基于直觀想象素養(yǎng)視角的高中解析幾何概念教學(xué)實(shí)踐研究
——以拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程為例

馮立坤

(廈門實(shí)驗(yàn)中學(xué),福建 廈門 361116)

直觀想象是指運(yùn)用生活中實(shí)際情境,利用圖形直觀感知,借助幾何直觀和空間想象感知事物變化,從而認(rèn)識(shí)、了解并解決相應(yīng)數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力是教學(xué)中一直熱議的話題,本文以解析幾何拋物線定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程為例,深入研究教學(xué)中直觀想象素養(yǎng)的滲透和培養(yǎng).

1 基于直觀想象的教學(xué)實(shí)踐探究

1.1 確立教學(xué)目標(biāo),明確培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的方向

在課堂教學(xué)過程當(dāng)中,整個(gè)教學(xué)過程的實(shí)施都是以教學(xué)目標(biāo)為基調(diào)進(jìn)行的.因此,想要培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象,就必須先確定所要達(dá)到的目標(biāo),這就是培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力所要達(dá)到的目的.

(1)讓學(xué)生充分理解拋物線的定義,并會(huì)畫出拋物線的圖形,熟悉掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;利用定義求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、會(huì)表示拋物線的焦點(diǎn)以及表示拋物線的準(zhǔn)線方程;并會(huì)簡單運(yùn)用.

(2)從具體的實(shí)際情境中,抽象出拋物線的模型;化抽象為具象,化無形為有形.

(3)在學(xué)習(xí)拋物線中,體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想,用數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)方法解決與拋物線有關(guān)的生活問題.

1.2 創(chuàng)設(shè)情境,迸發(fā)直觀洞察,激起學(xué)生直觀想象的興趣

教師在創(chuàng)設(shè)情境的時(shí)候,要盡可能地創(chuàng)設(shè)與學(xué)生實(shí)際生活相符合的情境.利用圖片、視頻或數(shù)學(xué)模型展示,讓學(xué)生直觀感受拋物線方程的產(chǎn)生,以最快速度理解圖形,從而真正掌握拋物線的生成過程,找到數(shù)形之間的聯(lián)系[1].這種利用幾何圖形來認(rèn)識(shí)、描述和理解數(shù)學(xué)問題,再進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和分析的過程,非常符合高中生的學(xué)習(xí)特點(diǎn).

圖1 球在空中運(yùn)動(dòng)的軌跡 圖2 動(dòng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)軌跡

【實(shí)際情境】在本章解析幾何的學(xué)習(xí)中,目前已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線,通過前面的學(xué)習(xí)探究可以發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律.設(shè)動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與到定直線l(不過點(diǎn)F)的距離之比為k.

當(dāng)0

當(dāng)k>1 時(shí),點(diǎn)M的軌跡為雙曲線;

當(dāng)k=1時(shí),即動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與動(dòng)點(diǎn)M到定直線l的距離相等時(shí),動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)是什么形狀?

利用信息技術(shù)作圖我們一起來探究,如圖2,F為一定點(diǎn),l是不經(jīng)過點(diǎn)F的定直線,點(diǎn)H為直線l上任意一點(diǎn),過點(diǎn)H作MH⊥l,線段FH的垂直平分線m交MH于點(diǎn)M.用鼠標(biāo)拖動(dòng)動(dòng)點(diǎn)H,觀察可以發(fā)現(xiàn),點(diǎn)M隨之運(yùn)動(dòng).

通過對(duì)生活實(shí)際情境的創(chuàng)設(shè),在教學(xué)實(shí)踐中,可以進(jìn)一步提高學(xué)生的直觀發(fā)現(xiàn)能力,進(jìn)而為后續(xù)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

1.3 問題探究,引導(dǎo)學(xué)生在思考中聯(lián)想到直觀想象

讓學(xué)生們借助三角板和直尺,親自體驗(yàn)自己畫出拋物線,在畫圖中感知拋物線必備的條件.動(dòng)圖展示作圖過程,提出問題,可以將直尺,釘子,筆尖轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型,分別看成何種數(shù)學(xué)圖形,引導(dǎo)學(xué)生在整個(gè)作圖過程中從具體事物抽象概括出拋物線定義幾幾何特征.

【問題串】問題1:它的軌跡是什么形狀?你能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M滿足的幾何條件嗎?

(活動(dòng)預(yù)設(shè))拋物線.

問題2:你能發(fā)現(xiàn)點(diǎn)M滿足的幾何條件嗎?

(活動(dòng)預(yù)設(shè))在平面內(nèi),通過觀察發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與動(dòng)點(diǎn)M到定直線l的距離相等,即|MF|=|MH|

問題3:MF,MH分別什么呢?

(活動(dòng)預(yù)設(shè))通過問題引導(dǎo),讓學(xué)生觀察動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離,將數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形,利用幾何特征表達(dá)動(dòng)點(diǎn)軌跡,從而引出拋物線的定義.

追問1:如果定點(diǎn)F在直線l上呢?所得到的軌跡是否依舊為一條拋物線?若不是拋物線的話,應(yīng)是什么圖形?

問題4:在現(xiàn)實(shí)中生活中,拋物線形狀的圖形廣泛存在于現(xiàn)實(shí)生活中,能否開動(dòng)腦筋想一想在現(xiàn)實(shí)生活中存在的拋物線形狀都有什么?

在教學(xué)中,學(xué)生作為課堂的主體,作為教師,只是課堂中引導(dǎo)學(xué)生的輔助者,起著引導(dǎo)學(xué)生的作用.因此,在課堂中教師以提問的方式或者問題串的形式進(jìn)行教學(xué),既符合建構(gòu)主義的要求,又運(yùn)用了啟發(fā)性原則,既能促使學(xué)生在思考問題的過程中進(jìn)行知識(shí)的探索,又能幫助學(xué)生在知識(shí)的探索中聯(lián)想到直觀想象,為今后高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中直觀想象的培養(yǎng)奠定了基礎(chǔ)[2].

