球槽模型壓力極大值位置是否存在質(zhì)量比臨界值

閆俊卿 姚華鑫 林云強(qiáng)

(1.安徽省安慶市田家炳中學(xué),安徽 安慶 246003; 2.北京師范大學(xué)未來(lái)教育學(xué)院,廣東 珠海 519087; 3.安徽省安慶市石化第一中學(xué),安徽 安慶 246002)

1 引言

球槽模型是高中物理教學(xué)中一個(gè)比較經(jīng)典的模型,涉及動(dòng)量與能量的綜合分析,經(jīng)常會(huì)涉及特殊位置處相互作用力的分析.關(guān)于球槽模型大部分文獻(xiàn)旨在探討球槽模型小球?qū)Φ厮俣茸畲笾滴恢檬欠翊嬖谫|(zhì)量比臨界值,如文獻(xiàn)[2]～[5]都得出球槽質(zhì)量比影響小球速度最大值出現(xiàn)的位置.而小球?qū)Π疾蹓毫O大值的出現(xiàn)位置的研究文獻(xiàn)較少,翻閱文獻(xiàn)發(fā)現(xiàn)對(duì)此問(wèn)題有不同的觀點(diǎn):文獻(xiàn)[1]指出考慮小球的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量會(huì)影響小球?qū)Π疾圩畲髩毫Φ某霈F(xiàn)位置,且凹槽質(zhì)量等于小球質(zhì)量是壓力極大值偏離最低點(diǎn)的臨界條件;而文獻(xiàn)[4]指出小球?qū)Π疾鄣膲毫Φ淖畲笾蹬c質(zhì)量比無(wú)關(guān),在凹槽最低點(diǎn)出現(xiàn).那么壓力的最大值究竟是否存在質(zhì)量比臨界呢?基于以上研究背景,本文將從一般化情形和理想化情形進(jìn)行分析,定量推導(dǎo)小球所受支持力的表達(dá)式,并進(jìn)行數(shù)值模擬來(lái)分析兩者的規(guī)律,從而揭示真實(shí)的物理過(guò)程和規(guī)律.

為方便下文論述,把考慮小球半徑和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的情況稱為一般化情形,把小球視為質(zhì)點(diǎn)模型的情況稱為理想化情形.下文將探討小球?qū)Π疾蹓毫Φ囊?guī)律及極大值的出現(xiàn)位置與質(zhì)量比是否有關(guān).

2 定量分析 探尋規(guī)律

情境描述:質(zhì)量為M,半徑為R的凹槽靜止在光滑的水平地面上,一個(gè)質(zhì)量為m,半徑為r的小球,從凹槽圓心等高處?kù)o止釋放.

2.1 一般化情形研究

2.1.1 理論推導(dǎo)

小球沿圓軌道滾動(dòng)的過(guò)程中,某時(shí)刻情境如圖1所示,令小球相對(duì)于凹槽圓心O的速度vC方向垂直于球心與凹槽圓心O的連線,設(shè)此時(shí)連線與豎直方向的夾角為θ,此時(shí)凹槽水平向左的速度為v,凹槽對(duì)小球的支持力為N以及小球所受的重力為G.

圖1 情境圖

根據(jù)伽利略變換可知小球相對(duì)于地面水平向右的速度大小為vCsinθ+v,根據(jù)水平方向動(dòng)量守恒可得

m(vCsinθ+v)+Mv=0.

(1)

以小球在軌跡最低點(diǎn)處的球心所在平面為零勢(shì)能面,從與圓心等高處運(yùn)動(dòng)到此時(shí)的狀態(tài),根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得

(2)

根據(jù)柯尼希定理可知小球相對(duì)于地面的總動(dòng)能T等于質(zhì)心相對(duì)于地面的平動(dòng)動(dòng)能和小球相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和,故有

(3)

又因?yàn)樾∏蛳鄬?duì)于凹槽做無(wú)滑滾動(dòng),可得

vC=rω.

(4)

小球沿凹槽向上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,凹槽具有向右的加速度,于是以凹槽為非慣性參考系,小球受到向左的慣性力F′,其大小為F′=Ncosθ.

以凹槽為參考系,小球球心相對(duì)于圓心做圓周運(yùn)動(dòng),徑向由牛頓第二定律可得

(5)

聯(lián)立式(1)～(5)解得

(6)

從N的數(shù)學(xué)表達(dá)式看出,該表達(dá)式不含r和R,說(shuō)明球槽半徑的大小和小球的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不影響壓力極值的出現(xiàn)位置.那么壓力又會(huì)呈現(xiàn)出什么規(guī)律呢,接下來(lái)通過(guò)數(shù)值模擬,更加直觀地進(jìn)行呈現(xiàn)和分析.

