機動目標(biāo)跟蹤的交互多模型泊松多伯努利混合濾波

陳壯壯, 宋驪平

(西安電子科技大學(xué)電子工程學(xué)院, 陜西 西安 710071)

0 引 言

目標(biāo)跟蹤技術(shù)一直是科學(xué)研究的熱點之一,傳統(tǒng)的多目標(biāo)跟蹤是一種典型的信息融合技術(shù)[1]。其通過對雷達、聲納等傳感器獲取的當(dāng)前目標(biāo)帶噪聲測量進行處理,進而估計目標(biāo)的位置、速度、數(shù)量等相關(guān)狀態(tài)信息,并進行下一時刻目標(biāo)狀態(tài)的預(yù)測[2-3]。這些跟蹤技術(shù)建立在數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)之上,通過目標(biāo)和量測之間的關(guān)聯(lián)來實現(xiàn)目標(biāo)的狀態(tài)估計,例如多假設(shè)跟蹤(multi-hypothesis tracking, MHT)算法[4],全局最近鄰(global nearest neighbor, GNN)算法[5]和聯(lián)合概率數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)(joint probabilistic data association, JPDA)算法[6]等。

在20世紀90年代,Mahler將統(tǒng)計學(xué)中的數(shù)學(xué)概念引入到目標(biāo)跟蹤技術(shù)中,提出了隨機有限集統(tǒng)計學(xué)理論(finite set statistics, FISST)[7-8],給多目標(biāo)跟蹤技術(shù)帶來了更廣闊的思路。隨后一系列基于隨機有限集(random finite set, RFS)的濾波算法被相繼提出,例如基于一階統(tǒng)計矩近似的概率假設(shè)密度[9](probability hypothesis density, PHD)、勢PHD[10](cardinalized PHD, CPHD)和多目標(biāo)多伯努利[11](multi-target multi-Bernoulli, MeMBer)等濾波算法。文獻[12-13]提出了兩種較為成熟的符合共軛先驗分布的濾波算法,廣義標(biāo)簽多伯努利(generalized labeled multi-Bernoulli, GLMB)濾波和泊松多伯努利混合(Poisson multi-Bernoulli mixture, PMBM)濾波。其中,與GLMB算法相比,PMBM算法具有更高的計算效率和跟蹤精度[14-15]。該算法將多目標(biāo)的概率密度分為泊松與多伯努利混合兩個部分,泊松部分表示所有未被檢測到的目標(biāo),多伯努利混合部分則用來處理所有的目標(biāo)狀態(tài)與量測之間的數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)假設(shè)。該濾波器與其他基于隨機集的濾波器相比,顯示出了十分優(yōu)越的性能[16]。

上述濾波器通常將目標(biāo)狀態(tài)建模為單一的基本運動模型。然而,隨著跟蹤環(huán)境的日益復(fù)雜,真實場景中目標(biāo)通常會經(jīng)歷多種運動狀態(tài),稱為目標(biāo)機動[17]。單一運動模型已不足以描述其運動狀態(tài)。近年來,對機動目標(biāo)跟蹤算法的研究得到了許多學(xué)者的關(guān)注。文獻[18]采用最佳高斯擬合的方式,使得交互多模型(interacting multiple model, IMM)方法成功應(yīng)用在高斯混合實現(xiàn)的PHD濾波器中。文獻[19]對多模型PHD和CPHD進行改進,有效應(yīng)對了其存在的粒子退化現(xiàn)象。文獻[20-21]將跳變卡爾科夫系統(tǒng)應(yīng)用于標(biāo)簽隨機集,提出了適用于機動目標(biāo)跟蹤的標(biāo)簽多伯努利(Labeled multi-Bernoulli, LMB)和GLMB算法。文獻[22]在δ-GLMB算法中應(yīng)用IMM算法,完成了對機動目標(biāo)的航跡跟蹤。文獻[23]對IMM算法進行改進,提出了時變交互多模型融合目標(biāo)跟蹤方法。

