APOS理論視角下的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)
——以三角形概念教學(xué)為例

崔園園

(1.揚(yáng)州大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,江蘇 揚(yáng)州 225002;2.江蘇省太倉市良輔中學(xué),江蘇 蘇州 215400)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》在對“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”的解釋中指出:通過經(jīng)歷獨(dú)立的數(shù)學(xué)思維過程,學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)基本概念和法則的發(fā)生與發(fā)展,數(shù)學(xué)基本概念之間、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系[1].基于此,如何有效進(jìn)行概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教師值得研究的問題.

1 問題提出

從教育者的角度來看,教師雖然意識到概念教學(xué)的重要性,但要形成一節(jié)完整的概念教學(xué)課耗時(shí)較多,若留給學(xué)生大量的探究時(shí)間,則會(huì)減緩教學(xué)進(jìn)度.反之,大部分教師更愿意將時(shí)間花費(fèi)在解題上,通過題海戰(zhàn)術(shù)來實(shí)現(xiàn)學(xué)生對概念的鞏固與理解.從學(xué)習(xí)者的角度來看,初中學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象水平仍處于一個(gè)較低的層次,教師如果不能引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)完整的概念形成過程,很難培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題與提出問題的能力.因此,在進(jìn)行概念教學(xué)時(shí),教育者需要參考已有的相關(guān)研究,改進(jìn)教學(xué)模式,充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性.

2 APOS理論概述

APOS是美國學(xué)者杜賓斯基提出的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論,該理論的前身是皮亞杰的“自反抽象”,自反即“反自”,意為抽身而出,對于自己結(jié)束的活動(dòng)進(jìn)行觀察與反思,從而最終經(jīng)過抽象得出一個(gè)比較嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)論[2].之后,杜賓斯基對于這一理論進(jìn)行了再認(rèn)識,最終形成 “APOS”理論.該理論主要分為四個(gè)階段:Action(活動(dòng)階段)、Process(程序階段)、Object(對象階段)以及Schema(圖式階段).

3 教學(xué)案例

本文以“認(rèn)識三角形”為例,將APOS理論融入初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程中.

3.1 操作階段

操作階段又為“活動(dòng)階段”,學(xué)生通過一系列的活動(dòng),初步建立對于所學(xué)概念的直觀感知.此處的活動(dòng)不局限于觀察、操作、探索及歸納等外顯活動(dòng),還包括內(nèi)隱活動(dòng),即學(xué)生對于頭腦中已有的經(jīng)驗(yàn)性知識進(jìn)行回憶與反思.

①外顯—觀察

問題1:請同學(xué)們觀察課件上兩張圖片,你能從中看出哪些熟悉的圖形?

問題2:除了上述圖片,你能從日常生活中再找出一些熟悉的三角形的實(shí)物嗎?

②內(nèi)隱—回憶

問題1:請你們嘗試著回憶小學(xué)階段中已經(jīng)學(xué)習(xí)過的三角形的相關(guān)知識.

問題2:有學(xué)生會(huì)問,為什么我們之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過三角形,現(xiàn)在還要學(xué)習(xí)?那么我們回顧之前獲得這些知識的過程,發(fā)現(xiàn)大部分知識都是通過觀察得出的,數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科,那么這些知識是否正確?你該如何驗(yàn)證?

設(shè)計(jì)說明:首先,引導(dǎo)學(xué)生從生活實(shí)例中抽象出幾何圖形,引出本節(jié)課的課題,并依據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體,初步建立學(xué)生的空間觀念;其次,提問學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)的三角形的相關(guān)概念,學(xué)生回憶在小學(xué)階段已經(jīng)學(xué)習(xí)過三角形的概念,師生共同歸納出結(jié)構(gòu)框圖,也建立起幾何概念的學(xué)習(xí)體系.

3.2 程序階段

程序階段是指對于活動(dòng)階段進(jìn)行反思,對活動(dòng)中所得的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)一步抽象,從而得出概念本質(zhì)特征.

活動(dòng)1:規(guī)范定義

①內(nèi)隱—回憶

問:我們剛剛回憶時(shí)談到三角形的概念,請你說說什么叫三角形?

