運(yùn)用GeoGebra 軟件實(shí)現(xiàn)復(fù)變函數(shù)可視化教學(xué)的探索與實(shí)踐

程 旭，艾小川，張 恒

（海軍工程大學(xué)基礎(chǔ)部 湖北 武漢 430033）

復(fù)變函數(shù)是實(shí)數(shù)域上的微積分學(xué)在復(fù)數(shù)域上的推廣和發(fā)展，在積分變換、解析數(shù)論、算子理論等數(shù)學(xué)分支中有重要作用。同時(shí)它廣泛應(yīng)用于理論物理、流體力學(xué)、信號(hào)處理等自然科學(xué)相關(guān)領(lǐng)域?！皬?fù)變函數(shù)”是工科院校大部分專業(yè)的必修課程[1]。其作為繼“高等數(shù)學(xué)”之后的一門(mén)數(shù)學(xué)課程，以符號(hào)推導(dǎo)與定理證明為主的傳統(tǒng)教學(xué)方法對(duì)工科學(xué)生的學(xué)習(xí)提出了較大挑戰(zhàn)。在現(xiàn)代教育技術(shù)的發(fā)展下，利用數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)軟件GeoGebra 將復(fù)變函數(shù)知識(shí)可視化[2-3]，直觀地呈現(xiàn)復(fù)變函數(shù)的特性，巧妙引入數(shù)形結(jié)合[4]的思想，能有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、調(diào)動(dòng)其學(xué)習(xí)積極性，達(dá)到認(rèn)知、掌握、應(yīng)用的連貫推進(jìn)。

1 復(fù)分析可視化資源庫(kù)的建立

中學(xué)數(shù)學(xué)階段的培養(yǎng)已經(jīng)為實(shí)變函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)，實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)、一元函數(shù)在平面上的圖像、二元函數(shù)在三維空間中的圖像等都能幫助學(xué)生直觀地認(rèn)識(shí)實(shí)變函數(shù)的各種性質(zhì)。而復(fù)數(shù)需要對(duì)應(yīng)到復(fù)平面上，隨之而來(lái)的復(fù)變函數(shù)需要在至少四維空間中呈現(xiàn)，學(xué)生難以想象出復(fù)變函數(shù)的幾何直觀圖像。利用數(shù)學(xué)軟件在兩個(gè)復(fù)平面上分別展現(xiàn)原像和像、在同一個(gè)復(fù)平面上疊加像點(diǎn)或者將第四個(gè)維度以顏色代替是目前復(fù)變函數(shù)可視化[5]的三個(gè)主要方法。為了服務(wù)于教學(xué)，需要先建立可視化資源庫(kù)。

1.1 選取合適的可視化專題

“復(fù)變函數(shù)”課程以解析函數(shù)為主，包含復(fù)數(shù)、復(fù)變函數(shù)微積分，以及復(fù)變函數(shù)的代數(shù)性質(zhì)即展成泰勒級(jí)數(shù)或者洛朗級(jí)數(shù)?！靶巍笨梢詥l(fā)“數(shù)”，“數(shù)”可以塑造“形”。選取的可視化專題要兼具簡(jiǎn)潔性與實(shí)用性。簡(jiǎn)明易懂的圖像可以化繁為簡(jiǎn)、化難為易，消除學(xué)生畏難情緒，獲得對(duì)相關(guān)知識(shí)的清晰認(rèn)知；實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)圖形演示可以讓學(xué)生參與進(jìn)來(lái)，觀察參數(shù)變化對(duì)圖像的影響，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索，培養(yǎng)科學(xué)的學(xué)習(xí)方法。因此根據(jù)教學(xué)重難點(diǎn)及知識(shí)屬性，分三個(gè)方面選定可視化資源庫(kù)的專題（如圖1）。

圖1 可視化資源庫(kù)專題

對(duì)于本校工科專業(yè)而言，復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)目標(biāo)主要是為后續(xù)積分變換與數(shù)理方程等數(shù)學(xué)課程以及信號(hào)處理等專業(yè)應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。因此專題中復(fù)數(shù)和典型復(fù)變函數(shù)是重點(diǎn)，建立這兩方面的專題能從幾何角度幫助學(xué)生理解復(fù)分析、掌握計(jì)算技巧。而更深入的共形映射等知識(shí)只作拓展要求，開(kāi)闊學(xué)生眼界；最后一部分，不同學(xué)科之間的交叉應(yīng)用專題是激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新性的契機(jī)。專題的選取與建立既是為了達(dá)成知識(shí)目標(biāo)與能力目標(biāo)，同時(shí)又可以通過(guò)資源庫(kù)檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握及運(yùn)用程度，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的可測(cè)性。