本文考慮到多機動場景的目標(biāo)跟蹤需要,提出了一種IMM-PMBM算法。該算法采用IMM方法完成模型間的信息交互,可以有效完成機動目標(biāo)跟蹤任務(wù)[24]。結(jié)合PMBM濾波器,所提算法具有較高的跟蹤精度和計算效率。由于IMM方法基于卡爾曼濾波,不能直接應(yīng)用于非高斯非線性環(huán)境中[25]。為了擺脫線性高斯假設(shè)的限制,給出了其序貫蒙特卡羅(sequential Monte Carlo, SMC)實現(xiàn),使所提濾波器可以在非線性環(huán)境下工作[26-28]。所提IMM-SMC-PMBM濾波器利用粒子逼近目標(biāo)狀態(tài)的模型條件概率,在模型交互過程中進行重采樣,以減少粒子合并和相互作用的影響。對比實驗表明,所提算法可以有效完成多機動目標(biāo)跟蹤并具有較高的跟蹤精度。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 RFS多目標(biāo)跟蹤

基于RFS的多目標(biāo)跟蹤中,通常使用兩個獨立的RFS來建模目標(biāo)的狀態(tài)和量測。假設(shè)k時刻存在Nk個目標(biāo)和Mk個量測,則當(dāng)前時刻的多目標(biāo)狀態(tài)RFS和量測RFS可分別用如下的Xk和Zk表示:

Xk={xk,1,xk,2,…,xk,Nk}∈F(X)

(1)

Zk={zk,1,zk,2,…,zk,Mk}∈F(Z)

(2)

式中:X和Z表示多目標(biāo)的狀態(tài)空間和量測空間;F(X)和F(Z)分別表示為對應(yīng)的有限子集。

每一時刻的多目標(biāo)狀態(tài)集可用兩個獨立的部分構(gòu)成,分別是存活目標(biāo)狀態(tài)集和新生目標(biāo)狀態(tài)集。k-1時刻的每個目標(biāo)狀態(tài)xk-1∈Xk-1可能以概率ps(xk-1)存活并且轉(zhuǎn)移為下一時刻的新狀態(tài)xk,也可能以概率1-ps(xk-1)消失。存活目標(biāo)的RFS可表示為Sk|k-1(xk-1),新生目標(biāo)RFS表示為Γk。則k時刻的多目標(biāo)狀態(tài)RFS表示為

(3)

類似的,k時刻獲得的量測集可被分為兩個部分,一部分是目標(biāo)量測,另一部分則來自于雜波或虛警。對k時刻給定的多目標(biāo)狀態(tài)集Xk,每個目標(biāo)可能以pd(xk)的檢測概率被檢測,或者以1-pd(xk)的概率漏檢。將此時的目標(biāo)量測集表示為伯努利RFSDk(x),則此時的量測RFSZk表示為

(4)

式中:Kk表示雜波或虛警RFS。

將上述運動模型和量測模型代入標(biāo)準(zhǔn)貝葉斯濾波方程,當(dāng)給定k-1時刻的后驗密度πk-1(Xk-1|Z1:k-1),則其預(yù)測和更新公式可表示為

πk|k-1(Xk|Z1:k-1)=

(5)

(6)

1.2 IMM算法

IMM算法的示意圖如圖1所示。

圖1 IMM算法示意圖Fig.1 Diagram of IMM algorithm

多機動目標(biāo)跟蹤場景下,不同時刻的運動狀態(tài)可能由多個運動模型描述。濾波結(jié)果必須綜合考慮不同模型的狀態(tài)輸出[29]。而IMM算法是解決這類問題的有效方法。IMM算法采用多個不同的模型對目標(biāo)狀態(tài)進行建模,在進行狀態(tài)估計時每個模型都可能是當(dāng)前時刻的最優(yōu)模型。

IMM算法采用循環(huán)濾波方法,每個濾波器通過對多個模型進行信息交互從而獲得新的狀態(tài)估計和不同模型的模型概率。新的模型概率通過前一時刻的模型概率、模型似然和模型轉(zhuǎn)移概率計算[30]。

