帶參數(shù)集值向量優(yōu)化問題ε-強(qiáng)有效點(diǎn)集的連通性

徐夢豪,章 勤 ,朱 彬

(1.贛東學(xué)院基礎(chǔ)部,344000,江西,撫州;2.撫州市第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校數(shù)學(xué)組,344000,江西,撫州)

0 引言

近幾年,強(qiáng)有效點(diǎn)集一直被眾多學(xué)者研究,Cheng[1]1999年通過局部凸空間引入了強(qiáng)效率,并證明了強(qiáng)有效點(diǎn)的存在性,以及強(qiáng)有效點(diǎn)的稠密性。同年武育楠等[2]在錐類凸集值映射下提出強(qiáng)有效性,并在這個(gè)條件下通過系統(tǒng)地研究從而得到了強(qiáng)有效點(diǎn)集的另一種也就是連通性的結(jié)果。幾年后,趙春英等[3]利用基泛函得到了ε-強(qiáng)有效點(diǎn)集以及ε-嚴(yán)有效點(diǎn)集的標(biāo)量化定理。2010年王其林[4]對標(biāo)量化定理的研究得到完善,得到了在近似錐次凸集值映射下向量優(yōu)化問題ε-強(qiáng)有效點(diǎn)的標(biāo)量化定理。2012年陳劍塵等[5]在弧連通集值映射下,證明了集值映射在約束條件下依然是弧連通的,并研究了含約束條件Henig有效解集的連通性。2015年余麗[6]不僅提出了ε-強(qiáng)有效次微分的存在性,還在此基礎(chǔ)上研究了它的穩(wěn)定性,并建立了最優(yōu)性條件。

目前,關(guān)于強(qiáng)有效解的連通性大部分是在帶約束或無約束映射下研究的,在參數(shù)擾動(dòng)下的ε-強(qiáng)有效點(diǎn)集的連通性目前還未發(fā)現(xiàn)有學(xué)者研究。ε-強(qiáng)有效點(diǎn)集的連通性已經(jīng)在文獻(xiàn)[3]中給出了證明,因此,本文在這些研究基礎(chǔ)上進(jìn)行了一些改進(jìn)以及推廣。在目標(biāo)集值映射為弧連通的,且可行域?yàn)榛∵B通緊的情況下,證明了在參數(shù)擾動(dòng)下的ε-強(qiáng)有效點(diǎn)集的連通性。

1 基本知識

在本文后續(xù)的研究中,X,Y,Z均為局部凸的Hausdorff拓?fù)渚€性空間。Y*為Y的拓?fù)鋵ε伎臻g,N(0)為Y的零點(diǎn)鄰域基。C?Y為具有非空內(nèi)部的點(diǎn)閉凸錐,定義C的正對偶錐C*:={φ∈Y*:φ(y)≥0,?y∈C},擬內(nèi)部C#:={φ∈Y*:φ(y)>0,?y∈C{0}}。D?Y為非空子集,cl(D)、int(D)、cone(D)分別為D的閉包、內(nèi)部、生成錐,并定義生成錐cone(D):={λθ:λ≥0,θ∈D}。

錐C的凸子集B稱為C的基,若滿足2個(gè)條件:

1)0≠cl(B);

2)C=cone(B)={σb:σ≥0,b∈B}。

設(shè)B是C的一個(gè)基,定義基泛函Bst={φ∈Y*:?α>0,?b∈B,φ(b)≥α}。

引理1[1]:若B是C的基,則Bst有以下幾種性質(zhì):

1)?≠Bst?C#?C*;

2)Bst+C*=Bst;

3)設(shè)φ∈Y*,則φ∈Bst時(shí),對于?u∈U,?b∈B,φ(u-b)≤0想要成立只能是U為Y的零點(diǎn)凸鄰域;當(dāng)U為零點(diǎn)的平衡凸鄰域時(shí),φ(u+b)≥0成立;