1.2 利用數(shù)學(xué)動(dòng)態(tài)軟件GeoGebra 制作可視化文件

對(duì)于上述專題，分別選擇典型的復(fù)變函數(shù)作圖。由于使用MATLAB 需要具備一定的編程基礎(chǔ)，而GeoGebra 是交互式的用戶界面，既可以直接選擇數(shù)學(xué)對(duì)象又可以通過(guò)代數(shù)表達(dá)式建立圖像，是可視化教學(xué)的有效工具，學(xué)生也可以快速掌握，因此主要采用GeoGebra 實(shí)現(xiàn)復(fù)變函數(shù)的可視化。以第一部分復(fù)數(shù)為例，通過(guò)GeoGebra 做出復(fù)數(shù)在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)（如圖2a）和復(fù)數(shù)在復(fù)球面上的對(duì)應(yīng)（如圖2b）。

圖2 a 復(fù)平面

圖2 a左上滑動(dòng)條可以實(shí)時(shí)改變復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，此時(shí)圖形上的模長(zhǎng)和輻角也會(huì)隨之發(fā)生改變；反之，左下的滑動(dòng)條可以改變模長(zhǎng)與輻角，此時(shí)對(duì)應(yīng)到復(fù)平面上點(diǎn)的實(shí)部與虛部也發(fā)生了改變。通過(guò)這個(gè)可視化過(guò)程，學(xué)生能清晰地看到復(fù)數(shù)兩種表示形式之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。圖2b 是復(fù)平面上點(diǎn)與復(fù)球面上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即“球極投影”。此外還能通過(guò)可視化討論輻角與輻角主值的關(guān)系等。將需要辨析的數(shù)學(xué)概念通過(guò)幾何呈現(xiàn)出來(lái)，一目了然。

對(duì)于1.1 中選定的專題，依1.2 所示制作ggb 文件，初步建立可視化資源庫(kù)。

2 基于可視化資源的教學(xué)流程再設(shè)計(jì)

由于可視化資源的引入，原有的教學(xué)設(shè)計(jì)中部分內(nèi)容需要調(diào)整，將“數(shù)”與“形”結(jié)合起來(lái)講解，側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生去觀察、發(fā)現(xiàn)和理解復(fù)數(shù)以及復(fù)變函數(shù)的各種性質(zhì)特點(diǎn)。另外學(xué)生參與動(dòng)態(tài)圖形的調(diào)參互動(dòng)需要占用一定的時(shí)間，所以課堂時(shí)間分配也需要調(diào)整。因此，課前教師要完善教學(xué)課件，重新進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，將可視化資源庫(kù)與教學(xué)有機(jī)融合（圖3，p43）。

2.1 課堂教學(xué)模式更新

在課堂教學(xué)過(guò)程中，教師首先利用資源庫(kù)中已經(jīng)建立好的ggb 文件，將幾何圖象呈現(xiàn)出來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖像，發(fā)現(xiàn)圖像中包含的問(wèn)題，然后帶著問(wèn)題講解對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)。以“形”啟發(fā)出“數(shù)”，圖形的直觀特點(diǎn)蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)理論。在學(xué)生具備了一定的理論基礎(chǔ)之后，組織學(xué)生對(duì)于其他函數(shù)進(jìn)行可視化，驗(yàn)證理論結(jié)果。通過(guò)學(xué)生互動(dòng)與小組討論，強(qiáng)化其對(duì)知識(shí)的理解?！皵?shù)”揭示了“形”的特點(diǎn)。最后，融會(huì)貫通，學(xué)生對(duì)于實(shí)際問(wèn)題也可以按照數(shù)形結(jié)合的思想，從問(wèn)題中抽象出復(fù)變函數(shù)表達(dá)式，將表達(dá)式與幾何直觀聯(lián)系起來(lái)，從一個(gè)問(wèn)題出發(fā)，解決一類問(wèn)題。

區(qū)別于傳統(tǒng)的教師輸出、學(xué)生輸入的單方面講授模式，基于可視化資源庫(kù)設(shè)計(jì)的教學(xué)流程側(cè)重于教師引導(dǎo)、學(xué)生參與探討的交互模式。學(xué)生既可以作為提問(wèn)者，好的設(shè)問(wèn)是思考的第一步；又可以作為解答者，鍛煉邏輯推理能力與知識(shí)調(diào)用能力。只有充分參與進(jìn)來(lái)才能真正做到“知其然更知其所以然”，參與感與獲得感能讓學(xué)生在復(fù)變函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中獲得愉悅感。新模式下的課堂教學(xué)旨在培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，授人以魚(yú)不如授人以漁。形式上借助于數(shù)學(xué)軟件與可視化資源庫(kù)，趣味性與科技感能調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性；內(nèi)容上幾何與分析的結(jié)合能使知識(shí)更為清晰透徹，數(shù)形結(jié)合打造高效的課堂。

