非定常流場(chǎng)時(shí)程重構(gòu)的深度學(xué)習(xí)方法

戰(zhàn)慶亮，白春錦，吳智虎，葛耀君

（1.大連海事大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，遼寧大連 116026；2.同濟(jì)大學(xué)橋梁結(jié)構(gòu)抗風(fēng)技術(shù)交通行業(yè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092）

0 引 言

高分辨率的流場(chǎng)數(shù)據(jù)對(duì)于流體力學(xué)的研究至關(guān)重要，如船舶繞流分析[1-2]、海洋結(jié)構(gòu)的繞流[3-5]及流固耦合問題研究等。然而，高分辨率流場(chǎng)的直接獲取往往存在一些困難：在數(shù)值模擬領(lǐng)域，實(shí)現(xiàn)高分辨率的流場(chǎng)數(shù)據(jù)需要增加計(jì)算網(wǎng)格的密度，而這也伴隨著求解效率的降低；在流體實(shí)驗(yàn)方面，流場(chǎng)中的某些位置可能無(wú)法布設(shè)傳感器，而PIV 方法仍難以實(shí)現(xiàn)大范圍的三維全場(chǎng)測(cè)量。針對(duì)這些問題，本文提出一種基于深度學(xué)習(xí)的高分辨率流場(chǎng)重構(gòu)方法。

深度學(xué)習(xí)方法能夠有效地分析復(fù)雜數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律，因而在處理流場(chǎng)的強(qiáng)非線性特性方面具有突出優(yōu)勢(shì)，為流體力學(xué)的研究提供了新的方法[6]。例如在基于數(shù)據(jù)建模的湍流模型研究中發(fā)揮了重要作用[7]，將數(shù)據(jù)與物理信息相結(jié)合可得到更高精度的湍流模型[8]，是一種重要的新的研究方法[9]。另一方面，深度學(xué)習(xí)方法在復(fù)雜流動(dòng)的模態(tài)分解[10]、流固耦合分析[11]等方面得到了應(yīng)用。同時(shí)，深度學(xué)習(xí)方法也可用作偏微分方程的求解新工具[12]，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)流場(chǎng)與結(jié)構(gòu)的耦合分析[13]。

深度學(xué)習(xí)方法也成為了流場(chǎng)重構(gòu)問題的新的研究方法與熱點(diǎn)[14-15]。例如Maulik 等[16]提出了單層前饋人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，可以將低分辨率且包含噪聲的流場(chǎng)數(shù)據(jù)還原得到可靠的高分辨率流場(chǎng)；Fukami[17]提出了混合下采樣跳過多尺度模型，同樣實(shí)現(xiàn)了由低分辨率圖像重建高分辨率的湍流流場(chǎng)數(shù)據(jù)，且該方法能較準(zhǔn)確地保留湍流動(dòng)能譜；Liu[18]提出的多時(shí)間路徑卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以速度場(chǎng)時(shí)間序列作為輸入，融合了連續(xù)流體場(chǎng)的時(shí)空信息，可精確提取時(shí)間相關(guān)信息，成功用于湍流和各向異性通道流的超分辨率重構(gòu)；Kim[19]借助循環(huán)一致生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)成功地克服了監(jiān)督學(xué)習(xí)的數(shù)據(jù)配對(duì)要求，能夠使用未配對(duì)的湍流數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，以實(shí)現(xiàn)湍流場(chǎng)的超分辨率重建。

前述深度學(xué)習(xí)技術(shù)專注于處理流場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)或模擬數(shù)據(jù)快照，運(yùn)用圖像重構(gòu)技術(shù)以完成數(shù)據(jù)處理。本文從時(shí)程數(shù)據(jù)的特征提取與表征方式出發(fā)進(jìn)行流場(chǎng)重構(gòu)，其中文獻(xiàn)[20-22]對(duì)流場(chǎng)時(shí)程特征的提取方法開展了研究，為本文的重構(gòu)模型提供了依據(jù)。本文通過建立非定常流動(dòng)數(shù)據(jù)的低維表征模型，構(gòu)造物理空間與編碼空間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并采用解碼器生成新的時(shí)程數(shù)據(jù)，方法面向時(shí)程數(shù)據(jù)且具有較高的時(shí)間維度準(zhǔn)確性，相比于傳統(tǒng)基于快照的重構(gòu)方法具有一定的優(yōu)勢(shì)。