4)若B是C的有界基,φ∈Bst,則對于?φ∈Y*,存在自然數(shù)n,使得φ-φ/n∈C*;

5)int(C*)?Bst,若B有界,則Bst=int(C*)。

定義1[7]:若?x1,x2∈A,存在連續(xù)映射ηx1,x2:[0,1]→A,使得ηx1,x2(0)=x1,ηx1,x2(1)=x2,則集合A?X被稱為弧連通的。

定義2[8]: 設(shè)A?X是非空的弧連通集,若對于?x1,x2∈A,t∈[0,1],有(1-t)F(x1)+tF(x2)?F(ηx1,x2(t))+C,則稱集值映射F:A→2Y為C-弧連通的。

若對于?x1,x2∈A,t∈[0,1],有(1-t)F(x1)+tF(x2)?F(ηx1,x2(t))-C,則稱集值映射F:A→2Y為(-C)-弧連通的。

引理2[9]:設(shè)X1,X2…Xn均為弧連通空間,則積空間X1×X2×…×Xn也是弧連通空間。

定義3[10]:假設(shè)X,Y為拓?fù)淇臻g,稱集值映射F:X→2Y在x0→X處為上半連續(xù)的,若對于F(x0)的任意鄰域V?Y,存在對應(yīng)點(diǎn)x0的鄰域U,使得F(x)?V,?x∈U,若F對于?x∈X都上半連續(xù),則稱F在X上上半連續(xù)。

引理3[10]:很顯然,如果F和G都是連續(xù)的,那么G·F也為連續(xù)的。

引理4[11]:如果H(U)滿足以下幾個(gè)條件:

1)U?X為非空的連通集;

2)對于?u∈U,連通集H(u)非空;

3)集值映射H:U→2Y在U上是上半連續(xù)的。

則H(U)是連通集。

引理5[12]:令X,Y是Hausdorff拓?fù)淇臻g,當(dāng)X是緊的,集值映射F:X→2Y上半連續(xù),且對于任意的x∈X,F(x)為緊的,則F(X)是緊的。

引理6[9]:設(shè)X是局部凸空間,則A?X有界的充分必要條件是A?XW有界,其中XW為X上弱拓?fù)湎鄳?yīng)的局部凸空間。

2 帶參數(shù)的ε-強(qiáng)有效點(diǎn)集的連通性

設(shè)E?X,Λ?Z分別為非空子集,集值映射H:Λ→2E,含有參數(shù)λ∈Λ的集值映射F:E×Λ→2Y,且對于?x∈E,?λ∈Λ,F(x,λ)≠?,H(λ)≠?。

考慮以下帶參數(shù)的集值向量優(yōu)化問題(PVP):

令F(H(λ),λ)=∪x∈H(λ)F(x,λ),且無特別說明,?λ∈Λ,F(x,λ)均定義在H(λ)上。

定義4[3]:設(shè)ε∈C,B是C中的有界基,如果滿足?φ∈Y*,?U,V∈N(0),使得實(shí)數(shù)集合

φ(cl(cone(D+ε-y))∩(U-cone(V+B)))

是有界的,則稱y∈D為D的關(guān)于錐C的ε-強(qiáng)有效點(diǎn),記為y∈ε-GE(D,C)。

定義5:設(shè)x0∈H(λ),C?Y且為具有有界基B的點(diǎn)閉凸錐,N(0)為Y中的零點(diǎn)鄰域基,y0∈F(x0,λ),若?U,V∈N(0),使得

φ(cl(cone(F(H(λ),λ)+ε-y0))∩(U-cone(V+B)))

有界,則稱x0∈H(λ)為(PVP)中的含參ε-強(qiáng)有效解,y0∈F(x0,λ)為(PVP)中的含參ε-強(qiáng)有效點(diǎn),并用ε-GE(F(H(λ),λ),C)表示(PVP)中的全體含參ε-強(qiáng)有效點(diǎn)。

