人行橋在行人荷載激勵(lì)下的非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)

朱前坤, 曾 新

(蘭州理工大學(xué) 防震減災(zāi)研究所, 甘肅 蘭州 730050)

2000年,倫敦著名的千禧橋大幅振動(dòng)事件成為人致橋梁振動(dòng)的關(guān)鍵性標(biāo)志,并引發(fā)學(xué)者對(duì)橋梁人致振動(dòng)的廣泛討論[1].但很多學(xué)者研究人行橋人致振動(dòng)問(wèn)題時(shí)忽略了行人荷載的隨機(jī)性,行人荷載是一個(gè)復(fù)雜的寬帶隨機(jī)過(guò)程,包含了行人內(nèi)部不同步伐之間的作用隨機(jī)性以及不同行人之間的作用隨機(jī)性,隨機(jī)性導(dǎo)致行人荷載將不同于以往按確定性考慮的情況[2].而且大多數(shù)荷載模型的預(yù)測(cè)和實(shí)際響應(yīng)測(cè)量之間存在一定的差異,而差異的主要來(lái)源與行人和結(jié)構(gòu)的相互作用以及行人行走的固有變異性有關(guān)[3-5].

學(xué)者對(duì)人行橋人致振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行了深層次的研究,并提出了多種理論和模型,但都屬于確定性分析方法,并沒(méi)有考慮到行人荷載(行人內(nèi)部以及行人之間的作用)的隨機(jī)性[2].針對(duì)這一問(wèn)題,林家浩等[6]提出了一種處理非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)問(wèn)題的高效精確的虛擬激勵(lì)法,建立行人荷載作用下的人行橋振動(dòng)響應(yīng),不需要蒙特卡羅模擬并考慮了行人內(nèi)部以及行人之間的作用隨機(jī)性.呂峰等[7]基于虛擬激勵(lì)法和精細(xì)積分法,提出了一種研究橋梁隨機(jī)動(dòng)力特性的有限元精確高效算法.Caprani[8]提出了簡(jiǎn)單譜模型,應(yīng)用虛擬激勵(lì)法研究人行橋在不同行人激勵(lì)下的非平穩(wěn)振動(dòng)響應(yīng),揭示了行人內(nèi)部和行人之間的變異性.

雖然虛擬激勵(lì)法在處理非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)分析方面的計(jì)算效率較傳統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)分析已有顯著提高,但對(duì)于多自由度體系所需的計(jì)算量仍相當(dāng)龐大,因此有必要進(jìn)一步提高計(jì)算效率[9].Zhu等[10]、張瓊等[11]將Eftekhari[12-13]提出的結(jié)合微分求解法和積分求積法用于研究結(jié)構(gòu)在移動(dòng)荷載作用下受迫振動(dòng)問(wèn)題的方法推廣到人行荷載作用下人行橋振動(dòng)響應(yīng)的求解,通過(guò)與傳統(tǒng)的振型疊加計(jì)算結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證其高效性,并將其擴(kuò)展到半剛性邊界下的人行橋受行人荷載作用的振動(dòng)響應(yīng)問(wèn)題[14].

基于以上研究,本文利用Caprani[8]提出的簡(jiǎn)單譜模型建立行人強(qiáng)迫函數(shù)的譜密度,結(jié)合微分求積法-虛擬激勵(lì)法(DQ-PEM)求得人行橋在行人荷載激勵(lì)下的非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng).基于具體工程算例驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性和高效性,并分析半剛性人行橋在行人荷載下作用下的非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)問(wèn)題,討論不同速度和不同約束條件等因素對(duì)人行橋隨機(jī)振動(dòng)的影響.

1 行人荷載的譜模型

一般情況而言, 按照傅里葉級(jí)數(shù)的表達(dá)式, 人行激勵(lì)作用可以由不同頻率成分的簡(jiǎn)諧波激勵(lì)合成, 并且這些頻率與人行走的步頻成正整數(shù)倍的關(guān)系.當(dāng)人行走的步頻與結(jié)構(gòu)的固有頻率接近或相等時(shí), 會(huì)引起共振效應(yīng)[15].

