基于前景理論框架和Heston模型的行為期權(quán)定價(jià)

孫有發(fā)，彭文彥

（廣東工業(yè)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院, 廣東 廣州 510520）

主流的理性期權(quán)定價(jià)模型 (Rational Option Pricing Model, ROPM) 的相關(guān)文獻(xiàn)通常從特定的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)過程出發(fā)，應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)理論計(jì)算歐氏期權(quán)價(jià)格。為了提升模型的定價(jià)性能，學(xué)界開發(fā)了豐富的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和波動(dòng)率模型，如Black-Scholes (BS) 模型[1]、跳變模型[2-3]和隨機(jī)波動(dòng)率模型等[4-5]。然而，這些模型對(duì)現(xiàn)實(shí)期權(quán)產(chǎn)品，尤其是短到期虛值 (Out of The Money, OTM) 期權(quán)的定價(jià)能力遠(yuǎn)遠(yuǎn)不足，其中一個(gè)重要原因是BOPM期權(quán)定價(jià)框架沒有考慮投資者的非理性心理與行為因素[6-8]，隨著期權(quán)到期日的臨近，這些非理性心理與行為因素會(huì)對(duì)期權(quán)價(jià)格產(chǎn)生顯著影響。

近年基于行為金融學(xué)相關(guān)理論與方法而興起的行為期權(quán)定價(jià)模型(Behavior Option Pricing Model,BOPM) 則為期權(quán)定價(jià)研究提供了一個(gè)新的視角。已有的BOPM大致可分為2個(gè)流派：一是引入非理性因子到標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)過程中，再應(yīng)用ROPM的相關(guān)理論推導(dǎo)出期權(quán)定價(jià)公式[9-14]；二是通過行為金融學(xué)理論來刻畫投資者的價(jià)值判斷、風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度和決策行為，再根據(jù)市場交易機(jī)制和均衡定價(jià)原理求解期權(quán)價(jià)格[15-23]。流派一的研究只是將非理性心理與行為納入標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格模型中，本質(zhì)上仍屬于傳統(tǒng)的期權(quán)定價(jià)方法；流派二的研究則遵從行為金融學(xué)說中的有限理性、有限認(rèn)知、有限控制力和有限自利等，然后依據(jù)期權(quán)市場交易機(jī)制，推理、推導(dǎo)或計(jì)算相應(yīng)的期權(quán)價(jià)格，屬于正統(tǒng)的行為期權(quán)定價(jià)。本研究屬于第二個(gè)流派。

在實(shí)踐應(yīng)用層面，當(dāng)前行為期權(quán)定價(jià)模型尚未在金融領(lǐng)域有大量應(yīng)用。不過，Baele等[18]認(rèn)為：“在未來，行為金融學(xué)有很大的潛力成為資產(chǎn)定價(jià)的主導(dǎo)方法”。此外，Bar-Gill[24]的研究表明，許多法律規(guī)則能用期權(quán)理論解釋，行為期權(quán)定價(jià)模型可用來指導(dǎo)制定法律政策。

