基于新型趨近律的PMSM 模糊滑模控制

齊歌， 黃文豪， 馬丁

（1.鄭州大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院， 河南鄭州 450066；2.河南工業(yè)大學(xué)人工智能與大數(shù)據(jù)學(xué)院， 河南鄭州 450001）

0 前言

永磁同步電機(jī) （Permanent Magnet Synchronous Motor， PMSM） 具有結(jié)構(gòu)簡單、 效率高、 損耗小等特點， 在飛行器電動舵機(jī)、 機(jī)器人和軌道交通等工業(yè)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛［1－3］。 矢量控制方法是永磁同步電動機(jī)中常用的控制方法， 該方法能夠?qū)⒂来磐诫妱訖C(jī)看做直流電機(jī)進(jìn)行控制。 由于大型復(fù)雜系統(tǒng)都伴隨著時變、 非線性和滯后等缺點， 所以傳統(tǒng)的PID 控制已不能滿足工業(yè)生產(chǎn)中復(fù)雜系統(tǒng)的控制要求， 因此， 諸多學(xué)者致力于研究PID 控制的改進(jìn)策略。 目前， 先進(jìn)的控制策略主要有： 自適應(yīng)控制［4］、 滑?？刂疲?］、 模糊控制［6］、 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制［7］等， 其主要思想是通過控制定子繞組電流幅值和轉(zhuǎn)子永磁磁動勢與定子磁動勢之間的角度， 對電壓、 電流進(jìn)行坐標(biāo)變換， 實現(xiàn)磁勢變量之間的解耦， 從而模擬直流電機(jī)［8］。 其中滑模控制具有響應(yīng)快速、 魯棒性好等優(yōu)點， 但由于滑模結(jié)構(gòu)固有的開關(guān)現(xiàn)象、 系統(tǒng)慣性、 切換面的隨機(jī)性、 系統(tǒng)本身的離散性等原因， 使系統(tǒng)產(chǎn)生抖振現(xiàn)象。 抖振會影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性， 找到有效削弱抖振的方法是目前滑?？刂蒲芯康臒狳c。 高為炳、 程勉［9］率先提出趨近律概念， 削弱了滑模運動的抖振， 改善了系統(tǒng)的動態(tài)性能。 近年來， 為了使滑?？刂偏@得更好的控制效果， 眾多學(xué)者結(jié)合趨近律和其他控制算法進(jìn)行了改進(jìn)， 如文獻(xiàn)［10］提出在冪次趨近律的基礎(chǔ)上加入指數(shù)項， 并將系統(tǒng)狀態(tài)變量引入到冪次項指數(shù)中， 使趨近律與系統(tǒng)狀態(tài)關(guān)聯(lián)， 此法解決了冪次趨近律遠(yuǎn)離滑模面時趨進(jìn)速度慢的問題， 但存在參數(shù)較多、 參數(shù)調(diào)節(jié)較為復(fù)雜等問題。 文獻(xiàn)［11］引入系統(tǒng)狀態(tài)變量和滑模函數(shù)冪次項， 以切換函數(shù)的絕對值為界， 使趨近律可以表示為2 種不同形式， 能夠有效地抑制滑模的固有抖振。 文獻(xiàn)［12］提出一種將趨近速度與系統(tǒng)狀態(tài)誤差和滑模切換函數(shù)相關(guān)聯(lián)的新型趨近律， 不僅加快了趨近速度并且有效抑制了傳統(tǒng)滑?？刂频墓逃卸墩?。 文獻(xiàn)［13］通過將RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與滑?？刂朴行ЫY(jié)合， 利用RBF 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)逼近的特點， 能夠有效降低切換增益， 削弱抖振。 文獻(xiàn)［14］結(jié)合反步設(shè)計與滑?？刂?， 并引入自適應(yīng)機(jī)制， 去除了對擾動及系統(tǒng)參數(shù)不確定性上界信息的先驗要求。 文獻(xiàn)［15］采用模糊控制方法， 通過設(shè)計模糊滑模控制器，并采用自適應(yīng)策略估計滑模系統(tǒng)參數(shù)的最優(yōu)值， 有效減小了跟蹤誤差， 但存在模糊規(guī)則較為簡單、 參數(shù)估計不夠精確等問題。