定義6[4]:設(shè)φ∈Y*{0},x0∈D,ε∈C,(x0,y0)稱為(VP)的近似最優(yōu)元,如果存在y0∈F(x0),使得φ(y0)≤φ(y)+φ(ε),?y∈F(D)。

引理7[13]:當(dāng)集值映射F:A→2Y是C-弧連通的,則F(A)+C為凸集。

引理8[3]:設(shè)C是弱拓?fù)鋂上的正規(guī)錐,D是空間Y中的凸集,那么y0∈ε-GE(D,C)當(dāng)且僅當(dāng)對于任意的φ∈Y*,?φ∈C*,使得φ∈φ+Bst,φ(y0)=min{φ(y)+φ(ε):y∈D}。

注1文[14]中有指出C具有有界基是C為正規(guī)錐的一個(gè)充分條件,故當(dāng)C具有有界基時(shí),C必為正規(guī)錐。

定義7[3]:對于固定的φ∈Y*,集合D的ε-極小點(diǎn)集定義為

ε-S(D,φ)={y*∈D:φ(y*)}=min{φ(y)+φ(ε):y∈D}.

引理9[3]:設(shè)B是C的有界基,則對于任意的c∈C,φ∈Bst有φ(c)≥0。

引理10[3]:D?Y,φ∈Bst,若C是Y中的點(diǎn)閉凸錐,則ε-S(D,φ)?ε-S(D+C,φ),當(dāng)y∈ε-S(D+C,φ)且y∈D時(shí)有y∈ε-S(D,φ).若D為Y中的凸集,則對于?φ∈Bst,ε-S(D,φ)為凸集。

引理11[3]:設(shè)Bst是C的有界基,D是Y中的凸集,則y0∈ε-GE(D,C)當(dāng)且僅當(dāng)存在φ∈Bst使得y0∈ε-S(D,φ),即ε-GE(D,C)=∪φ∈Bstε-S(D,φ)。

命題1:設(shè)B為C中的有界基,D為凸集且弱緊,則ε-GE(D,C)≠?。

證明：要證明ε-GE(D,C)≠?,只需證明存在x0∈ε-GE(D,C)即可。由于B為C中的有界基,根據(jù)注1可得C為正規(guī)錐,因此,由引理8,?φ∈Y*,會(huì)存在φ∈C*,使得φ∈φ+Bst,φ(y0)=min{φ(y)+φ(ε):y∈D}。

假設(shè)?φ∈Bst,因D為弱緊集,故?x0∈D使得φ(x0)=min{φ(x)+φ(ε):x∈D},根據(jù)引理1中4),?φ∈Y*,存在一個(gè)自然數(shù)n,使得nφ-φ∈C*,又由于φ∈Bst,故nφ-φ+φ∈C*+Bst=Bst,即(n+1)φ∈φ+Bst,由此可知x0∈ε-GE(D,C)。

命題2:設(shè)X,Y,Z是局部凸Hausdoff拓?fù)渚€性空間,C為Y中的閉凸點(diǎn)錐且具有有界基B,E?X,Λ?Z均為非空的弧連通集。同時(shí)E為緊子集。F:E×Λ→2Y是C-弧連通的且上半連續(xù)的集值映射(Y上的拓?fù)錇槿跬負(fù)洇?Y*,Y)),F在E×Λ上取弱緊值,H:Λ→2E是集值映射,且?λ∈Λ,H(λ)是非空的弧連通緊子集。則?λ∈Λ,ε∈C,ε-GE(F(H(λ),λ),C)是非空的連通集。

證明：證明分為2部分,第1部分證明ε-GE(F(H(λ),λ),C)非空。

因?yàn)榧涤成銯:E×Λ→2Y為上半連續(xù)的,故F:H(λ)×{λ}也是上半連續(xù)的。又因?yàn)镕在E×Λ上取弱緊值,故F在H(λ)×{λ}上也取弱緊值,根據(jù)引理5可知F(H(λ),λ)為弱緊集,即F(H(λ),λ)是空間(Y,σ(Y*,Y))上的緊集。而F(H(λ),λ)是C-凸集,因此F(H(λ),λ)是凸的弱緊集,且C具有有界基B,由命題1可知ε-GE(F(H(λ),λ),C)≠?,?λ∈Λ。