作為行為金融學(xué)的核心理論，前景理論能較好地解釋“資產(chǎn)溢價(jià)之謎”[25]、OTM期權(quán)低回報(bào)率、高方差溢價(jià)[18]等市場異象。同時(shí)，前景理論框架下的期權(quán)定價(jià)方法較傳統(tǒng)理性框架下的期權(quán)定價(jià)方法呈現(xiàn)出顯著優(yōu)勢(shì)。在BOPM領(lǐng)域，Versluis[26]率先提出了基于前景理論[27-28]框架的行為期權(quán)定價(jià)框架。該文假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程服從幾何布朗運(yùn)動(dòng) (Geometric Brownian Motion, GBM) 模型；利用決策權(quán)重函數(shù)對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格路徑的概率密度函數(shù)進(jìn)行了非線性化修正；并將歐氏期權(quán)合約簽訂與執(zhí)行兩時(shí)段的現(xiàn)金流視為分離或聚合的兩種心理賬戶情形[29-30]，并計(jì)算其前景價(jià)值；最后依據(jù)市場出清條件，構(gòu)建這2種情形下的行為期權(quán)定價(jià)模型。Versluis[26]的實(shí)證結(jié)果表明，與傳統(tǒng)理性框架下BS模型相比，兩種期權(quán)定價(jià)模型的定價(jià)精度都有所提高；尤其是現(xiàn)金流聚合情形下的定價(jià)模型，擁有與Heston模型相當(dāng)?shù)亩▋r(jià)精度；只不過，該情形下缺乏期權(quán)解析公式，計(jì)算復(fù)雜度相對(duì)更高。Pena和Alemanni[31]、Nardon和 Pianca[32-33]進(jìn)一步拓展了Versluis[26]的研究：前者選取了3個(gè)月到期的看漲期權(quán)作為研究樣本，發(fā)現(xiàn)基于經(jīng)典GBM模型的行為期權(quán)定價(jià)模型的擬合精度高于Heston模型；后者分別構(gòu)建了買方和賣方兩個(gè)角度下的行為期權(quán)定價(jià)模型，并通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)考察不同的權(quán)重函數(shù)形式對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。

不難發(fā)現(xiàn)，上述文獻(xiàn)大多假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程服從GBM模型。但由于GBM模型假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布且波動(dòng)率為常數(shù)，與現(xiàn)實(shí)資產(chǎn)價(jià)格經(jīng)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)事實(shí)嚴(yán)重不符，導(dǎo)致基于其計(jì)算出的期權(quán)價(jià)格仍然不夠準(zhǔn)確[34]。

隨機(jī)波動(dòng)率模型是刻畫現(xiàn)實(shí)資產(chǎn)價(jià)格行為最為準(zhǔn)確的模型門類之一，已成為“復(fù)雜金融產(chǎn)品定價(jià)的事實(shí)標(biāo)準(zhǔn)模型”[35]。Heston模型則是其中的代表模型，它不僅能捕捉到資產(chǎn)收益率分布的“尖峰”“厚尾”“有偏”等特性，且兼具模型結(jié)構(gòu)簡單、可計(jì)算性較強(qiáng)等優(yōu)勢(shì)，被廣泛應(yīng)用于金融衍生品定價(jià)。

已有的研究表明，Heston模型難以刻畫金融市場劇烈波動(dòng)期間“陡峭的波動(dòng)率傾斜”[36]。因此，本文利用前景理論期權(quán)定價(jià)框架結(jié)合Heston模型構(gòu)建了基于Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型的行為期權(quán)定價(jià)方法。該方法在一定程度上克服了Heston模型的這個(gè)缺點(diǎn)。

假定標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格過程服從Heston模型，并應(yīng)用費(fèi)曼卡茲定理推導(dǎo)其特征函數(shù)的偏微分方程；再通過反演公式獲得相應(yīng)的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)，并將其嵌入Nardon和 Pianca[32-33]的前景理論期權(quán)定價(jià)框架；基于期權(quán)合約簽訂與執(zhí)行的現(xiàn)金流視為分離的心理賬戶情形，分別推導(dǎo)買方和賣方角度的Heston行為期權(quán)定價(jià)公式。由于Heston模型的概率密度函數(shù)和分布函數(shù)較為復(fù)雜，本文用級(jí)數(shù)展開式對(duì)其進(jìn)行逼近，以此提高模型的計(jì)算性。

上證50ETF期權(quán)的定價(jià)結(jié)果表明，本文提出的行為期權(quán)定價(jià)方法能夠顯著提高短到期OTM期權(quán)的定價(jià)精度，其結(jié)果明顯優(yōu)于傳統(tǒng)理性框架下的Heston模型的期權(quán)定價(jià)結(jié)果以及基于GBM模型的行為期權(quán)定價(jià)結(jié)果。模型參數(shù)校正結(jié)果表明，對(duì)于OTM期權(quán)，投資者非理性情緒突出，在期權(quán)定價(jià)模型中納入非理性情緒與行為因素，可以極大提升OTM期權(quán)定價(jià)精度；而對(duì)于實(shí)值 (In The Money,ITM) 期權(quán)，投資者基本呈現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)中性態(tài)度，行為參數(shù)的引入只能輕微提升模型定價(jià)精度。