1 非定常流動(dòng)的低維表征模型

流體受到固體表面的干擾后，會(huì)形成復(fù)雜的流動(dòng)分離等現(xiàn)象，導(dǎo)致流場(chǎng)中不同區(qū)域內(nèi)的流動(dòng)特征各不相同，這種非定常流動(dòng)系統(tǒng)不僅具有高度復(fù)雜性還蘊(yùn)含了豐富的流動(dòng)特征。前期的研究結(jié)果表明，一維卷積的深度學(xué)習(xí)模型可以準(zhǔn)確地捕捉到時(shí)程的流動(dòng)信息，并以更低的維度表征這些特征。因此，對(duì)時(shí)程的流動(dòng)信息進(jìn)行準(zhǔn)確的低維表征是流場(chǎng)高分辨率重構(gòu)的關(guān)鍵。在此基礎(chǔ)上，本文提出基于一維卷積流場(chǎng)時(shí)程自動(dòng)編碼（flow time history autoencoder,FTH-AE）的流動(dòng)低維表征模型，將高維時(shí)序特征映射到低維抽象空間內(nèi)，簡(jiǎn)化流動(dòng)系統(tǒng)的復(fù)雜度。

圖1所示模型結(jié)構(gòu)包含五個(gè)主要部分，即輸入層、卷積編碼層、特征代碼層、卷積解碼層以及輸出層。輸入層接收流場(chǎng)不同位置處的時(shí)程數(shù)據(jù)x，經(jīng)過編碼過程以提取和壓縮特征，進(jìn)而獲得低維特征向量λ；隨后，特征代碼經(jīng)由卷積解碼層進(jìn)行還原，以產(chǎn)生與輸入時(shí)程信號(hào)相等的輸出x'。

圖1 FTH-AE模型結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Architecture of FTH-AE model

為保證時(shí)程特征重構(gòu)的準(zhǔn)確性，在構(gòu)建FTH-AE 模型時(shí)，首先根據(jù)流場(chǎng)及其樣本特征，選擇合適的卷積編碼器結(jié)構(gòu)；其次，編碼器與解碼器需滿足下式的變換，來保證特征代碼λ可以準(zhǔn)確表征輸入x的特征：

式中，F(xiàn)e表示卷積編碼器，F(xiàn)d代表卷積解碼器，x為輸入的流場(chǎng)時(shí)程數(shù)據(jù)，λ為流場(chǎng)時(shí)程的特征編碼。由其結(jié)構(gòu)可知，在FTH-AE 模型中輸入數(shù)據(jù)與輸出數(shù)據(jù)具有相同的屬性，即兩者時(shí)程的長(zhǎng)度與采樣間隔是相同的。本文的FTH-AE 模型采用無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)訓(xùn)練方法，模型輸出時(shí)程后利用反向傳播算法使其與輸入時(shí)程盡可能相同，進(jìn)而保證特征向量λ最大程度地保留了原有的數(shù)據(jù)信息。編碼器中卷積層對(duì)輸入數(shù)據(jù)的計(jì)算過程為

式中，T為輸入數(shù)據(jù)的長(zhǎng)度，l為卷積核的大小，K為當(dāng)前層的卷積通道個(gè)數(shù)。在計(jì)算過程中，各通道采用了“共用權(quán)值參數(shù)w”的方法，在減少模型參數(shù)個(gè)數(shù)的同時(shí)共享了偏置矩陣b?；诹鲌?chǎng)時(shí)程的編碼卷積計(jì)算原理如圖2 所示，編碼器通過卷積層從輸入時(shí)程中逐層提取特征，且層數(shù)越深，特征的維度越低，抽象程度越高。在訓(xùn)練后，如果模型的輸出數(shù)據(jù)與輸入數(shù)據(jù)近似相等，則表明高維數(shù)據(jù)已成功映射到低維特征向量λ中。

