重探物體的穩(wěn)度

李亞磊 楊 浩 張思奧 孔令鑫 馬帥奇 孫澤浩

(海軍航空大學(xué)基礎(chǔ)學(xué)院理化教研室,山東 煙臺 264001)

2023年全國大學(xué)生物理實(shí)驗(yàn)大賽命題類題目1“不倒的桿”要求研究物體/裝置的平衡原理,并制作一個(gè)能夠幫助桿在風(fēng)力等作用下穩(wěn)定不倒的實(shí)驗(yàn)研究裝置.桿件是最簡單的剛體,研究其平衡問題具有簡單、普適且實(shí)用的特點(diǎn).如何提高桿件等剛體在風(fēng)力等外部作用影響下的穩(wěn)定性具有理論與現(xiàn)實(shí)意義.然而,目前人們對于物體的平衡穩(wěn)定性與穩(wěn)度的定義有不同的看法,[1-6]文獻(xiàn)[1]認(rèn)為應(yīng)當(dāng)用使物體傾倒所需要的功來描述穩(wěn)度大小,也有觀點(diǎn)認(rèn)為可以用翻倒剛體所需的最小力矩與物重的比值來定義穩(wěn)度,還有人認(rèn)為應(yīng)該以物體向某方向傾倒的最大傾斜角的正切函數(shù)值來定量描述物體穩(wěn)度.[2]研究發(fā)現(xiàn),上述對于物體穩(wěn)度的定義多是從能量角度出發(fā),并且都沒有考慮地面摩擦力的影響.這些定義理論性較強(qiáng)且過于理想化,難以直接用來對桿件的穩(wěn)定性進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究.因此在本文中,筆者給出了一種剛體穩(wěn)度的新的定義.新定義簡潔明了并且更加符合生活實(shí)際情況.首先從理論出發(fā),研究了剛體的平衡原理.給出了從一維到三維桿件的平衡條件以及影響其穩(wěn)定性的因素.第二部分使用軟件Algodoo進(jìn)行仿真模擬,驗(yàn)證了二維理論中剛體穩(wěn)度的影響因素.第三節(jié)以市面上常見的手機(jī)三角支架桿件為研究對象,測量了其尺寸、質(zhì)量、摩擦因數(shù)等參數(shù),并用第一部分的理論計(jì)算了其穩(wěn)度,利用定滑輪和鉤碼模擬提供外力,實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了三維剛體的穩(wěn)度與其重心高度無關(guān).文章的最后給出了總結(jié).

1 物體穩(wěn)度的影響因素

從題目要求出發(fā),研究桿在風(fēng)力等作用下的穩(wěn)定性.人們通常將物體在支撐面上保持平衡不易傾倒的能力稱為穩(wěn)度.生活經(jīng)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)探究表明,當(dāng)物體受到外界擾動后,物體可能會繞其與支撐面的接觸點(diǎn)或接觸線發(fā)生轉(zhuǎn)動,這個(gè)點(diǎn)或線人們稱為易傾點(diǎn)或易傾線.[1]當(dāng)物體轉(zhuǎn)動至重錘線超過易傾線時(shí),此時(shí)即使撤去外界擾動,物體也會由于重力矩的作用發(fā)生傾倒.基于此,人們提出利用物體離開平衡位置到即將傾倒的臨界狀態(tài)時(shí)所需要的功來表示穩(wěn)度.并且進(jìn)一步得出初始平衡狀態(tài)重力勢能越小、傾倒臨界狀態(tài)重力勢能越大,物體的穩(wěn)定性越好.這也就是生活經(jīng)驗(yàn)中常說的重心越低越穩(wěn)定的理由.然而稍加分析不難發(fā)現(xiàn),從能量的角度出發(fā)研究物體的穩(wěn)定性存在不合理之處:一是由于常見物體的質(zhì)量分布不均勻,難以確定其重心,從而也無法確定其重力勢能;二是外界擾動的形式復(fù)雜多樣,幾乎不可能確定其做功的情況.生活中更加常見的現(xiàn)象是,外界對物體施加一個(gè)恒力,當(dāng)力的大小超過某個(gè)值時(shí),物體就會發(fā)生傾倒.例如研究非固定式的晾衣桿或廣告牌在室外有風(fēng)情況下的穩(wěn)定性,可以將風(fēng)力近似看作是分布均勻的恒力,風(fēng)力的大小與風(fēng)速有關(guān).當(dāng)風(fēng)速超過某個(gè)值時(shí),晾衣桿或廣告牌就會發(fā)生傾倒.再例如手機(jī)三角支架受到人的誤碰擾動發(fā)生傾倒的過程,由于擾動過程在時(shí)間和空間上都十分短暫,所以該過程支架受到人的推力也可視為恒力.因此不難理解,物體保持平衡時(shí)所能承受外力的值越大,物體的穩(wěn)定性越好.接下來我們從一維剛體到三維剛體,逐步分析影響其穩(wěn)度的因素有哪些.