1.4 建立數(shù)形聯(lián)系,類比其他拋物線建系,展現(xiàn)幾何直觀,構(gòu)建概念

在數(shù)學(xué)問題中用幾何圖形表示數(shù)量關(guān)系,降低復(fù)雜數(shù)值較多的數(shù)學(xué)問題的難度;同理運(yùn)用代數(shù)知識(shí)解決幾何問題,通過代數(shù)運(yùn)算對(duì)幾何知識(shí)進(jìn)行推導(dǎo),使幾何問題化難為易,進(jìn)而找到更簡便有效的解題方法,同時(shí)使學(xué)生更直觀、更準(zhǔn)確地理解幾何問題.

【數(shù)形結(jié)合】問題5 對(duì)橢圓與雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程進(jìn)行比較,你認(rèn)為如何建立坐標(biāo)系,可能使所求拋物線的方程形式簡單?

(活動(dòng)預(yù)設(shè))(1)協(xié)同探究,以小組為單位;(2)小組探討、畫圖探究,嘗試多種建系方法,并在多種建系方法,仍會(huì)出現(xiàn)如下圖3這樣的3種情況.在圖3中選取,何種建系會(huì)使得拋物線方程的形式最為簡單.

圖3 拋物線多種建系方法

繼續(xù)觀察,容易想到,x軸與拋物線的交點(diǎn)是圖中KF的中點(diǎn),可將其設(shè)置為原點(diǎn).

設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生可以通過嘗試畫圖的方式,可以直觀感知如何建系使得各元素以及曲線的方程形式簡單.

問題6 設(shè)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p,(a)用p表示焦點(diǎn)坐標(biāo);(b)用p可否表示準(zhǔn)線方程.(c)動(dòng)點(diǎn)M軌跡即為拋物線,這一點(diǎn)滿足的方程如何用p表示.

設(shè)計(jì)意圖:(1)將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,用數(shù)量關(guān)系表示;(2)感受直接法求軌跡方程.

1.5 信息技術(shù)融合,先進(jìn)的教學(xué)手段創(chuàng)造培養(yǎng)直觀想象的機(jī)會(huì)

目前學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)軟件動(dòng)圖動(dòng)畫等都很感興趣,優(yōu)化教學(xué)手段,利用幾何畫板和GGB等數(shù)學(xué)軟件,這樣可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.

動(dòng)圖展示拋物線形成過程,形象直觀演示拋物線動(dòng)態(tài)變化過程有效突破教學(xué)難點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生分析較為復(fù)雜的動(dòng)點(diǎn)軌跡或拋物線面積、最值等習(xí)題.如下題:

圖4 陰影面積

而針對(duì)一些基礎(chǔ)比較薄弱的學(xué)生,可以考慮錄制例題的微課或者定義生成的課件等提供給學(xué)生,以便于學(xué)生在課后自主學(xué)習(xí)鞏固．課件或微課的動(dòng)態(tài)演示,有效地展示動(dòng)點(diǎn)M軌跡的動(dòng)態(tài)過程如圖7.

圖7 動(dòng)點(diǎn)M軌跡的動(dòng)態(tài)過程

在講授新課的過程中,要多注重學(xué)生的直觀感知,合理利用數(shù)學(xué)軟件,通過對(duì)動(dòng)點(diǎn)軌跡形成而進(jìn)行觀察、推理、計(jì)算,是學(xué)生掌握理解解析幾何這一部分的難點(diǎn).同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生多畫圖,教師在授課時(shí)也應(yīng)注重學(xué)生作圖能力的培養(yǎng),才能夠做到準(zhǔn)確識(shí)圖、用圖、解圖.并且在解題教學(xué)中,有意識(shí)地從幾何直觀方面滲透對(duì)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)[3].

2 教學(xué)實(shí)踐總結(jié)及教學(xué)實(shí)踐反思

拋物線概念的形成是本節(jié)課的難點(diǎn)和重點(diǎn).在教學(xué)實(shí)踐中,引導(dǎo)學(xué)生將拋物線與所學(xué)過熟知的二次函數(shù)進(jìn)行對(duì)比.通過變換坐標(biāo)系的建立,一方面加強(qiáng)學(xué)生在求拋物線方程的計(jì)算能力,另一方面將拋物線與二次函數(shù)聯(lián)系起來,讓學(xué)生理解二次函數(shù)也是拋物線,知道二次函數(shù)和解析幾何中拋物線的共通之處和不同的表達(dá)形式,使學(xué)生有一種“頓悟”的感覺[4].

學(xué)生自主探究對(duì)比橢圓、雙曲線、拋物線的區(qū)別與聯(lián)系,自行類比四種不同拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)以及準(zhǔn)線方程.關(guān)鍵要讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用類比和數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問題.教學(xué)實(shí)踐結(jié)束時(shí)可采用拋物線形拱橋?yàn)楸尘?可以使學(xué)生再一次直觀感受拋物線的形成[5].

在例題的基礎(chǔ)上增加了變式訓(xùn)練,師生共同分析,小組展開討論.在分析、討論、總結(jié)的過程中,使學(xué)生深入理解拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程,了解概念和定理的形成過程．提高了學(xué)生的探究能力,促進(jìn)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng),提高課堂效率．

3 結(jié)束語

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)．通過直觀想象,可以將數(shù)學(xué)概念化抽象于具體,數(shù)學(xué)習(xí)題化繁為簡．使原本復(fù)雜無從下手的題目能夠更快且準(zhǔn)確地找到解題思路.