行走所產(chǎn)生的垂直荷載通常是由傅里葉級(jí)數(shù)的形式給出:

(1)

式中:ηi為第i次諧波的傅里葉系數(shù),表示該諧波的動(dòng)力因子(DLF),其值隨諧波頻率變化而變化,表1為相關(guān)值.

表1 文獻(xiàn)中的一些動(dòng)力因子(DLFs)

Brownjohn等[4]提出的譜模型中頻譜只圍繞每個(gè)諧波定義,而高次諧波則頻譜存在許多重疊且無(wú)明確的解釋.Caprani[8]提出的簡(jiǎn)單譜模型( Sim-SM)解決了上述不足,Sim-SM可表示行人內(nèi)部和行人之間的變異性,模型通過(guò)正態(tài)分布對(duì)每個(gè)諧波的DLF進(jìn)行擴(kuò)展,公式如下所示:

(2)

其中:ηi為文獻(xiàn)[4]中的動(dòng)力因子;φ(f)為正態(tài)概率密度分布;第i次波的均值μi=ifp.假定變異系數(shù)(CoV)的標(biāo)準(zhǔn)差為σi=μiCoV.在實(shí)際應(yīng)用中,間隔寬度Δf的頻率間隔離散數(shù)為m,則式(2)變?yōu)?/p>

(3)

其模型如圖1所示.

圖1 CoV為5%,步頻fp =2 Hz時(shí)的簡(jiǎn)單譜模型Fig.1 Simple spectral model of intra-subject variation for 2 Hz pacing frequency assuming 5% CoV

考慮單個(gè)諧波時(shí),行人群體誘導(dǎo)垂直力的功率譜密度(PSD)會(huì)比單個(gè)行人的PSD更寬,本質(zhì)上對(duì)單個(gè)行人的PSD進(jìn)行擾動(dòng),以至于表示行人群體的PSD時(shí)還能考慮到單個(gè)行人的可變性.假設(shè)自譜密度Sxx由M個(gè)點(diǎn)給出,采用Kernel密度估計(jì)的思想:

(4)

其中:K(·)在文獻(xiàn)[17]中給出,在極限下,則有兩個(gè)函數(shù)的卷積得到總體的PSD:

(5)

假設(shè)單個(gè)行人PSD的第i次諧波表示為高斯函數(shù):

(6)

進(jìn)一步假設(shè)每一個(gè)諧波都使用高斯函數(shù):

(7)

其中:σk,i為第i次諧波的帶寬(通常用h表示),利用兩個(gè)高斯函數(shù)的卷積是一個(gè)高斯函數(shù)的優(yōu)點(diǎn),公式(6)變?yōu)?/p>

(8)

其中的參數(shù)表達(dá)式為

(9)

如果使用簡(jiǎn)單譜模型(Sim-SM)來(lái)描述單個(gè)行人,可通過(guò)公式(9)增加每個(gè)諧波的標(biāo)準(zhǔn)差,同時(shí)表示行人間與行人內(nèi)部的可變性,代表人口的模型,其準(zhǔn)確性取決于人口變異性和高斯假設(shè)的接近程度.

