匯流排型材在重力作用下最大撓度與其截面參數(shù)關(guān)系探討

張學(xué)明，王春娟，嚴(yán)仁杰，暢 明，豆 雯

0 引言

電氣化鐵路剛性懸掛接觸網(wǎng)匯流排是剛性接觸網(wǎng)中用于夾持固定接觸線，并靠其自身的剛性保持接觸線的恒定位置，使接觸線不因重力而產(chǎn)生弛度的部件[1-3]。剛性接觸網(wǎng)中所用的匯流排一般由鋁合金制成，其質(zhì)量檢驗(yàn)所依據(jù)的行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)為TB/T 3252—2022。在該標(biāo)準(zhǔn)的出廠試驗(yàn)項(xiàng)目中，對(duì)匯流排型材有最大撓度方面的要求。一般而言，型材的最大撓度與材料彈性模量、截面形狀、型材長度、所受彎矩等因素有關(guān)。下文將通過求解型材的撓度曲線方程，討論該類型材最大撓度的影響因素及其控制方法。

1 建立力學(xué)模型

一般而言，如果對(duì)型材在重力作用下有撓度要求，往往會(huì)規(guī)定一個(gè)合適的跨距，在該跨距內(nèi)，型材相應(yīng)位置的撓度應(yīng)滿足一定要求。為方便描述，繪制如圖1 所示力學(xué)模型，并在圖1 中建立直角坐標(biāo)系xow，設(shè)型材長度為l，用于檢測撓度的2 個(gè)支撐點(diǎn)位置分別設(shè)為（l1，0）和（l2，0），型材單位長度質(zhì)量為m，則支撐點(diǎn)間距（跨距）為l2-l1，單位長度的重力為mg（g為重力加速度，其值為9.8 m/s2）。

圖1 力學(xué)模型

由靜力學(xué)平衡條件可知：

對(duì)于支點(diǎn)關(guān)于中軸線對(duì)稱分布的情況，有l(wèi)=l1+l2，此時(shí)式（1）、式（2）可化簡為

式（1）、式（2）比式（3）更具一般性，但用其推導(dǎo)出的方程十分復(fù)雜，且在型材撓度測量中一般不使用該方程，故本文不作討論，如遇到此類情況，可直接求出F1和F2的具體數(shù)值，并用下文所述方法代入求解即可。本文只討論式（3）的情況。

根據(jù)圖1 所建立的直角坐標(biāo)系及式（3），由端面法易知剪力方程為

需注意的是，支撐點(diǎn)處有集中力F1、F2，剪力方程不連續(xù)。

由材料力學(xué)可知，彎矩與剪力有如下關(guān)系：

將式（4）代入式（5），并由圖1 可知，無集中力偶作用時(shí)彎矩不發(fā)生突變，為連續(xù)函數(shù)，且M(0) =M(l) = 0，故彎矩方程為

2 求解撓曲線方程

根據(jù)材料力學(xué)知識(shí)，撓曲線近似微分方程為[4]

式中：w為撓度；E為彈性模量（又稱楊氏模量）；I為截面對(duì)中性面的慣性矩。

對(duì)式（7）進(jìn)行一次積分，可得轉(zhuǎn)角方程為

將式（6）代入式（8），轉(zhuǎn)角方程為

對(duì)式（7）進(jìn)行二次積分，可得撓度方程為

將式（6）代入式（10），可得

根據(jù)圖1 及撓度光滑連續(xù)條件得邊界條件為

將式（12）代入式（9）及式（11），并由撓度光滑連續(xù)條件可得積分常數(shù)為

3 問題討論

依據(jù)TB/T 3252—2022 的第6.8 條，剛性懸掛接觸網(wǎng)匯流排的撓度測量方法為：在專用平臺(tái)上用4 個(gè)特制的可調(diào)高度的錐形墊腳將12 m 匯流排墊起，匯流排兩端各用2 個(gè)錐形墊腳；錐形墊腳的支點(diǎn)距離型材端頭50 mm，調(diào)節(jié)4 個(gè)墊腳水平，用高度游標(biāo)卡尺量得型材兩端最大高度與匯流排中部最小高度的差值[5]。根據(jù)該標(biāo)準(zhǔn)要求，可確定l1= 50 mm，l2= 11 950 mm，l= 12 000 mm；再根據(jù)匯流排截面形狀及尺寸，利用CAD 軟件計(jì)算其截面對(duì)中性面（即xoy面，其中x軸過o點(diǎn)且垂直于截面）的慣性矩I= 3 403 543.47 mm4。匯流排截面如圖2所示。

