四元數(shù)矩陣方程(A1XB1,…,AkXBk)=(C1,…,Ck)的極小范數(shù)最小二乘Toeplitz解

石俊嶺, 李 瑩, 王 濤, 張東惠, 邱 新

(聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 山東 聊城 252000)

矩陣方程是數(shù)值代數(shù)領(lǐng)域的重要研究內(nèi)容之一,而四元數(shù)及四元數(shù)矩陣在彩色圖像處理、計(jì)算機(jī)技術(shù)、動力學(xué)等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用[1-3],因而四元數(shù)矩陣方程也成為矩陣方程中熱門的研究課題.然而四元數(shù)乘法的不可交換性使得四元數(shù)矩陣方程的研究相比實(shí)矩陣方程更為復(fù)雜.因此,許多學(xué)者提出一些同構(gòu)關(guān)系,將四元數(shù)矩陣方程問題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的實(shí)矩陣方程問題解決,從而極大降低問題求解的復(fù)雜程度.例如,丁文旭等[4]提出一種四元數(shù)矩陣的實(shí)向量表示方法,并給出求解四元數(shù)矩陣方程(A1XB1,…,AkXBk)=(C1,…,Ck)的極小范數(shù)Hermitian解的有效方法.王秀平等[5]基于四元數(shù)矩陣實(shí)表示,提出求解四元數(shù)矩陣方程(AXB,CXD)=(E,F)的極小范數(shù)最小二乘Hermitian解的有效方法.本文將基于四元數(shù)矩陣實(shí)表示,結(jié)合矩陣的H-表示以及矩陣半張量積,提出一種求解四元數(shù)矩陣方程(A1XB1,…,AkXBk)=(C1,…,Ck)的極小范數(shù)最小二乘Toeplitz解的有效方法,并給出數(shù)值算法與算例,從而驗(yàn)證該方法的有效性.具體問題如下:

問題1設(shè)Ai∈Qm×n,Bi∈Qn×p,Ci∈Qm×p(i=1,…,k),記

尋找XS∈S滿足:

XS稱為四元數(shù)矩陣方程(A1XB1,…,AkXBk)=(C1,…,Ck)的極小范數(shù)最小二乘Toeplitz解.

1 預(yù)備知識

1843年,愛爾蘭數(shù)學(xué)家W.R.Hamilton提出了四元數(shù)的概念,它是復(fù)數(shù)的不可交換延伸,是實(shí)數(shù)域上的四維非交換結(jié)合代數(shù).

定義1[6]定義四元數(shù)為

a=a1+a2i+a3j+a4k

其中:a1,a2,a3,a4∈R.且i,j,k滿足i2=j2=k2=-1,ij=-ji=k,ki=-ik=j,jk=-kj=i.

定義2[5]對于四元數(shù)矩陣A=A1+A2i+A3j+A4k∈Qm×n,稱矩陣AR為四元數(shù)矩陣的實(shí)表示矩陣

由實(shí)表示矩陣的結(jié)構(gòu)可以看出,實(shí)表示矩陣與實(shí)表示矩陣的第一列塊一一對應(yīng),記實(shí)表示矩陣第一列塊為

四元數(shù)矩陣的(F)范數(shù)為

四元數(shù)矩陣的實(shí)表示具有以下性質(zhì):

引理1[5]設(shè)A,B∈Qm×n,C∈Qn×p,則有

2) (A+B)R=AR+BR,(kA)R=kAR,(AC)R=ARCR.