2 梁式結(jié)構(gòu)下的虛擬激勵(lì)法

2.1 簡(jiǎn)介

以往的非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)問(wèn)題,常常簡(jiǎn)化成平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)計(jì)算,或者采用很簡(jiǎn)化的非平穩(wěn)模型表示,即使這樣,其計(jì)算量依舊比相應(yīng)的平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)龐大,計(jì)算過(guò)程也復(fù)雜得多,很難在實(shí)際工程中被應(yīng)用.而虛擬激勵(lì)法在處理非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)問(wèn)題就方便很多[18],該方法精確、高效,是應(yīng)用非常方便的結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)分析算法系列,其適用于結(jié)構(gòu)受到單點(diǎn)或多點(diǎn)、平穩(wěn)或非平穩(wěn)、部分相干或完全相干的隨機(jī)激勵(lì).虛擬激勵(lì)法在處理平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)問(wèn)題時(shí)將其轉(zhuǎn)化成確定性時(shí)間歷程分析,從而使計(jì)算高效、精確.Zhong[19]描述了虛擬激勵(lì)法相對(duì)于傳統(tǒng)方法的計(jì)算優(yōu)勢(shì):完全二次組合(CQC)與平方和的平方根(SRSS),對(duì)于N個(gè)自由度的系統(tǒng),CQC需要N2個(gè)復(fù)數(shù)乘法,SRSS需要N個(gè)復(fù)數(shù)乘法(但是對(duì)于具有緊密間隔模式的一些結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)不太精確),而虛擬激勵(lì)法只需要一個(gè)等式(10)并且是精確的.因此,虛擬激勵(lì)法適合于具有大量自由度且頻率間隔很近的系統(tǒng).

PEM已應(yīng)用于大型基礎(chǔ)設(shè)施的一系列問(wèn)題[20],而精細(xì)積分法[21]和PEM法已被作為解決穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)問(wèn)題準(zhǔn)確而有效的方法.近年來(lái),已有多名學(xué)者將PEM應(yīng)用于移動(dòng)荷載作用下的橋梁振動(dòng)問(wèn)題[22].最近,Caprani[23]將PIM應(yīng)用于行人橋的振動(dòng)問(wèn)題,稱(chēng)為模態(tài)精確積分法(MPIM),與其他常用的計(jì)算人行橋振動(dòng)響應(yīng)和統(tǒng)計(jì)方法相比,MPIM被證明是非常有效和高精度的.

2.2 人行橋振動(dòng)的MPIM法

為評(píng)估由行人內(nèi)部和行人之間的變異性引起的非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng),使用PIM-PEM方案.實(shí)施情況如下:

1) 利用前文介紹的簡(jiǎn)單譜模型建立行人強(qiáng)迫函數(shù)的譜密度;

2) 將頻譜劃分成寬度為Δω的N個(gè)頻率點(diǎn);

3) 對(duì)于每一個(gè)頻率點(diǎn)執(zhí)行以下步驟:

b. 虛擬激勵(lì)為

c. 當(dāng)荷載在xk=vtk時(shí)所有時(shí)間步長(zhǎng)響應(yīng)為

通過(guò)對(duì)響應(yīng)譜的積分,得到荷載k或時(shí)間t在每一個(gè)位置響應(yīng)的均方值:

但該方法只適用于單自由度體系,無(wú)法對(duì)多自由度體系進(jìn)行振動(dòng)分析,需要利用DQ-PEM法求行人荷載下半剛性梁式結(jié)構(gòu)的非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng).

CT診斷：所有患者均采用我院的16層螺旋CT掃描機(jī)進(jìn)行檢查，掃描前將參數(shù)設(shè)為：掃描間距1mm，傾斜正負(fù)30°，層厚3mm。然后讓患者保持仰臥位，對(duì)患者腰椎間隙部位進(jìn)行掃描，為提高診斷檢測(cè)的準(zhǔn)確性，對(duì)間隙部位掃描3次。

2.3 行人荷載下人行橋的DQ-PEM法

微分求積-虛擬激勵(lì)法(DQ-PEM)可用于求解人行橋在行人荷載下的非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)問(wèn)題.利用微分求積法將含Dirac函數(shù)的偏微分方程轉(zhuǎn)化為不含Dirac函數(shù)的常微分方程,將Dirac函數(shù)視為非平穩(wěn)函數(shù),再結(jié)合虛擬激勵(lì)法的思想求得其非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng).