2.2 課后開(kāi)放式大作業(yè)拓展

為了進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生掌握“觀察―發(fā)現(xiàn)―討論―歸納”的學(xué)習(xí)方法，教師可制訂啟發(fā)式的大作業(yè)，學(xué)生在課程結(jié)束時(shí)提交并展示。開(kāi)放式作業(yè)提綱設(shè)計(jì)如下：

示例：教師給出復(fù)變函數(shù)可視化方法與對(duì)應(yīng)例子。主要包含三種可視化方法：雙復(fù)平面、疊加復(fù)平面、動(dòng)態(tài)映射。

任務(wù)：學(xué)生自主完成。

①知識(shí)強(qiáng)化。尋找典型的復(fù)變函數(shù)或者有特殊幾何含義（有用/有趣）的復(fù)變函數(shù)，分析這個(gè)函數(shù)的分析/代數(shù)/幾何特點(diǎn)，并作圖。

②方法創(chuàng)新。對(duì)于一類復(fù)變函數(shù)（單值函數(shù)、多值函數(shù)），尋找其他可視化方法，并分析這種可視化方法的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)，討論這種方法對(duì)復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)的作用。

③能力遷移。對(duì)于一個(gè)或一類具體的應(yīng)用實(shí)例（工程、軍事、其他學(xué)科等），給出背景分析、復(fù)變函數(shù)在其中的作用，利用復(fù)變函數(shù)的相關(guān)理論解決實(shí)際問(wèn)題。

學(xué)生根據(jù)課堂上的可視化演示以及示例，自選完成上述三個(gè)任務(wù)之一。任務(wù)①旨在促進(jìn)學(xué)生對(duì)“數(shù)形結(jié)合”思想的鞏固。學(xué)生可以選取課堂上學(xué)習(xí)的典型復(fù)變函數(shù)（指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)等），根據(jù)教師給出的示例對(duì)其進(jìn)行可視化呈現(xiàn)，再結(jié)合函數(shù)表達(dá)式與幾何特性分析它的各種性質(zhì)。鍛煉學(xué)生的觀察與分析能力，屬于較容易的任務(wù)。任務(wù)②側(cè)重于方法的創(chuàng)新，復(fù)變函數(shù)的可視化通過(guò)GeoGebra軟件來(lái)實(shí)現(xiàn)是簡(jiǎn)單易學(xué)的，但是對(duì)于多值性的呈現(xiàn)也有局限性。對(duì)于現(xiàn)代工科專業(yè)學(xué)生而言，基本編程語(yǔ)言的學(xué)習(xí)與使用是必備技能。而編程實(shí)現(xiàn)的前提是算法的構(gòu)造。學(xué)生來(lái)自不同專業(yè)，思維方式不同，就有給出新的可視化方法或算法的可能性，這就是創(chuàng)新意識(shí)的體現(xiàn)。而創(chuàng)新要基于對(duì)復(fù)變函數(shù)特性有較好的掌握，這屬于中等難度的任務(wù)。任務(wù)③則是實(shí)際應(yīng)用能力的激發(fā)。相較于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)側(cè)重理論而言，工科學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)更重要的是學(xué)會(huì)應(yīng)用。通過(guò)自己尋找實(shí)例，數(shù)形結(jié)合，理論推導(dǎo)，最后回歸解決實(shí)際問(wèn)題。這個(gè)過(guò)程既是數(shù)學(xué)建模及求解的過(guò)程，也是學(xué)生以后走上工程應(yīng)用或工作崗位的一個(gè)預(yù)備過(guò)程，學(xué)以致用考查學(xué)生的綜合能力，屬于難度較大的任務(wù)。

通過(guò)三個(gè)不同難易程度、不同側(cè)重點(diǎn)的開(kāi)放性任務(wù)，可以促進(jìn)學(xué)生個(gè)性化學(xué)習(xí)，學(xué)生根據(jù)自己的能力和興趣點(diǎn)選擇一個(gè)任務(wù)完成，也可以小組協(xié)作。課程結(jié)束前提交并展示。