1.3 PMBM濾波器

(7)

式中:fp(Xp)和fmbm(Xmbm)分別表示泊松部分和多伯努利混合部分的概率密度。

(8)

(9)

式中:v(·)是泊松強度;j是全局假設(shè)的索引;n表示所有潛在檢測目標(biāo)的數(shù)目;fj,i(X)表示全局假設(shè)j下對應(yīng)潛在檢測目標(biāo)的伯努利密度;ωj,i是其對應(yīng)的權(quán)重。fj,i(X)計算如下:

(10)

式中:rj,i和pj,i表示單個伯努利分量的存在概率和概率密度。

1.3.1 預(yù)測

PMBM濾波器的預(yù)測過程可以分為對泊松部分和對多伯努利混合的預(yù)測,其中對泊松部分的預(yù)測結(jié)果如下:

(11)

式中:λk(·)是新生目標(biāo)的泊松強度;ps(·)表示存活概率;fk|k-1(x|·)是狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù);vk-1(·)表示k-1時刻泊松后驗強度。

(12)

(13)

(14)

1.3.2 更新

k時刻PMBM濾波器的更新后驗密度可以表示為

(15)

為了公式的簡潔,式(15)省略了時間索引,式(15)中L(Zp|Xp)和g(Zi|Xi)表示泊松部分和伯努利部分的似然函數(shù)。式(15)可以簡寫為

(16)

2 IMM-PMBM

文獻[25]中提出的PMBM濾波器采用高斯混合實現(xiàn),本文給出其SMC實現(xiàn),使其可以應(yīng)用于非線性場景中。引入IMM算法后目標(biāo)的增廣狀態(tài)可表示如下:

(17)

其中,粒子狀態(tài)通過

(18)

g(z|x)=N(z;hk(xτ),Rk)

(19)

式中:hk(·)表示量測函數(shù);Rk表示量測噪聲協(xié)方差。

下面結(jié)合IMM算法,給出所提濾波器的算法流程。所提算法與單模型PMBM濾波器的主要區(qū)別在于更新后的模型信息交互步驟,其他預(yù)測更新過程與單模型PMBM濾波器類似。

2.1 初始化

2.2 預(yù) 測

k-1時刻得到泊松強度表示為

(20)

(21)

(22)

對于存活目標(biāo)RFS,有:

(23)

(24)

預(yù)測多伯努利混合部分的計算如下:

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

2.3 更 新

所提IMM-SMC-PMBM濾波器的更新步分為3個部分,分別是對未檢測到的目標(biāo)、首次檢測到的目標(biāo)以及存活目標(biāo)的更新。

2.3.1 更新泊松部分

假設(shè)預(yù)測得到的泊松強度為

(30)

則更新后的泊松部分計算如下:

(31)

(32)

2.3.2 更新首次檢測目標(biāo)

對于量測z,建立新的假設(shè),其參數(shù)計算如下:

(33)

(34)

(35)

(36)

2.3.3 更新存活目標(biāo)

對于每個預(yù)測存活目標(biāo),首先為其建立漏檢假設(shè):

(37)

(38)

(39)

(40)

每個存活目標(biāo)會與當(dāng)前時刻的每個量測進行匹配從而形成新的假設(shè),對于量測z,生成的假設(shè)計算如下:

(41)

(42)

(43)

(44)

另外,需要從所有全局假設(shè)中選取合適數(shù)量的假設(shè)來降低計算量,使用Murty算法可以很好地完成這一要求,具體的實現(xiàn)參見文獻[13]。

2.4 修 剪

隨著時間的推移,泊松分量中的粒子數(shù)和多伯努利混合中的分量數(shù)將大大增加,濾波效率將持續(xù)下降。因此,有必要對泊松分量和多伯努利混合分量進行修剪。首先,設(shè)置兩個閾值,分別對應(yīng)泊松分量和伯努利分量。將泊松分量中的權(quán)值低于閾值的粒子和多伯努利混合項中權(quán)值低于閾值的分量剪去。