橋梁在行人荷載作用下響應(yīng)是非平穩(wěn)的[24-25],下式為橋梁受勻速移動(dòng)荷載作用的振動(dòng)控制方程[26-27]:

δ(x-vt)F(t)

(10)

式中:u(x,t)為橋梁的位移;v為隨機(jī)荷載移動(dòng)速度;δ(x-vt)為Dirac函數(shù).

式(10)右邊的荷載項(xiàng)可視為由Dirac函數(shù)與荷載F(t)組合而成的外激勵(lì)均勻調(diào)制模型:

x(t)=δ(x-vt)F(t)

(11)

假設(shè)荷載F(t)的自譜密度為Sxx(ω),構(gòu)造虛擬的移動(dòng)確定性外部激勵(lì),可寫(xiě)為

(12)

其虛擬響應(yīng)為

(13)

I(ω,t)為給定的確定性激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的響應(yīng),可由DQ-IQ混合法求得.

(14)

為求得人行橋在行人荷載下的非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng),采用DQ-PEM法,具體計(jì)算步驟如下:

1) 輸入人行橋的各結(jié)構(gòu)參數(shù);

2) 使用簡(jiǎn)單譜模型(Sim-SM)建立行人強(qiáng)迫函數(shù)的譜密度;

3) 將頻譜分成N頻點(diǎn),間隔為Δω,離散后每段外荷載頻率ωn=nΔω;

5) 按式(14)求得每個(gè)ωn對(duì)應(yīng)的響應(yīng)的演變功率譜密度Syy(ωn,t);

3 工程算例

使用人行橋模型驗(yàn)證行人橋的譜問(wèn)題,在計(jì)算勻速移動(dòng)荷載作用下半剛性約束單跨梁式結(jié)構(gòu)時(shí)采用圖1所示的簡(jiǎn)單譜模型.人行橋的結(jié)構(gòu)長(zhǎng)L=30 m,線性質(zhì)量為ρA=10×103kg/m,其抗彎剛度EI=7.48×1010N·m2,振型阻尼比為5%,其阻尼系數(shù)為c≈3.00×104N/(m·s).假設(shè)移動(dòng)隨機(jī)荷載類(lèi)型為行人荷載,行人被認(rèn)為以步頻fp=2 Hz勻速通過(guò)橋梁,行人重量取100 kg,Sxx(ω)由式(3)求得.

為驗(yàn)證方法的正確性,與Caprani[8]描述的方法進(jìn)行對(duì)比.圖2為MPIM-PEM方法計(jì)算的25 km/h下的時(shí)變方差值,與圖3中DQ-PEM方法算得的25 km/h下的時(shí)變方差值曲線基本相符,方差峰值均為1.19×10-16.

圖2 速度為25 km/h下人行橋跨中的時(shí)變方差 Fig.2 Time-varying variance in midspan of footbridge at 25 km/h

圖3 不同速度下人行橋跨中的時(shí)變方差Fig.3 Time-varying variance in midspan of footbridge at different velocities