綜上所述， 本文作者提出一種改進(jìn)的指數(shù)趨近律， 借助模糊控制器對所設(shè)計的趨近律參數(shù)進(jìn)行動態(tài)優(yōu)化； 并采用擾動觀測器估計等效擾動， 改善系統(tǒng)的動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能， 設(shè)計出PMSM 滑模轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)模型以驗證方案的可行性與有效性。

1 PMSM 數(shù)學(xué)模型

永磁同步電機(jī)是一個非線性、 高耦合的系統(tǒng)， 電磁關(guān)系十分復(fù)雜， 建立精確的數(shù)學(xué)模型比較困難。 為了簡化分析過程， 在不影響控制性能的前提下忽略一些影響較小的參數(shù)， 假設(shè)： （1） 空間磁場呈正弦分布； （2） 忽略定子鐵芯飽和， 認(rèn)為磁路線性， 電感參數(shù)不變； （3） 不計磁滯和渦流損耗的影響； （4）轉(zhuǎn)子上無阻尼繞組。

通常采用id＝0 的永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)子磁場控制，轉(zhuǎn)矩的大小只與定子電流幅值成正比， 實現(xiàn)了永磁同步電機(jī)的解耦控制。 則永磁同步電機(jī)在d－q 軸下數(shù)學(xué)模型如下：

（1） 定子電壓方程

式中：ud、uq分別為d、 q 軸電壓；id、iq分別為d、 q 軸電流；ωe為轉(zhuǎn)子的電角速度；R為定子電樞繞組電阻。

（2） 定子磁鏈方程

式中：Ld、Lq分別為d、 q 軸的電感， 在表貼式PMSM 中一般認(rèn)為Ld＝Lq；φf為永磁體磁鏈， 為常數(shù)。

（3） 電磁轉(zhuǎn)矩方程

式中：B為黏性摩擦系數(shù)；J為轉(zhuǎn)動慣量；TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

2 新型指數(shù)趨近律的設(shè)計與驗證

2.1 趨近律設(shè)計

引理1［16］： 空間軌跡中的全部運動點最終都能到達(dá)并穩(wěn)定運行于滑模切換面， 是滑模運動的理想運行模式。 在運動點到達(dá)切換函數(shù)s（x）＝0 兩側(cè)時， 滑動模態(tài)的存在必須滿足：

滑?？刂茖嵸|(zhì)上是一種非線性控制。 滑模控制的性能優(yōu)劣取決于切換函數(shù)的選取和滑動模態(tài)趨近律，其中趨近律的選取影響滑?？蛇_(dá)性。 根據(jù)滑模控制理論的基本原理， 在滑動相位中， 系統(tǒng)的狀態(tài)空間變量從任意未知的初始狀態(tài)在有限時間內(nèi)到達(dá)滑動面， 必須滿足滑模式（7） 的可達(dá)性條件。 因此， 可以設(shè)計各種趨近律函數(shù)來保證正常運動階段的質(zhì)量。

較為常用的指數(shù)趨近律為

式中： sign（s）為開關(guān)函數(shù)，s＞0 時值為1，s＝0 時值為0，s＜0 時值為－1；ε為趨近速率；k為趨近系數(shù)。

ε和k的取值大小決定趨近速度， 但是過大的ε和k必定導(dǎo)致系統(tǒng)的抖振程度增加， 所以合理選取這2 個系數(shù)對于系統(tǒng)既有效削弱抖振又加快趨近運動速度尤為重要。

為了減少傳統(tǒng)指數(shù)趨近律帶來的抖振， 加快收斂的速度， 作者提出了一種新的基于模糊控制的趨近律。 基于指數(shù)趨近律引入狀態(tài)變量x， 并結(jié)合冪次趨近律的特點， 設(shè)計一種新型指數(shù)趨近律。

根據(jù)李雅普諾夫函數(shù)的證明可知此系統(tǒng)穩(wěn)定。

2.2 趨近律控制性能分析

在一個典型系統(tǒng)中驗證和分析新趨近律的性能。對于典型的SISO 單輸入單輸出系統(tǒng)有以下公式：

表1 趨近律參數(shù)選取Tab.1 Parameter selection of reaching law

圖1 顯示了新型趨近律在相位軌跡和控制輸入方面與傳統(tǒng)指數(shù)趨近律相比的優(yōu)勢。 仿真結(jié)果表明： 新型趨近律優(yōu)先進(jìn)入滑模面， 可以有效地減弱抖振。