本研究構(gòu)建了基于隨機(jī)波動(dòng)率模型的行為期權(quán)定價(jià)方法，驗(yàn)證了行為金融學(xué)說中的前景理論對(duì)于提升期權(quán)定價(jià)性能的價(jià)值，并給出了具體的解析定價(jià)公式。

相較于傳統(tǒng)理性期權(quán)定價(jià)模型而言，本文的模型參數(shù)蘊(yùn)含了投資者情緒、風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度等更為豐富的市場交易信息，且定價(jià)更為準(zhǔn)確，市場監(jiān)控者、期權(quán)做市商、期權(quán)交易者等都能從中挖掘豐富的信號(hào)以監(jiān)控市場、調(diào)節(jié)價(jià)格、對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)等。因此，本文提出的模型具備較強(qiáng)的學(xué)術(shù)意義和實(shí)踐意義。

1 Heston行為期權(quán)定價(jià)模型

1.1 前景理論和累積前景理論

Kahneman和Tversky提出的前景理論(Prospect Theory)[27]的核心觀點(diǎn)為投資者的決策行為不遵循期望效用最大化原則，而是取決于期望效用與參照點(diǎn)的差距：當(dāng)期望效用高于參照點(diǎn)時(shí)，投資者表現(xiàn)出風(fēng)險(xiǎn)厭惡；當(dāng)期望效用低于參照點(diǎn)時(shí)，投資者表現(xiàn)出風(fēng)險(xiǎn)偏好。因此，他們創(chuàng)造性地用價(jià)值函數(shù)v代替效用函數(shù)，來描述投資者面對(duì)收益與損失的價(jià)值判斷。

根據(jù)前景理論，投資者面臨收益和損失表現(xiàn)出不同的風(fēng)險(xiǎn)偏好，因此分別用v+和v-表示收益區(qū)間(0 ≤i≤n) 和損失區(qū)間(-m≤i≤0) 的價(jià)值函數(shù)，相應(yīng)的決策權(quán)重函數(shù)為w+和w-，未來狀態(tài)匯總的前景價(jià)值為

在前景理論的基礎(chǔ)上，Kahneman和Tversky進(jìn)一步提出了能計(jì)算連續(xù)前景價(jià)值的累積前景理論(Cumulative Prospect Theory)[28],在-m≤i≤n區(qū)間，第i種前景的決策權(quán)重函數(shù)是累積決策權(quán)重函數(shù)的差分：

Davies和Satchell[37]則給出了連續(xù)情形下，累積前景價(jià)值的表達(dá)式為

圖1 價(jià)值函數(shù)圖像Fig.1 Figure of value function

1.1.2 關(guān)于決策權(quán)重函數(shù)

決策權(quán)重函數(shù)w±(p(x))在不同文獻(xiàn)的設(shè)定形式略有差異，經(jīng)典的2種函數(shù)形式可見Kahneman、Tversky[28]和Prelec[38]的研究。

相較于Kahneman、Tversky[28]，Prelec[38]決策權(quán)重函數(shù)的形式更為簡潔，可計(jì)算性更好，因此本文選取Prelec[38]的決策權(quán)重函數(shù)進(jìn)行研究。圖2展示了γ 取值0.7，0.8，0.9，1時(shí)Prelec[38]決策權(quán)重函數(shù)值與客觀概率的關(guān)系。當(dāng)γ ＜1時(shí)，決策權(quán)重函數(shù)呈現(xiàn)倒“S”形，低概率事件被過分重視，中、高概率事件重視不足，且γ 值越小，圖像彎曲程度越大。