學(xué)生回答各不相同,但基本上不能完全準(zhǔn)確地說出三角形的概念.

②外顯—操作歸納

師:請同學(xué)們拿出木棒搭建三角形,并從搭建好的三角形中挑選出“特殊”的圖形.學(xué)生按照教師提示拿出木棒搭建三角形,并將自己搭建好的三角形與課件上兩張圖片對比,從而完善三角形概念.

活動(dòng)2:符號表示

①外顯—觀察

問:觀察課件上的屋頂框架,指出其由幾個(gè)三角形構(gòu)成,分別是哪些?

②內(nèi)隱—思考

問題1:回憶三角形構(gòu)成要素.

問題2:類比角的符號表示,用符號表示三角形并完善表格,最終解決①中的問題.

問題3:屋頂框架是由哪些三角形構(gòu)成的?

活動(dòng)3:明確分類

①內(nèi)隱—回憶

問題1:結(jié)合所學(xué)知識,你能給三角形分類嗎?

問題2:有學(xué)生提到按角可以分為鈍角,銳角和直角三角形,也有同學(xué)提到按邊可以分為等腰三角形和等邊三角形,請思考:這兩位同學(xué)各自的分類是否能夠包括所有的三角形?如果不能,請你指出哪一種分類存在瑕疵?

師生共同歸納三角形的準(zhǔn)確分類.

②外顯—操作

課件出示一些三角形的圖片并進(jìn)行分類.

活動(dòng)4:探究性質(zhì)

①外顯—操作

問題1:拿出5根長度分別為3 cm,4 cm,5 cm,6 cm,9 cm的吸管,任意取出3根首尾相接搭三角形,你可以搭出幾種不同的三角形?

問題2:哪些情況下小木棒經(jīng)過組合能構(gòu)成三角形?哪些情況下小木棒經(jīng)過組合不能構(gòu)成三角形?

師:在經(jīng)過上述問題的初步探究之后,我們有同學(xué)已經(jīng)提出:三角形兩邊之和大于第三邊.但在這個(gè)過程中數(shù)據(jù)量還是比較少的,接下來請看老師用幾何畫板進(jìn)行的操作展示.

②內(nèi)隱—思考

問題1:將三角形三邊關(guān)系的文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言.

問題2:你能否用我們已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識來證明該結(jié)論?請同桌二人相互討論.

問題3:在探索“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的過程中,你是否有其他結(jié)論?

問題:關(guān)于“三角形任意兩邊之差小于第三邊”的證明,留給你們課后思考.

設(shè)計(jì)說明:在三角形概念引入的過程中,小學(xué)是直接通過觀察,教師總結(jié)概念得出,因此在活動(dòng)1中,對小學(xué)學(xué)習(xí)中三角形概念進(jìn)行了進(jìn)一步的完善,增加了“不在同一條直線上”;活動(dòng)2通過三角形框架這一模型認(rèn)知沖突,學(xué)生體會(huì)到符號表示的必要性,進(jìn)一步認(rèn)識三角形的基本元素,學(xué)生在這個(gè)過程中“會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界”.

3.3 對象階段

對象階段是對操作階段和過程階段的延續(xù)與拓展,這一階段是對前面兩個(gè)階段得出的概念進(jìn)行符號化,實(shí)現(xiàn)“壓縮”和“解壓縮”的過程.

例1下列數(shù)據(jù)中,能組成三角形的有( )組.

① 3,8,10;② 5,2,7;③ 5,5,11;④ 13,12,20.

A.1 B.2 C. 3 D. 4

問題:在解決上述問題的過程中,有沒有能夠快速判斷構(gòu)成三角形的方法?

變式1:在三角形中,已知一邊長是4 cm,另一邊長是8 cm,求第三邊a的取值范圍;

變式2:在上述三角形中,若第三邊是偶數(shù),求第三邊;若第三邊是奇數(shù),求第三邊.

例2已知等腰三角形的一邊是5 cm,另一邊是7 cm,求這個(gè)三角形的周長.