3 教學(xué)實(shí)踐效果反饋與更新

課程組按照新的教學(xué)設(shè)計(jì)思路，將可視化資源有機(jī)融合到實(shí)際課堂中，在2023 年春季學(xué)期的電氣、導(dǎo)航等專業(yè)共67 名學(xué)生的教學(xué)班中進(jìn)行教學(xué)改革試點(diǎn)。課堂上，該教學(xué)班學(xué)生能更積極活躍地回答問(wèn)題，知識(shí)掌握得更透徹。學(xué)期末的考核中，試點(diǎn)班在8 個(gè)教學(xué)班中復(fù)變函數(shù)課程的總評(píng)排第二名。同時(shí)課程組在后續(xù)課程“積分變換”等教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，改革試點(diǎn)專業(yè)的學(xué)生對(duì)復(fù)變函數(shù)知識(shí)記憶更深刻更長(zhǎng)久，數(shù)形結(jié)合加深了理解因此延長(zhǎng)了記憶的時(shí)效?？梢暬椒ㄔ趶?fù)變函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用既收獲了短期效果，也在后續(xù)其他理論與應(yīng)用課程中有良好的后作用。其主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面：

①可視化技術(shù)的多樣化。表現(xiàn)形式上，78%的學(xué)生采用GeoGebra 繪圖，18%的學(xué)生采用MATLAB 繪圖，4%的學(xué)生采用Python 繪圖。軟件的多樣化使用，能更好地實(shí)現(xiàn)復(fù)變函數(shù)的可視化，為融合技術(shù)的新型教與學(xué)模式[6]提供了更多技術(shù)支持，鍛煉了學(xué)生的實(shí)操能力，使教師的教學(xué)技術(shù)手段更加多元化。

②數(shù)形結(jié)合思想的有效滲透。一部分學(xué)生選擇將基本解析函數(shù)可視化，既有對(duì)表達(dá)式的數(shù)學(xué)理論分析，又有對(duì)圖形的解釋，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。以開(kāi)三次方函數(shù)為例，這是一個(gè)典型的多值函數(shù)。通過(guò)理論推導(dǎo)不同分支之間輻角相差120°。利用GeoGebra 作圖可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)給定一個(gè)z，對(duì)應(yīng)的三個(gè)w是同一個(gè)圓周上的三等分點(diǎn)，理論與幾何直觀契合。學(xué)生自主討論的這些例子可以添加到可視化資源庫(kù)里，實(shí)現(xiàn)資源庫(kù)的更新與完善。

③應(yīng)用與創(chuàng)新能力的充分開(kāi)發(fā)。另一部分學(xué)生結(jié)合自己所學(xué)的專業(yè)課程或者生活實(shí)際場(chǎng)景，將復(fù)變函數(shù)應(yīng)用到實(shí)際問(wèn)題中。例如用復(fù)電位描述靜電場(chǎng)的分布情況，利用保角變換把一些具有復(fù)雜邊界的靜電系統(tǒng)變換為有簡(jiǎn)單邊界的典型靜電系統(tǒng)。以及在學(xué)校道路停車線處發(fā)現(xiàn)歐拉公式z=ei t（如圖4ab）。

圖4 a 停車線

可見(jiàn)通過(guò)可視化教學(xué)方法，學(xué)生不僅僅對(duì)復(fù)變函數(shù)有了更深刻的認(rèn)識(shí)，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的領(lǐng)悟也更靈活。此次教學(xué)改革達(dá)到了復(fù)變函數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)、可視化能力的培養(yǎng)、數(shù)形結(jié)合思想的推廣的目的。

4 小結(jié)

通過(guò)教學(xué)方法的創(chuàng)新改進(jìn)，在教學(xué)實(shí)施過(guò)程中教師致力于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，鍛煉并提升他們將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化的能力。通過(guò)分階段的教學(xué)設(shè)計(jì)，從以教師引導(dǎo)的數(shù)形聯(lián)想方式轉(zhuǎn)變成學(xué)生參與的調(diào)參互動(dòng)，最后轉(zhuǎn)變成學(xué)生自主探索“化數(shù)為形、以形助數(shù)”的延伸拓展環(huán)節(jié)，潛移默化的思想訓(xùn)練能為他們?cè)诟鲗W(xué)科的學(xué)習(xí)中開(kāi)拓新思路。根據(jù)課上的討論與課下開(kāi)放式大作業(yè)對(duì)可視化資源庫(kù)進(jìn)行更新，實(shí)現(xiàn)“教”與“學(xué)”的思想碰撞，使教學(xué)更適應(yīng)于當(dāng)下學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律與工科專業(yè)的應(yīng)用需求。因此，可視化方法在工科復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)中的應(yīng)用是有效且必要的，也需要在不斷的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)展完善。信息技術(shù)為教學(xué)方法變革賦能是值得各學(xué)科教師探索嘗試的方向。