圖2 時(shí)程卷積的計(jì)算過程Fig.2 Time-convolutional calculation procedure

2 流場(chǎng)時(shí)程數(shù)據(jù)的生成方法

FTH-AE 模型建立了流場(chǎng)時(shí)程數(shù)據(jù)到其自身低維表征的映射關(guān)系，其中低維的特征向量λ、編碼器與解碼器共同實(shí)現(xiàn)了整個(gè)流場(chǎng)時(shí)程數(shù)據(jù)的低維表征。編碼器建立了流場(chǎng)中不同位置處時(shí)程樣本到低維度編碼空間的映射，而解碼器則將編碼空間中的低維向量還原成物理空間對(duì)應(yīng)位置處的時(shí)程信號(hào)。因此，求解出物理空間中任意點(diǎn)映射在編碼空間的低維度特征向量，即可通過解碼器生成該位置的流場(chǎng)時(shí)程樣本，其原理如圖3所示。

圖3 時(shí)程的生成原理Fig.3 Generation method of FTH

如圖3所示，已知物理空間中測(cè)點(diǎn)P1與測(cè)點(diǎn)P2的空間坐標(biāo)位置及其時(shí)程樣本，則可以通過編碼器獲得兩個(gè)樣本在編碼空間中的編碼P1'和P2'。對(duì)于物理空間中P1和P2附近的未知點(diǎn)r，即r點(diǎn)處的流場(chǎng)時(shí)程是未知的，此時(shí)可以根據(jù)P1、P2與r之間的幾何關(guān)系，由P1'和P2'構(gòu)造得到編碼空間的r'，利用r'和解碼器還原得到物理空間r處的時(shí)程樣本，即平均向量組合法（average vector combination，AVC）。具體做法為：在r附近選擇多對(duì)已知樣本點(diǎn)，其坐標(biāo)分量分別為pi與qi，采用兩個(gè)物理空間中的已知樣本點(diǎn)向量構(gòu)造待求r向量，αipi+βiqi=r，從而得到編碼空間中待求像的位置為

式中，n表示所進(jìn)行平均的組數(shù)。

3 算例與分析

本文以低雷諾數(shù)下的圓柱繞流場(chǎng)為例，采用數(shù)值模擬方法獲得流場(chǎng)數(shù)據(jù)，驗(yàn)證方法的準(zhǔn)確性。計(jì)算域如圖4 所示，雷諾數(shù)ReD=200。其中圓柱的直徑為D，計(jì)算域的順流向長(zhǎng)為44D，橫向長(zhǎng)度為48D，上、下游長(zhǎng)度均為22D。圓柱周圍矩形區(qū)域內(nèi)使用較密的非結(jié)構(gòu)化三角形網(wǎng)格，距離圓柱較遠(yuǎn)的區(qū)域使用較稀疏的網(wǎng)格。左側(cè)為來流入口邊界，右側(cè)是壓力出口邊界。

圖4 整體及局部的網(wǎng)格劃分Fig.4 Global and local meshes distribution

考慮到圓柱周圍區(qū)域的流場(chǎng)特征更加豐富多樣，在圓柱周圍選取了6892 個(gè)測(cè)點(diǎn)，均勻分布在流場(chǎng)計(jì)算網(wǎng)格密集的矩形區(qū)域內(nèi)，測(cè)點(diǎn)分布如圖5所示。在流場(chǎng)計(jì)算的每個(gè)時(shí)間步結(jié)束時(shí)，輸出各測(cè)點(diǎn)的流向速度與橫向速度，得到兩物理量的時(shí)程集合。

圖5 測(cè)點(diǎn)位置示意圖Fig.5 Location of sampling points

3.1 FTH-AE模型參數(shù)

FTH-AE 模型參數(shù)如表1 所示，編碼器中三層卷積層的核數(shù)為128、64 與16，并使用尺寸為13 的大卷積核來獲得更大的局部視野。經(jīng)過卷積層逐層提取特征后輸出樣本的尺寸為1000×16。為了保留卷積權(quán)重與時(shí)程序列之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，本文使用Flatten 層附加通道數(shù)為2的全連接層進(jìn)行降維，最終將單個(gè)時(shí)程樣本壓縮為2 維空間中的一點(diǎn)。由于自編碼器具有對(duì)稱性，模型的解碼部分各參數(shù)與編碼部分相對(duì)應(yīng)。