變式:若等腰△ABC周長為30,AB=6,求其余邊的長.

設(shè)計(jì)說明:通過上述例題,引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中學(xué)會(huì)總結(jié)方法.在變式訓(xùn)練中,學(xué)生需要進(jìn)行分類討論,呈現(xiàn)知識的層次性.在這個(gè)過程中,學(xué)生逐步“會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”.

3.4 圖式階段

圖式階段是對前三個(gè)階段進(jìn)行整合,學(xué)生在此階段已經(jīng)具備相應(yīng)的知識與經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ),該階段主要是將新知納入已有認(rèn)知,對認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行整合.

任務(wù)1:繪制出本節(jié)課學(xué)習(xí)內(nèi)容的框架.

任務(wù)2:討論本節(jié)課和之前學(xué)習(xí)三角形相關(guān)概念的區(qū)別.

設(shè)計(jì)說明:圖式環(huán)節(jié)既鞏固了前三個(gè)階段,也引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)前后學(xué)習(xí)內(nèi)容的區(qū)別,學(xué)生的圖式結(jié)構(gòu)得到進(jìn)一步完善.

4 思考與啟示

在APOS理論的指導(dǎo)下,學(xué)生在活動(dòng)中獲取知識,在反思中理解概念,最終完成概念學(xué)習(xí).在教學(xué)中,四個(gè)階段運(yùn)用APOS理論時(shí)需注意以下幾點(diǎn).

4.1 創(chuàng)設(shè)情境

活動(dòng)階段需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)合適的情境,該階段是學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的起點(diǎn),若以純粹的數(shù)學(xué)性知識引入,學(xué)生會(huì)覺得枯燥乏味.首先,情境的創(chuàng)設(shè)要能夠體現(xiàn)教學(xué)目標(biāo),有利于教學(xué)活動(dòng)的展開;其次,情境的選擇需要具有真實(shí)性,需聯(lián)系學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn),否則會(huì)影響學(xué)生對概念探究的興趣;最后,選擇情境時(shí)還需注意情境的多樣性.

4.2 巧設(shè)問題串

程序階段要巧妙設(shè)計(jì)問題串.首先,問題串的設(shè)計(jì)需要體現(xiàn)出教學(xué)過程中的重難點(diǎn),在整個(gè)過程中教師須發(fā)揮引導(dǎo)作用,通過問題串引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突;其次,問題串的設(shè)計(jì)要具有層次性,后一個(gè)問題的提問是對前一個(gè)問題的補(bǔ)充和拓展,學(xué)生能夠在問題串的回答過程中不斷接近知識全貌,對學(xué)生自主探究概念的過程有一定的啟發(fā)性.

4.3 變式教學(xué)

對象階段是集“壓縮”與“解壓縮”于一體的過程,其主要功能是對“活動(dòng)階段”和“程序階段”進(jìn)行內(nèi)化.該階段主要是通過例題和習(xí)題呈現(xiàn),但是題目的呈現(xiàn)不能是簡單機(jī)械地重復(fù),需要教師挑選出典型例題,對題目中的條件與結(jié)論進(jìn)行變式,不斷變換題目中的非本質(zhì)特征.學(xué)生能不斷抽象出概念本質(zhì)特征,教師還應(yīng)給予學(xué)生一定的自主性,引導(dǎo)學(xué)生自主對題目進(jìn)行變式,也可以呈現(xiàn)出一些開放式的題目,多給學(xué)生一些反思和歸納的時(shí)間與空間.

4.4 靈活運(yùn)用APOS

APOS理論具有一定指導(dǎo)意義,沒有固定的模式,教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí),應(yīng)充分考慮知識結(jié)構(gòu)及學(xué)生的學(xué)情,進(jìn)行合理的分階段設(shè)計(jì),適當(dāng)對四個(gè)階段進(jìn)行重組和補(bǔ)充.

5 結(jié)束語

通過應(yīng)用APOS的四階段理論來指導(dǎo)概念教學(xué),學(xué)習(xí)者可以更好地理解概念的生成過程,主體性地位在進(jìn)一步增強(qiáng),從而提升了他們的思維水平.