圖2 匯流排截面

需注意的是，利用CAD 軟件計(jì)算截面慣性矩時(shí)，不能直接求解，須先確定型材截面的形心，并將系統(tǒng)坐標(biāo)系原點(diǎn)設(shè)置于型材截面的形心處。圖2中yoz坐標(biāo)系原點(diǎn)o即為匯流排型材截面的形心。

經(jīng)計(jì)算可以得到型材的截面積A= 2 235.02 mm2。一般電氣化鐵路剛性懸掛接觸網(wǎng)所用匯流排為6101B（T6）鋁合金，在室溫下其對(duì)應(yīng)的彈性模量為69 000 N/mm2。考慮到其密度約為2.7 g/cm3，則該截面的匯流排單位長度質(zhì)量m= 2.7×10-3×2 235.02 g/mm = 6.03 g/mm = 6.03 kg/m。

綜上所述，式（11）中涉及的所有參數(shù)均可計(jì)算得到，如表1 所示。

表1 匯流排撓度方程參數(shù)

將表1 中的數(shù)據(jù)代入式（11），可得匯流排在TB/T 3252—2022 第6.8 條要求下試驗(yàn)時(shí)的撓度方程為

圖3 匯流排撓度曲線（單位：mm）

以上撓度方程及撓度曲線是根據(jù)理論計(jì)算得出的，表2 是對(duì)10 根不同批次、規(guī)格為12 m、截面為圖2 所示的匯流排，嚴(yán)格依據(jù)TB/T 3252—2022 的第6.8 條要求測量的最大撓度實(shí)測值。

表2 匯流排撓度實(shí)測值 mm

結(jié)合理論計(jì)算結(jié)果，從表2 可以看出，匯流排最大撓度的實(shí)測值與理論值相差不大。查閱相關(guān)資料可知，材料的彈性模量是材料抵抗彈性變形的一個(gè)量，是材料剛度的一個(gè)指標(biāo)，其與材料的化學(xué)成分和溫度有關(guān)，與組織變化無關(guān)，熱處理對(duì)其影響不大，約為±5%左右[6]。從式（11）可以看出，型材在重力作用下的撓度與彈性模量成反比關(guān)系，考慮到熱處理對(duì)彈性模量的微小影響，匯流排的理論最大撓度范圍區(qū)間為(66.58×95%, 66.58×105%) =(63.25, 69.91)，而TB/T 3252—2022 的表2 匯流排性能參數(shù)中要求最大撓度wmax≤70 mm，若考慮到型材加工誤差等其他因素的影響，有可能會(huì)導(dǎo)致匯流排型材的撓度不能滿足不大于70 mm 的要求。從式（11）可以看出，在型材材質(zhì)一定、檢測方式一定（即型材長度、支撐點(diǎn)位置一定），并考慮到熱處理對(duì)彈性模量有±5%影響后，影響型材最大撓度的因素只有截面慣性矩和單位長度質(zhì)量。

下文討論能否通過增加截面積的方法減小型材在重力作用下最大撓度。增加型材截面積意味著型材單位長度質(zhì)量m也隨之增加，從式（11）可以看出，最大撓度與m和I的比值成正比，而m=ρA，ρ為型材體密度，A為截面積。因此，最大撓度與A和I的比值成正比，即

式中：α為引入的比例系數(shù)，mm3；積分區(qū)域?yàn)樾筒慕孛孑喞獓傻膮^(qū)域。對(duì)于不同的截面形狀，A/I一般也不同，當(dāng)增加截面積時(shí)，若A/I隨之增大，則無法通過該方式減小型材在重力作用下的最大撓度，若A/I隨之減小，則可以通過該方式減小型材在重力作用下的最大撓度。但是，通過這種方式調(diào)整型材自重下的最大撓度時(shí)，由于A和I均增大，型材撓度的理論值減小效果并不明顯，同時(shí)也會(huì)增大型材單位長度的重量，經(jīng)濟(jì)性較差。