表1 自動(dòng)編碼特征降維模型參數(shù)Tab.1 FTH-AE model parameters

本文在訓(xùn)練時(shí)使用無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)模式，并在流場(chǎng)時(shí)程數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取50%的樣本進(jìn)行訓(xùn)練，另外的樣本用作模型預(yù)測(cè)結(jié)果的驗(yàn)證集。模型優(yōu)化器為Adam并設(shè)置學(xué)習(xí)率為默認(rèn)參數(shù)，可通過自適應(yīng)調(diào)整學(xué)習(xí)率加速模型收斂。模型訓(xùn)練時(shí)，Batch_size 大小設(shè)置為4，損失函數(shù)采用均方誤差MSE，網(wǎng)絡(luò)各層的激活函數(shù)均為ReLU。訓(xùn)練次數(shù)為200次的Loss 曲線如圖6所示，隨著迭代次數(shù)的增加，網(wǎng)絡(luò)在訓(xùn)練50 次時(shí)Loss 曲線開始趨于穩(wěn)定，訓(xùn)練100 次后Loss 曲線達(dá)到收斂值0.0005，訓(xùn)練結(jié)束后保存Loss值最優(yōu)模型。

圖6 FTH-AE模型的訓(xùn)練損失值Fig.6 Loss of FTH-AE with respect to epoches

3.2 模型表征的準(zhǔn)確性驗(yàn)證

FTH-AE 模型在訓(xùn)練過程中不需要帶有標(biāo)簽的樣本，也不需要成對(duì)的樣本，其訓(xùn)練目標(biāo)是自身的解碼誤差最小。本文選用MSE 損失函數(shù)來衡量模型輸入時(shí)程與輸出時(shí)程的差異，損失值越小說明網(wǎng)絡(luò)對(duì)輸入數(shù)據(jù)特征提取越精準(zhǔn)。為了直觀展示模型的準(zhǔn)確性，本文在整個(gè)流場(chǎng)區(qū)域隨機(jī)選取了3條參數(shù)U、V的樣本并比較原始曲線與模擬曲線的差異值。由圖7 可知，原始數(shù)據(jù)與由低維編碼還原得到的時(shí)程曲線差異很小，兩條曲線幾乎重合，說明模型可以準(zhǔn)確地提取到流場(chǎng)中各個(gè)測(cè)點(diǎn)處數(shù)據(jù)的低維度特征，驗(yàn)證了降維模型的可行性。

圖7 原始時(shí)程與FTH-AE模擬的時(shí)程Fig.7 Original samples and FTH-AE result

為驗(yàn)證整個(gè)流場(chǎng)中的模型解碼精度，本文將各點(diǎn)位置處的輸入時(shí)程與解碼時(shí)程之間的相對(duì)誤差進(jìn)行無(wú)量綱化，記為Rerr（relative error），

式中，x為原始輸入時(shí)程，x'為輸出的解碼時(shí)程，n為時(shí)程長(zhǎng)度，max 與min 分別為時(shí)程的最大值與最小值。由于數(shù)據(jù)集中的時(shí)程曲線形態(tài)多樣，相對(duì)誤差Rerr更加合理地表示了各點(diǎn)誤差與時(shí)程振幅之間的相對(duì)關(guān)系，直觀地展示出解碼時(shí)程對(duì)原始時(shí)程的擬合準(zhǔn)確性。

將所得到的誤差值賦予不同顏色并按照測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)繪制散點(diǎn)圖，如圖8 所示。其中綠色、藍(lán)色、黃色、橘色和紅色分別表示誤差值為0～0.1、0.1～0.15、0.15～0.2、0.2～0.3 和0.3～0.5 的區(qū)域。由圖可見，F(xiàn)TH-AE模型很好地對(duì)輸入時(shí)程數(shù)據(jù)進(jìn)行了低維表征，并準(zhǔn)確地解碼還原了輸入時(shí)程。