由理論力學(xué)知識可知?jiǎng)傮w平衡時(shí)必須滿足下列平衡方程:

F=0,M=0.

(1)

即作用在剛體上諸外力的矢量和為0且諸外力對任一點(diǎn)的力矩的矢量和也為0.

首先研究一維情況.我們定義一維理想桿件為不計(jì)橫向分布、僅有縱向長度的質(zhì)量分布均勻的一維剛體.對于豎立在水平粗糙地面上的一維理想桿件來說,設(shè)其受到的水平風(fēng)力等效作用點(diǎn)在桿的頂端,其受到重力、支持力、摩擦力和風(fēng)力作用,如圖1(a)圖所示.

圖1 一維和二維桿件的平衡受力

由平衡方程合外力為0的條件可得

N=G,F風(fēng)=f.

(2)

由于重力、支持力、摩擦力的作用線均過接觸點(diǎn),它們對該點(diǎn)的力矩為0,故合外力矩僅由風(fēng)力提供

M=F風(fēng)l,

(3)

式中l(wèi)為桿的長度.此即只要F風(fēng)≠0,一維理想桿件就要受力矩作用發(fā)生轉(zhuǎn)動,從而無法保持平衡.若風(fēng)力作用點(diǎn)不在桿的頂端,區(qū)別僅在于風(fēng)力的力臂減小,但力矩仍不為0.這就是說一維桿件的穩(wěn)定性為0,只要存在外界擾動桿件就會傾倒.這和文獻(xiàn)[2]的結(jié)論是一致的.

接下來考慮更加貼近實(shí)際的二維情況.對于高為h、寬為d、質(zhì)量m分布均勻、質(zhì)心與幾何中心重合的二維理想剛體,當(dāng)h?d時(shí)可以認(rèn)為該剛體是二維理想桿件.設(shè)桿在某一角度時(shí)處于平衡狀態(tài),此時(shí)受力情況如圖1(b)所示(為方便示意,桿件的高寬比做了夸張?zhí)幚?.以桿件與地面的接觸點(diǎn),也即易傾點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,水平向右為x軸正方向建立坐標(biāo)系.與一維情況類似,支持力和摩擦力的力矩為0,而重力提供的垂直紙面向外的力矩克服風(fēng)力施加的垂直紙面向內(nèi)的力矩,以使桿件保持平衡.設(shè)風(fēng)力作用點(diǎn)位置距離地面垂直高度為h′,重心與y軸的距離為d′.合外力矩為零的平衡條件給出

F風(fēng)h′=Gd′.

(4)

若此時(shí)風(fēng)力增大或作用高度變高使得F風(fēng)h′>Gd′,桿件將失去平衡發(fā)生轉(zhuǎn)動,從而穩(wěn)定性被破壞.

綜合以上分析可以得出,桿件所能抵抗的最大風(fēng)力與風(fēng)力作用高度成反比,與物體的重力和傾距成正比.一般來說,生活中的風(fēng)力與所處高度和風(fēng)速有關(guān),高度越高、風(fēng)速越大,風(fēng)力越強(qiáng).但是總可以利用理論計(jì)算和經(jīng)驗(yàn)公式,將風(fēng)力等效為作用于桿件的某一點(diǎn)上.除此之外,對于其他類型的外界擾動也可以較容易地知道力的大小與作用高度.進(jìn)一步地,物體的高度越高,外力可能的作用點(diǎn)也就越高,其提供的外力矩也就越大,也就越容易使物體發(fā)生傾倒.因此將位于水平面上物體的穩(wěn)度定義為物體保持平衡不發(fā)生傾倒時(shí)物體頂部所能承受的最大外力,其大小等于物體的重力乘以物體傾距與高度的比值.需要強(qiáng)調(diào)的是該定義與文獻(xiàn)[2]用最大傾斜角的正切值定義的區(qū)別.首先,文獻(xiàn)[2]認(rèn)為穩(wěn)度不應(yīng)當(dāng)與物體重力有關(guān).但是生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們,一個(gè)裝滿水的杯子的穩(wěn)定性顯然要比一個(gè)空杯子好.其次,文獻(xiàn)[2]對穩(wěn)度的定義是傾距與重心高度的比值,其論據(jù)是在重心處施加外力可以使物體繞傾點(diǎn)發(fā)生勻速轉(zhuǎn)動,說明物體的穩(wěn)定性被破壞.但從前述分析中可以看到,要使物體可以發(fā)生轉(zhuǎn)動,必須要施加一個(gè)大于Gd′的力矩,而這個(gè)力才是衡量物體穩(wěn)定性是否被破壞的量.可以看到,我們給出的新定義與生活實(shí)際更加相符,并且簡潔明了,易于從實(shí)驗(yàn)上獲得.值得注意的是,該定義下物體的穩(wěn)度與且僅與物體的重力、高度和傾距有關(guān),與物體的重心高度無關(guān).將通過第二部分的仿真模擬和第三部分的實(shí)驗(yàn)予以證實(shí)這一反直覺的結(jié)論.

