)計量的P 值均大于顯著性水平0.05，表示接受原假設(shè)，即殘差序列不相關(guān)或相互獨立。對殘差序列進(jìn)行ADF 單位根檢驗，發(fā)現(xiàn)t統(tǒng)計量絕對值大于1%、5%、10%三個顯著性水平的t值，且p值為0.0017，小于這三個顯著性水平。因此，可以拒絕原假設(shè)，并得出結(jié)論：殘差序列不存在單位根。綜上所述，當(dāng)假設(shè)序列DR 為ARMA(1,2)時，可以認(rèn)定其殘差序列可以視為白噪聲，即序列的隨機(jī)性已經(jīng)被成功捕捉。

3.6 預(yù)測分析

通過差分方程形式進(jìn)行向前一步預(yù)測，可以獲得ARMA(2,1)模型的預(yù)測結(jié)果，具體為：

代入已知數(shù)值和模型的參數(shù)估計值，可求出序列dr的預(yù)測值為：

得到序列的擬合數(shù)據(jù)以及預(yù)測數(shù)據(jù)可見圖4的D4測點拱肋變形值預(yù)測效果比較圖。

圖4 D4號測點拱肋變形值預(yù)測效果比較圖

由圖4 可以看出用ARMA 模型進(jìn)行預(yù)測的最大擬合誤差為12.7mm，最大預(yù)測誤差為10.6mm。該模型預(yù)測效果較好，具有較高的精度。

4 結(jié)束語

（1）時間序列ARMA 模型可以精準(zhǔn)擬合與預(yù)測拱橋拱肋在建設(shè)過程中的變形值，使得鋼管混凝土拱橋的施工控制得到有效保障，鋼管混凝土拱橋的建設(shè)過程更加安全與高效。

（2）采用時間序列方法建模時，針對自回歸滑動平均模型的參數(shù)估計特征，提出了參數(shù)估計的“兩步走”，即“先參數(shù)初估計，然后精確估計參數(shù)”。本文計算結(jié)果表明這樣處理可大大地改善參數(shù)的估計精度，提高模型的預(yù)測效果。