2.5 狀態(tài)估計

遍歷全局假設(shè)并選取權(quán)值最大的假設(shè),記為

(45)

然后,遍歷其中所有的伯努利項并選取存在概率大于給定門限的部分,計算其加權(quán)和作為最終估計結(jié)果。

2.6 交互過程

所提濾波器中的多模型交互過程和標(biāo)準(zhǔn)IMM濾波器類似。對每個模型的輸出進行加權(quán)和融合,以提高精度,使結(jié)果更符合真實場景。交互過程的具體推導(dǎo)如下。

k-1時刻的后驗密度用粒子可表示為

fk-1(xk-1,τk-1|Z1:k-1)=

(46)

根據(jù)最優(yōu)貝葉斯估計[31],模型τk的概率密度函數(shù)表示為

(47)

通過全概率公式可以得到:

(48)

對式(48)兩邊同除以pk(τk|Zk)可得到:

pk(x|τk,Zk)=

(49)

(50)

將式(50)代入式(47)和式(49),可以得到如下結(jié)果:

pk(τk|Zk)=

(51)

(52)

由于τk-1∈A,因此式(46)可以改寫為如下形式:

fk-1(xk-1,τk-1|Z1:k-1)=

(53)

對式(53)進行歸一化:

(54)

(55)

類似的,可以通過后驗密度獲得模型概率密度。則得到如下方程:

(56)

(57)

那么,目標(biāo)的模型條件后驗密度可以計算如下:

fk(xk|τk,Z1:k)=

(58)

則由式(58)可以知道,在不同模型下,可以通過粒子近似后驗概率密度來實現(xiàn)輸入的相互作用和融合。由于粒子濾波會導(dǎo)致粒子合并,降低粒子多樣性,所以重采樣步驟不是在更新之后,而是設(shè)置在式(58)的相互作用之后進行。

(59)

則重采樣后最終的目標(biāo)后驗密度為

(60)

由于新生目標(biāo)不需要模型轉(zhuǎn)換過程,輸入交互作用和重采樣只需對存活目標(biāo)進行。在每個時間步進行重采樣,使每次預(yù)測前的粒子數(shù)量保持固定。

3 仿真實驗與結(jié)果分析

為了驗證本文所提IMM-SMC-PMBM算法在機動和非線性場景下跟蹤的有效性,本節(jié)設(shè)置了非線性環(huán)境下與IMM-SMC-PHD濾波器的對比實驗,采用勢估計和廣義最優(yōu)子模式分配(generalised optimal sub-pattem assignment, GOSPA)[32]作為性能評價指標(biāo)。

xk=Fxk-1+wk

(61)

(62)

式中:F表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣;vk表示量測噪聲,其協(xié)方差為Rk=diag([0.25π/1 801])。本場景下目標(biāo)機動模型包含了1個勻速直線(constant velocity, CV)模型和2個轉(zhuǎn)彎(constant turn, CT)運動模型,分別為

式中:T=1 s表示采樣間隔;ω=9°/s表示目標(biāo)每秒順時針旋轉(zhuǎn)9°。F3和F2有著相同的形式,但取ω=-9°/s表示目標(biāo)逆時針旋轉(zhuǎn)。wk表示過程噪聲,符合零均值高斯分布,其協(xié)方差為

圖2 真實運動軌跡Fig.2 True motion trajectory

目標(biāo)的真實運動狀態(tài)如表1所示,目標(biāo)的真實運動軌跡如圖2所示,其x和y方向上的真實軌跡和量測如圖3所示。圖3中,藍色星號表示量測,紅色線條表示真實運動軌跡。