對于真實(shí)的三維情況,以市面上常見的手機(jī)三角支架為例,對其進(jìn)行了建模,分析了影響其穩(wěn)度的因素.為方便表述,命名支架的主體部分長度為l,三條支撐腿的長度均為l1,主體部分和支撐腳的連接處到地面的垂直距離高度為h1,支架頂端距地面高度為l+h1.建模時(shí)忽略支架的手機(jī)座、調(diào)節(jié)伸縮旋鈕、連接結(jié)構(gòu)等次要因素,將其簡化為如圖2(a)所示的4根一維理想桿件的組合體.

圖2 手機(jī)三角支架模型的平衡受力

(5)

圖3 風(fēng)力沿x軸正向時(shí)的穩(wěn)定性

綜上所述,與二維情況類似,三維桿件的穩(wěn)度仍為重力乘以傾矩和高度的比值,與重心高度無關(guān).并且還可以得出的結(jié)論是,物體的穩(wěn)度具有方向性,原因是對于不同的易傾線有不同的傾距.這和文獻(xiàn)[2]的觀點(diǎn)也是相符的.

2 二維剛體的Algodoo仿真模擬

Algodoo是瑞典Algoryx Simulation AB公司開發(fā)的一款仿真實(shí)驗(yàn)平臺.它可以提供簡單的二維情況下的力學(xué)與流體力學(xué)仿真模擬. 它的安裝包大小僅有41Mb,并且操作簡單易上手,仿真效果良好,非常適合物理教學(xué).接下來我們以它為工具,研究二維剛體受水平風(fēng)力時(shí)的穩(wěn)定性問題.

首先研究上一節(jié)中提出的穩(wěn)定性與摩擦因數(shù)之間的關(guān)系.Algodoo可以自定義二維材料的體積、密度、摩擦因數(shù)、彈性等參數(shù),如圖4所示.制作一個(gè)高8 m、寬2 m、彈性為0的質(zhì)量為1 kg的二維剛體.軟件提供的風(fēng)力為分布在全空間水平向右的恒力,它的大小與空氣和物體的接觸面積(長度)D有關(guān),與風(fēng)速v的一次方和二次方有關(guān).我們采用風(fēng)力的默認(rèn)公式

圖4 應(yīng)用Algodoo對二維剛體的建模

F=D(0.01v+0.001v2),

(6)

式中的v的一次項(xiàng)和二次項(xiàng)系數(shù)可以根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行手動調(diào)整.

由于風(fēng)力作用在全空間上,可以將其等效作用在剛體的中點(diǎn)h′=4 m處.此外由于剛體質(zhì)量分布均勻,故傾距d′=1 m.通過第一節(jié)的分析可以計(jì)算得出桿件的傾倒臨界摩擦因數(shù)μ=0.25,所能承受的最大風(fēng)力為2.058 N,對應(yīng)的最大風(fēng)速為11.798 m/s.在仿真模擬中,設(shè)定風(fēng)速大小為11.8 m/s,當(dāng)摩擦因數(shù)大于0.25時(shí),剛體發(fā)生傾倒;當(dāng)摩擦因數(shù)小于0.25時(shí),剛體只發(fā)生滑動而不會傾倒.分別改變剛體的高度、傾距、質(zhì)量等參數(shù),重復(fù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn),得到的傾倒臨界摩擦因數(shù)和承受最大風(fēng)速結(jié)果如表1所示.可以看到仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論符合得很好.