圖2 Prelec決策權(quán)重函數(shù)圖像Fig.2 Figure of Prelec’s probability weighting function

1.2 Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型

為了計(jì)算式 (3) 中標(biāo)的資產(chǎn)的概率密度函數(shù)和累積分布函數(shù)，需要提前設(shè)定標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格動(dòng)態(tài)過程?？紤]到Heston模型的優(yōu)良特性，本文使用Heston模型刻畫標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng)。

將式(10) 代入式(9) ，并結(jié)合邊界條件A(0)=0,B(0)=0，計(jì)算可得

式中：R和I分別為函數(shù)的實(shí)部和虛部。

顯然，式(13) 和式(14) 均涉及到無窮積分，不可避免地增加了計(jì)算負(fù)擔(dān)。本文參考Witkovsky[40]的思路，應(yīng)用級(jí)數(shù)展開法計(jì)算式(13) 和式(14) 的近似逼近值：

式中：N為一個(gè)足夠大的常數(shù)，將φ 的截?cái)鄥^(qū)間(0,L) 分 割為大小為δt=L/N的N個(gè)子區(qū)間，φj為子區(qū)間的第j個(gè)子節(jié)點(diǎn)，L的大小由6-sigma法則確定。

綜上，結(jié)合式(3)、式(4)、式(6)、式(15)和式(16)可計(jì)算期權(quán)投資者的累積前景價(jià)值。

1.3 Heston行為期權(quán)定價(jià)公式

Thaler提出的心理賬戶理論[29](Mental Account)認(rèn)為，投資者在計(jì)算損益時(shí)，傾向于將收益與損失放置到互相分離的心理賬戶里分別計(jì)算其結(jié)果。具體到期權(quán)市場而言，期權(quán)賣方 (買方) 可能將合約簽訂時(shí)權(quán)利金的收入 (支出) 、行權(quán)時(shí)的報(bào)酬 (payoff) 支出 (收入) 劃分到不同的心理賬戶。因此結(jié)合心理賬戶理論與累積前景理論，賣方(writer) 視角的看漲期權(quán)前景價(jià)值為

式中：cw是看漲期權(quán)的賣出價(jià)，等式右邊第一項(xiàng)為權(quán)利金的時(shí)間價(jià)值，第二項(xiàng)為合約到期時(shí)的預(yù)期支付。

在市場均衡時(shí)，前景價(jià)值為0，計(jì)算得到看漲期權(quán)賣方價(jià)格的表達(dá)式為

同理，可得看跌期權(quán)賣方價(jià)格和買方價(jià)格的表達(dá)式為

至此，本文在市場均衡條件下推導(dǎo)出Heston模型下歐氏行為期權(quán)(看漲和看跌) 的買方和賣方價(jià)格。

2 數(shù)值定價(jià)

本節(jié)運(yùn)用數(shù)值定價(jià)方法展示Heston行為期權(quán)定價(jià)公式的性能，并與理性框架下Heston模型定價(jià)結(jié)果作對(duì)比分析。

設(shè)定Heston模型的參數(shù)：S=3.5，T=0.1，r=0.03，v0=0.05，θ=0.1， ρ=-0.5，κ=0.03，σ=0.3。

Tversky-Kahneman (TK) 情緒下行為參數(shù)為：α=β=0.88，λ=2.25， γ+=0.61， γ-=0.69。

溫和情緒下行為參數(shù)為： α=β=0.988，λ =0.9，γ+=0.961， γ-=0.969。

對(duì)于理性框架下的Heston期權(quán)定價(jià)模型，由于其不考慮投資者的心理與行為因素，在本文框架中相當(dāng)于設(shè)置了行為參數(shù)：α =β=λ=γ=1。

數(shù)值定價(jià)結(jié)果如表1所示，其中，cH、chHB、cwHB分別代表理性框架下Heston模型的期權(quán)定價(jià)結(jié)果、Heston行為期權(quán)買方價(jià)格、Heston行為期權(quán)賣方價(jià)格。