綜上所述，減小型材在自重作用下最大撓度比較合理的方案是：在滿足載荷和安裝要求的情況下，保證型材截面積不增加（即保持不變或減?。?，同時(shí)使型材截面的材料盡量遠(yuǎn)離中性面，以增大型材對(duì)中性面的慣性矩I。

以圖2 為例，TB/T 3252—2022 第5.2.2 條規(guī)定了鉗口尺寸，這是用于夾持接觸線的關(guān)鍵尺寸，不能隨意變更。對(duì)除此之外的其余尺寸，在不影響現(xiàn)場安裝并滿足載荷要求的情況下，可以盡量使之遠(yuǎn)離xoy平面。如果不考慮其他因素，對(duì)圖2 匯流排截面的頂部尺寸增加1 mm，同時(shí)各壁厚保持不變，此時(shí)，計(jì)算型材截面的截面積及慣性矩分別為A=2 210.93 mm2，I= 3 417 492.22 mm4，與圖2 相比，截面積有所減小，慣性矩有所增加。此時(shí)m=ρA=5.97 kg/m。將I及m代入式（11），并利用表1 的其他數(shù)據(jù)，可計(jì)算出w(x)m=w(6 000) = -64.70 mm，w(0) =w(12 000) = 0.87 mm。最大撓度wmax=w(0)-w(x)m= 65.57 mm?？紤]到熱處理對(duì)E有±5%的影響，此時(shí)，匯流排的理論最大撓度范圍區(qū)間為(62.29, 68.84)，即使考慮制造誤差，撓度的理論值仍有一定的裕度，可以滿足TB/T 3252—2022 表2中最大撓度不大于70 mm 的要求。

對(duì)于有撓度要求的型材，理論上可根據(jù)式（17）確定其截面幾何參數(shù)。例如，型材在某段距離支撐點(diǎn)下的最大撓度應(yīng)滿足wm≤[w]，[w]為允許最大撓度，即

式中：α為引入的比例系數(shù)，mm3。從式（11）可以確定只要型材的材質(zhì)一定（即E、ρ一定），撓度的測量條件一定（即l、l1、C2、D2一定），則α即為定值。式（19）可作為滿足型材撓度要求的充分必要條件。對(duì)于截面形狀規(guī)則的型材而言，可以通過式（19）準(zhǔn)確計(jì)算出其截面尺寸的臨界值，如為圓形截面，可以求出最小直徑。但對(duì)于形狀不規(guī)則的截面，由于（截面坐標(biāo)系為yoz，原點(diǎn)為截面形心），積分區(qū)域?yàn)樾筒慕孛孑喞獓傻膮^(qū)域，很難通過函數(shù)關(guān)系準(zhǔn)確表達(dá)，一般無法找到截面尺寸需要滿足的臨界條件，但可以借助軟件求解A/I的具體數(shù)值，然后代入式（19），反向驗(yàn)證設(shè)計(jì)的截面尺寸是否滿足撓度要求。

4 結(jié)語

型材在重力作用下的撓度是表征型材抵抗彎曲變形的重要指標(biāo)，通過分析可知，若考慮熱處理對(duì)材料彈性模量的影響，本文所述截面形式的匯流排通過理論計(jì)算出的撓度值非常接近標(biāo)準(zhǔn)值。對(duì)于此類情況，建議在不增加截面積的前提下，可以適當(dāng)改變型材材料的分布情況。本文推導(dǎo)出的撓曲線方程可用于一般型材在重力作用下最大撓度的校驗(yàn)，也可用于確定某些形狀規(guī)則簡單截面的臨界尺寸。對(duì)于有熱處理要求的型材，如果技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)中或?qū)嶋H工況中對(duì)型材撓度的控制要求較高，設(shè)計(jì)型材截面時(shí)還應(yīng)考慮5%的彈性模量變化。