第2部分證明ε-GE(F(H(λ),λ),C)的連通性,為方便證明,根據(jù)引理11轉(zhuǎn)為證明∪φ∈Bstε-S(F(H(λ),λ),φ)的連通性,再根據(jù)引理4進(jìn)行證明,因此需先證明ε-GE(F(H(λ),λ),C)=∪φ∈Bstε-S(F(H(λ),λ),φ)。

由于E,Λ均為弧連通集,根據(jù)引理2可知E×Λ為弧連通集,同理H(λ)×{λ}也為弧連通集。又因?yàn)榧涤成銯在E×Λ上為C-弧連通集,故F在H(λ)×{λ}也為C-弧連通集,由引理7可知F(H(λ),λ)+C為凸集。已證得ε-GE(F(H(λ),λ),C)≠?,因此?φ∈Bst,使得ε-S(F(H(λ),λ),φ)≠?,根據(jù)引理11可知ε-GE(F(H(λ),λ),C)=∪φ∈Bstε-S(F(H(λ),λ),φ)。

接下來證明∪φ∈Bstε-S(F(H(λ),λ),φ)的連通性。定義集值映射l:Bst→2F(H(λ),λ),l(φ)=ε-S(F(H(λ),λ),φ),則

l(φ)={y*∈F(H(λ),λ):φ(y*)=min{φ(z):z∈F(H(λ),λ)}},

其中φ(z)=φ(y)+φ(ε),y∈F(H(λ),λ)。

根據(jù)引理4分以下3個(gè)小部分進(jìn)行證明:

1)證明Bst?Y*為非空的連通集。

根據(jù)凸集與連通集的定義可知凸集必為連通集,為了證明Bst為連通集,所以只需證明Bst為凸集。又由于定義可知Bst為基泛函,從凸集的定義可知基泛函一定是凸集,即得證。根據(jù)引理1, 1)知Bst≠?,所以Bst?Y*為非空的連通集。

2)證明?φ∈Bst,l(φ)為連通集。

設(shè)?x1,x2∈l(φ),存在y1∈F(x1),y2∈F(x2),使得

φ(y1)≤φ(y)+φ(ε),φ(y2)≤φ(y)+φ(ε),?y∈F(H(λ),λ).

(1)

由于H(λ)是弧連通集,故存在一個(gè)連續(xù)映射ηx1,x2:[0,1]→H(λ),使得ηx1,x2(0)=x1,ηx1,x2(1)=x2。

又因?yàn)镕(x,λ)在H(λ)上是弧連通的,故

ty1+(1-t)y2∈tF(x1)+(1-t)F(x2)?F(ηx1,x2(t))+C,

?t∈[0,1],?c∈C,yt∈F(ηx1,x2(t)),使得ty1+(1-t)y2=yt+c,由c∈C,φ∈Y*及式(1)可知,?y∈F(H(λ),λ)有

φ(yt)≤φ(yt+c)=tφ(y1)+(1-t)φ(y2)≤φ(y)+φ(ε).