表1 數(shù)值定價(jià)結(jié)果Table 1 Numerical pricing results

從表1的數(shù)值結(jié)果可以看出，無論在TK情緒或溫和情緒下，對(duì)于每個(gè)行權(quán)價(jià)，買方視角下的期權(quán)價(jià)格都低于賣方視角下的期權(quán)價(jià)格，理性框架下的Heston模型定價(jià)結(jié)果則位于二者之間。由此可見，考慮了投資者情緒特征的Heston行為期權(quán)定價(jià)模型能較好地解釋現(xiàn)實(shí)中的買賣價(jià)差情況。

但TK情緒下的行為期權(quán)定價(jià)結(jié)果與理性框架下Heston模型偏差很大，溫和情緒下的定價(jià)結(jié)果則較為相近。這表明Tversky-Kahneman情緒下行為參數(shù)可能是一組實(shí)驗(yàn)性參數(shù)，目的只是為了解釋前景理論，并沒有真正用于期權(quán)定價(jià)實(shí)踐。

3 上證50ETF期權(quán)的實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)選取

本文選取到期時(shí)間為2022年3月23日的上證50ETF認(rèn)購期權(quán)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證研究，樣本區(qū)間為2022年1月4日至2022年3月15日，以檢驗(yàn)Heston行為期權(quán)定價(jià)模型的有效性。由于到期期限過短的期權(quán)流動(dòng)性較差、價(jià)格波動(dòng)大，因此在定價(jià)實(shí)驗(yàn)中剔除到期期限小于7天的期權(quán)數(shù)據(jù)?？紤]到Heston模型對(duì)中、長到期的期權(quán)定價(jià)已經(jīng)較為準(zhǔn)確，本文僅關(guān)注短到期期權(quán)數(shù)據(jù)。本文的期權(quán)數(shù)據(jù)來源于Wind終端，無風(fēng)險(xiǎn)利率采用一年期Shibor，數(shù)據(jù)來源于http://www.shibor.org/。

3.2 模型參數(shù)估計(jì)

參照金融業(yè)界的做法，對(duì)實(shí)值期權(quán) (S/K＞1)和虛值期權(quán) (S/K＜1)分別進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。臨近到期時(shí)，利用預(yù)測(cè)日前一天的上證50ETF期權(quán)數(shù)據(jù)所得的模型參數(shù)，來估計(jì)預(yù)測(cè)日當(dāng)天的期權(quán)價(jià)格，并選用MATLAB工具箱里的非線性最小二乘優(yōu)化Isqnonlin求解器估計(jì)參數(shù)值。篇幅所限，僅展示的Heston行為期權(quán)定價(jià)模型買方視角的參數(shù)估計(jì)結(jié)果。模型的待估參數(shù)為

通過求解如下的最優(yōu)化問題得到Heston行為期權(quán)定價(jià)模型的參數(shù)估計(jì)結(jié)果：

表2和表3分別展示了實(shí)值期權(quán)數(shù)據(jù)和虛值期權(quán)數(shù)據(jù)參數(shù)校正后的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果?？梢园l(fā)現(xiàn)，無論是實(shí)值期權(quán)，還是虛值期權(quán)，由它們校準(zhǔn)出來Heston模型基礎(chǔ)參數(shù)結(jié)果大體一致，這是因?yàn)镠eston基礎(chǔ)模型刻畫的是同時(shí)間段、相同標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的行為；但擴(kuò)展的行為參數(shù)校準(zhǔn)結(jié)果是有較大差異的。基于實(shí)值期權(quán)數(shù)據(jù)校正得到的行為參數(shù)在1附近波動(dòng)，且波動(dòng)較小，反映出對(duì)于實(shí)值期權(quán)，投資者基本呈現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)中性態(tài)度；而基于虛值期權(quán)數(shù)據(jù)校正得到的行為參數(shù)偏離1較遠(yuǎn)，整體波動(dòng)較大，反映出投資者情緒態(tài)度變化較大，也進(jìn)一步應(yīng)證了將實(shí)值期權(quán)數(shù)據(jù)和虛值期權(quán)數(shù)據(jù)分開校準(zhǔn)的合理性。