2.1.2 一般化情形規(guī)律可視化

為方便研究,我們?nèi)=1 kg,R=1.0 m,r=0.1 m,g=10 m/s2.同時(shí)令M/m=M=k.由牛頓第三定律可知,壓力大小滿足FN=N,二者方向相反.故式(6)可化為

用數(shù)學(xué)軟件GeoGebra繪制的FN圖像如圖2所示.

圖2 一般化情形FN的函數(shù)圖像

限于篇幅,這里僅僅給出4種情況下的FN的函數(shù)圖像.當(dāng)我們不斷增大k值時(shí),FN的函數(shù)圖像的差別在于極大值發(fā)生變化,即有函數(shù)極大值隨著k的增大而減小,而函數(shù)圖像的整體對(duì)稱性依然相同.從FN與θ的函數(shù)圖像可以看出,FN的函數(shù)圖像的對(duì)稱軸始終為θ=π/2,而且函數(shù)最大值始終出現(xiàn)在θ=π/2處.前文一般化情形中將小球和凹槽圓心的連線與水平方向的夾角設(shè)為θ,即有小球?qū)Π疾蹓毫O大值在凹槽最低點(diǎn)處取得.

2.1.3 一般化情形規(guī)律總結(jié)

因此,歸納得到以下結(jié)論:在考慮小球大小和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的情況下,無(wú)論凹槽與小球的質(zhì)量之比取何值,小球?qū)Π疾蹓毫Φ臉O大值始終在凹槽的最低點(diǎn)處取得.

從物理角度闡釋該結(jié)論:不同的球槽,無(wú)論小球半徑如何,球槽的質(zhì)量比如何,小球的壓力的極大值都出現(xiàn)在凹槽的最低點(diǎn),并且壓力的變化規(guī)律相同.這無(wú)疑是該情境背后隱藏的另一個(gè)有趣的、簡(jiǎn)潔的、對(duì)稱的、美麗統(tǒng)一的物理規(guī)律.

這不免引發(fā)進(jìn)一步思考,既然小球半徑和凹槽質(zhì)量比不影響壓力變化規(guī)律和其極大值出現(xiàn)的位置,那么就可以將小球視為質(zhì)點(diǎn),該模型簡(jiǎn)化為下文中的理想化模型進(jìn)行再次探究.

2.2 理想化模型研究

2.2.1 理論推導(dǎo)

理想化情形下,我們忽略小球自身的半徑(即不考慮其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量),將其視為質(zhì)點(diǎn),探究小球?qū)Π疾蹐A軌道的壓力的規(guī)律及極大值出現(xiàn)的位置.此時(shí)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)情境如圖3所示,v1代表小球的速度,v2代表凹槽的速度,v相代表小球相對(duì)于凹槽的速度,小球和圓心的連線與水平方向成θ角,顯然v相沿圓軌道的切線方向.

圖3 情境圖

小球從水平位置滑到圖示位置的過(guò)程,由機(jī)械能守恒可得

(7)

其中v12=(v相sinθ-v2)2+(v相cosθ)2.

(8)

由水平方向動(dòng)量守恒可得

mv1x=Mv2.

(9)

(10)

聯(lián)立式(7)～(11)可得

(11)

(12)

(13)

解得關(guān)于θ的微分方程為

(14)

于是對(duì)θ求二階導(dǎo)數(shù)可得

(16)

將式(16)代入式(15)化簡(jiǎn)可得

(17)

(18)

對(duì)式(18)求導(dǎo)可得

(19)

代入式(15)和式(16)即有

(20)

以圓槽為參考系(非慣性系),小球受到圓槽給其的沿半徑方向的支持力,設(shè)此時(shí)凹槽水平方向的加速度為a2,小球在球槽參考系中受到水平方向的慣性力F′,且大小為F′=ma2,與圓槽此時(shí)的水平加速度方向相反.小球?qū)A槽由牛頓第二定律可得

(21)

聯(lián)立式(13)(15)(20)(21),可得

(22)

從上式中FN的表達(dá)式可知,小球?qū)Π疾蹐A軌道的壓力與凹槽半徑R無(wú)關(guān),與小球和凹槽的質(zhì)量以及角度θ有關(guān).于是,我們將嘗試改變小球和凹槽的質(zhì)量關(guān)系,數(shù)值模擬更加直觀探究小球?qū)Π疾蹓毫Φ囊?guī)律.

2.2.2 理想化情形規(guī)律可視化

為方便觀察N的變化規(guī)律,同理我們?nèi)=1 kg,R=1 m,g=10 m/s2.同時(shí)令M/m=M=k,則式(22)可化為

我們用數(shù)學(xué)繪圖工具GeoGebra繪制的FN圖像如圖4所示.