3.1 速度對(duì)隨機(jī)振動(dòng)的影響

圖4所示為不同速度下簡(jiǎn)支梁式結(jié)構(gòu)跨中的位移演變功率譜.為方便對(duì)比數(shù)值結(jié)果,采用荷載瞬時(shí)位置(x=v·t)表示x軸坐標(biāo).由圖4可知,有兩個(gè)峰值分別出現(xiàn)在4～6 Hz以及10 Hz附近,響應(yīng)的第二個(gè)峰值出現(xiàn)在頻率較高的位置,且峰值數(shù)值較第一個(gè)峰值大,對(duì)梁的振動(dòng)起主要作用.通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)的自振分析得簡(jiǎn)支人行橋的一階自振頻率為4.7 Hz,響應(yīng)演變功率譜峰值出現(xiàn)在自振頻率附近,與荷載移動(dòng)速度無(wú)關(guān).當(dāng)荷載移動(dòng)速度為25 km/h時(shí),第一個(gè)峰值在4.7 Hz左右為0.44×10-18,第二個(gè)峰值在10 Hz左右為1.995×10-18.荷載移動(dòng)速度為50 km/h時(shí),第一個(gè)峰值在5 Hz左右為0.4×10-18,第二個(gè)峰值在10 Hz左右為2.051×10-18.荷載移動(dòng)速度為100 km/h時(shí),第一個(gè)峰值在5.2 Hz為0.8×10-18,第二個(gè)峰值在10.5 Hz為2.296×10-18.荷載移動(dòng)速度為100、50、25 km/h對(duì)應(yīng)的跨中位移響應(yīng)時(shí)變方差最大值分別為1.23×10-16、1.2×10-16和1.19×10-16,其中25 km/h以及50 km/h對(duì)應(yīng)的位移時(shí)變方差最大值為100km/h的0.97倍和0.98倍.由圖4可知,梁式結(jié)構(gòu)跨中處的時(shí)變方差最大值隨著荷載速度的增大而增大,最大值出現(xiàn)時(shí)間隨著荷載速度的增大而后移.

圖4 不同速度下人行橋跨中位移響應(yīng)演變功率譜Fig.4 Evolution power spectrum of displacement response in span of footbridge at different velocities

3.2 約束條件對(duì)隨機(jī)振動(dòng)的影響

圖5為在簡(jiǎn)支、η為1、5、10及固支約束條件下,其跨中在荷載以25km/h速度下的位移響應(yīng)時(shí)變方差圖,其峰值分別為0.13×10-15、0.19×10-15、0.93×10-15、2.38×10-15、8.1×10-15,在簡(jiǎn)支、η為1、5、10約束下的位移響應(yīng)時(shí)變方差分為固支的0.016、0.023、0.115、0.294倍.

圖5 不同約束條件下人行橋跨中的時(shí)變方差Fig.5 Time-varying variance in midspan of footbridge with different boundarie

圖6為梁式結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)支、η=5及固支約束下,其跨中在荷載以25 km/h速度作用下的位移響應(yīng)演變功率譜.通過(guò)對(duì)結(jié)構(gòu)的自振分析得梁式結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)支、固支及η=5時(shí)一階自振頻率分別為4.773、10.820、7.346 Hz.從圖5可知,梁式結(jié)構(gòu)跨中的位移響應(yīng)演變功率譜峰值均出現(xiàn)在其自振頻率附近,簡(jiǎn)支約束條件下有兩個(gè)峰值,第一個(gè)峰值出現(xiàn)在5 Hz為0.6×10-18,第二個(gè)峰值在9.6 Hz為1.64×10-18;η=5時(shí)也有兩個(gè)峰值,第一個(gè)峰值在7.3 Hz為3.04×10-18,第二個(gè)峰值在11 Hz為2.24×10-18;而固支約束條件下只有一個(gè)峰值在10.5 Hz為6.19×10-16.

圖6 不同約束下人行橋跨中的位移響應(yīng)演變功率譜

4 結(jié)論

1) 計(jì)算結(jié)果驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性和有效性,可以運(yùn)用該方法求得在行人荷載激勵(lì)下半剛性人行橋的非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng).

2) 行人荷載激勵(lì)下半剛性人行橋的跨中位移響應(yīng)演變功率譜有多個(gè)峰值,峰值出現(xiàn)在自振頻率附近,與荷載移動(dòng)速度無(wú)關(guān).

3) 算例結(jié)果表明當(dāng)移動(dòng)荷載為行人荷載時(shí),響應(yīng)演變功率譜的峰值出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)自振頻率附近,梁式結(jié)構(gòu)自振頻率越大,其響應(yīng)的演變功率譜和時(shí)變方差的峰值越大,可通過(guò)調(diào)整半剛性系數(shù),控制半剛性人行橋的響應(yīng).