表2 實(shí)值期權(quán)數(shù)據(jù)的參數(shù)描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果Table 2 Descriptive statistic results of ITM's parameters

表3 虛值期權(quán)數(shù)據(jù)的參數(shù)描述性結(jié)果Table 3 Descriptive statistic results of OTM's parameters

3.3 模型定價(jià)精度對(duì)比

本節(jié)展示了Heston行為期權(quán)定價(jià)模型同傳統(tǒng)理性框架下Heston期權(quán)定價(jià)模型和GBM行為期權(quán)定價(jià)模型在定價(jià)性能的比較結(jié)果。以平均絕對(duì)百分比誤差 (Mean Absolute Percentage Error, MAPE) 來評(píng)判模型的整體定價(jià)精度。

對(duì)于實(shí)值期權(quán)數(shù)據(jù)和虛值期權(quán)數(shù)據(jù)，分別進(jìn)行參數(shù)校準(zhǔn)后計(jì)算出期權(quán)價(jià)格，模型的整體定價(jià)精度如表4所示：對(duì)于實(shí)值期權(quán)，3個(gè)模型均有著較好的定價(jià)精度，Heston行為期權(quán)定價(jià)模型的定價(jià)精度相較于傳統(tǒng)理性框架下Heston模型提升較小，結(jié)合模型參數(shù)校正結(jié)果，說明行為參數(shù)的引入對(duì)ITM期權(quán)定價(jià)精度提升有限；而對(duì)于虛值期權(quán)，Heston行為期權(quán)定價(jià)模型的定價(jià)精度則要遠(yuǎn)遠(yuǎn)強(qiáng)于GBM行為期權(quán)定價(jià)模型和傳統(tǒng)理性框架下的Heston模型，不僅說明了將GBM模型替換為Heston模型的合理性，也表明了在OTM期權(quán)定價(jià)中考慮投資者非理性情緒與行為的必要性。

表4 模型定價(jià)精度對(duì)比Table 4 Model pricing accuracy comparison %

4 結(jié)論

本文結(jié)合Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型和前景理論期權(quán)定價(jià)框架，將期權(quán)合約簽訂時(shí)權(quán)利金的支付、行權(quán)時(shí)報(bào)酬 (payoff) 的支付劃分到不同的心理賬戶下，依據(jù)市場均衡條件，推導(dǎo)了Heston行為期權(quán)定價(jià)公式?；谏献C50ETF期權(quán)的實(shí)證結(jié)果發(fā)現(xiàn)，相較于傳統(tǒng)理性框架下的Heston模型，Heston行為期權(quán)定價(jià)模型顯著提升短到期OTM期權(quán)的定價(jià)精度，而對(duì)ITM期權(quán)的定價(jià)精度則提升較??；這是因?yàn)閷?duì)于OTM期權(quán)，投資者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度、情緒變化較為突出，而行為參數(shù)的引入能較好地捕捉這些特征，而對(duì)于ITM期權(quán)，投資者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度偏中性，行為參數(shù)的引入對(duì)模型性能提升有限。

本文所得到的歐氏期權(quán)的良好定價(jià)性能，一方面歸功于Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型刻畫標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格行為的準(zhǔn)確性，另一方面也有賴于行為參數(shù)的引入，使模型能捕捉到市場情緒的變化，更好地刻畫現(xiàn)實(shí)市場。

本文的研究結(jié)果表明：基于前景理論的期權(quán)定價(jià)框架可作為一種風(fēng)險(xiǎn)中性期權(quán)定價(jià)方法的替代。未來可進(jìn)一步研究更多樣化的心理賬戶情形，在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng)建模中加入非理性因子等。