圖4 理想化情形FN的函數(shù)圖像

從圖4中可知FN函數(shù)圖像始終存在一個(gè)極大值,且始終存在一個(gè)對(duì)稱軸.繪圖軟件自帶的數(shù)據(jù)顯示,FN函數(shù)的極大值在θ=1.5707963…處取得,這說(shuō)明函數(shù)極值在2θ=π處取得,即無(wú)論小球與凹槽的質(zhì)量之比取何值小球的速度最大值始終在最低點(diǎn)處取得.

2.2.3 理想化情形規(guī)律總結(jié)

從數(shù)學(xué)表達(dá)式,規(guī)律的數(shù)值模擬可視化,可以得出無(wú)論小球與凹槽的質(zhì)量之比取何值,小球的速度最大值始終在最低點(diǎn)處取得.

這說(shuō)明兩種情形下小球?qū)Π疾蹐A軌道壓力的極大值始終在軌道最低點(diǎn)處取得且改變小球與凹槽的質(zhì)量比值不影響壓力極大值的出現(xiàn)位置.

2.3 兩種情形分析和比較

第一,相同位置,壓力大小不同.

從圖3和圖4,我們發(fā)現(xiàn)兩種情形下小球運(yùn)動(dòng)到同一位置所受支持力大小不同,小球視為質(zhì)點(diǎn)情形壓力明顯大于非質(zhì)點(diǎn)情形.其實(shí)物理原因很簡(jiǎn)單,就是考慮小球轉(zhuǎn)動(dòng)慣量會(huì)把一部分動(dòng)能用于自身的轉(zhuǎn)動(dòng),從而小球相對(duì)凹槽的速度大小變小,于是對(duì)凹槽的壓力也因之變小.當(dāng)然,考慮小球半徑也會(huì)使運(yùn)動(dòng)相同θ位置時(shí)減少的重力勢(shì)能變小,于是獲得的總動(dòng)能也相應(yīng)變小,即有小球的速度產(chǎn)生微妙的變小,從而有壓力變小.

第二,同種情形,k不相同,壓力變化規(guī)律略有差異,變化趨勢(shì)相同.

當(dāng)小球質(zhì)量遠(yuǎn)大于凹槽質(zhì)量即k值比較小時(shí),分析原因也很簡(jiǎn)單,小球開始階段近似于做自由落體運(yùn)動(dòng),速度增加得比較快,因而相互作用時(shí)其對(duì)凹槽的壓力短時(shí)間內(nèi)增加加快,因此k值較小時(shí),圖像呈現(xiàn)出“細(xì)腰”的圖像,k值較大時(shí),不明顯.

第三,兩種情形,k相同壓力變化規(guī)律相同.

由一般情形的理論推導(dǎo)得到的表達(dá)式,不含有球槽的幾何參量,大膽猜測(cè),球槽的半徑不影響壓力的變化規(guī)律,進(jìn)而簡(jiǎn)化為理想模型處理,得出類似的規(guī)律,進(jìn)而兩種情形壓力的極大值位置也不存在質(zhì)量比臨界問(wèn)題,這無(wú)疑在討論壓力規(guī)律時(shí),可以將小球視為質(zhì)點(diǎn),為球槽模型簡(jiǎn)化,提供了參考依據(jù).

3 總結(jié)與啟示

綜上所述,得出研究結(jié)論:無(wú)論是否考慮小球的半徑和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,還是改變小球與凹槽的質(zhì)量之比,小球?qū)Π疾鄣膲毫ψ兓?guī)律相同,且極大值出現(xiàn)位置始終在凹槽半圓軌道的最低點(diǎn),與小球最大速度出現(xiàn)在最低點(diǎn)存在質(zhì)量之比臨界值截然不同.

誠(chéng)然,上述分析與定量推導(dǎo)是基于文獻(xiàn)[1]的矛盾展開的,文獻(xiàn)[1]之所以出現(xiàn)錯(cuò)誤結(jié)論,是因?yàn)樵谟?jì)算小球在半圓軌道任意位置受到的向心力時(shí)代入的小球速度是相對(duì)于圓軌道的速度大小,而不是絕對(duì)速度.所以,本文也為廣大一線教師認(rèn)識(shí)球槽模型的最大速度出現(xiàn)位置與最大壓力出現(xiàn)位置的差異提供了參考.

教師在物理試題的命制過(guò)程中,把握好正確的物理結(jié)論顯得尤為重要.當(dāng)高中物理的知識(shí)不能解決面臨的物理問(wèn)題時(shí),教師可采用大學(xué)物理學(xué)的方法進(jìn)行推導(dǎo)并得到正確的結(jié)論.這也啟示教師在日常教學(xué)中關(guān)注物理結(jié)論成立的條件并勇于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題,防止思維定式的產(chǎn)生.