表1 不同參數(shù)二維剛體的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果

接下來探究二維剛體穩(wěn)度與重心高度的關(guān)系.如圖5所示,制作4個(gè)2 m×1 m相同體積的剛體A、B、C、D,其質(zhì)量分別為0.1 kg、0.2 kg、0.3 kg、0.4 kg.將其彼此黏附在一起,并設(shè)定摩擦因數(shù)為0.5,以保證大于傾倒臨界摩擦因數(shù)使其能傾倒.然后將其復(fù)制,按照D、C、B、A的順序由上到下排放.顯然后者的重心高度要高于前者.生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們后者的穩(wěn)定性要較前者差,應(yīng)當(dāng)更容易被風(fēng)吹倒.但是按照我們第一部分的理論分析二者的穩(wěn)度是一樣的.通過仿真實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn),二者在風(fēng)速小于7.8 m/s時(shí)都處于穩(wěn)定狀態(tài),當(dāng)風(fēng)速大于7.8 m/s時(shí)同時(shí)發(fā)生傾倒.這與表1的結(jié)果是一致的.區(qū)別僅在于重心高的物體由于重力矩大,從而傾倒的速度更快.這一實(shí)驗(yàn)結(jié)果是反直覺且有趣的.

圖5 二維剛體穩(wěn)度與重心高度無關(guān)

綜上所述,使用Algodoo進(jìn)行仿真模擬,驗(yàn)證了二維剛體的傾倒臨界摩擦因數(shù)和穩(wěn)度的影響因素.證實(shí)了二維剛體受恒定風(fēng)力時(shí)的穩(wěn)定性與剛體重心高度無關(guān).

3 手機(jī)三角支架穩(wěn)度的實(shí)驗(yàn)測量

筆者購買了市面上常見的手機(jī)三角支架,實(shí)物如圖6所示.測量獲得其質(zhì)量m=0.72 kg,支撐腿長度l1=32.28 cm,支架與瓷磚間的摩擦因數(shù)為0.27,主體部分長度l可根據(jù)需要在35.85～114.95 cm范圍內(nèi)調(diào)節(jié),支撐腿連接處距支架地面垂直距離可根據(jù)需要在9.49～32.28 cm范圍內(nèi)調(diào)節(jié).

圖6 手機(jī)三角支架實(shí)物

為測量三角支架的穩(wěn)度,我們將細(xì)線的一端系于支架的頂端,另一端通過定滑輪與鉤碼相連,利用水平儀保證細(xì)線提供的拉力沿水平方向,則鉤碼重力可近似認(rèn)為是支架所受外力.根據(jù)第一節(jié)所述方法與定義,我們對支架的穩(wěn)度進(jìn)行了理論計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測量,結(jié)果如表2所示.結(jié)果表明在誤差范圍內(nèi),實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論符合得很好.

表2 手機(jī)三角支架的穩(wěn)度理論值與實(shí)驗(yàn)值對比

通過在支架的不同高度處固定配重可以調(diào)節(jié)重心,以驗(yàn)證支架穩(wěn)度與重心高度的關(guān)系,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示.

表3 手機(jī)三角支架的穩(wěn)度與重心無關(guān)

由以上實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以為我們帶來啟示:如果想要提高三角支架或是其他類似桿件的穩(wěn)定性,也就是提升抗風(fēng)、抗擾動、抗傾倒的能力,通過降低其重心的方法是不可行的,只能通過增加其重力、增大其傾距、減小其高度的方法.

4 總結(jié)

本文重探了物體穩(wěn)度的定量描述與影響因素,給出了穩(wěn)度新的定義方法,即物體保持平衡時(shí)頂端所能承受的最大恒外力,其等于物體的重力乘傾距與高度的比值.新的定義相較于以往的穩(wěn)度定義,物理意義更加清晰,更易從實(shí)驗(yàn)獲得,與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系更加緊密,更具理論與實(shí)踐意義.利用Algodoo仿真模擬與真實(shí)實(shí)驗(yàn),分別驗(yàn)證了二維和三維剛體穩(wěn)度理論的正確性.證實(shí)了物體的穩(wěn)定性與重心高度無關(guān).這打破了長久以來人們的認(rèn)識誤區(qū),為今后的物理教學(xué)與工程實(shí)踐提供了理論指導(dǎo).