圖1 控制性能分析Fig.1 Control performance analysis： （a） control input；（b） phase trajectory

3 模糊控制器和NSMDO 的設(shè)計

3.1 模糊控制器設(shè)計

由于滑模趨近律中的ε和k決定了滑模控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差和響應(yīng)速度， 合理地選擇ε和k的值， 可以使系統(tǒng)擁有較好的控制性能。 利用模糊控制算法的原理， 設(shè)計一個二維模糊控制器， 以系統(tǒng)變量x和其導(dǎo)數(shù)x·作為模糊控制的2 個輸入變量。 選擇變量x和x·的隸屬函數(shù)類型為高斯函數(shù)， 模糊控制的輸出變量分別為Δε和Δk， 隸屬函數(shù)選擇三角函數(shù)， 論域分別為（－6， 6） 和（0， 30）， 如圖2、 3 所示。 通過經(jīng)驗方法和仿真調(diào)試得到模糊控制規(guī)則。

圖2 輸入變量x 和x·的隸屬函數(shù)Fig.2 Input variables x and x·membership function

圖3 輸出變量Δk 和Δε 的隸屬函數(shù)Fig.3 Output variable Δk and Δε membership function

在圖2、 3 中， NB 代表負(fù)大， NM 代表負(fù)中， NS代表負(fù)小， ZO 代表零， PB 代表正大， PM 代表正中，PS 代表正小。

根據(jù)式（9）， 結(jié)合所設(shè)計的模糊規(guī)則， 模糊滑模 控 制 器 （ New Fuzzy Sliding Mode Controller，NFSMC） 為

滑?？刂频膶崿F(xiàn)過程如圖4 所示。

3.2 NSMDO 設(shè)計

根據(jù)式（16） 和Te＝1.5pλfiq， 在考慮系統(tǒng)建模和負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化引起的擾動時， 新的運動方程為

式中：u為要設(shè)計的控制律； Δa、 Δg、 Δh為電機(jī)的參數(shù)變化；d為參數(shù)與負(fù)載變化引起的匹配擾動。 由于這些擾動總是變化緩慢且有界， 可以認(rèn)為d·＝0。 根據(jù)文獻(xiàn)［17］， 采用飽和函數(shù)代替符號函數(shù)。當(dāng)飽和函數(shù)使系統(tǒng)收斂于邊界層時， 使用連續(xù)函數(shù)代替符號函數(shù)可以有效地削弱抖振， 使系統(tǒng)輸出更平滑。

新型滑模擾動觀測器（New Sliding Mode Disturb?ance Observer， NSMDO） 滿足：

式中：ρ為邊界層厚度；z1、z2分別是ωm、d的觀測值；α1、α2、α3和k是待設(shè)計的參數(shù)， 均為正常數(shù)。 觀測誤差：

式中：e1＝z1－ωm，e2＝z2－d分別為速度和擾動的觀測誤差。

滑動面選取s＝e1， 用李雅普諾夫函數(shù)V＝1/2s2證明該滑模面的穩(wěn)定性。

擾動觀測器的原理框圖如圖5 所示。

圖5 擾動觀測器原理框圖Fig.5 Principle block diagram of disturbance observation period

通過擾動觀測器得到系統(tǒng)擾動d， 并將它前饋到SMC。 結(jié)合公式（16）， 控制器的輸出為

其中：ωm為實際轉(zhuǎn)速；u為控制器輸出iq。 由式（22） 可知， 控制器的輸出與趨近律參數(shù)的選擇、 模糊控制輸出參數(shù)的選擇和系統(tǒng)的擾動有關(guān)。 通過合理設(shè)置參數(shù)可以獲得較好的控制效果。 此外， 在趨近律中加入速度偏差x作為變量， 可以加快趨近速度， 減少抖振。 至此， 永磁同步電機(jī)新型模糊滑模調(diào)速控制器的設(shè)計完成。

4 仿真與討論

通過Simulink 平臺構(gòu)建基于擾動觀測永磁同步電機(jī)新型趨近律模糊滑?？刂频腜MSM 矢量控制仿真模型如圖6 所示， 驗證算法的合理性和有效性， 并與傳統(tǒng)指數(shù)趨近律滑模控制系統(tǒng)進(jìn)行對比。 在仿真實驗中， 永磁同步電動機(jī)的參數(shù)設(shè)置如表2 所示。