故?t∈[0,1],有ηx1,x2(t)∈l(φ),因此l(φ)為凸集,即為連通集。

3)證明集值映射l:Bst→2F(H(λ),λ)在Bst上是上半連續(xù),即l(φ)在Bst為上半連續(xù)。

由于F(H(λ),λ)為緊集,從而易知對于?φ∈Bst,l(φ)≠?(其中Bst上的拓?fù)錇閺?qiáng)拓?fù)洇?Y*,Y))。假設(shè)l在Bst上不是上半連續(xù)的,則存在φ0∈Bst,使得l在φ0上不是上半連續(xù)的。根據(jù)定義3可知存在l(φ0)的鄰域V,使得對φ0的任意鄰域U,都存在φ∈U∩Bst,滿足l(φ)?V。以及存在網(wǎng){φα:α∈Λ}?Bst,使得φα∈U∩Bst,滿足φα→φ0(關(guān)于強(qiáng)拓?fù)洇?Y*,Y)),且l(φα)?V,?α∈Λ。故存在網(wǎng){xα:α∈Λ},有

xα∈l(φα),xα?V,?α∈Λ.

(2)

由于l(φα)≠?,可以取yα使得yα∈l(φα)?F(xα),有

φα(yα)≤φα(z)+φα(ε),?z∈F(H(λ),λ).

(3)

由于F(H(λ),λ)為弱緊集,取收斂網(wǎng){yα},則有yα→y0∈F(H(λ),λ),又因?yàn)镠(λ)為緊集,設(shè)xα→x0。又因?yàn)镕是上半連續(xù),所以y0∈F(x0)。設(shè)L=F(H(λ),λ),定義PL(y′)=sup(y′(z)+y′(ε)|:z∈F(H(λ),λ)),y′∈Y*,其中PL為Y*上的連續(xù)半范。?δ>0,由于φα→φ0,?α0,當(dāng)α≥α0時(shí),有

PL(φα-φ0)=sup{|φα(z)+φα(ε)-φ0(z)-φ0(ε)|:z∈F(H(λ),λ)}<δ.

即|φα(z)+φα(ε)-φ0(z)-φ0(ε)|<δ,?z∈F(H(λ),λ),?α≥α0,且?α≥α0,有

|φα(yα)-φ0(yα)|<δ.

(4)

又因?yàn)閥α→y0,φ0∈Y*,故?α1≥α0∈Λ,使得

|φ0(yα)-φ0(y0)|<δ,?α≥α1.

(5)

綜合式(4)和(5)可得,?α≥α1,有

φα(yα)-|φ0(y0)|≤|φα(yα)-φ0(yα)|+ |φ0(yα)-φ0(y0)|≤δ+δ=2δ.

根據(jù)引理4及上述證明能得出ε-GE(F(H(λ),λ),C)為連通集。

定理1:設(shè)X,Y,Z是局部凸Hausdoff拓?fù)渚€性空間,C為Y中的閉凸點(diǎn)錐,B是C的基且有界,E?X,Λ?Z均為非空的弧連通緊子集。F:E×Λ→2Y是C-弧連通的集值映射且連續(xù)(Y上的拓?fù)錇槿跬負(fù)洇?Y*,Y)),F在E×Λ上取弱緊值,H:Λ→2E也是連續(xù)的集值映射,且?λ∈Λ,H(λ)是非空的弧連通緊子集。同時(shí),?λ∈Λ,ε∈C,ε-GE(F(H(λ),λ),C)=∪φ∈CΔε-S(F(H(λ),λ),φ)(其中CΔ?Bst為關(guān)于強(qiáng)拓?fù)洇?Y*,Y)的緊子集),則∪λ∈Λε-GE(F(H(λ),λ),C)是非空的連通集。

證明：首先命題2已證得?λ∈Λ,ε-GE(F(H(λ),λ),C)≠?,故

∪λ∈Λε-GE(F(H(λ),λ),C)≠?.

再證∪λ∈Λε-GE(F(H(λ),λ),C)的連通性,定義集值映射Ω:Λ→2Y,使得

Ω(λ)=ε-GE(F(H(λ),λ),C).