表1 目標(biāo)真實運動狀態(tài)Table 1 Targets real motion state

圖3 x和y方向上真實軌跡和量測Fig.3 True trajectories and measurements in x and y directions

模型間的概率轉(zhuǎn)移矩陣設(shè)置為

3個模型的初始概率設(shè)置為1/3。

所提IMM-SMC-PMBM濾波器單次蒙特卡羅下的跟蹤結(jié)果如圖4所示。圖4中,藍色星號表示雜波,用不同顏色表示出跟蹤的航跡。實驗在100次蒙特卡羅實驗的情況下比較了所提濾波器和IMM-SMC-PHD濾波器的跟蹤性能。同時,為了說明所提濾波器在機動場景下的跟蹤可靠性,給出了不使用IMM方法的PMBM濾波器的跟蹤結(jié)果。上述跟蹤的勢估計結(jié)果如圖5所示。由于PMBM濾波器綜合考慮了所有數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián),對泊松分量和MBM分量分別處理,對概率密度函數(shù)的參數(shù)進行傳播,而PHD濾波器只傳播多目標(biāo)概率密度的一階矩。因此,PMBM濾波器比PHD濾波器具有更好的跟蹤性能。從圖5可以看出,單一模型的PMBM濾波器難以跟蹤機動目標(biāo)。與單模型PMBM濾波器相比,所提出的IMM-SMC-PMBM濾波器具有更好的跟蹤性能。

圖4 跟蹤結(jié)果Fig.4 Tracking results

圖5 勢估計Fig.5 Cardinality estimates

檢測概率為pd=0.98時的GOSPA誤差及其分解誤差如圖6所示,包括位置誤差(location error, LE),漏檢誤差(miss target error, MTE)和誤檢誤差(false target eror, FTE)。仿真結(jié)果表明,IMM-SMC-PMBM濾波器對比IMM-SMC-PHD濾波器具有更優(yōu)異的跟蹤性能,特別是在GOSPA誤差和誤檢誤差方面。注意到,FTE在時間步36和46處變大,這是由于PMBM濾波器采用了多假設(shè)的思想來跟蹤,當(dāng)目標(biāo)消失時,包含單一目標(biāo)假設(shè)的權(quán)值不會立即改變,存在延遲的情況。對比實驗也顯示了所提算法比單模型PMBM濾波器有更好的跟蹤性能。本文還進一步研究了所提濾波器在較低檢測概率情形下的穩(wěn)定性,實驗結(jié)果如表2所示。結(jié)果表明,所提濾波器表現(xiàn)良好并且在低檢測概率時具有更好的魯棒性。而IMM-SMC-PHD濾波器在低檢測概率情況下誤差較大,有可能無法有效完成跟蹤任務(wù)。

圖6 pd=0.98時誤差比較Fig.6 Comparisons of errors under pd=0.98

表2 不同檢測概率下的平均誤差Table 2 Average errors under different detection probabilities

圖7給出了所提濾波器在濾波過程中的模型概率演化過程。注意到,模型信息交互對泊松和多伯努利混合部分都進行,但是由于泊松部分代表尚未檢測到的目標(biāo)。因此,只通過多伯努利混合部分計算模型概率。模型概率通過計算帶有最高權(quán)重的假設(shè)獲得。結(jié)果表明在跟蹤過程中,IMM方法的模型概率變化符合表1所展示的真實場景,使得IMM方法可以動態(tài)的適應(yīng)目標(biāo)運動。因此,所提濾波器在目標(biāo)運動符合多個不同模型時均有較好的表現(xiàn)。

圖7 模型概率演化Fig.7 Model probabilities evolutions

4 結(jié)束語

本文提出了一種IMM-SMC-PMBM濾波算法。考慮到多個模型間的信息交互,在PMBM濾波器中采用IMM算法跟蹤多機動目標(biāo),同時對所提濾波器給出其序貫SMC實現(xiàn),使得算法可以較好地適應(yīng)非線性環(huán)境。仿真實驗結(jié)果表明,所提IMM-SMC-PMBM濾波器相比IMM-SMC-PHD濾波器有更好的跟蹤性能。所提濾波器在GOSPA誤差和勢估計方面表現(xiàn)良好,并且在檢測概率較低的情形下具有更好的濾波穩(wěn)定性。未來的研究將考慮機動目標(biāo)的擴展形狀,實現(xiàn)多機動擴展目標(biāo)跟蹤。