圖8 模型解碼的誤差分布圖Fig.8 Error distribution of model reconstruction

3.3 模型預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性驗(yàn)證

進(jìn)一步對(duì)驗(yàn)證集中的測(cè)點(diǎn)物理坐標(biāo)進(jìn)行AVC 組合，獲得這些點(diǎn)在編碼空間中的坐標(biāo)集。對(duì)坐標(biāo)集中的編碼坐標(biāo)進(jìn)行FTH-generate 解碼預(yù)測(cè)，獲得各點(diǎn)處的預(yù)測(cè)時(shí)程。同樣隨機(jī)選取了6 條預(yù)測(cè)時(shí)程，與CFD計(jì)算值進(jìn)行了比較，如圖9所示。

圖9 模型的預(yù)測(cè)曲線Fig.9 Original samples and FTH-AE result

對(duì)比圖9中的結(jié)果可發(fā)現(xiàn)，本文方法成功地對(duì)時(shí)程進(jìn)行了預(yù)測(cè)，并求得各時(shí)程預(yù)測(cè)結(jié)果的相對(duì)誤差，列于圖10。比較圖10 和圖8 可知，預(yù)測(cè)時(shí)程的精度要低于還原時(shí)程精度，尤其在上游來流區(qū)以及圓柱壁面附近，相對(duì)誤差較大。主要原因可分為兩方面：一方面根據(jù)相對(duì)誤差的定義，由于上游來流區(qū)域的流場(chǎng)波動(dòng)較小，導(dǎo)致式（4）時(shí)程的最大值與最小值相差較小，因此相對(duì)誤差較大；另一方面，圓柱表面附近流動(dòng)梯度較大，在訓(xùn)練樣本較稀疏的情況下流場(chǎng)的預(yù)測(cè)時(shí)程難以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)分離區(qū)內(nèi)部流場(chǎng)的變化，導(dǎo)致相對(duì)誤差較大。

圖10 模型預(yù)測(cè)誤差分布圖Fig.10 Error distribution of model prediction

進(jìn)一步地，對(duì)所有預(yù)測(cè)的流場(chǎng)時(shí)程數(shù)據(jù)取同一瞬時(shí)的值，就可以得到整個(gè)流場(chǎng)的瞬態(tài)結(jié)果，見圖11。其中圖11（a）和（d）分別為流向速度與橫向速度的輸入樣本分布，圖11（b）和（d）為FTH-AE 模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，圖11（c）和（f）為CFD 計(jì)算結(jié)果。由圖中結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，本文方法成功地對(duì)稀疏的輸入流場(chǎng)進(jìn)行了較準(zhǔn)確的重構(gòu)，然而在部分位置預(yù)測(cè)結(jié)果出現(xiàn)了一定差異，計(jì)算方法仍需改進(jìn)。

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于流場(chǎng)時(shí)程的FTH-AE 模型，通過其實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜流動(dòng)的低維表征，并進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)了流場(chǎng)時(shí)程的重構(gòu)，得到以下結(jié)論：

（1）本文提出的FTH-AE 模型，可較準(zhǔn)確地將全場(chǎng)的流場(chǎng)時(shí)程投影到低維編碼空間中，實(shí)現(xiàn)層流流場(chǎng)的低維表征。

（2）利用FTH-AE 模型結(jié)合AVC 向量映射方法，可實(shí)現(xiàn)未知測(cè)點(diǎn)處流場(chǎng)時(shí)程的重構(gòu)，并對(duì)ReD=200的圓柱繞流問題成功地實(shí)現(xiàn)了流場(chǎng)時(shí)程重構(gòu)。

（3）本方法是一種無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)方法，無(wú)需高空間分辨率樣本，可廣泛應(yīng)用于基于單點(diǎn)時(shí)程的流動(dòng)測(cè)量數(shù)據(jù)中，是一種全新的方法。