本文的重要研究工具之一為矩陣半張量積,矩陣半張量積是現(xiàn)代矩陣?yán)碚摰闹匾獌?nèi)容之一,它突破了經(jīng)典矩陣乘法維數(shù)的限制,是經(jīng)典矩陣乘法的推廣.這種推廣不僅保持了經(jīng)典矩陣乘法所有的基本性質(zhì),并且突破了經(jīng)典矩陣乘法中一些不可逾越的問題,如經(jīng)典矩陣乘法無交換性,經(jīng)典矩陣乘法無法處理高階多線性函數(shù)等,具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義,現(xiàn)已廣泛應(yīng)用到眾多領(lǐng)域[7-11].矩陣半張量積的定義如下:

定義3[12]設(shè)A∈Qm×n,B∈Qp×q,n與p的最小公倍數(shù)為t=lcm(n,p),定義A與B的矩陣半張量積為

A?B=(A?It/n)(B?It/p)

顯然,當(dāng)n=p時(shí),A與B的半張量積即為A與B的經(jīng)典矩陣乘積.故矩陣半張量積是經(jīng)典矩陣乘法的推廣.

定義4[12]設(shè)A=(aij)∈Qm×n,定義A的列排式為

Vc(A)=(a11,…,am1,a12,…,am2,…,a1n,…,amn)T

A的行排式為

Vr(A)=(a11,…,a1n,a21,…,a2n,…,am1,…,amn)T

定義5[12]定義mn維換位矩陣

利用換位矩陣,可以實(shí)現(xiàn)四元數(shù)矩陣A列排式與行排式的轉(zhuǎn)化.

引理2[12]1) 設(shè)A∈Qm×n,則

W[m,n]Vr(A)=Vc(A),W[n,m]Vc(A)=Vr(A)

2) 設(shè)A∈Qm×n,則

W[m,p]?A?W[p,n]=Ip?A

利用定義3、定義4、定義5以及引理2進(jìn)一步研究四元數(shù)矩陣行排式及列排式之間的關(guān)系.

定理1設(shè)A=(aij)∈Qm×n,X=(xij)∈Qn×q,Y∈Qp×m, 則

2)Vc(AX)=(Iq?A)Vc(X),Vr(AX)=A?Vr(X).

證明1) 記A=(α1,α2,…,αn),Y=(y1,y2,…,ym), 則

2) 記xi=(x1i,…,xni)T,(i=1,…,q).由1)的結(jié)論可得

令xj=(xj1,…,xjq)T,(j=1,…,n),同理由1)的結(jié)論可得

(A?Iq)Vr(X)=A?Vr(X)

引理3[13]設(shè)A∈Rm×n,b∈Rm,則不相容線性方程組Ax=b最小二乘解的通式為x=A?b+(In-A?A)y,其中y∈Rn是任意的.

引理4[13]設(shè)A∈Rm×n,b∈Rm,則線性方程組Ax=b有解的充分必要條件為AA?b=b.此時(shí),Ax=b的通解為x=A?b+(In-A?A)y,其中y∈Rn是任意的.

2 矩陣的H-表示

為了降低問題求解的復(fù)雜程度,首先介紹特殊矩陣的H-表示,針對實(shí)數(shù)域上Toeplitz矩陣,對其進(jìn)行元素個數(shù)的縮減并給出實(shí)數(shù)域上Toeplitz矩陣H-表示方法.

對于實(shí)數(shù)域上的Toeplitz矩陣

可根據(jù)其結(jié)構(gòu)特點(diǎn),利用H-表示提取有效元素,進(jìn)行元素個數(shù)的縮減,從而降低求解問題的復(fù)雜程度.

{e0,e1,…,en-1,e-1,…,e-(n-1)}

其中

由標(biāo)準(zhǔn)基底的選定可得實(shí)數(shù)域上Toeplitz矩陣的H-表示矩陣Hn如下:

3 問題1的代數(shù)解

利用實(shí)數(shù)域上Toeplitz矩陣的H-表示方法、矩陣半張量積、四元數(shù)矩陣的實(shí)表示矩陣等研究問題1的代數(shù)解,從而得到定理2及其推論.

