對2022年一道高考題的解法研究及推廣

劉大鵬

(遼寧省黑山縣第一高級中學,遼寧 錦州 121400)

2022年全國新高考Ⅱ卷第22題作為全卷的壓軸題,考查了利用導數研究函數的單調性;含參不等式恒成立時,求參數的取值范圍;與數列求和有關的不等式證明.這道題綜合性強,難度大,有很高的研究價值,也很有區(qū)分度,是難得的一道好題.文章對第(3)問給出了5種證明方法和4個推廣命題,這是本文的亮點.

1 高考題再現

題目(2022年全國新高考Ⅱ卷第22題)已知函數f(x)=xeax-ex.

(1)當a=1時,討論f(x)的單調性;

(2)當x>0時,f(x)<-1,求a的取值范圍;

2 解法展示

解析(1)當a=1時,f(x)=(x-1)ex,

f′(x)=ex+(x-1)ex=xex,所以x∈(-∞,0),f′(x)<0,f(x)單調遞減;x∈(0,+∞),f′(x)>0,f(x)單調遞增.

(2)構造函數

g(x)=f(x)+1=xeax-ex+1,(x≥0),

g(0)=0,

g′(x)=eax+axeax-ex,

g′(0)=0,g″(x)=aeax+aeax+a2xeax-ex=a(2+ax)eax-ex,

g″(0)=2a-1,

所以?x0>0,使x∈(0,x0),g′(x)>0,g(x)單調遞增,g(x0)>g(0)=0,不符合題意.

g′(x)=eax+ln(1+ax)-ex

所以g(x)在(0,+∞)單調遞減,g(x)

(3)證法1 構造函數

所以t(x)在[1,+∞)單調遞減.

所以t(x)≤t(1)=0.

證法2 構造函數

所以p(x)在(0,+∞)單調遞增.

所以p(x)>p(0)=0.

證法3 構造函數

>0,

所以w′(x)在(0,+∞)上單調遞增,

所以w′(x)<0.

所以w(x)在(0,+∞)上單調遞減[1].

=0,

(*)

所以q′(x)>0,q(x)在(0,+∞)單調遞增,

=1.

所以q(x)<1.

將x分別代入1,2,3,…,n,相加,得

證法4 構造數列

證法5 (數學歸納法)

所以,當n=k+1時,命題也成立.

3 命題的推廣與推論

證明在證法3中已證w(x)>0,即

將x分別代入1,2,3,…,n,相加即可.

u(x)在(0,+∞)單調遞增,

所以u(x)>u(0)=0.

為證明推廣4,先給出下面的引理

由(*)式,得h′(x)>0,h(x)在[1,+∞)單調遞增,

所以h(x)<1.

所以d′(x)<0,d(x)在[1,+∞)單調遞減.

所以k′(x)<0.

所以k(x)在[1,+∞)單調遞減.

所以x

所以k(x)>1.

下面證明推廣4.

證明(ⅰ)當n=1時,由引理得

當n=k+1時,由歸納假設和引理,得

=ln[(k+1)+1].

所以當n=k+1時,命題成立.

4 結束語

這道高考題的第(3)問與前面兩問是并列關系,它們之間沒有必然的聯系,也就是說前面兩問不會做,一點也不影響對第(3)問的證明.有些師生在復習備考中,盲目認為高考很少考查或不會考證明題,進而忽視對數學歸納法的復習,這道高考題對有這樣想法的師生敲響了警鐘.文章中第(3)問的證明方法3和推廣命題4及證明是由我校二年一班學生王鵬博想到的,王鵬博的思路和證明方法使本文更具有趣味性,在此對王鵬博表示衷心的感謝,并祝王鵬博同學在數學方面取得更大的成績.