圖6 永磁同步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)框圖Fig.6 Block diagram of PMSM speed－regulation system

表2 永磁同步電動機(jī)模型參數(shù)Tab.2 Model parameters of PMSM

對于新型模糊滑?？刂破鳎?應(yīng)從小到大調(diào)整參數(shù)α和β， 直到系統(tǒng)出現(xiàn)明顯抖振， 這是其上限。 此時減小參數(shù)以達(dá)到抑制抖振和兼顧快速性的目的。 新型擾動觀測器的收斂速度由α1和α2決定。 首先選擇較大的值， 然后逐漸減小， 直到?jīng)]有明顯的抖振現(xiàn)象。α3和k決定擾動觀測周期的誤差趨于零。 仿真實驗參數(shù)取值如表3 所示。

表3 仿真實驗參數(shù)Tab.3 Parameters of simulation experiment

4.1 空載實驗

電機(jī)以空載800 r/min 啟動， 0.2 s 加速到1 000 r/min， 仿真時間為0.4 s。 仿真結(jié)果如圖7 所示。 可以看出： 與傳統(tǒng)的指數(shù)趨近律控制器相比， 新型趨近律具有更快的啟動響應(yīng)， 并且在速度突變時無超調(diào)。然而， 新型趨近律在啟動時有很大的超調(diào)， 通過添加模糊控制器， 有效消除了啟動時的抖振和轉(zhuǎn)速突變時的超調(diào)， 可以保證系統(tǒng)快速到達(dá)滑模面。

圖7 空載轉(zhuǎn)速波形對比Fig.7 Speed waveform comparison with no load

4.2 負(fù)載實驗

實驗?zāi)M時間為0.4 s， 在0.2 s 時對系統(tǒng)施加10 N·m 的負(fù)載， 0.3 s 時負(fù)載降至0， 速度響應(yīng)如圖8 所示。 可以看出： 當(dāng)0.2 s 突然增加10 N·m 負(fù)載時， 傳統(tǒng)指數(shù)趨近律控制（SMC） 下的速度波動更明顯， 動態(tài)穩(wěn)定時間更長， 相對而言， 新型趨近律（NSMC） 和加入模糊控制器的新型趨近律在相同條件下轉(zhuǎn)速波動更小， 穩(wěn)定時間更短。 圖9 顯示了將干擾觀測器NSMDO 添加到模糊滑模新型趨近律前后對應(yīng)的速度。 圖10 所示為各趨近律下的轉(zhuǎn)矩響應(yīng)。 可以看出： SMC 的轉(zhuǎn)矩響應(yīng)起動和變轉(zhuǎn)速時超調(diào)大、穩(wěn)態(tài)波動大； NFSMC 的轉(zhuǎn)矩響應(yīng)消除了起動超調(diào)，但穩(wěn)態(tài)波動依然很大且轉(zhuǎn)速變化時響應(yīng)時間慢； NF?SMC－NSMDO 的轉(zhuǎn)矩響應(yīng)消除了起動和變轉(zhuǎn)速的超調(diào)， 提高了響應(yīng)速度。

圖8 負(fù)載轉(zhuǎn)速波形對比Fig.8 Load speed waveform comparison

圖9 NSMDO 速度觀測器Fig.9 NSMDO speed observer

圖10 轉(zhuǎn)矩響應(yīng)Fig.10 Torque response： （a） SMC； （b） NFSMC；（c） NFSMC－NSMDO

5 結(jié)論

文中提出了一種永磁同步電機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)動態(tài)性能優(yōu)化的模糊滑模新型趨近律。 通過MATLAB/Simulink 建立仿真模型， 證明所提出的結(jié)合模糊控制的新型滑模趨近律在各方面都優(yōu)于傳統(tǒng)的指數(shù)趨近律。 為了減小干擾對控制效果的影響， 提出了一種新型滑模擾動觀測器（NSMDO） 來觀察控制系統(tǒng)的干擾并對其進(jìn)行補償。 仿真結(jié)果驗證了該方法的可行性。 結(jié)果表明： 所設(shè)計的方法能夠獲得滿意的性能，具有一定的優(yōu)勢和實際應(yīng)用價值。