則問題1中的集合可以表示為

四元數(shù)矩陣方程(A1XB1,…,AkXBk)=(C1,…,Ck)極小范數(shù)最小二乘Toeplitz解XS滿足:

(1)

證明由四元數(shù)矩陣的(F)范數(shù)的性質(zhì)可得

故問題1中的集合S可以表示為

即

其中:y∈R8n-4是任意的,故問題1的集合為

從而四元數(shù)矩陣方程(A1XB1,…,AkXBk)=(C1,…,Ck)極小范數(shù)最小二乘Toeplitz解XS滿足:

推論1四元數(shù)矩陣方程(A1XB1,…,AkXBk)=(C1,…,Ck)有Toeplitz解的充要條件為

(MM?-I4kmp)N=O

且方程的Toeplitz解X滿足:

其中:y∈R8n-4是任意的.

極小范數(shù)Toeplitz解Xm滿足:

證明四元數(shù)矩陣方程(A1XB1,…,AkXBk)=(C1,…,Ck)存在Toeplitz解等價(jià)于

其中:y∈R8n-4是任意的.

故此時(shí)四元數(shù)矩陣方程的Toeplitz解X滿足:

其中:y∈R8n-4是任意的.

且極小范數(shù)Toeplitz解Xm滿足:

4 數(shù)值算法及算例

根據(jù)式(1)以及推論1的結(jié)論給出問題1的數(shù)值算法,并給出兩個算例分別從誤差和計(jì)算時(shí)間兩個方面驗(yàn)證該方法的有效性.

算法1(問題1的數(shù)值算法)

1) 輸入Ai∈Qm×n,Bi∈Qn×p,Ci∈Qm×p,輸出U,V,N,G,G′.

2) 輸入Hn,輸出W,M.

3) 根據(jù)式(1)輸出問題1的極小范數(shù)最小二乘Toeplitz解.

圖1 不同矩陣維數(shù)下誤差的數(shù)量級 Fig.1 The order of magnitude of error with different matrix dimensions

由圖1知‖X*-X‖(F)<10-11,故由算法1所得到的問題1的解的精確程度是可以保障的.

算例2在MATLAB中隨機(jī)生成四元數(shù)矩陣A∈Qm×n,B∈Qn×p,C∈Qm×p,(其中取m=n=p=10L,L=1,2,…,7),分別通過算法1、文獻(xiàn)[4]中的實(shí)向量表示方法與文獻(xiàn)[5]中實(shí)表示方法計(jì)算四元數(shù)矩陣方程AXB=C極小范數(shù)最小二乘Toeplitz解,將三種方法所耗費(fèi)的計(jì)算時(shí)間進(jìn)行對比,由于文獻(xiàn)[4]中的實(shí)向量表示方法在求解過程中所需儲存量過大,在計(jì)算規(guī)模較大的問題時(shí),其計(jì)算時(shí)間比另外兩種方法長,故只需對另外兩種方法所耗費(fèi)的計(jì)算時(shí)間進(jìn)行對比,見表1所列.

表1 不同矩陣維數(shù)下各種方法所需計(jì)算時(shí)間

由表1可以看出,與文獻(xiàn)[5]中的實(shí)表示方法相比,隨著矩陣維數(shù)的增大,本文提出的方法所需計(jì)算時(shí)間優(yōu)勢越來越大.

綜上所述,算法1不僅結(jié)果十分精確而且在計(jì)算時(shí)間上具有相當(dāng)大的優(yōu)勢,故本文針對問題1的求解方法是十分有效的.

5 結(jié)論

本文基于四元數(shù)矩陣實(shí)表示,結(jié)合矩陣半張量積與矩陣H-表示,提出了求解四元數(shù)線性系統(tǒng)極小范數(shù)最小二乘Toeplitz解的有效方法.利用矩陣H-表示,提取有效元素,大大降低了問題求解的復(fù)雜度,在問題求解過程中具有十分重要的作用.該問題的求解方法可應(yīng)用于其他線性系統(tǒng)特殊解的求解問題中,具有十分重要的意義.