由命題2已知ε-GE(F(H(λ),λ),C)是連通集,故Ω(λ)是連通的,又因?yàn)棣腔∵B通的,因此Λ也是連通的,根據(jù)引理4,只需再證得Ω:Λ→2Y是上半連續(xù)的即可證明∪λ∈Λε-GE(F(H(λ),λ),C)是連通集。

使用反證法證明,假設(shè)?λ0∈Λ,使得映射Ω不是上半連續(xù)的。則存在Ω(λ0)的弱開鄰域V′,以及網(wǎng){λτ:τ∈Γ},滿足λτ→λ0,且有Ω(λτ)?V′,?τ∈Γ。故存在網(wǎng){yτ:τ∈Γ},使得

yτ∈Ω(λτ),yτ?V′,?τ∈Γ.

(6)

因?yàn)镃Δ是緊的且網(wǎng){φτ}?CΔ,故假設(shè)?φ0∈CΔ使得φτ→φ0。由于F(x,y)和H(λ)是連續(xù)的集值映射,則F(x,y)和H(λ)均上半連續(xù)且下半連續(xù),根據(jù)引理3可知?λ∈Λ,F(H(λ),λ)上半連續(xù)且下半連續(xù),因此?h0∈F(H(λ0),λ0),?hτ∈F(H(λτ),λτ),滿足hτ→h0。又因?yàn)閥τ∈Ω(λτ),因此?fτ∈CΔ,使得yτ∈ε-S(F(H(λτ),λτ),φτ),根據(jù)定義6,?hτ∈F(H(λτ),λτ),有

φτ(yτ)≤φτ(hτ)+φτ(ε).

(7)

根據(jù)命題2證明已知F(H(λ),λ)是弱緊的,因此F(H(λ0),λ0)也是弱緊的。又由于F(H(λ),λ)是上半連續(xù)的,因此假設(shè)?y0∈F(H(λ0),λ0),使得yτ→y0。設(shè)R=∪λ∈ΛF(H(λ),λ),易知R也是弱緊的,且弱有界,由引理6可知R為有界集。定義MR(y*)=sup{|y*(hτ)+y*(ε)|:hτ∈F(H(λ),λ)},y*∈Y*,其中MR為Y*上的連續(xù)半范。由φτ→φ0可知,?τ0∈Γ,當(dāng)?τ≥τ0時(shí),有

MR(φτ-φ0)=sup{|φτ(hτ)+φτ(ε)-φ0(hτ)-φ0(ε)|:hτ∈F(H(λ),λ)}<θ.

故?hτ∈F(H(λ),λ),?τ≥τ0,有|φτ(hτ)+φτ(ε)-φ0(hτ)-φ0(ε)|<θ。由式(7)得

|φτ(yτ)-φ0(yτ)|<θ,?τ≥τ0.

(8)

又由于yτ→y0,故?τ1∈Γ,使得

|φ0(yτ)-φ0(y0)|<θ,?τ≥τ1.

(9)

結(jié)合式(8)和(9),?τ≥τ0,?τ≥τ1,有

|φτ(yτ)-φ0(y0)|≤|φτ(yτ)-φ0(yτ)|+ |φ0(yτ)-φ0(y0)|≤θ+θ=2θ.

綜上所述,根據(jù)引理4可知∪λ∈Λε-GE(F(H(λ),λ),C)為連通集。

3 結(jié)語

近似解的研究一直是眾多學(xué)者所關(guān)注的問題,且強(qiáng)有效性是局部凸空間中超有效性和嚴(yán)有效性的推廣,故ε-強(qiáng)有效點(diǎn)集的連通性具有很強(qiáng)的理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。以往對于解的連通性都是在可行域?yàn)橥辜?、集值映射為無約束或帶約束的條件下研究。本文在文獻(xiàn)[3]的啟發(fā)下,文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上,使其在參數(shù)的擾動(dòng)下,可行域?yàn)榛∵B通的條件下,證明了含參數(shù)ε-強(qiáng)有效點(diǎn)集的連通性。由于凸集必然是弧連通的,弧連通不一定是凸集,因此,本文是對文獻(xiàn)[3]的相關(guān)研究進(jìn)行了適當(dāng)?shù)母倪M(jìn)及推廣。